材料力学1-拉压杆件应力

2-3-4 斜截面上的应力
实验证明：斜截面上既有正应力，又有切 （剪）应力，且应力为均匀分布。
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-4 斜截面上的应力
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-4 斜截面上的应力
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-4 斜截面上的应力
正负号规定：
α：横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针
例常数E,即
E
l FN l EA
虎克定律(Hooke’s law),适用于拉(压)杆。
式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定， 其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA—— 杆的拉伸(压缩)刚度。
2-4 虎克定律
例：求多力杆变形的方法。 （1）变形累加法（method of Deformation Accumulation）
F A
代表ΔA 内分布内力的平
均集度，称之为ΔA 中的平均 内力，当ΔA 趋于0时，这个 平均应力的极值就是该点处
p lim F A
的应力。
A 0
2 横截面及斜截面上的应力
正应力和切应力 若将p 分别沿垂直于和切于截面的方向分解，得σ 和τ --分别称为该点上的正应力（Normal Stress) 和切 （剪）应力（Shear Stress）。
2 截面法计算拉（压）杆内力
解: (1) 求支座反力 F X 0 F R 40 55 25 20 0
F R 10 kN
2 截面法计算拉（压）杆内力
(2) 分段计算轴力 求AB 段内轴力
2 截面法计算拉（压）杆内力
求BC 段内轴力
2 截面法计算拉（压）杆内力
转向为正，反之为负；
σα ：拉应力为正，压应力为负；
τα：对分离体内一点产生顺时针力矩的切（剪）
应力为正，反之为负；
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-4 斜截面上的应力
cos
2


1 2
sin 2
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-4 斜截面上的应力 剪应力互等定理：二个相互垂直的截面上，剪应力 大小相等，方向相反。
FN -F=0 FN =F
2 截面法计算拉（压）杆内力
2-2-2 轴力图
用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直 于杆轴线的坐标表示横截面上的轴力数值，从而绘出表示 轴力与横截面位置关系的图线，称为轴力图 。将正的轴 力画在上侧，负的画在下侧。
2 截面法计算拉（压）杆内力
例题：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
2 截面法计算拉（压）杆内力
2-2-1 例： 用截面法求任意截面m-m处内力
横截面m－m上的内力FN其作用线 与杆的轴线重合(垂直于横截面并通
过其形心)——轴力FN。
无论取横截面m－m的左边或右边
为分离体均可。
轴力的正负: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，
当轴力指向截面产生缩短变形为负。
2-3 横截面及斜截面上的应力
例： 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪 应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。
0
P A

410000 3 . 14 10
2
127 . 4 MPa
max 0 / 2 127 . 4 / 2 63 . 7 MPa
2-4 虎克定律
例：求多力杆变形的方法。 （2）力作用累加法（Superposition Method）
2-4 虎克定律
例：图示结构，在B、D和C处用销钉连接，钢杆BD的直 径d=25mm，杆CD由16号工字钢制成（截面A=26.1cm2）。 两杆的弹性模量均E=200GPa。试求当最大起重量为 F=20kN时，节点D的位移。
2 横截面及斜截面上的应力
应力单位
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
按定义，应力也可称为单位面积上的力。 单位为牛顿/米2（N/m2） 称为帕斯卡（Pascal），简称为帕 （Pa） 1 Pa=1 N/m2
实际中，常用 千帕（kPa）， 1 kPa=103 Pa 兆帕（MPa），1 MPa=106 Pa 吉帕（GPa），1 GPa=109 Pa
纵向线应变

l l
（反映变形程度）
2-4 虎克定律
横向变形——与杆轴垂直方向的变形
在基本情况下
d d1 - d

d d
泊松比：当拉（压）杆内应力不超过某一限值，其横 向线应变与纵向线应变的绝对值之比为一常数。称为 泊松比。

'
'
2-4 虎克定律
当拉(压)杆的应力不超过材料的某一特征值(“比例极 限”)时，杆的横截面正应力与纵向应变成正比，引入比
1 截面法求内力
为了直观表示内部某截面上这种作用力，可沿该截 面将物体切开，获得分离体。 由连续性，截开面上应存在连续分布的作用力，由 于荷载作用方式、位置及大小不同，该力系一般为 一任意分布力系。 通常将其向截面内某点简化后得到的合力和合力偶 矩称为该截面上的内力。求解内力的过程称为内力 分析。
1 截面法求内力
截面上的内力是截面上分布力系向其上任一点简化得到 的合力和合力偶。通常向其形心简化。 沿截面切开后，将物体分离为两部分。取其中任一部分 研究均可，两部分切开面上的内力是作用力与反作用力。
截面法求内力基本步骤： 1. 切—沿需表示内力的截面，将物体切开分离为两部分; 2. 取—取其中一部分为研究对象； 3. 代—用内力代替另一部分对所取隔离体的作用。


0
2
(1 cos 2 ) sin 2
127 . 4 2
(1 cos 60 ) 95 . 5 MPa
0
2
127 . 4 2
sin 60 55 . 2 MPa
2-4 虎克定律
拉(压)杆的纵向变形-与杆轴垂直方向的变形 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)：
纵向总变形Δl = l1-l （反映绝对变形量）
求CD 段内轴力
2 截面法计算拉（压）杆内力
求DE 段内轴力
2 截面法计算拉（压）杆内力
F N max 50 kN
最大应力发生在BC段的任一横截面上。
2 横截面及斜截面上的应力
2-3-1 应力（Stresses）
应力：截面上某点的内力集度。 绕O 点在切面上取微分元ΔA ，其上合力和合力偶矢量分 别记为Δ F和Δ M。由于ΔA可以很小，因而可不计ΔM。
解题步骤： 1. 根据平衡关系，求得2杆件的 内力； 2. 根据物理关系，求得2杆件的 变形量； 3. 根据三角几何关系，求得节点 D的位移。
2-4 虎克定律
2-4 虎克定律
2-4 虎克定律
2-3 横截面及斜截面上的应力
2-3-2 横截面上的应力
P P
平面假设： 实验表明，轴向拉(压)时变形是均匀的，应 力分布也是均匀的。变形以后，横截面仍保持为平面， 并且仍垂直于杆轴，只是各截面沿杆轴作相对平移。 若压杆横截面为A, 轴力为P， 则横截面上各处应力相等， 都为
P/A
2-3 横截面及斜截面上的应力