2009多元微积分期末考试试题参考解答

2009多元微积分期末考试试题参考解答 (A 卷) 2009年6月 21 日一．填空题（每空3分，共15题）1. 设函数),(y x f 在2ℜ上连续，交换累次积分的顺序=⎰⎰--21011),(y dx y x f dy ⎰⎰---22111),(x x dy y x f dx2. 累次积分⎰⎰=1012yx dx e dy 21-e 注：交换积分次序即可算出积分值。

3. 记Ω为单位球: 1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(=0 。

注：注意到积分区域和被积函数的对称性可知积分为零。

4. 设+L 为平面曲线1222=+y x ，方向为逆时针方向，则=+-⎰+L y x ydx xdy 222π2 5. 设三元函数)(3)2(ℜ∈C u 满足方程 3222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，∑为单位球面，n 为其外单位法方向，则dS n∑∂=π4。

注：利用Gauss 公式。

6. 设L 为曲线y x y x 8622+=+，则=⎰Ldl x π30。

注：写出曲线的参数方程，再根据计算公式即可算出积分。

7. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰+∑=∧+∧+∧dy zdx dx ydz dz xdy 3)22(R π- 注：利用Gauss 公式。

8. 设 k z j y i x V 222++=，则=V rot 09. 设 k x z j z y i y x V 222++=，则=V div zx yz xy 222++10. 初值问题,0'2''=++y y y 1)0(=y ，1)0('=y 的解为xe x y -+=)21(。

11. 一阶常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=y x dtdy y x dt dx324的通解为t t e c e c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211251 12. 二阶线性常微分方程 0'2=++''y y x y x )0(>x 的通解为)sin(ln )cos(ln 21x c x c +。

注：该方程为Euler 方程。

13. 已知xe 是二阶线性齐次常微分方程0)(22=+y x q dx yd 的一个解，则其通解为x xe c e c x y -+=21)(注：将 解xe 代入方程可知1)(=x q 。

14. 设),(y x u 是微分式dy y e y x dx xy y e x x )sin 2()2cos (22-++的原函数，则=),(y x u C y e y x x ++cos 2215. 设S 为上半球面1222=++z y x ，0≥z ，则=++⎰⎰SdS z y x )(π二．计算题 1. 计算二重积分⎰⎰+Dxy y xdxdy323，其中D 是由两条双曲线1=xy ，3=xy 和两条抛物线x y =2，x y 32=所围成的闭区域。

解：作变换xy u =， x y v /2=。

该变换将xy 平面上的区域D 变成uv 平面上的区域}3,1),{(≤≤=v u v u G 。

G 是正方形。

容易求得v x y xy x y xy y x v u 3/3/2/),(),(det222==-=∂∂。

于是dudv v v u xy y xdxdy DG 31)1(3332⎰⎰⎰⎰+=+⎰⎰=+=3131232ln 21v dv u du 2. 已知曲线积分,)(2A y x ydxxdy L=+-⎰ϕ其中L 为平面上绕原点一周的任意正向闭曲线，A 是与L 无关的常数，ϕ()x 是非负可导函数且ϕ()11=，试求出ϕ()x 及常数A.解 设 l l 12+为任意一条不含原点的正向闭曲线， 取3l 连接1l 与2l 的交点，它和1l 与-2l 均构成包含原点的正向闭曲线，由题意，有⎰+=+31l l A Q d y P d x ⎰+-=+32l l A Q d y P d x两式相减得Pdx Qdy l l +=+⎰012⇒=⇒'=⇒==⇒=∂∂∂∂ϕϕϕϕϕQ x Pyx x x x Cx x x ()()(),()()21122 取L 为x y 221+=正向 π212222=+-=⇒⎰=+y x y x ydxxdy A 3. 设函数()f x 在区间[]0,1上连续，已知2)(1=⎰dx x f ，求积分⎰⎰101)()(xdy y f x f dx 的值。

解：交换积分次序，得()()()()()()11110,y xxdx f x f y dy dy f x f y dx dx f y f x dy ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是()()()()()()()()()()11111000011001100121 21 2x x x dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dy dx f x f y dyf x dx f y dy⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2=4. 计算⎰+-+-+-=L dz y x dy x z dx z yI )3()2()(222222，其中+L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，从z 轴正向看去，+L 为逆时针方向。

解：记S 为平面2x y z ++=上L 所围成部分的上侧，D 为S 在xOy 坐标面上的投影.由斯托克斯公式得⎰⎰--+--+--=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y I )22()62()42(⎰⎰⎰⎰+--=++-=S Ddxdy y x dxdy z y x )6(2)324(322412-=-=⎰⎰Ddxdy三．证明题1.(8分) 设q p ,是正实数且q p 42>，)(x f 是),0[+∞上的连续函数，且0)(lim =+∞→x f x 。

证明：微分方程)(x f qy y p y =+'+''的任一解)(x y 满足0)(lim =+∞→x y x 。

证明：非齐次方程)(x f qy y p y =+'+''的通解为 )()()(02211x y x y C x y C y ++= 其中 xex y 1)(1λ=，xex y 2)(2λ=024222,1<-±-=qp pλ， 0)(lim )(lim 21==+∞→+∞→x y x y x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=-+-+-⎰⎰⎰xx tp x x t p xptxt t x edt t f e e dt t f e W dt t f e W e e e e x y 122112120)(0)(00)()()0(1)()0()(λλλλλλλλ 显然，21λλ-=+p ，12λλ-=+p 。

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=----+∞→+∞→⎰⎰x xtx x t x x e dt t f e e dt t f e W x y 1122000)()(lim )0(1)(lim λλλλ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=----+∞→x x x x x e x f e e x f e W 112212)()(lim )0(1λλλλλλ 由已知，0)(lim =+∞→x f x ，故0)(lim 0=+∞→x y x ，即微分方程)(x f qy y p y =+'+''的任一解)(x y 满足0)(lim =+∞→x y x 。

2.（7分）设函数)(),,(32ℜ∈C z y x f ，且满足222),,(),,(),,(z y x r z y x f z y x f z y x f zz yy xx++==''+''+''， 3),,(ℜ∈∀z y x 。

证明：dS n r f r nf ⎰⎰Ω∂⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-⋅∇1区域Ω的体积，其中Ω为不包含原点的单连通域。

证明：利用gauss 公式，=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-⋅∇⎰⎰Ω∂dS n r f r n f1S d r f r f ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇⎰⎰+Ω∂1 dxdydz r f r f⎰⎰⎰Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=1r1∆＝0 故 =⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∇-⋅∇⎰⎰Ω∂dS n r f r nf1⎰⎰⎰Ωdxdydz ＝Ω的体积。