例谈三角函数易错问题

三角函数解题中的几类常见错误

三角函数解题中的几类常见错误黑龙江省大庆实验中学杜山侯典峰（163311）三角函数这一章公式较多，变量之间的制约关系相对复杂，对思维的全面性以及深刻性要求较高，解题过程中容易出现一系列的错误，本文仅对几类常见错误进行剖析，权当抛砖引玉。

一．忽视定义域的影响而致错例1．求函数cot cos ()1sin x x f x x +=+的最小正周期错解：化简得cot (1sin )()cot 1sin x x f x x x +==+，所以f(x)最小正周期为π上面的解法其实是错误的，错误的原因在于，忽视了函数的定义域，事实上 cotx 由有意义，知,x k k Z π≠∈ 由31sin 0,2,2x x k k Z ππ+≠≠+∈知当2,2x k k Z ππ=+∈时，32,2x k k Z πππ+=+∈ 故()f x π+无意义，所以()f x 的最小正周期不是π，而是2π二．忽视变量之间的隐含关系而致错例2．已知,,αβθ均为锐角，且sin sin sin ,cos cos cos αθββθα+=+= 求αβ-错解：由已知条件得sin sin sin cos cos cos αβθαβθ-=--=两式平方，两端同时相加得1cos()2αβ-= 由0,022ππαβ<<<< 得22ππαβ-<-< 故33ππαβαβ-=-=-或此种解法的错误在于：没有注意到条件中隐含的关系，从而产生了增解由sin sin sin αθβ+=得sin sin sin sin ,(0,)2αβθβπαβ=-<∈因所以αβ<，故02παβ-<-< 所以3παβ-=-三．忽视运算的等价性而致错例3．已知sin ,tan αβαβ==，,0,22ππαβπαβ-<<<<求,.误解：sin tan 3cot ααβ=得cos 3αβ= ①又sin αβ= ②①，②两式两端平方后相加得2222cos sin 1,sin 32βββ+==±解得因为0βπ<<，所以2sin ,233ππβββ===于是或，代入①得44= -ππαα=及故有2,,3434ππππαβαβ====-或本解法的错误在于：没有注意到作商时，分母不为0的要求，从而导致丢解而当tan 0,cot 0αβ==时，0,2παβ==也满足题设要求四．忽视变量的实际意义而致错例4．在△ABC 中，如果4sin 2cos 1,2sin 4cos A B B A +=+=，求角C 的大小误解：由已知得2(4sin 2cos )1A B += ①2(2sin 4cos )B A += ② 两式两端分别相加得1sin()2A B += 5,66A +B =ππ所以或于是566C ππ=或上述解法的错误在于：没有注意到变量在实际问题中的范围而产生了增解实际上，由4sin 2cos 12cos 14sin 1A B B A +==-<可得故1cos ,2<B <B π<而0，于是3B π>，再由A+B+C=π得23C π<，所以角C 只能是6π五．忽视方程对变量范围的约束而致错例5．已知tan ,tan αβ是方程240x ++=的两个根且,(,)22ππαβ∈-，求αβ+错解：由题设知tan tan tan tan 4αβαβ+=-=得tan tan tan()1tan tan 14αβαβαβ+-+===--由,(,)22ππαβ∈-知(,)αβππ+∈- 所以233- ππαβ+=或以上解法错误在于：没有通过韦达定理进一步缩小变量范围而产生了增解由知tan tan 4αβ=知tan tan αβ与同号，再由tan tan αβ+=-知tan ,tan αβ同为负值，所以(,0),(,0)22ππαβ∈-∈-(,0)αβπ+∈-，故23παβ+=-六．函数性质的理解不当而致错例6．判断函数1sin cos ()1cos sin x xf x x x +-=++的奇偶性错解：(1cos )sin ()(1cos )sin x x f x x x -+=++ =222sin 2sin cos 2222cos 2sin cos 222sin (sin cos )222cos (cos sin )222tan 2xx x xx x xx x xx x x+++=+= 所以()f x 为奇函数这个解法的错因是对奇偶性定义理解的不当，忽视变量的任意性由1cos sin 0x x ++≠，易得22,2x k x k k Z ππππ≠-≠-∈且，函数()f x 的定义域为{2,2,}2x x k x k k Z ππππ≠-≠-∈且，不关于原点对称∴f(x)既非奇函数也非偶函数以上所列的几类错误，笔者在多年教学多次遇到，而且会有很多学生在这些问题上重复犯错，如何培养学生良好的思维品质，如何让学生学会批判，是一个值得深思的问题。

三角函数易错点剖析

ʏ安徽省宿城第一中学孙桂英ʏ安徽省合肥市第一中学毕飞三角函数问题是高中数学学习的重要内容之一,因其概念性较强,解题方法灵活等特点,在解题的过程中如果审题不清,概念理解不到位,忽视隐含条件等,很容易导致解题出错,下面就常见的典型错误加以分析,希望引起同学们的重视㊂易错点一㊁三角函数的定义运算出错例1 已知角α的终边上有一点P (4t ,-3t )(t ʂ0),求α的各三角函数值㊂错解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t ),且t ʂ0,所以r =|P O |=(4t )2+(-3t)2=5t ㊂所以s i n α=yr =-3t 5t =-35,c o s α=x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34㊂剖析:设角α的终边上任一点的坐标为(x ,y ),它与原点的距离为r =x 2+y 2>0,则s i n α=y r ,c o s α=x r ,t a n α=y x(x ʂ0)㊂当已知坐标中含有参数时,需注意分类讨论㊂错解中有两处错误:(1)去根号后没有加绝对值;(2)没有对t ʂ0这个条件加以分析㊂正解:因为点P 的坐标是(4t ,-3t ),且t ʂ0,所以r =|P O |=(4t )2+(-3t)2=5|t |㊂当t >0时,α是第四象限角,则r =|P O |=5t ,所以s i n α=yr =-3t 5t =-35,c o s α=x r =4t 5t =45,t a n α=y x =-3t 4t =-34;当t <0时,α是第二象限角,则r =|P O |=-5t ,所以s i n α=yr =-3t -5t =35,c o s α=x r=4t -5t =-45,t a n α=-3t 4t =-34㊂易错点二㊁忽视三角函数的值域致误例2 (2023年安徽安庆统考二模)若s i n 2α+2s i n 2β=2c o s α,则s i n 2α+s i n 2β的最大值是,最小值是㊂错解:由已知得s i n 2β=c o s α-12s i n 2α,则有s i n 2α+s i n 2β=s i n 2α+c o s α-12s i n 2α=c o s α+12(1-c o s 2α)=-12(c o s α-1)2+1㊂所以当c o s α=1时,s i n 2α+c o s 2β取得最大值1;当c o s α=-1时,s i n 2α+c o s 2β取得最小值-1㊂剖析:最小值求错了,错的原因是未注意正弦函数的有界性㊂正解:由已知得s i n 2β=c o s α-12s i n 2α,则有s i n 2α+s i n 2β=s i n 2α+c o s α-12s i n 2α=c o s α+12(1-c o s 2α)=-12(c o s α-1)2+1㊂由s i n 2α+2s i n 2β=2c o s α,可知2ȡc o s 2α+2c o s α-1=2s i n 2βȡ0,解得2-1ɤc o s αɤ1㊂故s i n 2α+s i n 2β的最大值与最小值分别为1和2(2-1)㊂易错点三㊁忽略定义域导致求错单调区间例3 (2023年山东德州第一中学质量检测)函数y =l o g 2si n x +π3的单调递增区间为㊂错解:因为2>1,所以只需求函数u =s i n x +π3的单调递增区间即可㊂于是-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,即-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ ㊂所以函数y =l o g 2si n x +π3的单调递增区间为-5π6+2k π,π6+2k π(k ɪZ )㊂42 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.剖析:该解法错误的原因在于忘记考虑对数函数的定义域㊂应先求出函数的定义域,单调区间是定义域的子集㊂正解:由题意得s i n x +π3>0,所以2k π<x +π3<π+2k π,解得-π3+2k π<x <2π3+2k π㊂又因为2>1,所以只需求函数u =s i n x +π3的单调递增区间即可㊂令-π2+2k πɤx +π3ɤπ2+2k π,得-5π6+2k πɤx ɤπ6+2k π,k ɪZ ㊂所以函数u =s i n x +π3的单调递增区间为-5π6+2k π,π6+2k π (k ɪZ )㊂结合定义域得函数y =l o g 2s i n x +π3 的单调递增区间为-π3+2k π,π6+2k π (k ɪZ)㊂易错点四㊁对函数图像的变换规则把握不透致误例4 (2023年湖北安陆第一高中一模)为了得到函数y =2s i n 2x -π3的图像,只需把函数y =2s i n 2x +π6 的图像()㊂A.向左平移π4个单位长度B .向右平移π4个单位长度C .向左平移π2个单位长度D .向右平移π2个单位长度错解:选D 或A ㊂剖析:选D ,是没有考虑x 前的系数2;选A ,是没有弄清楚谁平移到谁 ,平移的方向反了㊂正解:因为函数y =s i n 2x +π6=s i n 2x +π12,且y =s i n 2x -π3=s i n 2x -π6,所以将y =2s i n 2x +π6 的图像向右平移π4个单位长度可以得到y =2s i n 2x -π3的图像㊂故选B ㊂易错点五㊁忽视复合函数单调性的法则致误例5 (2023年黑龙江鹤岗一中质量检测)函数y =2s i nπ4-2x 的递增区间是㊂错解:令u =π4-2x ,则y =2s i n u 在2k π-π2,2k π+π2(k ɪZ )上是增函数㊂由已知得2k π-π2ɤπ4-2x ɤ2k π+π2,所以函数y =2s i nπ4-2x 的递增区间为-k π-π8,-k π+3π8 (k ɪZ )㊂剖析:上述解法忽视了复合函数的单调性,导致答案错误㊂本题涉及两个函数,其中y =s i n u ,u =-2x +π4,需要利用同增异减的法则来求解㊂正解:已知函数y =2s i n π4-2x=-2s i n 2x -π4,求该函数的递增区间,即求函数u =s i n 2x -π4的递减区间㊂由2k π+π2ɤ2x -π4ɤ2k π+3π2,可得k π+3π8ɤx ɤk π+7π8(k ɪZ ),故所求函数的递增区间为k π+3π8,k π+7π8(k ɪZ )㊂易错点六㊁应用诱导公式时忽视对参数的讨论致误例6 (2023年安徽霍邱一中高一期末考试)化简:c o s4n +14π+x+52解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.c o s 4n -14π-x(n ɪZ )㊂错解:原式=c o s n π+π4+x+c o s n π-π4-x =c o sπ4+x +c o s -π4+x=2c o s π4+x ㊂剖析:上述解法错在没有对n 进行分类讨论㊂化简s i n (n π+α),c o s (n π+α)(n ɪZ )时,需对n 是奇数还是偶数进行分类讨论,但要注意t a n (n π+α)=t a n α(n ɪZ )对任意的n ɪZ 均成立㊂正解:原式=c o s n π+π4+x+c o s n π-π4-x㊂(1)当n 为奇数,即n =2k +1(k ɪZ )时,原式=c o s(2k +1)π+π4+x+c o s (2k +1)π-π4-x =-c o s π4+x -c o s -π4-x =-2c o sπ4+x ;(2)当n 为偶数,即n =2k (k ɪZ)时,原式=c o s 2k π+π4+x+c o s 2k π-π4-x=c o s π4+x +c o s -π4-x =2c o s π4+x ㊂故原式=(-1)n2c o s x +π4 ㊂易错点七㊁忽视三角函数值对角范围的制约致误例7 (2023年福建泉州一中期末考试)已知t a n α,t a n β是方程x 2-6x +7=0的两根,α,βɪ(0,π),αʂβ,求α+β的值㊂错解:由韦达定理得t a n α+t a n β=6,t a n αt a n β=7㊂因为t a n (α+β)=t a n α+t a n β1-t a n αt a n β=61-7=-1,又0<α<π,0<β<π,所以0<α+β<2π,所以α+β=3π4或α+β=7π4㊂剖析:三角求值或求角的大小时,不仅要注意有关角的范围,还要结合有关角的三角函数值把角的范围缩小到尽可能小的范围内,不然容易出错㊂上述解法未能根据已知的三角函数值进一步缩小角的范围,从而导致了增根㊂正解:在错解的基础上进一步说明:t a n α,t a n β同号且均大于0,所以α,βɪ0,π2,0<α+β<π,故α+β=3π4㊂易错点八㊁忽视变形式子对角范围的制约致误例8 已知0ɤα<β<γ<2π,且c o s α+c o s β+c o s γ=0,s i n α+s i n β+s i n γ=0,求α-β的值㊂错解:由已知等式得c o s α+c o s β=-c o s γ,s i n α+s i n β=-s i n γ,两式分别平方再相加得2+2c o s (α-β)=1,即c o s (α-β)=-12㊂因为0ɤα<β<2π,所以-2π<α-β<0,所以α-β=-2π3或α-β=-4π3㊂剖析:在三角变形过程中,有时要利用变形后的式子来进一步缩小角的范围,这样才能得出正确的结果㊂上述解法错在没有利用题设条件进一步缩小角的范围,从而产生了增根㊂正解:由已知等式得c o s α+c o s β=-c o s γ,s i n α+s i n β=-s i n γ,两式分别平方再相加得2+2c o s (α-β)=1,即c o s (α-β)=-12㊂同理可得c o s (α-γ)=-12;c o s (γ-β)=-12㊂由0ɤα<β<γ<2π,可得-2π<α-γ<0,0<γ-β<2π,所以-3π2<α-γ<-π2,π2<γ-β<3π2,所以-π<α-β<π㊂又因为α<β,所以-π<α-β<0,故α-β=-2π3㊂(责任编辑王福华)62 解题篇易错题归类剖析高考数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

第五章三角函数典型易错题集(解析版)

第五章三角函数典型易错题集易错点1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。

【典型例题1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是（） A ．6πB ．3π C ．6π-D ．3π-【错解】B将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ⨯=. 点评：学生对角的理解还是局限在0360之间，把角都当成正数，容易忽视角的定义，顺时针旋转为负，逆时针旋转为正。

【正解】D 【详解】将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是102603ππ-⨯=-. 故选：D.易错点2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。

【典型例题2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设α是第三象限角，(),4P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=，则tan α=（） A ．43-或43B ．34C ．43D ．34-【错解】A解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：3x =±，所以(3,4)P ∴--或者(3,4)P ∴-，所以44tan 33α-∴==-或者44tan 33α-∴==-点评：学生在解此类问题时往往忽略了角α15x=方程时容易造成两种错误:①293a a =⇒=,这类错误往往学生只能看到正根，没有负根。

②第二类错误，本题也解出了3x =±，但是忽视了本题α是第三象限角，此时x 是负数，要舍去其中的正根。

【答案】C 【详解】解：(,4)P x -为其终边上的一点，且1cos 5x α=， ∴15x，解得：0x =或3x =±，又α是第三象限角，0x ∴<，3x ∴=-，(3,4)P ∴--， 44tan 33α-∴==-．故选：C ．易错点3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）【典型例题3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知tan 2θ=则22sin sin cos 2cos θθθθ+-的值为________．【错解】4222222sin sin cos 2cos (sin sin cos 2cos )cos tan tan 24θθθθθθθθθθθ+-=+-÷=+-=点评：学生在此类问题时多数出现分式问题，习惯了分子分母同除以cos θ（或者2cos θ），但本题是一个整式，要先化成分式，才能进一步同时除以cos θ（或者2cos θ）。

三角函数典型超级易错题

三角函数典型超级易错题三角函数是高中数学中的一个重要章节，涉及到许多概念和性质。

虽然三角函数的基本理论并不难以理解，但由于其具有一些易错点，所以在做题过程中可能会遇到一些挑战。

本文将就三角函数中的一些典型易错题进行详细分析和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 题目：已知$\tan x=\frac{3}{4}$，求$\sin x$和$\cos x$的值。

解答：首先，根据定义，$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$，所以我们可以得到一个等式：$$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$接下来，我们可以利用三角函数的定义和性质，将$\sin x$和$\cosx$之间的关系进行转化。

通过三角函数的定义，我们知道$\sin x$和$\cos x$是有关的：$$\sin^2x+\cos^2x=1$$将其变形得到：$$\sin^2x=1-\cos^2x$$将上式代入第一个等式中，得到：$$\frac{1-\cos^2x}{\cos x}=\frac{3}{4}$$进一步整理，得到二次方程：$$4-4\cos^2x=3\cos x$$将其变形，得到：$$4\cos^2x+3\cos x-4=0$$这是一个关于$\cos x$的一元二次方程，我们可以使用求根公式求解。

令$a=4$，$b=3$，$c=-4$，带入求根公式：$$\cos x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$代入数值，我们可以解得：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{9+64}}{8}$$将其化简得到：$$\cos x=\frac{-3\pm\sqrt{73}}{8}$$但是我们需要注意的是，对于给定的条件$\tan x=\frac{3}{4}$，角$x$的值是有限制的。

在单位圆上，正切函数$\tan x$的定义域是$(-\infty, \infty)$，而我们已知$\tan x=\frac{3}{4}$，所以根据正切函数在单位圆上的性质，我们可以得到一个范围限制：$$0<x<\frac{\pi}{2}$$在这个范围内，$\cos x>0$，所以我们可以舍弃$\cos x<0$的解，只考虑$\cos x>0$的解。

三角函数中的易错点剖析.doc

三角函数中的易错点剖析摘要：三角函数在中学数学中占有很高的地位，且公式繁多，知识结构复杂，学生在解题中容易出现很多不该出现的错误。

就此，我们利用例题的形式，从易导致错误的五个方面进行阐述。

关键词：三角函数错误例子剖析三角函数是中学数学的核心内容之一，本章公式繁多，知识结构复杂，而且涉及到函数的很多重要性质，学生在应用屮往往容易出现很多错误。

下面就个人在教学中遇到的某些问题通过例子作出剖析。

一、公式记不牢，导致结果错误例1.化简：sin(a+12° )sin(18° -a)-cos(a+12° )cos(18° -a) 【错解】：原式=cos[(a+12° ) + (18° -a)=cos30° =【错因分析L这是一种常见错误，原因是对公式记不牢，符号弄错。

【正确解法】：原式=-[cos(a+12 。

)cos(18 。

-a)-sin(a+12 。

)sin(18 。

-a)]=~cos[(a+12° )+(18。

-a)]=-cos30° =-例2 化简：cos (n +a)+cos (n K -a) (nEZ)【错解】：原式=cosa+cos (~a) =2cosa【错因分析L错在没有对n进行讨论，关键是对诱导公式(一)没有理解透，公式(一)中的角为kn+a，即一定要是n的偶数倍加a。

【正确解法】：(1)当n为奇数时，令a=2k+l (kez)原：i^=cos [ (2k+l) +a]+cos [ (2k+l) -a ]=cos ( +a) +cos ( a)=-cosa-cosa=-2cosa(2)当n为偶数时，令=a=2k(kEZ)原式二cos (2k +a) +cos (2k H -a)=cosa+cos(-2)=2cosa二、在求值巾，忽视题目所给条件一一角的范围，导致结论错误例3 己知sin( -a)-cos ( +a ) = (<a< n )求cosa-sina 的值。

三角函数题型常见的八个易错点

三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1：角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1：已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2：已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2：如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3：若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3：若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4：为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4：将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5：已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5：（1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6：已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6：（1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7：函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7：已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8：在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8：已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。

三角函数易错点

由ｉ＋＝Ａｃｓ一＿＝ｓ日ｓｃ＋ｉ２佃孚ｎ）ｎ。。ｉ得
Ａ＝．＋孕Ｂ
剖析：本题错误解法是扩大了角度范围，由
ｓ＝ｉ＜１＜霄
，
的原则，这样在解决函数问题时才会减少失误．
例２．已知３ｉａ２ｉ３２ｉ，求ｓ２＋ｉ８ｓ２＋ｓ￣ｓａｎｎ＝ｎｉａｓ］ｎｎ
错解：因为Ａ、Ｂ均为钝角且ｓ＝ｉ，所丁Ｖ３－ｃｓｖＴ－２ｏ肛３ｏ
—
，
，
、】故Ｙ卜２／一，一）ｕ（４、一】／， ∈ 、２４－，２／２为
所求．
评析：研究函数问题必须要遵循 “ 义域优先 ” 定
很多数学题目都有隐含条件，需要做题时非常细心．
追踪练习：
判断函数）— ｃｓ：１ｓｘ —ｘ的奇偶性＋ｉ。ｏｎ－Ｚ
．
ｃ仪）。ｓｓｉ（
１２，
’
，以或＝出错所卢卢｝孥．误现
原因是当卢∈（，），不是单调函数，０７时ｓｒｉ还要进一
ｓａＯ时，ｉ２＋ｉ￣取最小值０ｉ＝ｎｓａｓｎｎ．
评析：本题错解忽略了ｓｊ＝（ｓｃ３ｉ２）ｉＢ２ｉ￣ｓａＥｎｎ一ｎ
【，】含隐含条件，得ｓａ的取值范围扩大而致错．０】这使ｉｎ
追踪练＞：－－ｊ
角函数易锚点
■ 田彦武
误做一分类剖析，供大家参考．

三角函数题型常见的八个易错点

三角函数模块常见的八个易错点易错点1：不能正确理解三角函数的定义例题1：角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α的值为错解：在角的终边上取点P (1,2)，∴r ＝|OP |＝12＋22＝5，∴sin α＝y r ＝25＝255错因：当角的终边在一条直线上时，应注意到角的终边为两条射线，所以应分两种情况处理而错解中没有对两种情况进行讨论导致错误解析：当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2) 由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)∴r OQ ===sin α＝－25＝－255变式1：已知角的终边过点P ,,则角的正弦值、余弦值分别为解析：当0m <时，||,OP = 所以sin αα====当0m >时，||,OP =所以sin ,cos 55αα====总结：本题主要考查了三角函数的定义以及分类讨论思想方法，这也是高考考查的一个重点，在做题时容易遗忘0m <的情况α(,2)m m 0m ≠α易错点2 利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值例题2：已知cos θ＝t ，求sin θ、tan θ的值．错解：①当0<t <1时，θ为第一或第四象限角.θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t ；θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t. ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角. θ为第二象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝1－t 2t； θ为第三象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－t 2，tan θ＝sin θcos θ＝－1－t 2t.综上，sin θθθ=⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角tan t θθθ=⎨⎪⎪⎩为第一、二象限角为第三、四象限角错因：上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t ，根据余弦函数的取值范围对t 进行分类讨论，但上述讨论不全面，漏掉了很多情况，如t ＝－1，t ＝0，t ＝1 解析：①当t ＝－1时，sin θ＝0，tan θ＝0 ②当－1<t <0时，θ为第二或第三象限角若θ为第二象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第三象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t2t③当t ＝0时，sin θ＝1，tan θ不存在或sin θ＝－1，tan θ不存在 ④当0<t <1时，θ为第一或第四象限角若θ为第一象限角，则sin θ＝1－t 2，tan θ＝1－t 2t若θ为第四象限角，则sin θ＝－1－t 2，tan θ＝－1－t 2t⑤当t ＝1时，sin θ＝0，tan θ＝0综上得：变式2：如果,那么解析：()222sin801cos 801cos 801k =-=--=-sin80tan100tan80cos80k∴=-=-=-总结：要作出正确选择，需认真选择诱导公式，不能错用公式．对于nπ＋α，若n 是偶数，则角nπ＋α的三角函数值等于角α的同名三角函数值；若n 为奇数，则角nπ＋α的三角函数值等于角π＋α的同名三角函数值．cos(80)k -︒=tan100︒=易错点3 不能准确运用诱导公式进行化简求值例题3：若sin θ＝33，求cos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值错解：原式＝cos cos (sin 1)θθθ--＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝－cos θcos θsin θ＋cos θ＋cos θcos θsin θ＋cos θ＝0. 错因：错解中混淆了诱导公式sin(3π2－θ)＝－cos θ，sin(3π2＋θ)＝－cos θ，cos(π－θ)＝－cos θ，cos(π＋θ)＝－cos θ. 解析：原式＝cos cos (cos 1)θθθ---＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝2sin 2θ，因为sin θ＝33，所以所求三角函数式的值为6=.变式3：若n ∈Z ，在①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3；③πsin[π(1)]3n n +-；④πcos[2π(1)]6n n +-中，与sin π3相等的是A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析：①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋π3＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3，n 为奇数＝⎩⎨⎧sin π3，n 为偶数－sin π3，n 为奇数.②sin ⎝⎛⎭⎫2n π±π3＝sin(±π3)＝±sin π3. ③ππsin[(1)],sin ,π33sin[π(1)]=πππ3sin[π(1)],sin(π)sin ,333n nn n n n n n ⎧⎧-⎪⎪⎪⎪+-=⎨⎨⎪⎪+--=⎪⎪⎩⎩为偶数为偶数为奇数为奇数 . ④ππππcos[2π(1)]cos[(1)]cos sin 6663nn n +-=-⋅==. 故③④与sin π3相等，应选B ．易错点4 不能正确理解三角函数图象变换规律例题4：为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位错解：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin2(x ＋5π12)，因此向右平移5π12个长度单位，故选B ．错因：没有注意到变换方向导致了错解，目标是y ＝cos(2x ＋π3)的图象．解析：y ＝cos(2x ＋π3)＝sin(2x ＋π3＋π2)＝sin(2x ＋5π6)＝sin2(x ＋5π12)，因此将函数y ＝sin2x 的图象向左平移5π12个长度单位即可．故选A ．变式4：将函数()()ππsin 2()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象,若()f x ,()g x的图象都经过点P ,则ϕ的值可以是 A ．53π B ．56π C ．2πD ．6π 解析：依题意()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦,因为()f x ,()g x的图象都经过点P ,所以()sin sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 又因为22θππ-<<,所以3θπ=,所以2233k ϕππ-=π+或22233k ϕππ-=π+,k ∈Z , 解得k ϕ=-π或ππ6k ϕ=--,k ∈Z , 在6k ϕπ=-π-,k ∈Z 中,取1k =-,即得56ϕ=π,故选B.易错点5 注意符号对三角函数性质的影响例题5：已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2.（1）求f (x )的单调递增区间；（2）若x ∈[－π，π]，求f (x )的最大值和最小值．错解：（1）由－π≤π3－x 2≤0得，2π3≤x ≤8π3，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2π3，8π3. （2）∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2≤1，∴[f (x )]ma x ＝2，[f (x )]min ＝－2.错因：（1）忽略了函数f (x )的周期性；（2）忽略了x ∈[－π，π]对函数f (x )的最值的影响解析：（1）∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x 2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.由2k π－π≤x 2－π3≤2k π得，4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z )．故f (x )的单调增区间为[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．（2）由－π≤x ≤π⇒－5π6≤x 2－π3≤π6.当x 2－π3＝0，即x ＝2π3时，f (x )ma x ＝2，当x 2－π3＝－5π6，即x ＝－π时，f (x )min ＝－3变式5：（1）函数tan(2)3y x π=-的单调递减区间是______（2）已知函数y ＝a sin x ＋2，x ∈R 的最大值为3，则实数a 的值是______（3）若函数y ＝tan(2x ＋θ)的图象的一个对称中心为(π3，0)，且－π2<θ<π2，则θ的值是_____解析：（1）把函数tan(2)3y x π=-变为tan(2)3y x π=--由2,232k x k k ππππ-<-<π+∈Z ，得2,66k x k k π5ππ-<<π+∈Z 即5,212212k k x k ππππ-<<+∈Z,tan(2)3y x π=-减区间为5(,)()212212k k k ππππ-+∈Z （2）若a >0时，当sin x ＝1时，函数y ＝a sin x ＋2取最大值a ＋2，∴a ＋2＝3，∴a ＝1 若a <0，当sin x ＝－1时，函数y ＝a sin x ＋2(x ∈R )取得最大值－a ＋2＝3，∴a ＝－1 综上可知，a 的值为±1（3）易知函数y ＝tan x 的图象的对称中心为(k π2，0)，其中k ∈Z所以2x ＋θ＝k π2，其中x ＝π3，即θ＝k π2－2π3，k ∈Z因为－π2<θ<π2，所以当k ＝1时，θ＝－π6；当k ＝2时，θ＝π3.即θ＝－π6或π3易错点6 三角恒等变换中忽略角的范围致误例题6：已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin （α＋β，则β＝错解：∵0<α<π，cos α＝17，∴sin α7=.又∵sin （α＋β）＝14，∴cos （α＋β11.14-∴sin β＝sin[（α+β）－α]＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin α 又∵0<β<π，∴β＝233ππ或. 错因：（1）不能根据题设条件缩小α、β及α＋β取值范围，在由同角基本关系式求sin （α＋β）时不能正确判断符号，产生两角（2）结论处应由cos β的值确定β的取值，由sin β确定结论时易出现两解而造成失误解析：因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α=，故32αππ<<又因为0<α＋β<π，sin （α＋β）＝142<，所以0<α＋β<3π或32π<α＋β<π由3π<α<2π知32π<α＋β<π，所以cos （α＋β1114∴cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β）sin α＝12.又0<β<π，∴β＝3π变式6：（1）已知△ABC 中，sin(A ＋B )＝45，cos B ＝－23，则cos A 的值为（2）已知sin α－sin β＝－23，cos α－cos β＝23，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan(α－β)的值为解析：（1）在△ABC 中，∵cos B ＝－23<0，∴B 为钝角，且sin B ＝53，∴A ＋B 为钝角由sin(A ＋B )＝45，得cos(A ＋B )＝－35∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝－35×⎝⎛⎭⎫－23＋45×53＝6＋4515（2）由题知sin α－sin β＝－23①， cos α－cos β＝23②由于sin α－sin β＝－23<0，所以－π2<α－β<0由①2＋②2，得cos(α－β)＝59，所以sin(α－β)＝－2149.所以tan(α－β)＝－2145易错点7 求函数y=Asin(ωx+φ)的性质时出错例题7：函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)的最大值为错解：函数的最大值为52＋42＝41.错因：形如y ＝asin x ＋bcos x 的函数的最大值为a 2＋b 2，而函数y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)不符合上述形式．解析：y ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋50°)＝5sin(x ＋20°)＋4cos[(x ＋20°)＋30°] ＝5sin(x ＋20°)＋4cos(x ＋20°)cos30°－4sin(x ＋20°)sin30°＝5sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)－2sin(x ＋20°)＝3sin(x ＋20°)＋23cos(x ＋20°)，∴max y ==变式7：已知函数2()sin 22sin f x x x =-（1）求函数()f x 的最小正周期（2）求函数()f x解析：（1）因为2()sin 22sin f x x x =-sin 2(1cos2x x =--所以函数()f x（2所以()f x [1]-易错点8 解三角形时忽略角的取值范围致误例题8：在ABC △中，若3C B =，则c b的取值范围为错解：由正弦定理，可得2222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 0cos 1,14cos 13,0,0,03c C B B B B B B B B b B B BcB B b c b+===+=-≤<∴-≤-<>><<由可得错因：错解中没有考虑角B 的取值范围，误认为角B 的取值范围为()0,180︒︒ 解析：由正弦定理可得222sin sin 3sin 2cos cos2sin =2cos cos24cos 1sin sin sin 180,3,045,cos 1214cos 13,13c C B B B B B B B B b B B BA B C C B B B cB b+===+=-++=︒=∴︒<<︒<<∴<-<<<即变式8：已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，则实数a 的取值范围为解析：因为,21,21a a a -+是三角形的三边，所以01210,2210a a a a >⎧⎪->>⎨⎪+>⎩即①所以21a +是三角形的最大边，设其所对的角为θ（钝角）则222(21)(21)cos 02(21)a a a a a θ+--+=<-，化简得280a a -<，解得08②a <<要使,21,21a a a -+构成三角形，需满足21212121,2121a a a a a a a a a ++>-⎧⎪+->+⎨⎪-++>⎩即2③a >结合①②③，可得28.a <<。

高中数学三角函数图像和性质易错点梳理(附例题详解)

3π 2
；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
题组一：三角函数的图像与性质
1．（2011 新课标）设函数 f (x) sin(2x ) cos(2x ) ，则（）
4
4
A． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
2
4
B． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
12
个
单位长度，得到曲线 C2
【解析】把C2 的解析式运用诱导公式变为余弦，
C2
：
y
sin(2x
2 3
)
cos[
2
(2x
2 3
)]
cos[(2x
6
)]
cos(2x
6
)
则由
C1
图象横坐标缩短为原来的
1 2
，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得到曲线
C2 ．选 D
9．（2016 全国 II）若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对
4
D. π
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ，且函数 y cos x 在区间
4
[0, ]上单调递减，则由 0 ≤ x ≤ ，得 ≤ x ≤ 3 ．
4
4
4
因为
f
(x)
在[a,
a]
上是减函数，所以
aa≤≥344
，解得
a
≤
4
，
解法二因为 f (x) cos x sin x ，所以 f (x) sin x cos x ，
2
y sin(2x ) 的图象重合，则 _________．

三角函数常见错解

三角函数常见错解三角函数是高中数学中非常重要的一部分内容，也是复习中容易出错的知识点之一、下面我将列举一些学生常见的错误和解析，帮助大家更好地理解和掌握三角函数。

错误一：忘记角度单位的换算在三角函数中，常用的角度单位有度和弧度。

度是我们常用的单位，而弧度是一种用长度单位来度量角度的方法。

最常用的是将一个周长等于半径的圆心角定义为1弧度。

这样，一个角的弧度数等于弧长与半径的比值。

1弧度约等于57.3°。

例如，sin(π/6)是求π/6弧度对应的正弦值，而sin30°是求30°对应的正弦值。

解析：忘记角度单位的换算是非常常见的错误，在记忆和计算三角函数时，一定要特别注意使用正确的角度单位。

错误二：正弦与余弦的关系很多同学容易混淆正弦和余弦的关系。

正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，而余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值。

在直角三角形中，正弦和余弦是互为补函数的关系，即sinθ = cos(90° - θ)。

例如，sin30°等于cos(90°-30°)等于cos60°。

解析：记住正弦和余弦的定义及其关系是理解和计算三角函数的基础。

错误三：忘记其他三角函数的定义除了正弦和余弦函数，三角函数中还有其他重要的函数，如正切、余切、正割和余割等。

这些函数的定义是：- 正切函数：表示一个角的对边与邻边的比值，tanθ = sinθ /cosθ。

- 余切函数：表示一个角的邻边与对边的比值，cotθ = cosθ /sinθ。

- 正割函数：表示一个角的斜边与邻边的比值，secθ = 1 / cosθ。

- 余割函数：表示一个角的斜边与对边的比值，cscθ = 1 / sinθ。

解析：理解和掌握其他三角函数的定义，能够更全面地应用三角函数解题。

错误四：忘记三角函数的周期性三角函数都是周期函数，其中正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期是2π，而正切函数和余切函数的周期是π。

例谈三角函数易错问题

三角函数解题中的几类常见错误

三角函数易错点剖析

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