22.2.5十字相乘法解方程学案
十字相乘法导学案
十字相乘法一、学习目标（1）了解“二次三项式”的特征；（2）理解“十字相乘”法的理论根据；（3）会用“十字相乘”法分解某些特殊的二次三项式。
二、导学问题1、请直接填写下列结果（x+2）（x+1）= ；（x+2）（x-1）= ； （x-2）（x+1）= ；（x-2）（x-1）= 。
把上述式子左右对调，你有什么发现？2、概念：由多项式乘法（x+a ）（x+b ）=X 2+（a+b ）x+ab ，反过来，就得到 。
这就是说，对于二次三项式X 2+px+q ，如果能够把常数项q 分解成q=a ×b ，且a+b=p ，那么X 2+px+q= X 2+（ + ）x+ × =（x+ ）（x+ ）运用这个公式，我们就可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，这是二次项系数为1的“十字相乘法”:（左边）1×1为二次项的系数； （右边） a ×b 为常数项；（交叉）1×a+1×b 为一次项的系数；则“横向和，两因式”，如上式可分解为 （x+a ）（x+b ）3、（1）把x 2+3x+2分解因式分析∵ (+1) × (+2) ＝＋2 ---------- 常数项(+1) ＋ (+2) ＝+3 ---------- 一次项系数---------- 十字交叉线解：x 2+3x+2 = (x+1) (x+2)顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
（2）按（1）中的方法把下列多项式进行因式分解。
①x 2＋7x ＋6 ②x 2－5x －6x x 121× × a b 14.在横线上填+ ，－ 符号(1) x 2+4x+3=(x 3)(x 1); (2) x 2－2x －3=(x 3)(x 1);(3) y 2－9y+20=(y 4)(y 5); (4) t 2+10t －56=(t 4)(t 14)(5) m 2+5m+4=(m 4)(m 1) (6) y 2－2y －15=(y 3)(y 5)归纳：（1）常数项是正数时，它分解成两个 号因数，它们和一次项系数符号（2）常数项是负数时，它分解成两个 号因数，其中绝对值较 的因数和一次项系数符号相同。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
十字相乘法(教案)
十字相乘法(教案)1000字教学目标：1. 能够运用十字相乘法快速求出两个多项式的乘积。
2. 能够理解十字相乘法的基本原理和操作步骤。
3. 能够应用十字相乘法解决相关的数学问题。
教学重点：1. 十字相乘法的基本原理和操作步骤。
2. 把十字相乘法应用到乘法计算中。
教学难点：1. 操作规范和技巧。
2. 深入理解十字相乘法的基本原理。
教学过程：一、导入新知识：1. 询问学生是否听说过十字相乘法，并让学生尝试用传统的方法计算两个多项式的乘积。
2. 结果多项式的次数都比原来的两个多项式高，计算时间和计算难度都明显加大。
3. 需要用一种新方法，快速求解两个多项式的乘积。
4. 导入十字相乘法的概念。
二、对新知识的讲解：1. 十字相乘法可以快速求解两个多项式的乘积。
2. 十字相乘法的基本原理是在两个多项式的各项系数之间建立一个包含交叉求积的十字形式。
3. 在十字相乘法中，假设要计算多项式 (ax+b) 和 (cx+d) 的乘积，步骤如下：- 在一个横轴上标出 a 和 c。
- 在一个竖轴上标出 d 和 b。
- 在横轴上从 a 出发向右边画一条线，长度为 d+c。
- 在竖轴上从 d 出发向下边画一条线，长度为 a+b。
- 在横轴和竖轴的交点处，就是两个多项式的乘积 (ac)x^2 + (ad+bc)x + bd。
4. 对于乘法的标准式 (ax^2+bx+c) 和 (dx^2+ex+f)，步骤如下：- 在一个横轴上标出 a 和 d。
- 在一个竖轴上标出 f 和 c。
- 在横轴上从 a 出发向右边画一条线，长度为 e+b。
- 在竖轴上从 f 出发向下边画一条线，长度为 e+c。
- 在横轴和竖轴的交点处，就是两个多项式的乘积 (ad)x^4 + (ae+bd) x^3 + (af+be+cd) x^2 + (bf+ce) x + cf。
三、教师示范：1. 让学生一起通过示例学习十字相乘法的操作规范和技巧：（1）计算 (x+1)(x+2)：- 在横轴上标出 1 和 1。
解一元二次方程十字相乘法教案(一)
解一元二次方程十字相乘法教案(一)解一元二次方程十字相乘法教案1. 教学目标•理解一元二次方程十字相乘法的概念与原理•学会使用十字相乘法解一元二次方程的方法•掌握运用十字相乘法解决实际问题的能力2. 教学准备•黑板、粉笔•教材、练习题3. 教学内容与步骤第一步：引入概念1.引导学生回顾二次方程的定义。
2.引入十字相乘法的概念，并解释其背后的原理。
第二步：解一元二次方程的步骤1.给出一个简单的一元二次方程，例如：x^2 - 5x + 6 = 0。
2.按照以下步骤进行解题：–将方程转化为括号形式：(x - a)(x - b) = 0。
–根据方程的形式，利用十字相乘法得出 a 和 b 的值。
–根据 a 和 b 的值，写出方程的两个根。
3.通过多个例题，巩固学生对解一元二次方程的十字相乘法的理解。
4.强调注意事项，例如方程无解时或只有一个解时的特殊情况。
第三步：应用实例1.给出一些实际问题，例如：某数的平方减去这个数的两倍再加上1等于0，求这个数。
2.引导学生将问题转化为一元二次方程，并运用十字相乘法解决问题。
4. 拓展练习1.让学生在课后完成一些练习题，巩固解一元二次方程十字相乘法的能力。
2.鼓励学生运用所学知识解决更多的实际问题。
5. 小结与评价1.总结一元二次方程十字相乘法的解题步骤与技巧。
2.确保学生理解并掌握所学内容，及时解答他们的疑惑。
3.对学生的学习情况进行评价，并提供积极的反馈。
6. 参考资料•教材•练习题集7. 教学延伸1.给学生讲解使用十字相乘法解一元二次方程时的常见错误，并指导学生如何避免这些错误。
2.引导学生思考，如果方程不是标准的二次方程形式，如何将其转化为适合使用十字相乘法解题的形式。
8. 探究性学习1.提供一些较为复杂的一元二次方程，让学生自己尝试使用十字相乘法解决问题。
2.引导学生思考，在实际生活中可以应用十字相乘法解决哪些问题，如何解决。
9. 课外拓展1.推荐学生阅读相关的数学书籍或网站，进一步了解十字相乘法以及解一元二次方程的其他方法。
十字相乘法教学设计
十字相乘法因式分解(2)教学目标1、熟练掌握十字相乘法因式分解方法。
2、经历探究用十字相乘法因式分解较为复杂多项式的过程，深入理解十字相乘法的概念。
3、感悟数学中整体数学思想和换元思想在因式分解中的应用。
教材分析因式分解在整式一章中占着及其重要的地位，因为，它是解决一元二次方程以及可化为一元二次方程的高次方程、分式方程、无理方程的基本方法，利用因式分解可以有效的解决方程中的降次问题；它在分式运算中也扮演着重要角色，如分式加减法中的通分和分式乘除法中的约分基本都以因式分解为前提。
所以学生学生掌握因式分解的程度直接影响着学生后面对分式运算、方程和不等式的进一步学习。
由于因式分解是对整式乘法运算进行逆向思维的过程，而这种逆向是一个整体综合的过程，这对本来不太习惯抽象思维的学生又提出了整体综合的思维要求，对学生的学习挑战还是较大的。
教材在学习整式乘法后，开始按部就班的学习因式分解，进行强化训练。
学生容易陷入盲目的被动学习状态。
为了帮助学生克服困难，我们对因式分解的教学进行了整体设计。
一是在引入上从因式分解与其他数学知识之间的内在联系出发，尽可能的让学生了解和明白因式分解的意义和目的，理解因式分解在多项式中的降次作用。
二是以二次三项式的因式分解为主线展开教学和拓展。
这其中很显然十字相乘法是适用于 (a≠0)常用的、普适的方法。
其中包含了特殊的平方差公式和完全平方公式法因式分解。
我们想通过学习归纳到 (a≠0)不同情况的有理数范围内的因式分解，包括二次项系数不为1的情况。
（教材中只学习二次项系数为1的情况，而在高中学习的时候直接进行系数不为1的因式分解的应用，这里通过学习，其实已经水到渠成了，所以进行拓展延伸）本节课的教学，在延续第一课时二次项系数为1的二次三项式的因式分解，理解掌握十字相乘法的“二拆一凑”的基础上，对含二个字母的二次三项式进行“二拆一凑”的研究，解决问题，进而对高次和以多项式作为二次三项式中x的多项式进行因式分解。
十字相乘法导学案
学具使用 多媒体课件
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前 20 分钟）
1、阅读课本 P 121 页，思考下列问题：
（1） x2 (a b)x ab (x a)(x b) 你能理解吗？
（2）课本 P121 页最下面 4 道题你能独立解答吗？
10. a 2 n a (_____) (____ ____)2 ． m
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20 D． 2(x y)2 9(x y) 20
二、填空题
6. x2 3x 10 __________． 7. m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________． 8. 2x2 5x 3 (x－3)(__________)． 9. x2 ____ 2 y2 (x－y)(__________)．
（1）二次项系数是
；
（2）常数项是两个数的
；
（3）一次项系数是常数项的两个因数的
。
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(x＋a)(x＋b)竖
式乘法法则．
（二）例题讲解
例 1.因式分解 x2 + 6x ― 7
步骤：1.竖分二次项与常数项； 2.交叉相乘，积相加； 3.检验确定，横写因式
A．ab
B．a＋b C．－ab
D．－(a＋b)
2.如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
一元二次方程的解法----十字相乘法教案
一元二次方程的解法——十字相乘法班级________姓名________学号________一、学习目标：1、利用十字相乘法分解因式2、利用十字相乘法解一元二次方程二、典例精析例1、用十字相乘法分解因式（1）x2＋5x＋6（2）x2—5x＋6（3）x2＋5x—6 （4）x2—5x—6（5）x2—5xy＋6y2 (6)(x＋y)2—5（x＋y）—6练习：（1）x2—7x＋10 （2）y2＋y—2（3）x2—12x—13 （4）m2—5m＋4例2、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2＋5x＋6=0 （2）y2＋y—2=0（3）（x＋3)(x—1)=5 （4）t(t＋3)=28练习：（1）x2＋7x＋12 =0(2) x2—5x＋6=0 （3）(x＋2)(x—1)=10例3、用十字相乘法解关于x的方程：(1)(x—2)2—2 (x—2) —3=0 * (2)(x2—3x)2—2(x2—3x) —8=0练习：（1）024)1(5)1(2=-+-+xx（2）0)(22222=--+nmxnmx★例4、已知x2—5xy＋6y2 =0（y≠0），求yxxy+的值。
四、课后作业1、m2＋7m—18=(m＋a) (m＋b),则a,b的符号为（）A、a,b异号B、a,b异号且绝对值大的为负C、a, b同号D、a,b同号且绝对值大的为正2、在下列各式中，（1）x2＋7x＋6（2）x2＋4x＋3（3）x2＋6x＋8（4）x2＋7x＋10 （5）x2＋15x＋44有相同因式的是（）A、（1）（2）B、（3）（5）C、（2）（5）D、（1）（2）、（3）（4）、（3）（5）3、x2＋2x—3，x2—4x＋3，x2＋5x—6的公因式是（）A、x—3B、3—xC、x ＋1D、x—14、若y2＋py＋q=（y—4）（y＋7），则p= ，q= .5、分解因式：（1）x2＋7 x—8 （2）y2—2y—15（3）（x＋3y）2—4(x＋3y)—32 6、用十字相乘法解一元二次方程（1）x2—3x—10 =0 （2）x2＋3x—10 =0（3）x2—6x—40 =0 （4）x2—10x＋16 =0（5）x2—3x—4 =0 （6）m2—3m—18=0 7、用十字相乘法解关于x的一元二次方程：（1）(x＋1)(x＋3)=15 （2）(x＋2)(x—3)=14（3）03422=+-aaxx(5) (x—2)2＋3(x—2) —4=0（4）x2—3xy—18y2=0 * (6) (x2—x)2—4(x2—x) —12=0 8、已知：△ABC的两边长为2和3，第三边的长是x2—7x＋10=0的根，求△ABC 的周长.9、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可.。