不等式的基本性质培优导学案

不等式的基本性质导学案

知识导引

不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式． 本讲的主要知识点：

1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．

2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．

3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变； 不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变； 不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；

4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．

5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．

6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法． 典例精析

例1：下列四个命题中，正确的有（ ）

①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（ ）

A 、ab ＞bc

B 、a ＋b ＞b ＋c

C 、a －b ＞b －c

D 、

c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，3

12+=a P 的大小关系为（ ） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N 例3：解不等式54

56110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．

例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值： ．

例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为 ．

例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的

童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．

（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）

（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？

探究活动

例：三边均不相等的△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．

学力训练

A 组 务实基础

1、若a ＞b ，c 为有理数，则下列各式一定成立的是（ ）

A 、ac ＞bc

B 、ac ＜bc

C 、22bc ac >

D 、22bc ac ≥

2、不等式121>-

x 的解集是（ ） A 、21->x B 、2->x C 、2-

1-

A 、P ＞R ＞S ＞Q

B 、Q ＞S ＞P ＞R

C 、S ＞P ＞Q ＞R

D 、S ＞P ＞R ＞Q

4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（ ）

A 、a ＜1

B 、a ＞1

C 、a ＞0

D 、a ＜0

5、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是 ．

6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是 ．

7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝ ．

8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）．

9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围．

10、关于x 的不等式

64141a x x ->-+的解都是不等式2

214x x -<-的解，求a 的取值范围．

B 组 瞄准中考

1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ）

A 、x ≤1

B 、x ≥1

C 、x ＜1

D 、x ＞1

2、（烟台中考）不等式4－3x≥2x －6的非负整数解有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（ ）

A 、a ＋c ＞b ＋c

B 、c －a ＜c －b

C 、22c

b c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（ ）

A 、由a ＞b ，得ac ＞bc

B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2b

C 、由a ＞b ，得－a ＞－b

D 、由a ＞b ，得a －2＜b －2

5、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（ ）

A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2

B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2b

C 、由a ＞b ，得b a >

D 、由a ＞b ，得2

2b a > 6、解不等式x x 3

29721-≤

-，得其解的范围为（ ） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（ ）

A 、0.6元

B 、0.7元

C 、0.8元

D 、0.9元

8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载 捆材料．

9、（重庆中考）解不等式3

132+<

-x x ，并把解集在数轴上表示出来．

10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ．

11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员．

（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？

（2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？

C 组 冲击金牌

1、?????????=++=++=++=++=++5

2154154

354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（ ）

A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5x

B 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5x

C 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5x

D 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x

2、不等式100<+y x 有 组整数解．

3、已知1

21219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是 ． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2

xy 按从小到大的顺序排列．

5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号．

6、解不等式：1325<+--x x ．

7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设1

2112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间．

8、某地区举办初中数学联赛，有A 、B 、C 、D 四所中学参加．选手中，A ，B 两校共16名，B ，C 脸两校共20名，C ，D 两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A 、B 、C 、D 中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．

不等式的基本性质参考答案

典例精析

1、C 1—1、B

2、D

3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或3

3—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装．

探究活动

解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5．

学力训练

A 组

1、D

2、C

3、D

4、A

5、14

6、a ≤－2

7、0

8、＝

9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5

B 组

1、D

2、C

3、D

4、B

5、B

6、A

7、B

8、42

9、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．

C 组

1、C

2、19702

3、m ＞n

4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x

（1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2

<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ．

5、a 为负，b 为正

6、x ＜－7或3

1>

x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人．