材料力学第二章详细讲解
材料力学笔记(第二章)
材料力学（土）笔记第二章 轴向拉伸和压缩1．轴向拉伸和压缩的概念拉（压）杆：作用于等直杆上的外力（或外力的合力）的作用线与杆件轴线重合变形特征是杆将发生纵向伸长或缩短2．内力法·截面法·轴力及轴力图2.1 内力内力：由外力作用引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成 在物体内部相邻部分之间的相互作用的内力，实际上是一个连续分布的内力系分布内力系的合成（力或力偶），简称内力2.2 截面法·轴力及轴力图轴力：杆件任意横截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合，即垂直于横截面并其通过形心 规定用记号N F 表示用截面法，内力N F 的数值由平衡条件求解，已知一端外力为F由平衡方程0=∑x F ，0=-F F N得F F N =规定引起纵向伸长变形的轴力为正，称为拉力规定引起纵向缩短变形的轴力为负，称为压力截面法包含以下三个步骤①截开：在需求内力的截面处，假想地将杆分为两部分②代替：将两部分上的任意一部分留下，吧弃去部分的作用代之以作用在截开面上的内力 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据已知外力来计算在截开面上的未知力截开面上的内力对留下部分而言已属外力静力学中的力（或力偶）的可移性原理，在截面法求内力的过程中是有限制的将杆上的荷载用一个静力等效的相当力来替代，也是有所限制的轴力图：用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，从而绘成表示周丽与截面位置关系的图线。
正值的轴力滑上侧，负值画下侧3．应力·拉（压）杆内的应力3.1 应力的概念应力：受力杆件某一横截面上分部内力在一点处的集度考察M 处的应力，在M 点周围取一微小的面积A ∆设A ∆面积上分布内力的合力为F ∆在面积A ∆上内力F ∆的平均集度为AF p m ∆∆=m p 称为面积A ∆上的平均应力 为表明分布内力在M 点处的集度，令微小面积A ∆无限缩小趋于零，则其极限值dAdF A F p A =∆∆=→∆0lim 即为M 点处的内力集度，称为截面m-m 上M 点处的总应力F ∆是矢量，总应力p 也是矢量，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切通常将总应力p 分解为与截面垂直的法向分量σ和与截面相切的切向分量τ法向分量σ称为正应力切向分量τ称为切应力应力具有如下特征：①应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处讨论应力必须明确是在哪一个截面上哪一点处②在某一截面上一点处的应力是矢量对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正，反之为负③应力的量纲为21--T ML ,应力单位为Pa1 Pa=1N/㎡，工程中常采用MPa ，1 MPa=610Pa④整个截面上各点处的应力与微面积dA 之乘积的合成，即为该截面上的内力3.2 拉压杆横截面上的应力与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力考察杆件受力后表面上的变形情况，由表及里地作出杆件内部变形情况的几何假设，再根据力与变形间的物理关系，得到应力在截面上的变化规律，然后再通过应力与dA 之乘积的合成即为内力的静力学关系，得到与内力表示的应力计算公式平面假设：假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面根据平面假设，拉杆变形后两横截面将沿杆轴线作相对平移拉杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的假设材料是均匀的，杆的分布内力集度由于杆纵向线段的变形相对应因而拉杆横截面上的正应力σ呈均匀分布，即各点处的正应力相等按应力与内力间的静力学关系A A d dA F AA N σσσ===⎰⎰ 即得拉杆横截面上正应力σ的计算公式AF N =σ 式中，N F 为轴力，A 为杆的横截面面积 对于轴向压缩的杆，上式同样适用这一结论实际上只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确圣维南原理：力作用于杆端的方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力max ,N F代入公式即得杆内得最大正应力为A F N max,max =σ最大轴力所在的横截面称为危险截面危险截面上正应力称为最大工作应力3.3 拉(压)杆斜截面上的应力与横截面成α角的任意斜截面k-k 上的应力用一平面沿着斜截面k-k 将杆截分为二，并研究左段杆的平衡得斜截面k-k 上的内力αF 为F F =α得到斜截面上各点处的总应力αpαααA F p =αA 是斜截面面积，αA 与横截面面积关心为ααcos /A A =代入可得ασααcos cos 0==A F p 其中AF =0σ即拉杆在横截面（0=α）上的正应力 总应力αp 是矢量，分解成两个分量：沿截面法线方向的正应力和沿截面切线方向的切应力 分别用ασ，ατ表示两个分量可以表示为ασασαα20cos cos ==p ασαταα2sin 2sin 0==p 其中角度α以横截面外向法线至斜截面外向法线为逆时针转向时为正，反之为负①当0=α时，0σσα=是ασ中的最大值，即通过拉杆内某点的横截面上的正应力，是通过该点的所有不同方位截面上正应力中的最大值②当o 45=α时，20στα=是ατ中的最大值，即与横截面呈45°的斜截面上的切应力，是拉杆所有不同方位截面上切应力中的最大值单元体：在拉杆表面任意一点A 处用横截面、纵截面及表面平行的面貌截取一各边长均为无穷小的正六面体应力状态：通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况单轴应力状态：在研究的拉杆中，一点处的应力状态由其横截面上的正应力0σ即可完全确定4．拉（压）杆的变形·胡克定律设拉杆原长为l ，承受一对轴向拉力F 的作用而伸长后，其长度增为1l则杆的纵向伸长为l l l -=∆1杆件变形程度可以每单位长度的纵向伸长（l l /∆）来表示线应变：每单位长度的伸长（或缩短），用ε表示拉杆的纵向线应变为ll ∆=ε 拉杆的纵向伸长l ∆为正，压杆的纵向缩短l ∆为负 研究一点处的线应变，可围绕该点取一个很小的正六面体设所取正六面体沿x 轴方向AB 边的原长为x ∆变形后其长度的改变量为x δ∆对于非均匀变形比值x x ∆∆/δ为AB 边的平均线应变当x ∆无限趋于零时，其极限值称为A 点处沿x 轴方向的线应变dxd x x x x x δδε=∆∆=→∆0lim拉杆在纵向变形的同时将有横向变形设拉杆为圆杆，原始直径为d ，受力变形后缩小为1d则其横向变形为d d d -=∆1在均匀变形情况下，拉杆的横向线应变为dd ∆='ε 拉杆的横向线应变为负，即与其纵向线应变的正负号相反拉（压）杆的变形量与其所受力之间的关系与材料性能有关，只能通过实验来获得 当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时杆的伸长l ∆与其所受外力F 、杆的原长l 成正比，与其横截面面积A 成反比AFl l ∝∆ 引进比例常数E ，则 EAFl l =∆ 由于N F F =，上式改写为 EAl F l N =∆ 此关系称为胡克定律，式子中比例常数E 称为弹性模量，其量纲为21--TML ，单位为PaE 的数值随材料而异，其值表征材料抵抗弹性变形的能力EA 称为杆的拉伸（压缩）刚度对于相等且受力相同的拉杆，其拉伸刚度越大拉杆变形越小将上述公式改写成 AF E l l N ⨯=∆1 可得胡克定律的另一种表达方式 E σε=它不仅适用于拉（压）杆，而且还可以更普遍地用于所有的单轴应力状态称其为单轴应力状态下的胡克定律对于横向线应变'ε，实验结果指出当拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，它与纵向线应变ε的绝对值之比为一常数 此比值称为横向变形因数或泊松比，通常用υ表示，即εευ'= υ是量纲为一的量，其数值随材料而异，也是通过实验测定的纵向线应变与横向线应变的正负号恒相反，故有υεε-='Eσυε-=' 一点处横向线应变与该点处得纵向正应力成正比，但正负号相反例题2-5计算结点A 的位移为计算位移A ∆，假想地将两杆在A 点处拆开，并沿两杆轴线分别增加长度1l ∆和2l ∆ 分别以B 、C 为圆心，以两杆伸长后长度1BA ，2CA 为半径作园，交点''A 为A 点新位置3．拉（压）杆内的应变能应变能：伴随着弹性变形的增减而改变的能量在弹性体的变形过程中，积蓄在弹性体内的应变能εV 在数值上等于外力做功WW V =ε上式称为弹性体的功能原理，应变能εV 的单位为J （1 J=1 N ·m ）推导拉杆应变能计算公式在静荷载F 的作用下，杆伸长l ∆力对该位移所作的功等于F 与l ∆关系图线下的面积弹性变形范围内F 与l ∆成线性关系，可得F 所做的功W 为l F W ∆=21 积蓄在杆内的应变能为 2222222121l lEA EA l F EA l F l F l F V N N ∆===∆=∆=ε 由于拉杆各横截面上所有点处的应力均相同故杆的单位体积内所积蓄的应变能就等于杆的应变能εV 除以体积V应变能密度：单位体积内的应变能，用εv 表示σεεε2121=∆==Al l F V V v 公式表明应变能密度可以视作正应力σ在其相应的线应变ε上作的功 2222εσεE E v == 应变能的单位为J/m ³只适用于应力与应变成线性关系的先弹性范围内能量法：利用应变能的概念可以解决与结构或构件的弹性变形有关的问题例题2-6εV P A =∆216．材料在拉伸和压缩时的力学性能6.1 材料的拉伸和压缩试验标距：圆截面标准试样的工作段长度l标准比例d l 10=和d l 5=万能试验机：使试样发生变形（伸长或缩短）并测定试样抗力变形仪：将微小变形放大，测量试样变形6.2 低碳钢试样的拉伸图及其力学性能低碳钢是工程上最广泛使用的材料拉伸图：横坐标表示试样工作段的伸长量l ∆，纵坐标表示试样承受的荷载F低碳钢在整个拉伸试验过程中其工作段伸长量与荷载间的关系大致可分为四个阶段 ①弹性阶段：试样变形时完全弹性的，全部卸除载荷后，试样将恢复原长低碳钢在此阶段内，其伸长量与荷载之间成正比，即胡克定律表达式②屈服阶段：试样的伸长量急剧地增加，而荷载读数在很小范围内波动屈服：试样的荷载在很小的范围内波动，而其变形却不断增大的现象屈服阶段出现的变形，是不可恢复的塑性变形滑移线：试样经过抛光，则在试样表面将可看到大约与轴线成45°方向的条纹，是由材料沿试样的最大切应力面发生滑移而引起的③强化阶段：试样经过屈服阶段后，若要使其继续伸长，由于材料在塑性变形过程中不断发生强化，因而试样中的抗力不断增长。
《材料力学第二章
2.屈服阶段：bc段
当应力超过b点增加到某一数值时，应变有非常明显的增加， 而应力先是下降，然后在很小的范围内波动，在ζ－ε曲线上 出现接近水平线的小锯齿形线段。这种现象称为屈服或流动。 在这个阶段产生严重的塑性变形。 在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为上屈服极限和 下屈服极限。 流动极限(屈服极限)ζs—下屈服极限(载荷第一次回退时的最 小值) 强度指标通常用拉伸时的屈服极限ζs来表示。 若试件表面光滑，可以看到在应力达到屈服极限后，表面将 出现与轴线大致成450倾角的条纹。这是因为在450的斜截面上 作用着最大切应力，所以这是材料沿最大切应力作用面发生 滑移的结果，这些条纹称为滑移线。
38 . 7 10 N
3
FN A
4
123 MPa
2
20 mm
§2.3
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
设直杆的轴向拉力为F(图a)，横截面 面积为A，则横截面上的正应力σ为
FN A F A
设与横截面成α角斜截面k-k的面积为Aα
A A cos
若沿斜截面k-k假想地把杆件分成两部分， 以Fα表示斜截面k-k上的内力 由于斜截面上的应力也是均匀分布的。若以pα表示斜截面k-k上的 应力 F F
F max sin AC W AC 0 F max W sin
sin
BC AB
0 .8 m
0 . 8 m
2
1 . 9 m
0 . 388
2
F max
W sin
1 kN
（2）运用截面法求轴力；
材料力学第二章
σ——横截面上的正应力；
σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应力
35
F
p
2、符号规定 ⑴、a：斜截面外法线与横截面的外法线(x 轴)的夹角。
由
x
轴逆时针转到斜截面外法线——“a” 为正值；
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“a”为负值
⑵、σa：同“σ”的符号规定
⑶、τa：在保留段内任取一点，如果“τa”对该点之矩 为顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
A
F B 4000 F
3000
FN1 50kN
FN1 1 A1
150kN
C
370
240
5010 N (240mm) (240mm) 0.87MP a（压）
3
F
50kN A F B 4000 F 3000
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN2 150kN
FN2 2 A2 150 103 N (370mm)(370mm) （压应力） 1.1MP a
A
FNAB 2 F
FNAB 150MPa A
a
F D
FNAB B C
a
a
31
试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：
d 200mm, δ 5mm, p 2MPa。
b
p
解：
d
可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布
A b
32
y
p
p
FR d FN
FN
§1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架 及其组合 结构 P53,2-4
二、轴向拉压的概念：
材料力学 第二章
2 C 2
3D
试画出图示杆件的轴力图。 已知 F1=10kN；F2=20kN；
F1 F1 F1
FN kN
F3 3 F4
F3=35kN；F4=25kN；
解：1、计算杆件各段的轴力。 Fx 0 AB段
FN1
F2
FN2 FN3
10 10
BC段
F
FN1 F1 10kN
x
0 FN 2 F2 F1
必须要考虑应力集中的影响。
当 max达到 b 时，该处首先产生破坏。 陶瓷、玻璃等内部组织均匀的脆性 材料尽量避免尺寸突变。
F 内部组织不均匀的脆性材料制成的构件 灰铸铁构件
内部的不均匀和缺陷往往是应力集中的主要因素，
而零件外形改变所引起的应力集中可能成为次要因素， 对零件的承载力不一定造成明显影响。
A FN
A、轴向拉压； B、离杆件受力区域较远处的横截面。
FN A
正应力，拉应力为“+”，压应力为 “－” FN 轴力 A 横截面面积
* 公式同样适用于杆件横面尺寸沿轴线缓慢变化的变截面直杆。
1N 1Pa 2 1m
1N 1MPa 2 1mm
FN ( x) ( x) A( x)
x 是横截面的位置。
注意： 1） 上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些
特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩)时，平截面假
设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。 2） 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上的应 力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。
§2.3.1 圣维南原理
如何确定轴向拉伸（压缩）的内力和内力图？ m F
m
《材料力学》第二章
F
F
F
F
横截面上 正应力分
横截面间 的纤维变
斜截面间 的纤维变
斜截面上 应力均匀
布均匀
形相同
形相同
m
分布
F
m
p
Page24
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 s t
n
F p
n p
FN FN p s 0 cos A A / cos
s p cos s 0 cos 2 s t p sin 0 sin 2
二、材料拉伸力学性能 低碳钢Q235
s
D E A
o
线弹性 屈服
硬化
缩颈
e
四个阶段：Linear, yielding, hardening, necking
Page32
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢Q235拉伸试验 线性阶段
s
B A
规律：
s Ee （OA段）
变形：变形很小，弹性 特征点：s p 200MPa （比例极限）
应力——应变曲线（低碳钢）
思考：颈缩阶段后，图中应力为什么会下降？
Page37
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
名义应力与真实应力
真实应力曲线 名义应力曲线 名义应力
FN s A
变形前截面积
颈缩阶段载荷减小，截面积也减小，真实应力继续增加
Page38
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
低碳钢试件在拉伸过程中的力学现象
材料力学应力分析的基本方法：
•试验观察
•几何方程
e const 变形关系
•提出假设
•物理方程
s Ee
材料力学 第二章
M点平均应力
F pm A
M F A
p M
(a)
(b)
总应力
p lim
A0
F d F A d A
总应力 p
正应力 : 法向分量, 引起长度改变
切应力 :切向分量，引起角度改变
M F A
M
(a)
(b)
正应力：拉为正，压为负
切应力：对截面内一点产生顺时针力矩的切应力为 正，反之为负
m m x
F
FN
x m m
(d)
F
(a)
F
m
m
m
F
(b)
F
FN
FN
x m m
FN F
F
m
(c)
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与 杆件的轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定:
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）； 引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
0
FN ,max FN 2 50 kN
课堂练习：
20KN 1 40KN 2
一直杆受力如 20KN 图示,试求1-1 和2-2截面上的 轴力。
20KN 20KN
1 1 40KN
FN 1
2
FN 2
FN 1 0
1
FN 2 40kN
课堂练习：
1
2F F 2
求图示直 杆1-1和 2-2截面 上的轴力
n n B
F
A (f)
例2-1 试作图示杆的轴力图。
40kN 55kN 25kN 20kN
A
600
B
300
《材料力学》第2章 轴向拉(压)变形 习题解讲解
第二章轴向拉(压变形[习题2-1]试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（b）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（c）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（d）解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图中间段的轴力方程为：轴力图如图所示。
[习题2-2]试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：（1）求指定截面上的轴力（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力[习题2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EC横截面上的应力。
解：（1）求支座反力由结构的对称性可知：（2）求AE和EG杆的轴力①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图所示。
由平衡条件可知：②以C节点为研究对象，其受力图如图所示。
由平平衡条件可得：（3）求拉杆AE和EG横截面上的应力查型钢表得单个等边角钢的面积为：[习题2-5] 石砌桥墩的墩身高，其横截面面尺寸如图所示。
荷载，材料的密度，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：墩身底面积：因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。
[习题2-6]图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式为：式中，，把的数值代入以上二式得：轴向拉/压杆斜截面上的应力计算题目编号10000 100 0 100 100.0 0.0 习题2-6100 30 100 75.0 43.310000100 45 100 50.0 50.010000100 60 100 25.0 43.310000100 90 100 0.0 0.010000[习题2-7]一根等直杆受力如图所示。
材料力学 第二章
方向规定：拉 + 压 -
工程实际中，杆件所受外力可能很复杂，这时 杆件各段的轴力将各不相同，这时需分段用截面法计 算轴力。为了直观地表达轴力随横截面位置的变化 情况，用平行于杆件轴线的坐标表示各横截面的位 置，以垂直于杆轴线的坐标表示轴力的数值，所绘 制的图形称为轴力图。 【例】 绘制如图直杆的轴力图。已知
所谓内力是指当构件受 外力作用而发生变形时，构 件的一部分对另一部分的附 加作用力。 求解内力的普遍方法是 截面法： 假想截开（任意留取） 受力分析（内力外化） 平衡求力。 定义：轴力-----轴向内力分量。 符号： FN
FN作用线与杆的轴线一致，方向如图所示。 由于在截开截面处，左右两侧截面上的内力互 为作用力和反作用力，因此大小相等方向相反。 为使左右两侧截面上的内力具有相同的正负号， 必须规定轴力的的正负。轴力的正负由杆的变 形确定。当轴力的方向与横截面的外法线方向 一致时，杆件受拉伸长，其轴力为正；反之， 杆件受压缩短，其轴力为负。通常未知轴力按 正向假设，由计算结果确定实际指向。
平均线应变--每单位 长度的变形，无量纲
绝对变形
相对变形
l l1 - l l l
线应变以伸长时为正，缩短时为负。
d1
F
l l1
d
F
2、横向变形
横向绝对变形 横向线应变
d d1 - d
Hale Waihona Puke d dd13、胡克定律
FN l A l 试验表明：
F l l1
d
F
当杆内应力不超过材 料的某一极限值 （“比例极限”）时
•
§2-3
拉压杆的应力---正应力与切应力
应力是指内力在截面上的分布集度，通常将应力 分解为垂直于截面的分量正应力σ和相切于截面的分 量切应力τ。 1、拉伸试验： 杆件的横截 面在变形后仍保 持为平面，且仍 与杆的轴线垂直。 这个假设称为
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第二章杆件的内力.截面法一、基本要求1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。
表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。
正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。
当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。
4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。
若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即)()(S S x M M x F F ==上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。
5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。
其步骤为：第一，求支座反力。
第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。
在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。
一般每段的两个端点截面为控制截面。
在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。
将控制截面的内力值标在的相应位置处。
分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。
并注明ma xma xMF S、的数值。
（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。
载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为:)()(S x q dxx dF = )()(S x F dxx dM = )()()(S 22x q dx x dF dxx M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。
(a)若某段梁上无分布载荷，即0)(=x q ，则该段梁的剪力F S （x ）为常量，剪力图为平行于x 轴的直线；而弯矩)(x M 为x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
(b)若某段梁上的分布载荷q x q =)(（常量），则该段梁的剪力F S （x ）为x 的一次函数，剪力图为斜直线；而)(x M 为x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
当0>q （q 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当0<q （q 向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。
(c)若某截面的剪力F S （x ）=0，根据0)(=dxx dM ，该截面的弯矩为极值。
利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； 第四，确定maxSF 和maxM。
maxSF 可能出现的地方：①集中力F 作用处；②支座处。
maxM可能出现的地方：①剪力F S =0的截面；②集中力F 作用处；③集中力偶M 作用处。
6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。
平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。
各杆连接处称为刚节点。
刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。
静定刚架：凡未知反力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。
平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。
作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。
剪力图及轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。
平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。
平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架相类似。
三、典型例题分析例2-1 在图2-6F 2、F 3、F 4。
已知：F F 4=4kN 解：1AC 段：以截面（图（b ））。
由0=∑x F 得1N F CD 段：以截面（图(c)）。
由0=∑x F 得N F 2N F DB 段：以截面（图(d)）。
由0=∑x F 得N F 3N F 2．绘轴力图以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力N F ，选取适当比例，绘出轴力图（图（e ））。
在轴力图中正的轴力（拉力）画在x 轴上侧，负的轴力（压力）画在x 轴下侧。
例2-2输出功率分别为P B ＝解：19549=M A =M M B =M D 2．计算各段扭矩BC 段：以截面I 分（图(b)）得负号说明1T 同理，在CA 在AD 段内，03=-D M T m N 4463⋅==D M T3．以横坐标x 表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的扭矩大小，选取适当比例，绘例2-3 弯矩图。
解：1.由,0=∑∑F y F A =2.在ＡＣ段内，x F (S()a x x lFbx F x M A ≤≤=⋅=0,)( 在BC 段内()l x a lFaF x F B <<-=-=,)(S ()()()l x a x l lFax l F x M B ≤≤-=-=,)( 3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。
S F 图：在AC 、CB 段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于x 轴的直线。
在集中力F 作用处，lFbF l Fa F C C ==右左，－S S ，左、右两侧截面的剪力值发生突变，突变量F lFal Fb =--=)(；M 图：在AC 、CB 段内，弯矩方程)(x M 均是x 的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。
求出控制截面弯矩lFabM M M C B A ===，0，标在x M -坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的弯矩图。
显然在集中力F 作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯矩图斜率发生突变，因此在集中力F 作用处弯矩图上为折角点。
例2.3.()()82,0,002qll M l M M =⎪⎭⎫ ⎝⎛==8,22max max S ql M ql F ==在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
且在F S =0处弯矩M 取得极值。
例2-5 如图2-10所示简支梁，在C 点处受矩为M e 的集中力偶作用，试作梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求支反力2.在在3.()()bM M l a M M l M M e e ＝，＝－，右左00== 变。
例2-6 如图2-11解：1.求支反力。
由平衡方程∑=0)(F M B 和∑=0)(F M Aql F A 83=，ql F B 81=2.列剪力、弯矩方程 AC 段：qx ql qx F x F A -=-=83)(S 0(x <22218321)(qx qlx qx x F x M A -=-=)20(lx ≤≤CB 段：ql F x F B 81)(S -=-= )2(l x l<≤)(81)()(x l ql x l F x M B -=-= )2(l x l≤≤3．求控制截面内力，绘Q 、M 图S F 图：AC 段内，剪力方程)(S x F 是x 的一次函数，剪力图为斜直线，求出两个端截面的剪力值，ql F A 83S =，ql F C 81S -=，标在x F -S 坐标系中，连接两点即得该段的剪力图。
CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。
梁AB 的剪力图如图2-11(b)所示。
M 图：AC 段内，弯矩方程)(x M 是x 的二次函数，弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩，0=A M ，2161ql M C =，分别标在x M -坐标系中。
在0S =F 处弯矩取得极值。
令剪力方程0)(S =x F ，解得l x 83=，求得21289)83(ql l M =，标在x M -坐标系中。
根据上面三点绘出该段的弯矩图。
CB 段内，弯矩方程)(x M 是x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在x M -坐标系中，并连成直线。
AB 梁的M 图如图2-11(c)所示。
例2-7解：1.由平衡方程∑F A 2.由于载荷在A 内力图。
根据微分关系)()(S 22dx x dF dxx M d ==剪力图为水平常数=q 3.S S F 图：kN 3S -=右C F ，kN 7S =右A F ，据此可作出CA 和AD 两段S F 图的水平线。
kN 7S =右D F ，kN 5S -=左B F ，据此作出DB 段S F 图的斜直线。
M 图：0=C M ，m KN 8.1⋅-=左A M ，据此可以作出CA 段弯矩图的斜直线。
A 支座的约束反力A F 只会使截面A 左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩值，故m KN 8.1⋅-===A A A M M M 右左，m kN 4.2⋅=左D M ，据此可作出AD 段弯矩图的斜直线。
D处的集中力偶会使D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出m KN 2.1⋅-=右D M ，0=B M ；由DB 段的剪力图知在E 处0S =F ，该处弯矩为极值。
根据BE 段的平衡条件∑=0y F ，知BE 段的长度为0.5m ，于是求得m kN 25.1⋅=E M 。
根据上述三个截面的弯矩值可作出DB 段的M 图。
对作出的S F 、M 图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。
如DB 段内AD 段的S F D 自由端C例2-7 解：1.对CA 对BA 段距B 端为x 2的截面()F x F =2N ，()22S qx x F =，())0(212222l x qx Fa x M <≤-=。