金融工程(期权)
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金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
金融工程12-期权的希腊字母
希腊字的定义 • delta（D）度量当股票价格增加1美元时期权价格的变化。 • gamma（G）度量当股票价格增加1美元时D的变化。 • vega度量当波动率有一个百分点的增加时期权价格的变化。
• theta（q）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 • rho（r）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时
Theta与股价的关系
X
15
Gamma
• Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有 效的.
• 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须考 虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta就 会出现风险。
• 即:
– Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要 频繁调整头寸。
证明：c S
N (d1) S
N (d1) d1
d1 S
Xer
N (d2 ) d2 d2 S
由于 d1 d2 ,则 S S
Xer N (d2 ) Xer（
1
e ） - d22 2
d2
2
d2 d1
Xer
2
exp(
1 2
(d12
2 d1
2 ))
Xer [ 1
e e ]
1 2
d12
5
Delta
• Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价 值对标的资产价格变化的敏感性
D c S
• 图示
S(0)
6
Delta——无收益资产的欧式股票期权
• 利用BS公式，可以推导出
Dc N d1
D p N d1 1 0
• Delta与股价的关系
1
S(0)
7
• theta（q）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 • rho（r）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时
Theta与股价的关系
X
15
Gamma
• Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有 效的.
• 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须考 虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta就 会出现风险。
• 即:
– Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要 频繁调整头寸。
证明：c S
N (d1) S
N (d1) d1
d1 S
Xer
N (d2 ) d2 d2 S
由于 d1 d2 ,则 S S
Xer N (d2 ) Xer（
1
e ） - d22 2
d2
2
d2 d1
Xer
2
exp(
1 2
(d12
2 d1
2 ))
Xer [ 1
e e ]
1 2
d12
5
Delta
• Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价 值对标的资产价格变化的敏感性
D c S
• 图示
S(0)
6
Delta——无收益资产的欧式股票期权
• 利用BS公式，可以推导出
Dc N d1
D p N d1 1 0
• Delta与股价的关系
1
S(0)
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《金融工程》第十五章 股指-外汇-期货与利率为标的的期权
19:52
7
利率期权
利率期权的分析和定价要困难得多，这是因为：
➢
➢
➢
➢
19:52
利率期权的标的资产－利率的随机过程比股票价格或
是汇率的变化要复杂得多，几何布朗运动难以较好地
捕捉利率的随机运动规律。
特定时刻的利率不是一个数值，而是整条利率期限结
构，所以我们用以描述利率随机运动规律的模型必须
能捕捉整条利率曲线的特征。
6
期货期权
当无收益标的资产服从几何布朗运动时，其期
货价格F同样服从几何布朗运动
dF ( r ) Fdt Fdz
欧式期货看涨期权和欧式期货看跌期权的价格
(Black期权定价公式）分别为
c e r (T t ) [ FN (d 1 ) XN (d 2 )]
p e r (T t ) [ XN (d 2 ) FN (d 1 )]
视为支付连续红利的资产，因而欧式的股价指
数期权、外汇期权和期货期权都可以在支付连
续收益的欧式期权定价模型中得到应用。
19:52
3
默顿模型
根据默顿模型，标的股票支付连续红利的欧式
看涨期权和看跌期权的价值分别为
c Se
qT t
p Xe
r T t
N d1 Xe
N d2 Se
r T t
qT t
N d2
N d1
当q＝0时，默顿模型就转化为基本的B-S-M模
型。
虽然几乎所有的股票都是离散支付红利，但当
股票指数包含的股票数量足够多时，该组合可
能总是有一部分股票支付红利。总体上看，近
金融工程-第三章--期权市场机制
只有期权为实值期权时才会被行使。
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2024/7/18
期权市场机制
9.4 股票期权的特征
➢ 9.4.3 术语 ➢ 期权的内涵价值=max(0，期权立即被行使的价值)， ①看涨期权的内涵价值为max(0，S-K)； ②看跌期权的内涵价值为max(0，K-S)。 ➢ 实值美式期权的价值至少等于其内涵价值，因为立即行权实
方法1:买入100股股票； 假定投资者的预期正确，股票在5月时上涨到27美元，方法1 的
盈利为100*（27-20）=700； 假定股票在5月时下跌到15美元，方法1 的亏损为100*（15-20）
=-500；
期权投机案例（3）
方法2：买入2000个看涨期权（即20份合约）。 假定投资者的预期正确，股票在5月时上涨到27美元，2000
看涨期货期权的实际收益等于max（FT-K）;看跌期货期权的 实际收益等于max（K-FT）; FT是期权被行使时的期货价格， K为期权的执行价格。
【例】某投资者买入12月份玉米期货的看跌期权，执行价格 为每蒲式耳400美分。合约规模是5 000蒲式耳玉米。假定当 前12月份交割的玉米期货的价格为380美分，在最近一个结算 日，玉米期货的结算价格为379美分。
现其内涵价值； ➢ 期权的时间价值=期权整体价值-期权内涵价值。
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期权市场机制
期权的时间价值
期权时间价值 = 期权价格 − 期权内在价值
期权的时间价值是在期权尚未到期价值。
期权的时间价值是基于期权多头权利义务不对称这一特性，在期 权到期前，标的资产价格的变化可能给期权多头带来的收益的一 种反映。
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期权市场机制
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欧式期权的回报What is the Option Position in Each Case?
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期权市场机制
9.4 股票期权的特征
➢ 9.4.3 术语 ➢ 期权的内涵价值=max(0，期权立即被行使的价值)， ①看涨期权的内涵价值为max(0，S-K)； ②看跌期权的内涵价值为max(0，K-S)。 ➢ 实值美式期权的价值至少等于其内涵价值，因为立即行权实
方法1:买入100股股票； 假定投资者的预期正确，股票在5月时上涨到27美元，方法1 的
盈利为100*（27-20）=700； 假定股票在5月时下跌到15美元，方法1 的亏损为100*（15-20）
=-500；
期权投机案例（3）
方法2：买入2000个看涨期权（即20份合约）。 假定投资者的预期正确，股票在5月时上涨到27美元，2000
看涨期货期权的实际收益等于max（FT-K）;看跌期货期权的 实际收益等于max（K-FT）; FT是期权被行使时的期货价格， K为期权的执行价格。
【例】某投资者买入12月份玉米期货的看跌期权，执行价格 为每蒲式耳400美分。合约规模是5 000蒲式耳玉米。假定当 前12月份交割的玉米期货的价格为380美分，在最近一个结算 日，玉米期货的结算价格为379美分。
现其内涵价值； ➢ 期权的时间价值=期权整体价值-期权内涵价值。
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期权市场机制
期权的时间价值
期权时间价值 = 期权价格 − 期权内在价值
期权的时间价值是在期权尚未到期价值。
期权的时间价值是基于期权多头权利义务不对称这一特性，在期 权到期前，标的资产价格的变化可能给期权多头带来的收益的一 种反映。
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期权市场机制
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欧式期权的回报What is the Option Position in Each Case?
第十二章 期权定价理论 《金融工程学》PPT课件
➢ 由于方程中不存在风险偏好，那么风险将不会对其解产生影响，因此 在对期权进行定价时，可以使用任何一种风险偏好，甚至可以提出一 个非常简单的假设：所有投资者都是风险中性的
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
（6）Black－Scholes期权定价公式 Black－Scholes微分方程，对于不同的标的变量 S 的不同衍生证券，会 有许多解，解这个方程时得到的特定衍生证券的定价公式 f 取决于使用 的边界条件，对于股票的欧式看涨期权，关键的边界条件为： f=Max（ST－K，0） （12—28） 由风险中性可知，欧式看涨期权的价格Ｃ是期望值的无风险利率贴现的
第12章 期权定价理论
12.1 期权价格概述
➢ 12.1.1期权定价概述
➢ 在所有的金融工程工具中，期权是一种非常独特的工具。因为期 权给予买方一种权利，使买方既可以避免不利风险又可以保留有 利风险，所以期权是防范金融风险的最理想工具。但要获得期权 这种有利无弊的工具，就必须支付一定的费用，即期权价格
一定的假设条件下得到的，这些条件包括：股票价格满足布朗运动；
股票的收益率服从正态分布；期权的有效期内不付红利。该公式的不
足之处是它允许有负的股票价格和期权价格，这显然和实际是不相符
合的，而且该公式没有考虑货币的时间价值。由于其理论的不完备，
计算结果的不准确，再加上当时市场的不发达，因此该定价公式在当
N（d）=
1
d
e
x2
2
dx
2
（12—3）
这些公式都应有以下假设： （1）没有交易费。 （2）可以按无风险利率借入或贷出资金
12.2布莱克—斯科尔斯（B-S）模型
➢ 对期权的定价理论进行开创性研究的学者是法国的Bachelier。1900
金融工程第9章 股票期权定价公式
后得到的实际（连续复利）收益率的概率分布是正态分布，其均值为：
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：
S : 股票价格变化
c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
0.17 0.22 / 2 0.15
标准差为 20%。因为一个正态分布的变量有 95%的可能性落在 其均值两侧 2 倍的标准差范围内，一年后我们得到的实际收益率每年 在-25%和+55%之间的可信度为 95%。
预期收益率
dS dt dz
1. 股票价格的对数正态性质
对数正态分布
如果变量的对数遵循标准正态分布，则变量本身遵循的是对数正态 分布
假设股票价格随时间的变化遵循的是对数正态分布
股票收益（股价的变动）的对数遵循的是正态分布 如果股价从100涨到110，收益率为10%，但是收益变动的对数为ln
（110/100）=0.0953 收益的对数表示的实际上就是连续复利收益率，100exp（0.0953）
1、股票价格的预期增长率会发生变化 2、用来计算衍生证券收益的折现率也发生变化
这两种变化是能够完全抵销的
风险中性定价在远期合约的应用
到期时合约价值： 期初合约的价值：
12.16 12.17
12.18 12.19
Black-Scholes定价公式
期初时，欧式看涨期权和看跌期权的Black-Scholes定价公式分别是：
S : 股票价格变化
c 欧式看涨期权的价格变化
c 0.4S
无风险证券组合应包括： 1、0.4单位的股票多头； 2、1单位的看涨期权的空头
BSM模型与二叉树模型的区别
1、B-S-M模型的时间间隔非常短； 2、套期比率必须随时调整； 3、必须保证每个时刻都能完全对冲风险
BSM微分方程的推导
股票价格运动模型：
40e0.160.5 43.33
方差为
402 e20.160.5 e0.20.20.5 1 37.93
金融工程(第五版)期权损益及二叉树模型
2. 债券支付(收益)在到期日收敛于它的面值,此外多数债券有票息支付
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
3. 设利率也是取二值的过程
4.设债券面值为D，半年的票息为Ci，i=1,…,2n，若把此债券看成面值 与票息分离的债券，则债券的现金流相当于2n份面值为Ci和一份面值 为D的零息债券。
债券价格树的构造 (一) 风险中性方法
1. 一年期债券的价格树 2. 一年半期债券的价格树
设股票在0时刻的价格为S(0)=S0， 在t=1 时刻价格为S(1)是随机变量，它可能的取值为S11或S12 (S12 > S11 ) 在t=2时刻价格为S(2)，它可能取值为S21<S22 <S23 < S24 假设存在无风险投资，即可在银行存款，每期得到无风险回报为R（=1+r）， 同时假设在银行里存款和从银行贷款，所支付的利率一样。 为了排除套利 机会，下列条件必须满足：
1 r d
q= ud
p=q
所以通常也称p为风险中性概率
例如:设S=21，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22 ，求C。
注1.由此可知套期保值证券组合所需要的投资
21-1 1.869596=19.13
在期末所得到的无风险收益为22。
S-mC=21-1 1.869565=19.13 uS-mCu=1.4 21-1 7.4=22
它是牛市价差买卖与熊市价差买卖的组合，即购入一份执行价格为 X1 和其一中份，执X2>行X价3 格> 为X1X，2的且看涨X3期权X，1 再2 X卖2出两份执行价格为X3的看涨期权。 4.底部马鞍式组合（ bottom straddle 或买马鞍式）： 购入一份看涨期权和一份看跌期权，执行价格均为 X
Bd,t+1 +票息- mCd,t+1= B u,t+1 +票息- mCu,t+1
金融工程学第七章：期权工具及其配置
2005年2月 10
MMI期货 先买进2个合约，价格为 441.85之后卖出两个合 约，价格451.45
Value line 期货 卖出1个合约，价格 为251.20，买进1个 合约价格为256.55
差额 190.65 194.90
赚9.6点*2*250=4800美 元
亏5.35点*500=2675 （美元）
净赚48002675=2125（美元）
2005年2月
11
例如：某人以协定价格140（指数）、保险费2.75买一个 纽约证券交易所综合指数期货的5月到期的看涨期权。 若5月份该指数升为160，期权买主行使权利，在期权交易 上可赚（160-14方手中买一份该指数期货，价格为160*500=80000 美元，比他在买期权时的期货价格贵8625美元（80000142.75*500），为了克服这一缺陷，1983年2月初，芝加 哥期权交易商会发明了一种既不建立在任何指数期货基础 上，又不根据任何流行指数的指数期权-普尔100指数期权 普尔100指数期权是在一定时期内按协定价格购买或出售 构成该指数的一篮子股票。普尔100指数由普尔500股票指 数中最热门的股票构成。普尔100指数期权行情---期权费 以每股报价。例如7月份看涨期权协定价格为180 期权费为9 3/8 实际期权费=9*3/8*100=937.5 美元，期权价值为180*100=18000 美元 12 2005年2月
9
利用两种股票指数期货进行套期保值 MMI 指数包括 20 种大公司股票，而 VL 指数包括 1650 种股票，如果股票变动趋向上升，可能MMI指数期货 涨幅高于VL指期，利用其差异可以做套期保值。 交易单位：主要市场指数价值为250倍 清算；每天根据主要市场指数期货收盘清算，用最后 交易日的收盘价以现金偿付。 报价：1点250美元，自然增殖0.05点。如MMI为350， 期货价格便为250*350=87500美元 每日价格限制：20点 合同月份：每月一次 交易时间：芝加哥时间星期一至星期五上午8.15至8： 15至下午3：15。 最后交易日：交易月份的第三个星期五
MMI期货 先买进2个合约，价格为 441.85之后卖出两个合 约，价格451.45
Value line 期货 卖出1个合约，价格 为251.20，买进1个 合约价格为256.55
差额 190.65 194.90
赚9.6点*2*250=4800美 元
亏5.35点*500=2675 （美元）
净赚48002675=2125（美元）
2005年2月
11
例如：某人以协定价格140（指数）、保险费2.75买一个 纽约证券交易所综合指数期货的5月到期的看涨期权。 若5月份该指数升为160，期权买主行使权利，在期权交易 上可赚（160-14方手中买一份该指数期货，价格为160*500=80000 美元，比他在买期权时的期货价格贵8625美元（80000142.75*500），为了克服这一缺陷，1983年2月初，芝加 哥期权交易商会发明了一种既不建立在任何指数期货基础 上，又不根据任何流行指数的指数期权-普尔100指数期权 普尔100指数期权是在一定时期内按协定价格购买或出售 构成该指数的一篮子股票。普尔100指数由普尔500股票指 数中最热门的股票构成。普尔100指数期权行情---期权费 以每股报价。例如7月份看涨期权协定价格为180 期权费为9 3/8 实际期权费=9*3/8*100=937.5 美元，期权价值为180*100=18000 美元 12 2005年2月
9
利用两种股票指数期货进行套期保值 MMI 指数包括 20 种大公司股票，而 VL 指数包括 1650 种股票，如果股票变动趋向上升，可能MMI指数期货 涨幅高于VL指期，利用其差异可以做套期保值。 交易单位：主要市场指数价值为250倍 清算；每天根据主要市场指数期货收盘清算，用最后 交易日的收盘价以现金偿付。 报价：1点250美元，自然增殖0.05点。如MMI为350， 期货价格便为250*350=87500美元 每日价格限制：20点 合同月份：每月一次 交易时间：芝加哥时间星期一至星期五上午8.15至8： 15至下午3：15。 最后交易日：交易月份的第三个星期五