线性规划作业
线性规划第一次作业
五类典型经济问题黄渭清 380401181、 安排问题：企业如何依据现有生产能力与市场状况，安排各种产品的产量，使得各种产品销售后获得的总利润最大；某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表2 — 4所示试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
安排问题用分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；分别表示奶牛和鸡的饲养数；分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有321,,x x x 54,x x 76,x x 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=2、 投资问题：投资者将一定数量的资金投向各企业，如何依据不同的获利情况，分配对各企业的投资额，使得若干年后收入最高；某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。
西安交通大学MBA运筹学作业,关于线性规划的作业题
《运筹学》书上有关线性规划的作业题目一、将给出的线性规划问题化为标准型和对偶型两种类型： Min Z = X 1 + 3X 2 + 2X 3 + 4X 42X 1 + 3X 2 - X 3 + X 4 = 10 S.t. 3X 1 - 2X 2 + 2X 3 - X 4 ≥ -5X 1 - X 2 + X 3 - X 4 ≤ -3X 1≥0 ， X 2≤ 0， X 3 ≥0 ，X 4符号不限解：（1）令444x x x '''=-，其中440,0x x '''≥≥， 在第二个约束不等式左边加上松弛变量5x ， 在第三个约束不等式左边减去松弛变量6x ， 令z z '=-，化min z 为max z '，则标准型为：12344max 3244z x x x x x ''''=+++- 123441234451234461234456231032215..30,0,,,,,0x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x '''+-+-=⎧⎪'''-+-++=⎪⎨'''-+-+-=-⎪⎪'''≥≤≥⎩（2）设对偶变量为123,,y y y ，对偶问题模型为：Max 1231053w y y y =--123123123123123231323..2240,0,0y y y y y y s t y y y y y y y y y ++=⎧⎪--≤⎪⎪-++≤⎨⎪--≤⎪⎪≥≤≥⎩ 二、已知某线性规划问题的约束条件为：2X 1 + X 2 - X 3 = 30 -X 1 + 2X 2 + X 3 - X 4 = 55X 2 + X 3 - 2X 4 - X 5 = 60 X j ≥0 ， j = 1, 2, … ,5判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的顶点。
第二章 线性规划习题(附答案)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z
1
0
2
0
1/5
3/5
-1/5
27
x1
3
1
-1/3
0
1/3
-1/3
2
5
x3
4
0
1
1
-1/5
2/5
-4/5
3
由于增加决策变量 后求得的最优单纯形表为：
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z
1
1/10
89/30
0
7/30
17/30
0
55/2
x6
3
1/2
-1/6
0
1/6
-1/6
习题
2-1判断下列说法是否正确：
（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；
（2）对偶问题的对偶问题一定是原问题；
（3）根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
（4）若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；
（8）已知yi为线性规划的对偶问题的最优解，若yi>0，说明在最优生产计划中第i种资源已经完全耗尽；若yi=0，说明在最优生产计划中的第i种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
解：(1)令 ，增加松弛变量 ，剩余变量 ，则该问题的标准形式如下所示：
(2)令 ， ， ，增加松弛变量 ，则该问题的标准形式如下所示：
则可知，最优解变为 ，最优值变为27。
（3）先将原问题最优解变量值代入，因有
线性规划应用 作业
第五节 线性规划应用举例例1 生产计划问题某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、、 21共m 种资源。
生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每单位的利润分别为n c c c 、、、 21。
工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为m b b b 、、、 21。
上述情况可表示在如下生产情况表中。
解：设：n A A A 、、、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。
问题的线性规划模型为：,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n nn x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c例2．货运问题某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。
这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。
一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。
问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。
模型为：,1805.0563.02.0400500z max 21212121≥≤+≤++=x x x x x x x x解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000例3：混合配料问题某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。
现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示：解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。
线性规划作业
1.（建模） Metalco 公司生产一种新的合金，新合金的成分为40%的锡、35%的锌和25%的请建立数学模型确定各种合金的比例，以使新产品的生产成本最低。
（财经社，数据模型与决策4.18，p137）2.用单纯形法求解下列线性规划问题。
（清华编写组，运筹学第三版，1.4，p45）（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0,24261553.2max 21212121x x x x x x t s x x z （2） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤+=0,18231224.52max 21212121x x x x x x t s x x z3.（同上，2.9，p76）现有线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-++-=0,,)2(9010412)1(203..1355max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列条件下，最优解分别有什么变化？ （1） 约束条件（1）的右端常数由20变为30； （2） 约束条件（2）的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x3的系数由13变为8；（4） x1的系数列向量由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛50；（5） 增加一个约束条件（3）10010510321≤++x x x4.（蓝伯雄，管理数学（下），2.11，p90）某厂生产甲、乙两种产品，需要A 、B 两种原料，（1） 请构造数学模型使该厂利润最大，病求解该问题。
（2） 原料A 、B 的影子价格为多少？（3） 现有新产品丙，每件需消耗3千克原料A 和4千克原料B ，问该产品的销售价格至少为多少时才值得生产？（4） 工厂可在市场上买到原料A 。
工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基不变的前提下，最多应购入多少？可增加多少利润？。
线性规划
B. (3, 4, 0, 0)
C. (2, 0, 1, 0)
D. (3, 0, 4, 0)
标准答, 4x1+3x2<=24,x2>=10,x1,x2>=0，则（）
（分数：1，完成次数：64）
A. 无可行解
B. 有唯一最优解
C. 有无界解
A. 6
B. 20
C. 16
D. 3
标准答案：B
16.
minZ=3x1+4x2, x1+x2≥4, 2x1+x2≤2,x1,x2≥0则(）（分数：1，完成次数：64）
A. 无可行解
B. 有唯一最优解
C. 有多重最优解
D. 有无界解
标准答案：A
17.
下例错误的说法是( )（分数：1，完成次数：64）
A. 标准型的目标函数是求最大值
D. 若存在σj≥0，且该列系数Pj>0，则线性问题最优解不存在（无界解）
标准答案：A
14.
已知线性规划问题maxz=-5x1+5x2+13x3约束条件-x1+x2+3x3≤20,12x1+4x2+10x3≤20, x1…x3≥0的最优解为x*=(0,20,0,0,10)，如果增加一个约束条件2x1+3x2+5x3≤50，则最优基、最优值会( )（分数：1，完成次数：64）
正确 错误
标准答案：正确
34.
线性规划问题的基本解对应可行域的顶点（分数：1，完成次数：64）
正确 错误
标准答案：错误
35.
图解法与单纯形法,虽然求解的形式不同,但从几何上理解,两者是一致的
线性规划作业
线性规划作业
1.1．某厂用甲乙两种原料生产A ，B 两种产品，生产每吨产品需要各种原料的数量(吨)、每吨产品的利润及工厂现有原料量如表1所示，问该厂如何安排生产才能获得最大的总利润？建立该问题的线性规划模型。
表1
1.2. 某工厂制造A 和B 两种产品。
制造一公斤A 产品需要煤9吨，劳动力3个（以工作日计），电力4千瓦；制造一公斤B 产品需要煤4吨，劳动力10个，电力5千瓦。
制造一公斤A 产品能获利7千元，制造一公斤B 产品获利1万2千元，该厂现有煤360吨、电力200千瓦、劳动力300个，问在现有资源下，应该制造A 和B 产品各多少公斤，才能获得最大利润？建立该问题的线性规划模型。
1.3. 某公司打算利用具有下列成分（见表2）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。
1.4. 将下列线性规划问题化成标准形式
1234123412341234123 (1)min 3425 2310 315 s.t. 2322,0,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+++-=-⎧⎪-+++≤⎪⎨-+-+≥⎪⎪≥≤⎩ 123
134123
1234123(2) m i n 2
12 2 3 10,,0
z x x x x x x x x x x x x x x x x =-+-+-≤⎧⎪+-≥-⎪⎨
++-=
⎪⎪≤≥⎩。
线性规划作业
线性规划作业（数学规划作业一）1、用两种编程方式求解下列问题2、将下述问题化成标准线性规划问题3、奶制品的生产销售计划一奶制品加工厂用牛奶生产A 1、A 2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类生产设备上用12h 加工成3kg A 1种奶制品，或在在乙类生产设备上用8h 加工成4kg A 2种奶制品.若A 1、A 2两种奶制品全部能售出,且甲种奶制品售价24元/kg, 乙种奶制品售价16元/kg 。
现在工厂每天能得到50桶牛奶,每天正式工人总的劳动时间为480h,且甲类生产设备每天至多加工100kg 甲种奶制品, 乙类生产设备每天加工乙种奶制品没有限制.为了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术，用2h 和3元加工费，可将1kg A 1加工成0.8kg 高级奶制品B 1;也可将1kg A 2加工成0.75kg 高级奶制品B 2，B 1与B 2售价分别为44元与32元，试为该工厂制订一个生产计划,使每天获利最大.并进一步讨论以下3 个问题:（1）、若用30元买一桶牛奶，投资3元可以增加1h 劳动时间，是否投资？若每天投资150元，可获利多少？（2）、每kg 高级奶制品B 1与B 2的获利经常有10%的波动，对制订生产销售计划有影响？若B 2的获利下降10%，计划是否变化？（3）、若工厂已签订了每天销售10kg A 1的合同并且必须满足，该合同对工厂的获利有什么影响？4、供水问题某市从A 、B 、C 三个水库向甲、乙、丙、丁四个生活区供应自来水，C 不能向丁区供水.四个生活区每天的基本生活用水分别为30，70，10，10（单位103t ），并且每天申请了额外的用水量分别为50,70,20,40（单位103t ）;三个水库每天最多只能供应50,60,50（单位103t ）.由于地理位置不同,向各区送水所需的引水管理费不同(表1),其他管理费每单位(103t)450元,但向各区都统一收取每单位(103t)900元.问怎样制定供水方案,才能使获利最大?为了增加供水量,拟对水库进行改造,使各水库的最大供水量增加1倍,问怎样制定供水方案,才能使获利最大?表1 引水管理费(元/103t)⎪⎩⎪⎨⎧-≤+---≤-+--≤+--2143214321432132132..x x x x x x x x x x x x t s 4321432min x x x x z +++=),,,{min(max 11211i mi im i mi i i mi i x x a x a x a i∑∑∑=== ⎩⎨⎧=≥=+++m i x x x x t s im ,,2,1,01.215、货物装运问题某架货机有前、中、后三个货舱,所能装载的货物的最大重量和体积都有限制(见表1),且三个货舱实载货物的重量与其最大限载重量成比例.表1 最大限载量现有四类货物由本机装载,信息如表2:表2 四类货物装载信息问应如何装运,使本架货机获利最大?。
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线性规划作业
（数学规划作业一）
1、用两种编程方式求解下列问题
2、将下述问题化成标准线性规划问题
3、奶制品的生产销售计划
一奶制品加工厂用牛奶生产A 1、A 2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类生产设备上用12h 加工成3kg A 1种奶制品，或在在乙类生产设备上用8h 加工成4kg A 2种奶制品.若A 1、A 2两种奶制品全部能售出,且甲种奶制品售价24元/kg, 乙种奶制品售价16元/kg 。
现在工厂每天能得到50桶牛奶,每天正式工人总的劳动时间为480h,且甲类生产设备每天至多加工100kg 甲种奶制品, 乙类生产设备每天加工乙种奶制品没有限制.为了增加工厂的获利，开发了奶制品的深加工技术，用2h 和3元加工费，可将1kg A 1加工成0.8kg 高级奶制品B 1;也可将1kg A 2加工成0.75kg 高级奶制品B 2，B 1与B 2售价分别为44元与32元，试为该工厂制订一个生产计划,使每天获利最大.并进一步讨论以下3 个问题:
（1）、若用30元买一桶牛奶，投资3元可以增加1h 劳动时间，是否投资？若每天投资150元，可获利多少？
（2）、每kg 高级奶制品B 1与B 2的获利经常有10%的波动，对制订生产销售计划有影响？若B 2的获利下降10%，计划是否变化？
（3）、若工厂已签订了每天销售10kg A 1的合同并且必须满足，该合同对工厂的获利有什么影响？
4、供水问题
某市从A 、B 、C 三个水库向甲、乙、丙、丁四个生活区供应自来水，C 不能向丁区供水.
四个生活区每天的基本生活用水分别为30，70，10，10（单位103
t ），并且每天申请了额外
的用水量分别为50,70,20,40（单位103t ）;三个水库每天最多只能供应50,60,50（单位103
t ）.
由于地理位置不同,向各区送水所需的引水管理费不同(表1),其他管理费每单位(103
t)450
元,但向各区都统一收取每单位(103
t)900元.问怎样制定供水方案,才能使获利最大?
为了增加供水量,拟对水库进行改造,使各水库的最大供水量增加1倍,问怎样制定供水方案,才能使获利最大?
表1 引水管理费(元/103
t)
⎪⎩⎪
⎨⎧-≤+---≤-+--≤+--2
1432143214321321
32..x x x x x x x x x x x x t s 4
321432min x x x x z +++=)
,,,{min(max 1
1
21
1i m
i im i m
i i i m
i i x x a x a x a i
∑∑∑=== ⎩⎨⎧=≥=+++m i x x x x t s i
m ,,2,1,01.21
5、货物装运问题
某架货机有前、中、后三个货舱,所能装载的货物的最大重量和体积都有限制(见表1),且三个货舱实载货物的重量与其最大限载重量成比例.
表1 最大限载量
现有四类货物由本机装载,信息如表2:
表2 四类货物装载信息
问应如何装运,使本架货机获利最大?。