准确度与误差
如何正确区分误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？
如何正确区分误差、不确定度、精密度、准确度、偏差、方差？在日常分析测试工作中，测量误差、测量不确定度、精密度、准确度、偏差、方差等是经常运用的术语，它直接关系到测量结果的可靠程度和量值的准确一致。
如何区分这些概念呢？一起来看看吧！传统的方法多是用精密度和准确度来衡量。
但是，通常说的准确度和误差只是一个定性的、理想化的概念，因为实际样品的真值是不知道的。
而精密度只是表示最终测定数据的重复性，不能真正衡量其测定的可靠程度。
作为一名分析测试人员，这些术语是应该搞清楚的概念，但这些概念互相联系又有区别，也常常使人不知所云。
在此略作论述，希望能引起大家讨论。
测量误差测量误差表示测量结果偏离真值的程度。
真值是一个理想的概念，严格意义上的真值是通过实际测量是不能得到的，因此误差也就不能够准确得到。
在实际误差评定过程中，常常以约定真值作为真值来使用，约定真值本身有可能存在误差，因而得到的只能是误差的估计值。
此外，误差本身的概念在实际应用过程中容易出现混乱和错误理解。
按照误差的定义，误差应是一个差值。
当测量结果大于真值时，误差为正，反之亦然。
误差在数轴上应该是一个点，但实际上不少情况下对测量结果的误差都是以一个区间来表示（从一定程度上也反映了误差定义的不合理），这实际上更像不确定度的范围，不符合误差的定义。
在实际工作中，产生误差的原因很多，如方法、仪器、试剂产生的误差，恒定的个人误差，恒定的环境误差，过失误差，可控制或未加控制的因素变动等。
由于系统误差和随机误差是两个性质不同的量，前者用标准偏差或其倍数表示，后者用可能产生的最大误差表示。
数学上无法解决两个不同性质的量之间的合成问题。
因此，长期以来误差的合成方法上一直无法统一。
这使得不同的测量结果之间缺乏可比性。
不确定度测量不确定度为“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果想联系的参数”。
定义中的参数可能是标准偏差或置信区间宽度。
不确定度是建立在误差理论基础上的一个新概念，它表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，是定量说明测量结果质量的重要参数。
第二章误差分析讲解
第三节 有限测量数据的统计处理
一、偶然(随机)误差的正态分布
同一矿石样品的n次测定值：
23
y
测量值的波动符合正态分布
y
1
2
exp
1 2 x源自2
µ -0 +
x(测量值) x-µ(误差)
y 表示概率密度
σ—总体标准偏差，表示数据的离散程度
μ—无限次测量的总体平均值，
即F
s12 s22
s1
s2
P一定时，查 F , f1, f2
注意：f1为大方差的自由度 f2为小方差的自由度
如F F ，则两组数据的精密度不存在显著性差异 ，f1, f2
如F F ，则两组数据的精密度存在显著性差异 ，f1, f2 33
练习
例：在吸光光度分析中，用一台旧仪器测定溶液的
由P 95%, f大 5，f小 3 F表 9.01
F F表 两仪器的精密度不存在显著性差异
34
（二）t检验（准确度显著性检验）
1. x 与µ比较
x
t
n
S
当t≥tα,f 存在显著性差异 当t<tα,f 不存在显著性差异
35
练习
例：采用某种新方法测定基准明矾中铝的百分含量， 得到以下九个分析结果，10.74%，10.77%， 10.77%，10.77%，10.81%，10.82%，10.73%， 10.86%，10.81%。试问采用新方法后，是否 引起系统误差？（P=95%）已知含量为10.77%。
26
2.t一定时，由于f不同， 则曲线形状不同，所包 括的面积不同，其概率 也不同。
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电工指示仪表的误差和准确度
电工指示仪表的误差和准确度•误差：在电工测量中，无论哪种电工仪表,也不论其质量多高，它的测量结果与被测量的实际值之间总会存在一定的差值,这个差值叫做误差。
•准确度:是指仪表的测量结果与实际值的接近程度.可见,仪表的准确度越高，误差越小.误差值的大小可以用来反映仪表本身的准确程度。
一、仪表的误差•基本误差：仪表在正常工作条件下，由于仪表本身的结构、制造工艺等方面的不完善而产生的误差叫基本误差。
基本误差是仪表本身所固有的误差,一般无法消除。
•附加误差：仪表因为偏离了规定的工作条件而产生的误差叫附加误差。
附加误差实际上是一种因外界工作条件改变而造成的额外误差,一般可以设法消除.二、误差的表示方法绝对误差、相对误差、引用误差绝对误差：仪表的指示值A x与被测量实际值A0之间的差值,叫做绝对误差。
△＝A x－A0在计算△值时，通常可用标准表的指示值作为被测量的实际值。
将上式变形可得A0＝A x－△＝A x+（－△）＝A x +C上式中的C＝－△称为仪表的校正值。
实际中在测量同一被测量时，我们可以用绝对误差的绝对值来比较不同仪表的准确程度，越小的仪表越准确。
用一只标准电压表来校验甲、乙两只电压表,当标准表的指示值为220V时，甲、乙两表的读数分别为220。
5V和219V，求甲、乙两表的绝对误差。
解:代入绝对误差的定义式得甲表的绝对误差△1＝A x1－A0 ＝220。
5－220＝0.5V乙表的绝对误差△2＝A x2－A0 ＝219－220＝－1V相对误差•绝对误差△与被测量实际值A0比值的百分数，叫做相对误差γ,即•一般情况下实际值A0难以确定，而仪表的指示值Ax≈A0，故可用以下公式计算实际测量中，相对误差不仅常用来表示测量结果的准确程度,而且便于在测量不同大小的被测量时,对其测量结果的准确程度进行比较.已知甲表测量200V电压时△l＝+2V,乙表测量10V电压时△2＝+1V,试比较两表的相对误差。
解：甲表相对误差为乙表相对误差为在测量不同大小的被测量时，不能简单地用绝对误差△来判断测量结果的准确程度。
误差、允差、准确度与不确定度
7
置信水3 准如何理解测量不确定度？
置 信
区
定义的注（1）指出:测量不确定度是“间
说明了置信水准的区间的半宽度”。也就是说
，测量不确定度需要用两个数来表示：一个是
测量不确定度的大小，即包含区间半宽；另一
个是包含概率（或置信概率、置信水准），表
明测量结果落在该区间有多大把握。
例如：身高为1.8m或加或减0.1m，包含概率为 95％。则该结果可以表示为：
一、误差、允差、准确度与不确定度
（一）测量误差、准确度与不确定度 （二）示值误差、允差与不确定度
2010-5-24
3
（一）测量误差、准确度与不确定度
1、用不确定度评定来代替误差评定的原因
用传统方法对测量结果进行误差评定主要遇到两方面的问题 ：
（1）逻辑概念
真值无法得到，因此严格意义上的误差也无法得到，能得 到的只是误差的估计值。误差的概念只能用于已知约定真值的 情况。
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真值
正确度高, 但精密度低
随机误差大 系统误差大
精密度高, 但正确度低
准确度高!
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图1.1 正确度、精密度与准确度
10
5
有限次数测量平均值(总 体均值的一个无偏估计)
总体均值
总体概率分布的期望
样本
均值
真值 测得值
误差
vi = yi − y
残差
单次测量值
测得值概率 分布曲线
10
续表1.1 测量误差与不确定度的主要区别
序含 号义
测量误差
测量不确定度
测量误差用来定量表示测量 结果与真值的偏离大小。
测量不确定度用来定量表示测量结 果的可信程度。
分析结果的准确性和精密度
分析结果的精密度可以用单次测量结果的平均偏差表示。平均偏差没有 正负号。用这种方法求得的平均偏差成为算术平均偏差。 平均偏差的另一种表示方式为标准偏差。
相对标准偏差(RSD)，也称为变异系数，可按下式计算：
标准偏差较平均偏差有更多的统计意义。因为单次测定的偏差平方后， 较大的偏差更显著地反映出来，能更好的说明数据的分散程度。因此， 在考虑一种分析方法的精密度时，通常用相对标准偏差来表示。
其中：c2：加标样品测试值，ug/mL V2：加标样品体积，mL c1：未加标样品测试值，ug/mL V1：未加标样品体积，mL c0：加入标准溶液的浓度，ug/mL V0：加入标准溶液体积，mL
本计算公式是基于加标样品和未加标样品的质量一致的前提，如两者不 一致，则应折算为一致的质量。
回收率的范围一般控制为70％－90％，根据项目的不同，由实验室技术 指导进行适当调整。回收率的测定结果记录在《回收率测定记录表》中。
8.标准曲线的回归
目的是为了确定未知浓度，其原理是测量值与标准值成比例，可构造二 元一次方程。
感谢下 载
感谢下 载
3.分析结果的报告 （1）例行分析
（2）多次测定结果 以算术平均值或中位置报告结果，并报告平均偏差及相对平均偏差。 中位值是指一组测定值按大小顺序排列时中间项的数值。
四、提高分析精确度的方法
食品定量分析中的误差，分为系统误差和随机误差。
系统误差是有固定原因造成的，在测定过程中按一定的规律重复出现，， 一般有一定的方向性，即测定值总是偏高或总是偏低。这种误差的大小 是可测的。并且可以通过对照试验，空白试验、仪器校正等方法加以矫 正。根据来源，系统误差可以分为方法误差、仪器误差、实际误差和操 作误差四大类
误差-准确度-精密度和不确定度的定义以及它们之间的关系
误差\准确度\精密度和不确定度的定义以及它们之间的关系在产品质量检验的实际工作中，时常会遇到误差值、准确度、精确度和不确定度问题。
特别是一次性的检验活动中，如食品、酒类样品的分析；建筑材料（水泥、砖、钢筋）的检验；轻纺产品的检测等等，都离不开这些定义的运用与归纳。
因此，作为检验、检测的技术机构应充分掌握和理解它们之间的关系，并在实际检验工作中运用好准确度与误差值、精密度和不确定度之间的关系。
对正确判定检验结论有很大的帮助。
1误差的定义误差是指测定的数值或其他近似值与真值的差。
例如：以0. 33代替1/3，其绝对误差就是1/300；相对误差就是l%。
2准确度的定义准确度是指测量值与真实值之间相符合的程度。
准确度的高低常以误差的大小来衡量。
即误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。
为了说明一些仪器测量的准确度，常用绝对误差来表示。
如：分析天平的称量误差是±0.0002g；常量滴定管的读数误差是±0. 01ml等等。
3精密度的定义精密度是指在相同条件下，n次重复测量结果彼此相符合的程度。
精密度的大小，常用偏差表示，偏差越小，说明精密度越高。
为能准确衡量精密度，一般用标准偏差来表示。
其数学公式为：样本标准偏差S= [∑(Xi - X)2/（n-1）] 。
4不确定度的定义在《国际计量学基本和通用术语词汇表》中不确定度的定义为：表征合理地赋予被测量之值的分散性与测量结果相联系的参数。
在实际工作中，结果的不确定度，可能有很多来源。
如定义不完整，取样、基体效应和干扰，环境条件，质量和容量仪器的不确定度，参考值，测量方法和程序中的估计和假定以及随机变化等。
例如，对二等铂铑10 ——铂热电偶标准装置不确定度的评定，当在800℃点时，校准证书上表明，修正值为0.6℃，测得的平均值是800. 2℃，则实际结果为：t= 800.2℃+0. 6℃=800.80℃，其中不确定度U95=1.5℃（置信概率95%时，则KP =2）。
第二章 误差和分析数据的处理(改)
记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正 记录的数字不仅表示数量的大小， 确地反映测量的精确程度。 确地反映测量的精确程度。
结果 绝对误差 相对误差 ±0.002% ±0.02% ±0.2% 有效数字位数 5 4 3
0.51800 ±0.00001 0.5180 0.518 ±0.0001 ±0.001
E
绝对误差与相对误差的计算
仪器的绝对误差通常是一个定值，我们可以 仪器的绝对误差通常是一个定值， 相对误差 测量值(x) 真值 真值(µ) 绝对误差 绝对误差(δ) 物品 测量值 (RE%) 用称（ 取较大质量（体积）的试样， 用称（量）取较大质量（体积）的试样，使 0.0002g A 0.2175g 0.2173g 0.1% 测量的相对误差较少， 测量的相对误差较少，在实际工作中意义较 0.0002g B 1% 大。 0.0217g 0.0215g
δ A = xA − µA = 0.2175− 0.2173 = 0.0002 当测量值的绝对 误差恒定时， δB = xB − µB = 0.0217 − 0.0215 = 0.0002 误差恒定时，被
测定的量越大， 测定的量越大， 0.0002 δA RE (A) = % ×100%= ×100%= 0.1% 相对误差越小， 相对误差越小， 0.2173 µA 测定的准确性也 0.0002 δB 就越高。 就越高。 RE (B) = ×100%= % ×100%= 1%
n
i
d=
∑x −x
i =1 i
n
n
=
37.40 + 37.20 + 37.30 + 37.50 + 37.30 = 37.34 5
n
=
0.06 + 0.14 + 0.04 + 0.16 + 0.04 = 0.088 5
第一节 测量值的精密度和准确度
误差的分类
系统误差 偶然误差 过失误差
系统误差
定义：又称可定误差，是分析过程中由某些 固定原因造成的误差。
特点：a.重现性 b.单向性（都是正误差或都是负误差） c.大小存在一定规律 d.改变实验条件可以发现 e.可以校正消除
系统误差的来源
方法误差：方法不完善 仪器误差：仪器不准或未校正 试剂误差：试剂不纯 操作误差：个人操作问题
解：绝对误差 （1）0.0021 - 0.0020 = 0.0001（g） （2）0.5001 - 0.5000 = 0.0001（g） 相对误差 （1）0.0001/0.0020 100% =5.0% （2）0.0001/0.5000 100% =0.02%
说明：在制定标准时,低含量组分相对误差可
第一节 测量值的精密度和准确度
误差公理
实验结果都有误差，误差自始 至终存在于一切科学实验的过程之 中。测量结果只能接近于真实值，而 难以达到真实值。
一、准确度和误差 (accuracy and error)
准确度：表示分析结果(测量值)与真实 值接近的程度。 误差：即测定值与真实值之间的差异， 是用来表示准确度的数值。
（主观误差）
系统误差的表现方式
恒定误差：多次测定中系统误差的 绝对值保持不变 比例误差：系统误差的绝对值随样 品量的增大而成比例增大
偶然误差
又称随机误差或不可定误差，是由某些偶 然因素引起的误差。
偶然误差特点
a.方向不确定（误差时正时负） b.大小不确定（误差时大时小） c.符合统计规律
绝对值相等的正负误差出现概率基本相等 小误差出现的概率大,大误差出现的概率小
三、准确度与精密度的关系
1.精密度不高，准确度一般不高，故精密度高 是准确度高的前提; 2.精密度高，准确度不一定高； 3.在消除系统误差的前提下，精密度高，准确 度也会高； 只有精密度、准确度都高的数值，才可取。
电工仪表的误差和准确度
电工仪表的误差和准确度准确度:是指测量结果（简称示值）与被测量真实值（简称真值）间相接近的程度，是测量结果准确程度的量度。
误差:是指示值与真值的偏离程度。
准确度与误差本身的含义是相反的，但两者又是紧密联系的，测量结果的准确度高，其误差就小，因此，在实际测量中往往采用误差的大小来表示准确度的高低。
由于制造工艺的限制及测量时外界环境因素和操作人员的因素，误差是不可避免的。
根据引起误差的原因不同，仪表误差可分为基本误差和附加误差。
基本误差:是在规定的温度、湿度、频率、波形、放置方式以及无外界电磁场干扰等正常工作条件下，由于仪表本身的缺点所产生的误差。
附加误差:是由于外界因素的影响和仪表放置不符合规定等原因所产生的误差。
附加误差有些可以消除或限制在一定范围内，而基本误差却不可避免。
仪表的准确度等级:绝对误差与仪表的最大量程比值的百分比%100⨯∆=mm A A K 注意：被测量比仪表量程小得越多，测量结果可能出现的最大相对误差值也越大。
例如用1.0级量程为150V 的电压表测量30V 的电压，可能出现的最大相对误差为5％，而改用1.0级量程为50V 的电压表测量30V 的电压，可能出现的最大相对误差为 1.67％。
所以选用仪表的量程时应使读数在2／3量程以上。
一、磁电式仪表磁电式仪表的优点：刻度均匀、灵敏度高、准确度高、消耗功率小、受外界磁场影响小等。
磁电式仪表的缺点：结构复杂、造价较高、过载能力小，而且只能测量直流，不能测量交流。
使用注意事项：电表接入电路时要注意极性，否则指针反打会损坏电表。
通常磁电式仪表的接线柱旁均标有+、－记号，以防接错。
二、电磁式仪表仪表指针的偏转角度与线圈电流的平方成正比，即：α=KI 2。
可见电磁式仪表标尺上的刻度是不均匀的。
电磁式仪表也可以测量交流三、电动式仪表定线圈中通入直流电流I 1时产生磁场，磁感应强度B 1正比于I 1。
如果可动线圈通入直流电流I 2，则可动线圈在此磁场中就要受到电磁力的作用而带动指针偏转，电磁力F 的大小与磁感应强度B 1和电流I 2成正比。
精密度准确度与误差
精密度 准确度 误差 灵敏度 检测限 有效数字
精密度
定义：
精密度是指在规定的测试条件下，同一个均 匀样品，经多次取样测定所得结果之间的接近程 度。精密度一般用偏差、标准偏差（SD）或相对 标准偏差（RSD）来表示。 偏差、标准偏差（SD）或相对标准偏差 （RSD）越小，说明测定结果越集中，精密度越 好。方法的精密度好是准确度高的前提，但方法 的精密度好，准确度不一定高，只有在消除了系 统误差的前提下，精密度、准确度也才高。
准确度
定义：
计算量或测量量与真值相接近的程度。 准确度:是用来同时表示测量结果中系统误差和 随机误差大小的程度. 多次测量值的平均值与真值的接近程度。 测量值与真实值接近的程度称为准确度，两者 之差叫误差。准确度的高低常用误差表示，误差越 小，分析结果的准确度越高。 准确度决定于系统误差和偶然误差，表示测量 结果的正确性。
有效数字
所谓有效数字：具体地说，是指在分析工作 中实际能够测量到的数字。所谓能够测量到 的是包括最后一位估计的，不确定的数字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数 字;把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数 字.把测量结果中能够反映被测量大小的带有 一位存疑数字的全部数字叫有效数字.如上例 中测得物体的长度7.45cm.数据记录时,我们 记录的数据和实验结果的表述中的数据便是 有效数字
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2．分类： （1）按来源分
a．方法误差：方法不恰当产生 b．仪器与试剂误差：仪器不精确和试剂中 含被测
组分或不纯组分产生
c．操作误差： 操作方法不当引起 （2）按数值变化规律分
a．恒定误差 b．非恒定误差
（二）过失误差（不正当误差）
观测者疏忽大意，操作错误，读错数或者 算错数引起的误差称为过失误差。
2）相对误差
定义： 测量的绝对误差与被测量的真值之比
绝对误差 相对误差 = 真值 100%
x
= x0 100%
绝对误差
绝对误差很小
相对误差 = 测得值 100%
x
= x 100%
表示：百分数（%）--- 分子分母量纲相同
确切反映测量效果：被测量的大小不同 --- 允许的测量误差不同
被测量的量值小 --- 允许的测量绝对误差也越小
(一)准确度与误差
1．准确度：指测量结果与真值的接近程度
2．误差 （1）绝对误差：测量值与真实值之差
x
（2）相对误差：绝对误差占真实值的百分比
x
RE% 100% 100%
RE% 100% x
注：绝对误差很小
注：仪器分析法——测低含量组分，RE大
化学分析法——测高含量组分，RE小
（二）精密度与偏差
1.增加平行测定次数，一般测3～4次以减小偶 然误差
2. 消除测量过程中的系统误差 1）校准仪器：消除仪器的误差 2）空白试验：消除试剂误差 3）对照实验：消除方法误差 4）回收实验：加样回收，以检验是否存在方
法误差
解：
x 10.43%
d di 0.18% 0.036%
n
5
d 100% 0.036% 100% 0.35%
x
10.43%
s
d
2 i
8.610 7 4.610 4 0.046%
n 1
4
s 100% 0.046% 100% 0.44%
x
10.43
（三）准确度与精密度的关系
1. 准确度高，要求精密度一定高 但精密度好，准确度不一定高
1．精密度：平行测量的各测量值间的相互接近程度
2．偏差： （1）绝对偏差 ：单次测量值与平均值之差
d xi x
（2）相对偏差：绝对偏差占平均值的百分比
d 100% xi x 100%
x
（3）平均偏差：各测量值绝对偏差的算术平均值
xi x
d n
（4）相对平均偏差：平均偏差占平均值的百分比
（三）偶然误差（随机误差，不可定误差）：
由不确定原因引起
特点： 1)不具单向性（大小、正负不定） 2)不可消除（原因不定）
但可减小（测定次数↑） 3) 分布服从统计学规律（正态分布）
误差的基本理论
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的定义：
测量所得数据与其相应的真值之差 --- 1）绝对误差
2. 准确度反映了测量结果的正确性 精密度反映了测量结果的重现性
1）精密度是保证准确度的先决条件：精密 度不符合要求，表示所测结果不可靠，失 去衡量准确度的前提。
2）精密度高不能保证准确度高。 换言之，准确的实验一定是精密的，
精密的实验不一定是准确的。
作业
误差的消除
提高“信噪比” ➢ 增加仪器观测精度和缩短观测时间间隔 ➢ 改善观测条件 用数字滤波方法来“过滤”无规则的噪音 算术平均值对误差的消除 加权算术平均
例：质量G1=50g，误差1=2g；质量G2=2kg，误差2=50g
G1的相对误差为 G2的相对误差为
1=
1
G1
100% =
2 50
100% = 4%
2=
2
G2
100% =
50 2000
100% = 2.5%
--- G2的测量效果较好
误差的表示方法
（一）准确度与误差 （二）精密度与偏差 （三）准确度与精密度的关系
误差及其处理
一、误差分类及产生原因
（一）系统误差 （二）过失误差 （三）偶然误差
（一）系统误差:
由可定原因产生
1．特点：具单向性（大小、正负一定 ） 可消除（原因固定） 重复测定重复出现
系统误差误差主要来自仪器自身的缺陷、实 验原理或者实验方法的不完善、周围环境对测量 的影响以及观测者不良的测量习惯等方面。
d 100%
xi x 100 %
x
nx
（5）标准偏差：
x
n
(xi )2
i 1
n
n
(xi x)2
Sx
i 1
n 1
μ已知
μ未知
（6）相对标准偏差（变异系数）
RSD Sx 100% x
练习
例：用丁二酮肟重量法测定钢铁中Ni的百分含量，结果 为10.48%,10.37%,10.47%,10.43%,10.40%;计算单次 分析结果的平均偏差，相对平均偏差，标准偏差和 相对标准偏差。
测量误差 = 测得值 - 真值
x = x – x0
客观真实值（未知）
① 约定真值：是一个接近真值的值，它与真值之差可忽略不计。
例如，由国际数据委员会(CODATA)推荐的真空光速、阿伏加德 罗常量等特定量的最新值。
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值
③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值