巧妙求和(二)
学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。
2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。
要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。
3、锻炼学生优良的意志品质。
可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，
以及战胜难题的勇气。
可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。
第十六周巧妙求和（二）
专题简析：
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，
同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才
可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可
考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以
顺利解决。
例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？
分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一
1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？
2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？
分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习二
1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？
3，有10只盒子，44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？
例3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？
分析与解答：假设51个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了50次，第二个依次和剩下的人握手，共握了49次，第三个人握了48次。
依次类推，第50个人和剩下的一人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）
练习三
1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？
2，在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？
3，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
分析与解答：首先应该弄清楚这题是求99个连续自然数的数字之和，而不是求这99个数之和。
为了能方便地解决问题，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计算0~99这100个数的数字之和。
这100个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50对，所以，1~99这99个连续自然数的所有数字之和是18×50=900。
练习四
1，求1~199这199个连续自然数的所有数字之和。
2，求1~999这999个连续自然数的所有数字之和。
3，求1~3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
分析与解答：不妨先求0~199的所有数字之和，再求200~209的所有数字之和，然后把它们合起来。
0~199的所有数字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200~209的所有数字之和为2×10+1+2+…+9=65。
所以，1~209这209个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。
练习五
1，求1~308连续自然数的全部数字之和。
2，求1~2009连续自然数的全部数字之和。
3，求连续自然数2000~5000的全部数字之和。
(八)掌握规律 巧妙求和
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用错位相减法求和应注意以下 3 点 (1)判断模型，即判断数列{an}，{bn}中一个为等差数列， 一个为等比数列； (2)错开位置，一般先乘以公比，再把前 n 项和退后一 个位置来书写，这样避免两式相减时看错列； (3)相减，相减时定要注意式中最后一项的符号，考生 常在此处出错，一定要细心．
故
1 2Pn＋Sn＝ ＋2－a ＝2. an＋1 n＋1
1
速解技法——学一招
经典好题——练一手
常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 掌握规律
巧妙求和
结 束
[技法领悟]
利用裂项相消法求和应注意以下 2 点 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能 前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后， 有时需要调整前面的系数， 使裂开的 两项之差和系数之积与原通项相等． 如： 若{an}是等差数列， 1 1 1 1 1 1 1 1 － 则 ＝d a －a ， ＝ an a ＋ . 2 d ＋ anan＋1 n a a ＋ n 1 n 2 n n 2
所以 an＋1>an>0，an＋1＝an(an＋1)， an＋1－an 1 1 a2 1 n 所以 bn＝ ＝ ＝ ＝ － . an an＋1 1＋an anan＋1 anan＋1 a1 a2 an 1 Pn＝b1b2· …· bn＝ · · …· ＝ ， a2 a3 an＋1 2an＋1
1 1 1 1 1 1 1 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝a －a ＋a －a ＋…＋a －a ＝2－ ， ＋ n a 1 n 1 2 2 3 n＋1
四上.8巧妙求和
第八周：巧妙求和
通项公式： 第n项=首项+（项数-1）×公差 项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1 求和公式： 总和=（首项+末项） ×项数÷2
例题一：求项数
有一个数列：4、10、16、22· · · · · · 52，
这个数列共有多少项？
分析： 项数=（末项-首项）÷公差+1 公差=10-4=6 末项=52 首项=4 项数=（末项-首项）÷公差+1 =（52-4）÷6+1 = 9（项）
练习4：求总和
总和=（首项+项数）×项数÷2 第1题：2+6+10+14+18+22 总和=（2+22）×6÷2=72 第2题： 5+10+15+20· · · · · · +195+200 项数=（200-5）÷（10-5）+1 =40 总和=（5+200）×40÷2 =4100
第3题：9+18+27+36· · · · · · +261+270
项数=（270-9）÷（18-9）+1 =30 总和=（9+270）×30÷2 =4185
例题五：求总和的应用
计算： （2+4+6+ · · · · · ·+100）- （1+3+5+ · · · · · ·+99） 减数 被减数 分析： 先分别求出被减数和减数 被减数 =（2+100）×50÷2 =2550 减数 =（1+99）×50÷2 =2500
第1题：1+2+3+4· · · · · · +49+50
第十六周 巧妙求和(二)
第十六周巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
例1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一1，刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习二1，有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
《巧妙求和》
项数=（100-60）÷（61-60）+1 =41 总和=（60+100）×41÷2 =3280
例题四：等差数列 求等差数列2、4、6···48、50的和 ···
分析： 总和=（首项+末项）×项数÷2 首项=2 末项=50 项数=（50-2）÷（4-2）+1 = 25 总和=（首项+末项）×项数÷2 =（2+50）×25 ÷2 = 650
疯狂操练1：求项数
项数=（末项-首项）÷公差+1
第1题：
项数=（39-1）÷2+1=20
第2题：
项数=（101-2）÷3+1=34
第3题：
项数=（1001-11）÷5+1=199
例题二：求末项
有一个数列：3、7、11、15···这 ···
个数列的第100项是多少？
第n项=首项+（项数-1）×公差 分析： 公差=7-3=4 首项=3 项数=100 第100项=首项+（项数-1）×公差 =3+（100-1）×4 = 399 “1”指的是首项
疯狂操练5：第2题
（2+4+6+···+2000）-（1+3+5 +···+1999 ） ··· ···
方法2：用简便方法
（2+4+6+···+2000）-（1+3+5 +···+1999 ） ··· ··· =（2-1）+（4-2）+（6-5） +···+（2000-1999） ··· 1000个（） =1+1+1 +···+1 ··· 1000个1 =1000
【精品】四年级下册奥数试题-第十一课时 巧妙求和(二) 全国通用
第十一课时巧妙求和（二）【教学目标】1.某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和；2.如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式；3.在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
【教学重点】理解等差数列求和公式的概念，灵活使用等差数列求和公式。
【教学难点】准确确定数列的项数【教学内容】【典型例题】例题1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习1：（1）刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？（2）胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？（3）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？例题2：30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？（1）有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？（2）有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？（3）有10只盒子，44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？例题3：某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？练习3：（1）学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？（2）在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？（3）假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？例题4：求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
四年级《巧妙求和》奥数教案
三、总结：（5分）
记住以下三个公式，可以帮助我们更好地掌握此类问题：
通项公式：第n项＝首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差+1
求和公式：总和＝（首项+末项）×项数÷2
四、随堂练习：
1.一个电影院第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，最后一
排有82个座位，则这些座位被分成几排？
板书：
（82-36）÷2+1=24（排）
答：这些座位被分成24排。
2.工地将一堆规格相同的木料如图码放在空地上，最上面一层有8根，堆了 18层，则最底下一层有多少根木料？
板书：
8+（18-1）×1=25（根）
答：最底下一层有25根木料。
3. 计算3＋11＋19＋……＋99＋107＋115的和。
板书：
（115-3）÷8+1=15
（3+115）×15÷2=885
4.马上父亲节了，卡尔决定为父亲折满一罐纸鹤，她第一天折了15只纸鹤，
之后每天都多折5只纸鹤，一共折了10天，她一共折了多少只纸鹤？
板书：
15+5×（10-1）=60（只）
（60+15）×10÷2=375（只）
答：她一共折了375只。
5.学徒不小心将锁匠的45把锁的钥匙弄乱了，为了使每把锁都找到相配的钥
匙，最多要试几次？
板书：
44+43+…+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：最多要试990次。
二年级数学《巧妙求和 》
1+19=20
3+17=20 5+15=20 7+13=20
原来的式子相当于5个20的和： 20+20+20+20+20=100
9+11=20
拓展训练2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 90
解题思路：通过观察题中有两组一样的 数列，聪明的你想到了哪些方法呢？
小学数学二年级上册——冬之韵
巧妙求和
巧妙求和的常用方法：
1、凑整先算 2、改变运算顺序 3、基数法 4、拆数法
冬之韵 P20
在动物学院里，马老师出了一道数学题：2+4+6+…+18=？ 大家看了都目瞪口呆 ，小兔子算着 :”2+4=6 ，6+6=12，…” 1 分钟后，小猪说：“这道题的答案是 90。” 可是大家都疑惑不解，马老师给大家讲解到：“孩子们，做什 么事都要找窍门。我们可以用：2+18=20，4+16=20， 6+14=20，…，一直到 8+12=20，那么中间就还剩一个 10， 把这几个20 加上，再加一个我们先前没有算的 10，答案是不 是出来了呢？” 大家恍然大悟。 同学们，你会算吗？试着算一算。
2+4+6+8+10+12+14+16+18= 90
解析：利用巧算中的常用方法——凑整，我们可 以用2+18=20，4+16=20，6+14=20，8+12=20，那 么原来这个式子的和为：20+20+20+20+10=90
2第二讲 巧妙求和(二)
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
例1、20把锁的钥匙摆乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙， 至多要试多少次？
分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了19把锁还不行，那所
剩的一把就一定能把锁打开，即开第一把锁至多需要试19次。同理，开第
例2、李铭读一本故事书，他第一天读20页，从第二天起，他每天 读的页数都比前一天多4页，第10天读了56页，正好读完。这本书 共有多少页？
分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多4页”可以知道 他每天读的页数是按一定规律排列的数，即20,24,28，…，52,56。
要求这本书共多少页也就是求这列数的和。这列数是一个等差数列， 首项=20，末项=56，项数=10，因此可以很快得解。
答：共拥抱了630次。
通项公式：an=a1+(n-1)d 项数公式：n=（an-a1）÷d+1 求和公式：Sn=（a1+an）×n÷2
练习三
1、某羽毛球俱乐部进行羽毛球比赛，每个参赛选手都要和其他所有选手 各赛一场，如果有32人参加比赛，问一共要进行多少场比赛？
31+30+29+…+2+1
=（31+1）×31÷2 =32×31÷2 =992÷2 =496（场）
例3、某班有36个同学，庆元旦时每人都和其他所有人拥抱一次，那么共拥抱 了多少次？
分析与解答：假设36个同学排成一排，第一个人依次和其他人拥抱，一 共拥抱35次；第二个人依次和剩下的人拥抱，共拥抱了34次；第三个人拥 抱33次，以此类推，这样，他们拥抱的次数如下：35,34,33，…，2,1。
小三春2巧妙求和
第二讲巧妙求和教室：姓名：【知识要点】聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出1+2+3+4+…+100的结果。
小高斯算得又快又准的方法就是巧妙求和。
【例题精讲】例1、（1）9+10+11+12+13+14（2）1+3+5+7+……+97+99例2、老师读一本小说，第一天读20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读75页，这本书共多少页？例3、100―2―4―6―8―10―12例4、100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？例5、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第一棒的同学跑30米，跑第二棒的跑32米，第三棒的跑34米……小明跑第九棒，他应跑多少米？例6、有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点钟敲12下，每逢半点钟也敲一下。
问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？【池中戏水】1、看谁算得又对又快：（1）1+3+5+7+9+11+13+15 （3）100+102+104+106+108（2）18+19+20+21+22+23+24+25 （4）98+95+92+89+86+83+802、比101小的所有偶数的和是多少？3、小龙读一本科幻书，第一天读18页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多读2页，第30 天读76页正好读完。
这本书共多少页？4、有30把锁的钥匙不慎搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、李明在小学一年级是捐款10元，以后每年捐款数额都是前一年的2倍。
他在读小学的六年中共捐款多少元？【江中畅游】1、我们班级里的42个同学进行象棋比赛，如果用循环赛的方法决出冠军，一共要进行几场比赛？2、五个连续偶数的和是150，这五个偶数是哪几个数？3、有10只盒子，45只乒乓球，能不能把45只乒乓球放到盒子中去，使各个盒子里的乒乓球不相等？【海中冲浪】有30个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大4。
四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和丨苏教版
四年级下册数学教案-6.2 巧妙求和一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握巧妙的求和方法，能够运用所学的求和技巧解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、讨论等活动，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和解决问题的能力。
二、教学重点、难点1. 教学重点：掌握巧妙的求和方法，能够运用求和技巧解决实际问题。
2. 教学难点：灵活运用求和技巧，解决实际问题。
三、教学过程1. 导入通过提问方式引导学生回顾已学的求和方法，为新课的学习做好铺垫。
2. 新课讲解（1）出示例题，引导学生观察、分析、讨论，发现求和的规律。
例题：计算1 2 3 ... 100的和。
（2）引导学生总结求和的方法，并加以验证。
方法一：高斯求和法1 2 3 ... 100 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050方法二：等差数列求和公式1 2 3 ... 100 = (首项末项) × 项数÷ 2 = (1 100) × 100 ÷ 2 = 5050（3）出示练习题，巩固所学方法。
练习题1：计算1 3 5 ... 99的和。
练习题2：计算2 4 6 ... 100的和。
3. 小组合作探究（1）出示探究题，引导学生小组合作，共同解决问题。
探究题：计算1×1 2×2 3×3 ... 10×10的和。
（2）小组展示探究成果，师生共同总结求和方法。
方法：平方求和公式1×1 2×2 3×3 ... 10×10 = n(n 1)(2n 1) ÷ 6 = 3854. 课堂小结通过本节课的学习，学生能够掌握巧妙的求和方法，并能够运用求和技巧解决实际问题。
同时，培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识。
5. 课后作业（布置必做题和选做题）必做题：完成练习册相关题目。