八年级数学探索勾股定理1
北师版八年级数学上册第一章 勾股定理1 探索勾股定理
式中，涉及三个量，可“知二求一”.如果在直角
三角形中，已知两边的比值和另一边时，通常引入
一个辅助量，建立方程来求未知的边 .
2.运用勾股定理时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能情况，以免漏解或错解 .
知1－练
例1 [母题 教材P4习题T1]在Rt△ABC中, ∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，∠C＝90° . (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝5，求b.
a2=c2－b2； b2=c2－a2
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
勾股定理把“形”与 “数”有机地结合
基本思想
起来，即把直角三角形这个“形”与三 边关系这一“数”结合起来，它是数形
结合思想的典范
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A，∠ B，∠C的
对边分别为a，b，c，则有关系式a2+b2=c2. 在此关系
特别提醒
知2－讲
通过拼图验证定理的思路：
1. 图形经过割补拼接后，只要没有重叠、没有空隙，面积就不
会改变；
2. 根据同一种图形的面积的不同表示方法列出等式；
3. 利用等式性质变换验证结论成立.
即拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变
形→推导结论.
续表 方法
伽菲尔德 总统拼图
图形
知2－讲
知1－练
感悟新知
1-1.在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，∠ A，∠ B，∠ C知1－练 的对边分别为 a，b， c. 若 a ∶ b=3 ∶ 4，c=75， 求 a， b. 解：设a＝3x(x＞0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15(负值已舍去)． 所以a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
八年级数学探索勾股定理(一)(基础)(含答案)
探索勾股定理（一）（基础）一、单选题(共9道，每道10分)1.一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：∵，，∴斜边长为13，∴斜边长的平方为169，三角形的周长为30，三角形的面积为30．故选C．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：可以考虑把AB放入Rt△ABC中：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理可得：，∴，∴．故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长为( )A.4B.3.5C.2D.无法确定答案：A解题思路：在Rt△ACD中，AD=13，CD=12，由勾股定理，得AC=5．在Rt△ABC中，BC=3，AC=5，由勾股定理，得AB=4．故选A．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A.5B.6C.8D.10答案：C解题思路：∵在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线∴AD⊥BC，BC=2BD∴在Rt△ADB中，∠ADB=90°，AB=5，AD=3由勾股定理，得：，∴，∴BD=4∴BC=2BD=8故选C．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在△ABC中，AC=BC=10，AB=12，则△ABC的面积为( )A.60B.120C.96D.48答案：D解题思路：如图，过C作CD⊥AB于D，在等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12，∴AD=AB=6，∴在Rt△ACD中，∠ADC=90°，由勾股定理，得，∴，∴CD2=64，∴CD=8，∴故选D试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的面积为( )A.4B.15C.16D.34答案：D解题思路：在Rt△ACB中，由勾股定理，得．故选D．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )A.150cm2B.200cm2C.225cm2D.无法计算答案：C解题思路：正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选C试题难度：三颗星知识点：略8.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知，则( )A.25B.31C.32D.40答案：B解题思路：如图，由勾股定理得，故选B试题难度：三颗星知识点：略9.如图所示，正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36，则以AD为直径的半圆的面积是( )A.4πB.8πC.12πD.16π答案：B解题思路：在Rt△ADB中，由勾股定理，得∵=100，=36∴=100-36=64，∴=8，∴以AD为直径的半圆的面积是．故选B试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共1道，每道10分)10.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则____．答案：7解题思路：在Rt△AOB中，∠OAB=90°，AB=1，OA=2，由勾股定理可得，，在Rt△BOC中，∠OBC=90°，BC=1，由勾股定理可得，，在Rt△COD中，∠OCD=90°，CD=1，由勾股定理可得，．故填：7试题难度：知识点：略。
1.1 探索勾股定理(第1课时) 八年级上册北师大版
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
思考2 怎样求出C的面积?
C A
B
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
探究新知
素养考点 1 利用勾股定理求直角三角形的边长
例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC=5厘米,AC=12厘米,
求斜边AB的长度.
A
解：在Rt△ABC中根据勾股定理, AC²+BC²=AB²， AC=12，BC=5
b
c
所以12²+5²=AB²，
C aB
所以AB²=12²+5²=169， 所以AB=13厘米. 答：斜边AB的长度为13厘米.
勾股树
A
B
素养目标
3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的 应用. 2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳” 的教学过程，将形与数密切联系起来. 1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定 理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.
探究新知
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形， 分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长 的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
_2_4___,斜边为上的高为__4_._8__.
A D
C
B
课堂检测
基础巩固题
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
八年级上数学.1探索勾股定理(1)
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理〔1〕学习目标：掌握勾股定理并能利用它来解决简单的实际问题。
预习案课前导学一、自主预习〔感知〕1、三角形的三边关系：三角形的任意两边之和；任意两边之差.2、自学感知：探索直角三角形三边的特殊关系：〔1〕画一直角三角形，使其两边满足下面的条件，测量第三边的长度，完成下表； 〔2〕猜测：直角三角形的三边满足什么关系? 尝试练习〔１〕直角三角形两直角边为３和４，那么另一边为. 〔２〕求出x 的值.学习案知识点拔 二、课堂探究如果以下图中小方格的边长是1，观察图形，完成下表，并与同学交流：你是怎样得到的？图形 A 的面积 B 的面积 C 的面积A 、B 、C 面积的关系图1-1 图1-2 图1-3图1-4思考：每个图中正方形的面积与三角形的边长有何关系？归纳得出勾股定理。
勾股定理:直角三角形等于；几何语言表述：如图1.1-1，在Rt ΔABC 中， C ＝ 90°假设BC=a ，AC=b ，AB=c ，那么上面的定理可以表示为： 。
课内训练1、求以下图中字母所代表的正方形的面积2、求出以下各图中x 的值。
反应案根底训练1．在△ABC 中，∠C=90°，直角三角形1直角边a 直角边b 斜边c 三边关系满足关系3 4a 2b 2C 2直角三角形2直角边a 直角边b斜边c 三边关系满足关系513a 2b 2C 2图1.1-1〔1〕假设BC=5，AC=12，那么AB=；〔2〕假设BC=3，AB=5，那么AC=；2．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,那么BC=,该直角三角形的面积为。
3.假设直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边长为20㎝，那么斜边上的高为。
拓展提高1.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，那.么正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2C2.折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，假设AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.。
八年级数学下：探索勾股定理
B
9 米
c
A
12米
（2）在图2-2中，正方 形A，B，C中各含有多 少个小方格？它们的面 积各是多少？
C
B A B 图2-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
图2-1
（3）你能发现图2-1中 三个正方形A，B，C的 面积之间有什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜 边上的正方形的面积
议一议
（1）你能用三角 形的边长表示正方 形的面积吗？ 2）你能发现直角 三角形三边长度之 间存在什么关系吗？ 与同伴进行交流。
（
A
C
B
图3-1
C
A
B
图3-2
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ A a B b
Sa+Sb=Sc
c
C
2+b2=c2 a
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ a b
Sa+Sb=Sc
c
2+b2=c2 a
猜想两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理
(毕达哥拉斯定理) 直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
弦 c
股 b
a 勾
┏
2+b2=c2 a
毕达哥拉斯
二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派证 明了这个勾股定理，所以勾股定理又被称为 “毕达哥拉斯定理”，不过毕达哥拉斯的发 现比中国晚了500多年。
B
A Ⅱ ⅢⅠ“勾来自树”问题五1.若直角三角形的两边长为3和4，则第三边为5. （× ）
2.若a、b、c为Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2.
（× ）
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2 2
A
90
50
B C
120
2
2
40
50 120 16900(m m )
160
∵AB﹥0，
∴AB=130(mm)
答：两孔中心A、B之间的距离为 130mm。
温故而知新 合作学习 合作探究
构造直角三角形可 以解决实际问题。
例题精练 体会分享 布置作业
小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的 绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好接触到地面，你能计算旗杆 A 的高度是多少米吗？
温故而知新 合作学习 合作探究 例题精练 体会分享 布置作业
勾
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为 "勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”， 斜边称为“弦”.
读一读
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学 著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处，还记载了勾 股定理的一般形式。
C
B
图1-1
利用拼图来探究勾股定理的正确性：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看 3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
a b c
2002年国际数学家大会会标
2 2
ab
a ba b 2
c
2
a
温故而知新
2
b
合作学习
合作探究
例题精练
体会分享
布置作业
勾股定理
在西方又称 毕达哥拉斯定理
如果直角三角形两直角边分 别为a、b, 斜边为c，那么
a b c
2 2
2
c 弦 b c 股 b a
勾
即 直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方。
温故而知新
合作学习
合作探究
例题精练
体会分享
布置作业
例2：一个长方形零件图,根据所给的尺寸(单位mm),求 两孔中心A、B之间的距离. 40
解：过A作铅垂线，
过B作水平线,两线交于 点C，则∠ACB=90° AC=90-40=50(mm) BC=160-40=120(mm) 由勾股定理，得
AB AC BC
B
温故而知新
5米
体会分享
C
布置作业
合作学习
合作探究
例题精练
说说这节课你的收获和体会 让大家与你一起分享
作业
1、阅读课本P43 2、完成作业本
温故而知新
合作学习
合作探究
例题精练
体会分享
布置作业
2
B
∴c
C ∴
2
ab ) 4 ( b a )
2
2
a
2
b
c
2
2002年在北京召开的国际数学家大 会的会标就是依据我国古代数学家 赵爽的弦图制作的。
合作学习 合作探究 例题精练 体会分享 布置作业
c
b
a
c
b
a
c
a
c
b
b
1 2
1 2
2
a
b
a
1 2 ab 1 2 c
2
(a b) c 4
2.6探索勾股定理(1)
温故பைடு நூலகம்知新
合作学习 合作探究 例题精练
体会分享
布置作业
我们已掌握直角三角形的哪些性质?
1.两个锐角互余.
2.斜边上的中线等于斜边的一半. 3. 30º 的角所对的直角边等于斜边的一半.
温故而知新 合作学习 合作探究 例题精练 体会分享 布置作业
（1）图1中正方形A的面积 是 16 个单位面积。 (2) 正方形B的面积是
A
C
B
图1
9 个单位面积。
(3)正方形C的面积是
25 个单位面积。
探索1 你能发现图1中三个正方形A，B，C的面 积之间有什么关系吗？
结论1
SA+SB=SC
A a
c b
即：两条直角边上的 正方形面积之和等于斜 边上的正方形的面积。 探索2 你能用直角三 角形的边长表示图中 正方形的面积吗？ 探索3 你能发现图中直 角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股 定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
5 (1)直角三角形的两直角边为3和4,则斜边为___ 13 (2)直角三角形的两直角边为5和12,则斜边为___ 10 (3)直角三角形的两直角边为6和8,则斜边为___
(4)直角三角形的两条边为3和4，则这个直角三 角形的周长为 12 或 7 7 。 (5)直角三角形的两条边为3和4，则斜边上的高 12 3 7 或 是 5 。 4
a
c c
b
b
? ba
a
c
b
a
思考： 1、中间小正方形的边长和面积分别是多少？
2、大正方形的面积可以看成哪几个图形面积相加得到？ 3、根据上题可以写出怎样一个关系式？
中国古代数学家——赵爽的验证方法
A
∵正方形ABCD的面积为C2
ba
D
c a
b
还可以认为是四个三角形 与一个小正方形面积的和，即
( 1 2 ab ) 4 ( b a ) ( 1 2