第三章(下) 双变量模型：假设检验

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经济计量学第三讲双变量回归模型的区间估计及其假设检验

决策准则:
5. 如果 t > tc 或 -t < - tc , 则拒绝 Ho
or | t | > | tc |
接受域
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2 -
t
c
a
* Se
2, n-2
bˆ 2
b2
东北财经大学数量经济系
拒绝 H0 区域
( ) bˆ 2
+
tc a 2,
*
n-2
Se
bˆ 2
第三节双变量回归的假设检验（4）
t = 0.5091 - 0.3 = 0.2091 = 5.857 0.0357 0.0357
东北财经大学数量经济系
第三节双变量回归的假设检验（7）
One-Tailed t-test (cont.)
2. 查表得知
tc 0.05, 8
where
tc 0.05 ,
8
=1.860
a = 0.05
3. 比较 t 和临界值 t
sˆ 2
Pr[(n - 2)
s 2 (n - 2)
sˆ 2
] =1-a
2 a/2
2 1-a / 2
东北财经大学数量经济系
第三节双变量回归的假设检验（1）第三节双变量回归的假设检验
一、假设检验的基本问题 1.假设检验的基本思想 2.基本概念
二、假设检验的置信区间方法
东北财经大学数量经济系
一、正态性假定 1.正态性假定的含义 2.随机干扰项做正态假定的理由
二、在正态假定下OLS估计量的性质
东北财经大学数量经济系
第一节正态性假定：经典正态线性回归模型（2）
三、最大似然法 1.双变量回归模型的最大似然估计 — 似然函数 — 最大似然法的基本思想 — 回归系数和随机干扰项的ML估计量

计量经济学第3章双变量模型：假设检验

假设检验的前提是什么？
本章框图一、古典假设
回归结果好坏？三、高斯马尔科夫定理
二、估计量的分布问题
四、假设检验
七、正态性检验
方法统计量显著性
结论
五、拟合优度六、预测
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
一、OLS估计需要的基本假设有哪些
一、OLS估计需要的基本假设有哪些？
十三、案例2股票价格和利率
理论和假说变量选择数据6-13 散点图估计和结果结论的经济意义
十四、案例3房价和贷款利率
理论和假说变量选择数据6-6 散点图估计和结果结论的经济意义
十五、案例4古董和拍卖价格
理论和假说变量选择数据6-14 散点图估计和结果结论的经济意义
第3章双变量模型：模型检验
引子、样本回归参数的估计问题
引子、样本回归参数的估计问题
结论：
样本回归系数随样本变化。样本回归系数是随机变量，如何描述？样本回归系数和总体回归参数是什么关系基于什么条件下，利用最小二乘估计的得
到的样本回归系数可以用来作为总体回归参数的估计？根据什么说明：总体回归函数的模型设定是正确的。
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
习题讨论
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
五、显著性检验方法的原理是什么
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
六、样本回归函数拟合数据好坏的标准是什么？
七、判决系数的性质有哪些？

计量经济学(第四版)习题参考答案

第一章绪论1.1 一般说来，计量经济分析按照以下步骤进行：（1）陈述理论（或假说）（2）建立计量经济模型（3）收集数据（4）估计参数（5）假设检验（6）预测和政策分析 1.2 我们在计量经济模型中列出了影响因变量的解释变量，但它（它们）仅是影响因变量的主要因素，还有很多对因变量有影响的因素，它们相对而言不那么重要，因而未被包括在模型中。

为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对而言不重要因而未被引入模型的变量，以及纯粹的随机因素。

1.3时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民生产总值、就业、货币供给、财政赤字或某人一生中每年的收入都是时间序列的例子。

横截面数据是在同一时点收集的不同个体（如个人、公司、国家等）的数据。

如人口普查数据、世界各国2000年国民生产总值、全班学生计量经济学成绩等都是横截面数据的例子。

1.4 估计量是指一个公式或方法，它告诉人们怎样用手中样本所提供的信息去估计总体参数。

在一项应用中，依据估计量算出的一个具体的数值，称为估计值。

如Y 就是一个估计量，1nii YY n==∑。

现有一样本，共4个数，100，104，96，130，则根据这个样本的数据运用均值估计量得出的均值估计值为5.107413096104100=+++。

第二章计量经济分析的统计学基础2.1 略，参考教材。

2.2N SS x ==45=1.25 用α=0.05，N-1=15个自由度查表得005.0t =2.947，故99%置信限为x S t X 005.0± =174±2.947×1.25=174±3.684也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男高中生的平均身高在170.316至177.684厘米之间。

2.3 原假设120:0=μH备择假设120:1≠μH检验统计量()10/25XX μσ-Z ====查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即此样本不是取自一个均值为120元、标准差为10元的正态总体。

第3章双变量模型-假设检验(1)

n
Xi X Yi Y b2 2 X X i 参数估计量的计算公式为： b1 Y b2 X
消费支出Y 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 0
可支配收入X 1000 2000 3000 4000
小结：用EXCEL和Eviews实现最小二乘法
随机误差项ui的方差2的估计
由于随机项ui不可观测，只能从ui的估计——残差ei出发，对随机项ui的方差2进行估计。
由数理统计的基本原理可以证明，2的最小二乘估计量为
ˆ
2
2 e i
n2
或
2 e i
2 2 2 2 e y b x i i 2 i 2 ˆ n 2 n 2
第3章双变量模型参数的统计检验
一、线性回归模型的基本假设
二、普通最小二乘估计量的方差与标准误
三、OLS估计量的概率分布
四、变量的显著性检验
五、参数的置信区间
§3.1 线性回归模型的基本假设
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF 尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其种最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，使用普通最小二乘法通常对模型要提出若干基本假设。
线性回归模型的基本假设
假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性
如果假设1、2 满足，则假设 3也满足; 如果假设4满足，则假设2 也满足
E(ui)=0
量中，OLS估计量是具有最小方差的最优线性无偏估计量。

[农学]B03 假设检验：双变量模型

1 1 1

i
ˆ ) Var( ˆ ) / Se( 1 1
ˆ ) Se( 0
ˆ ) 2 [ X 2 / n ( X X )2 ] Var( i i 0
2 ( X X ) i
2 2 X /[ n ( X X ) ] i i
5
计量经济学
一、误差项的概率分布
1、进行OLS估计时，对误差项的概率分布没有假定。对误差项的假定仅仅是：均值为0、没有自相关且方差相等，有了这些假定，无论误差项的分布为何，OLS估计量均为BLUE。 2、如果研究的目的只是估计参数，OLS方法就可达到目的。但是，OLS估计量是误差项的线性函数，所以OLS估计量的概率分布依赖于误差项分布的假设。没有分布假设，就不可能对估计的参数做出有意义的评价，也不可能进行假设检验。
计量经济学
2、正态变量经过线性变换后仍为正态变量。 3、分布函数仅涉及两个参数：均值和方差。许多现象都大致服从正态分布。 4、对于小样本或有限容量的样本，正态性假定有助于推导出OLS估计量的精确概率分布，而且 2 能够用t、F和分布来对回归模型的性质进行统计检验。 ◎当样本容量较小时，应注意正态性假定是否适当。当样本容量大到合理程度时，或许能够放松正态性假定。
4
计量经济学
第2节

OLS估计的精度：标准误
一、标准误（Standard Error）
1、OLS估计量是样本的函数，评价估计量的可信度或精度的工具是标准误。在CLRM假定下，OLS估计量的标准误为： ˆ ) E( ˆ )2 2 / ( X X )2 Var(
18
计量经济学
五、关于假设检验的说明

3第三章双变量模型假设检验

如何进行呢？
置信区间法变量的显著性检验
31
3.5假设检验
建立从样本到总体间的联系数学S.A.T一例
P45见3-16，ˆ1 =0.0013，Sˆ1 =0.000245，自由度为8（n-2）
t
ˆ1 -1
ˆ /
xi 2
tn2
假定显著性水平为5%据附录P387可查 t0.05/2 8 2.306
那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行假设检验。
若知道某个估计量的概率分布，则可建立从样本到总体的联系。
26
3.5假设检验
如何建立从样本到总体间的联系
ˆ1 ~ N (1,
2
) xi2
ˆ0 ~ N ( 0 , n
X
2 i

2)
x
2 i
由于 ˆ1服从正态分布，则变量Z服从标准正态分布
Z = ˆ1 -1
ˆ1 -1
S ˆ1
/
xi 2
N 0， 1
由于未知，需用 ˆ 代替，则变量t服从t分布
t
ˆ1 -1
ˆ /
xi 2
tn2
数学S.A.T一例
27
假设检验
先给定对总体参数值的原假设和备择假设，然后根据样本信息，对原假设下的结果进行分析，判断是否拒绝原假设。（拒绝原假设；不拒接原假设）

1
Step4: 如果原假设的 *值落在该区间中，则不拒绝原假设，
否则，拒绝原假设。
29
3.5.2变量的显著性检验
检验步骤：
计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的
（1）对总体参数提出假设 H0： 1=*， H1：1 *

第3章_双变量模型：假设检验

Yi = b1 + b2 X i + ui （一元线性）一元线性）
Yi = b1 + b2 X 2i + b3 X 3i + L + ui
（多元线性）多元线性）
2. 解释变量X与扰动项u不相关假定解释变量X与扰动项u
当X是非随机变量，即确定性变量时，该条件是非随机变量，即确定性变量时，自动满足；自动满足；是随机变量时，该假定要求X 不相关。当X是随机变量时，该假定要求X与u不相关。
Yi = b1 + b2 X i + ei
ˆ Yi = b1 + b2 Xi
E （ Y X i ）＝ B1＋ B2 X i
Yi = B1＋B2 X i + ui
双变量模型：假设检验双变量模型：
X是
非随机的随机误差项u是随机的 Y 的生成是在随机误差项( 上加上一个非随机项( 由于Y的生成是在随机误差项( u)上加上一个非随机项( X)，因而Y也就变成了随机变量。就变成了随机变量。于是必须对yi的分布做一番讨论的分布做一番讨论。于是必须对yi的分布做一番讨论。所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，假定随机误差项是如何生成的所有这些意味着：只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本回归函数对真实回归函数拟合的好坏。回归函数对真实回归函数拟合的好坏。
（博彩支）最小二乘准则
Y 出
Yi
ˆ SRF : Yi = b1 + b2 X i
e1
e3
e2
e4
X4
X
1
X
2
X
3
X(收入收入) 收入
B1、B2的估计

双变量模型假设检验

2

x
2 i
var( b2 )
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
2 u 随机误差项 i的方差的估计：
ˆ
2
e
2 i
n2
它是关于2的无偏估计量。
ei
ˆ
2
2
是残差平方和(RSS)
的正根称为估计值的标准差或是回归标准误
3-12
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
3.2.1 数学S.A.T一例的方差和标准误
1010
1010 10-8 3-13
10-8 0.000245
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
3.2.2 数学S.A.T一例的小结
估计的数学S.A.T函数如下：
ˆ 432.4138 0.0013 X Y i i se (16.9061) (0.000245)
3.1 古典线性回归模型
古典线性回归模型(CLRM)有如下7个基本假定：假定 3.1 回归模型是参数线性的，但不一定是变量线性的。假定3.2 解释变量X与扰动误差项不相关。但是，如果X是非随机的(即其值为固定数值)，则该假定自动满足
cov( X i , ui ) 0 i=1,2, …,n
3-20
3-10
3.2 普通最小二乘估计量的方差与标准误
普通最小二乘估计量的方差和标准误
X 2 var( b1 ) n x

2 i 2 i
se( b1 ) var( b2 ) se( b2 )
3-11
var( b1 )
一旦知道了 ² ,很容易计算等式右边的项,从而可以求得OLS估计量的方差和标准差
3-3

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偏度和峰度，详见335页附录B.6；卡方分布，详见355页附录C.3 卡方分布表，详见394页表E-4
第三章双变量模型：假设检验
第三章双变量模型：假设检验
EVIEWS 正态性检验的输出结果
第三章双变量模型：假设检验
关于检验，有话要说
简单地讲，无论哪种检验(拟合优度检验除外)，过程分以下三步： 1. 知道该检验的原假设H0是什么。 2. 在EVIEWS输出表格中准确地找到该检验的结果——p值，即错误地拒绝掉了一个真实的H0的概率。 3. 将p值与某一选定的显著水平(一般选5%)去比，如果p值小于 5%则拒绝H0，大于5%则不拒绝H0 。
Thank you!
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
提出假设： H0：B2 = 0 (零假设、原假设) H1：B2 ≠ 0 (备择假设)
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
检验统计量 — t 统计量
第353页 t分布
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
t 检验（t -test）
注：显著水平
是犯第一类错误的概率，即当H0为真时却拒绝H0
第373页第一类错误和第二类错误
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
第387页 t分布表
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
第387页 t分布表
第三章双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient Std. Error t-Statistic 85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113 Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0
t Std. Error t-Statistic Coefficient
85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验（包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法（包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
第三章双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
检验随机误差项ui是否服从正态分布 • 由于随机误差项ui 无法观测，因此使用ui的估计量ei替代
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
考虑一个双变量模型：
其中B2反映了自变量X对Y的影响：
如果B2 =0，则表明X对Y没有影响，参数的不显著的；如果B2显著地不等于0，则表明X对Y有显著影响，参数是显著的。
因此有必要用数理统计的方法对参数B2是否为0 进行检验, 这样的检验称为参数的显著性检验。
Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验（包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法（包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
参数显著性检验的三种方法：
｜t｜与临界值做比较
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
第三章双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
第三章双变量模型：假设检验
3.5 参数的显著性检验
与古典线性回归模型有关的一些检验：
统计学检验：
利用统计推断的原理，对模型和参数的可靠性进行检验（包括参数的显著性检验、拟合优度检验、模型的显著性检验等）
计量经济学检验：
计量经济学所特有的统计检验方法（包括多重共线性检验、异方差检验、自相关检验等）
第三章双变量模型：假设检验
相对而言，哪一个拟合得更好？如何判断？
第三章双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
第三章双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
第三章双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
判定系数统计量：
第三章双变量模型：假设检验
3.6 拟合优度检验
判定系数R2度量了回归模型对因变量Y变异(总离差的平方和) 的解释比例(百分比)。因此，在建立计量经济模型时，人们往往将R2作为评选模型的一个重要标准。但有时也会为了模型有一个明确的经济解释必须放弃对高的R2 的要求，这一点在宏观计量经济模型(主要是时间序列分析)中是常见的。当然，如果能够兼顾其他的评选标准和模型的经济解释，R2 越高越好。
将｜t｜与某一选定的显著水平(1%、5%或10%)所对应的临界值比较，如果大于临界值，则拒绝H0
“2倍”检验法
将｜t｜直接和2比较，如果大于2，则拒绝H0
p值检验法
算出｜t｜所对应的p值(精确的显著水平)，如果p值足够小，则拒绝H0
第三章双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
检验方法有很多，例如Anderson-Darling检验、Kolmogorov-Smirnov检验、 Shapiro-Wilk 检验等，其中现在最常用的是Jarque-Bera检验。
第三章双变量模型：假设检验
3.9 正态性检验
Jarque-Bera检验
H0：被检验的对象服从正态分布
统计量
n：样本容量Байду номын сангаасS：偏度，K：峰度雅克和贝拉证明了, 在正态性假设下，JB统计量渐近地(asymptotically)服从自由度为2的卡方分布：
第三章双变量模型：假设检验
EVIEWS 回归结果
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 09/10/02 Time: 18:06 Sample: 1966 1992 Included observations: 27 Variable C P T I H R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficien 85.43924 -1.617484 0.643769 -0.047475 1.943791 0.960015 0.952745 20.48984 9236.342 -117.0847 1.384853 Std. Error t-Statistic 492.8046 0.495976 0.262358 0.012311 0.349156 0.173373 -3.261216 2.453782 -3.856162 5.567113 Prob. 0.8639 0.0036 0.0225 0.0009 0 1026.222 94.25756 9.043312 9.283282 132.0525 0