重庆市四区联考2017-2018学年高二数学下期学业质量调研抽测试题理(含答案)

重庆市四区联考2017～2018学年下学期高二学业质量调研抽测数学试题（理科）理科数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．若1z i =-（i 是虚数单位），则22z z+= A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +2．已知随机变量ξ服从正态分布(3,1)N ，且(4)0.1587P ξ>=，则(24)P ξ≤≤= A ．0.3174 B ．0.3413 C ．0.6826 D ．0.8413 3．函数3()35f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值与最小值的和是A ．6B ．6-C ．8D ．8- 4．已知变量,x y 具有线性相关关系，测得一组样本数据如下：若它们的回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率为6.5，则在这些样本点中任取一点，它在回归直线左上方的概率为 A ．15 B ．25 C ．35 D ．455．已知定义在区间[0,1]上的曲线2y x =与x 轴及直线1x =围成的封闭图形被直线(01)x t t =<<分成了面积相等的两部分，则t 的值为A ．2B ．2C ．2D ．126．甲、乙两人在A 与B 两个项目中随机选择一个项目，在其中有一人选择A 项目的条件下，则另一人也选择A 项目的概率为 A ．13 B ．23 C ．14 D ．347．甲、乙、丙、丁四人分别去买了一张体育彩票，恰有一人中奖．他们的对话如下：甲说“我没中奖”；乙说“我也没中奖，丙中奖了”；丙说“我和丁都没中奖”；丁说“乙说的是事实”．已知这四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 8．3位男生和2位女生共5位同学站成一排，若女生甲不站在两端，3位男生中有且只有2 位男生相邻，则不同排法的种数是A ．24B ．36C ．48D ．60 9．已知袋中有6个大小相同的球，其中记上0号的有3个，记上1号的有1个，记上2号的有2个．现从袋中任取一球，随机变量ξ表示所取球的标号，若4a ηξ=+，a 为常数，η的数学期望7()3E η=， 则η的方差()D η为 A ．2936 B ．56 C ．4318 D ．29910．已知(1)n a x b y ++展开式中不含x 的项的系数和为64，不含y 的项的系数和为27，则,,a b n 的值可能为 A ．3,2,3a b n ===B ．2,3,3a b n ===C ．2,3,4a b n =-=-=D ．3,2,4a b n =-=-= 11．已知函数12)(23-+=x ax x f 有且只有两个零点，则实数a 的取值集合为A ．{}1,0,1-B ．⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭C ．⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭D ．⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭12. 已知正实数,,a b c 满足ln ln c b a c c =+，且2a c ≥，e 为自然对数的底数，则ba的最小值为A ．2B ．．e D ．22e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应的位置上． 13．已知2(32)(1)z a a a i =-++-是纯虚数，其中a R ∈，i 为虚数单位，则z 的值为_____．14．若10()a x x-的展开式中4x 的系数为960，则a 的值为__________．15．为了调查甲、乙两厂生产的某种产品质量是否有差异，现在各厂分别随机抽取了50件该产品，得到如下的22⨯列联表，参照附表,则有 以上的把握认为“甲、乙两厂生产的某种产品质量有差异”．附表：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++16．已知集合12{,,...,}(2)k A a a a k =≥，其中(1,2,...,)i a Z i k ∈=，由A 中的元素构成两个相应的集合：{(,)|,,}S x y x A y A x y A =∈∈+∈，{(,)|,,}T x y x A y A x y A =∈∈-∈，其中(,)x y 是有序数对，若集合S 与T 中的元素个数分别为m 与n ，则m 与n 的大小关系为__________．三、解答题：共70分。

解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。

并答在答题卡相应的位置上．第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题第23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）某学习小组共8人，其中男生3人，女生5人，现从这8人中随机选出5人利用暑假参加社会实践活动．（I ）求选出的5人中恰有2名男生的概率； （II ）求选出的5人中至少有3名女生的概率． 18．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知函数1()(1)x f x x ea --=+-，其中,x R a ∈为常数．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于y 轴对称， 求证：当0x >时， ()()f x g x >．19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问3分）某产品经过技术改造后生产的件数x 与相应的生产成本y （万元）的几组对应数据如下：若y 与x 之间具有线性相关关系．（I ）根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（II ）已知该产品在技改前生产100件的成本为9.5万元，根据（I ）中求出的线性回归方程，预测生产100件该产品的成本比技改前降低了多少万元？附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ，x b y a-=ˆ，其中x ，y 为样本的平均值.20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）为增进民生福祉，推动经济发展，某区决定新建一批,,,A B C D 四类重点工程，这四类工程所含项目的个数分别占总数的29，16，49，16．现有4名工人独立地从中任选一个项目参与建设．（Ⅰ）求这4人选择的项目所属类别互不相同的概率；（Ⅱ）记ξ为这4人中所选择的项目属于A 类或C 类的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 已知函数2()ln(1)(1)(1)1f x m x m x =++-+-，其中m R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若对任意的121x x >>-，都有1221()()22f x f x x x -<-成立，求实数m 的取值范围.（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如多做，则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22．(本小题满分10分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问5分）已知直线l的极坐标方程是sin()04πρθ+=．以极点O 为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α为参数)．（Ⅰ）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P 是曲线C 在第一象限内上的点，点,A B 分别为直线l 与,x y 轴的交点，求四边形OAPB 面积的最大值．23.（本小题满分10分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问5分） 已知函数()1f x x =-．（Ⅰ）解不等式()()48f x f x ++≥；（Ⅱ）若1)1(<+a f ，1)1(<+b f ，且0a ≠，求证：)()(abf a ab f >．2017—2018学年下期高中学业质量调研抽测 高二数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：1～5：CCBBA ；6～10：AB C DB ；11～12：DC ．二、填空题：13．1； 14．2-； 15．95%； 16．m n =． 三、解答题：17．解:（Ⅰ）从8人中随机选出5人的不同选法有588!565!3!C ==种， ………………………3分恰有2名男生的不同选法有23355!3303!2!C C =⨯=种， …………………………6分所以，选出的5人中恰有2名男生的概率为30155628P ==． …………………………7分（Ⅱ）至少有3名女生的不同选法有3241553535++30+15+146C C C C C ==种，………………11分所以，选出的5人中至少有3名女生的概率46235628P ==． …………………………12分18．解：（Ⅰ）由已知得/111()(1)x x x f x e x e xe ------=-+=-， …………………………2分∴当0x <时，/1()0x f x xe --=->，当0x >时，/1()0x f x xe --=-<，………………4分∴函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增，在区间(0)∞，+上单调递减， 函数()f x 在x =处取得极大值1(0)f a e=-． …………………………6分 （Ⅱ）由题意，可得1()()(1)x g x f x x e a -=-=--， …………………………8分令1111()()()(1)[(1)](1)(1)x x x x F x f x g x x e a x e a x e x e ------=-=+----=++-，∴/111111()(1)(1)()x x x x x x F x ex e e x e x e e ---------=-+++-=-， ………………………当0x >时，有11x ee ->，11x ee--<，/11()()0x x F x x e e ---=->， ∴当0x >时，()F x 为增函数． …………………………11分又11(0)0F e e--=-=，∴当0x >时，有()0F x >，即()()f x g x >． ……………………………12分19．解：（Ⅰ）2030405060405x ++++== ， …………………………………………1分2 2.53 4.5 5.53.55y ++++==， ……………………………………………………2分52222221()(20)(10)010201000ii xx =-=-+-+++=∑， …………………………………4分51()()(20)( 1.5)(10)(1)0(0.5)10120290ii i xx y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑， (6)分90ˆ0.091000b==， ……………………………………………………………………………7分ˆˆ 3.50.09400.1ay bx =-=-⨯=- ， ……………………………………………8分 故回归直线方程为ˆ0.090.1yx =-． ……………………………………………9分 （Ⅱ）当100x =时，0.091000.18.9y =⨯-=（万元），……………………………………11分预测生产100件该产品的成本比技改前降低了9.58.90.6-=（万元）． …………………20．解：（Ⅰ）记第i 名工人选择的项目属于,,,A B C D 类工程分别为事件,,,,1,2,3,4i i i i A B C D i =，由题意知：这些事件之间是相互独立的， 且29i P A =（），1()6i P B =,4()9i P C =,1()6i P D =． (2)分所以，这4人选择的项目所属类别互不相同的概率为:4412341234214116()4()()()()249696243P A P A B C D P A P B P C P D ===⨯⨯⨯⨯=！． (5)分（Ⅱ）设第i 名工人选择的项目属于A 或C 类工程为事件,1,2,3,4i H i =, 由题意知：事件iH 之间是相互独立的，且242()()()()993i i i i i P H P A C P A P C =⋃=+=+=． ………………………………………6分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，且ξ～243B （，）， ………………………………………7分即4421)()(),0,1,2,3,433k k kP k C k ξ-===（． …………………………………………8分故ξ的分布列为：……………………………………10分数学期望28()433E ξ=⨯=． …………………………………………12分21．解：（Ⅰ）由已知，得()f x 的定义域为(1,)-+∞，22(1)(1)()1m x mf x x -++'=+． (2)分当1m ≥时，()0f x '>，故()f x 在(1,)-+∞上单调递增；当0m ≤时，()0f x '<，故()f x 在(1,)-+∞上单调递减； ………………………4分当01m <<时，令()0f x '=，解得1x =．则当(11)x ∈-时，()0f x '>；1,)x ∈+∞时，()0f x '<．故()f x在(1)-上单调递增；在1,)+∞上单调递减．……6分（Ⅱ）对任意的121x x >>-，都有1221()()22f x f x x x -<-成立，即对任意的121x x >>-，都有2211()2()2f x x f x x +>+． ① ……………………7分令()()2g x f x x =+，且(1,)x ∈-+∞，①等价于()g x 在(1,)-+∞上单调递减，则()2(1)(1)201mg x m x x '=+-++≤+． 从而2222243x x m x x +≤++． ……………………9分令2222()243x xh x x x +=++，且(1,)x ∈-+∞， 则2222222(243)(42)(22)(444126()(243)(243)x x x x x x x x h x x x x x +++-++++'==++++）， 由()0h x '>，得322x >-+，由()0h x '<，得3122x -<<-+， ()h x ∴在3(1,22--+上单调递减，在3()22-++∞上单调递增， ∴当32x =-时，()h x 取得最小值， ()h x的最小值为2332(2(31(22h -++-+-+==-． …………11分故m的取值范围为1(,2-∞． …………………………12分选作题：22．解：(Ⅰ)由sin()042πρθ+-=得，(cos )0222ρθθ+-=， …………1分∴直线l 的直角坐标方程为10x y +-=. ……………………………3分又由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩， 消去参数α， 得曲线C 的直角坐标方程为2213x y +=． ……………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，点(1,0),(0,1)A B，设,sin ),(0)2P πααα<<，………………6分则点P 到直线l的距离1sin()32d πα==+-， 由02πα<<，得1sin()123πα<+≤，∴1sin()322d πα=+-≤，……………8分 ∴四边形OAPB面积的最大值为1111122AOB APB S S S ∆∆=+=⨯⨯+=．……10分23. 解：（Ⅰ）22,3()(4)134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩， (1)分当3-<x 时，由822≥--x ，解得5-≤x ；当13≤≤-x 时，8)(≥x f 不成立，不等式无解；当1>x 时，由822≥+x ，解得3≥x ； ………………………4分所以不等式8)4()(≥++x f x f 的解集为{}35≥-≤x x x 或． ………………………5分 （Ⅱ）由0a ≠，要证)()(ab f a ab f >，即证1ab a b ->-． ………………………6分因为1)1(<+a f ，1)1(<+b f ，所以1a <，1b <， ………………………8分所以()()()()222222*********ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->， 所以1ab a b ->-成立，故所证不等式成立． …………………………10分。