勾股定理第一节
勾股定理的证明
【证法1】
c a
b
∵
1 2
ab×4+(b-a)² =c²
2ab+（b² -2ab+a² ）=c²
∴a² +b² =c²
【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2
b a
a
a
b
c
c a
c
b a
a b c
在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
b
C
c a
B
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC² - BC² = 5² -2² C =21 ∴ AB= 21（米） (舍去负值）
D
C
B
1）两锐角之间的关系： 2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
看 一 看
一种 铺 拉 下数 成 斯 图量 的 去 相 案关 地 朋 传 ，系 面 友 两 看， 反 家 千 看同 映 作 五 你学 直 客 百 能们 角 ， 年 发， 三 发 前 现我 角 现 ， 什们 形 朋 一 么也 三 友 次 ？来 边 家 毕 观的用达 察某砖哥
c
股
b
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
• 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它 斜边上的高为__________。 • 4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第 三边长的平方是（ ） • A、25 B、14 C、7 D、7或25 • 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则 三角形的面积为（ ） • A、56 B、48 C、40 D、32
2、下列说法正确的是（ D ） A.若a、b、c是△ABC的三边，则: a 2 b2 c 2 2 2 2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则 a b c A 90 ， C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 则 a 2 b2 c 2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C 90 ， 则 a 2 b2 c 2
• • • • • 1、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。
• 2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b 、c是△ABC的三边，则 • ⑴c= 。（已知a、b，求c） • ⑵a= 。（已知b、c，求a）
勾股定理
历史因你而改变
学习因你而精彩
问题情境
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风 景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意 图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方 便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200 米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少？
c
a b
b
c
b
a
b
S=1/2ab×4+ c² =1/2ab ×4+ a² +b² a² +b² =c²
【 证法3】（1876年美国总统Garfield证 D 明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两 个全等的直角三角形，则每个直角 b 三角形的面积等于ab. 把这两个直 角三角形拼成如图所示形状，使A、 A E、B三点在一条直线上.
你能发现图中的等腰直角三角形有什 么性质吗？
A
B
C
等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直 角边的平方和。
（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟） 一般的直角三角形三边关系
在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条 直角边的平方和，其他的直角三角形中也 有这个性质吗？
A a B b
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长 为c.猜想:两直角边a、b
576
③
X=15
Y=5
Z=7
求下列直角三角形中未知边的长x:
比 一 比 看 谁 算 得 又 快 又 准 ！
X=15 17
X=12
X=13 5 16
8
x
20
x
12
x
勾股定理运用二: 可用勾股定理建立方程.
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____ 13
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( 24 ).
a
B
D
B
E C
作业
必做题：课本77页第1、2、3题. 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定 理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的 意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取 得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。
（一）、课前准备（2分钟）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何 A 语言表示）
c
C c
a
b
a D
美国总统证法：
D c C c a
b A
a
b
D
∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b) =1/2ab×2+1/2 c²
∴a² +b² =c²
三、应用定理 巩固新知
例：星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩
,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰 高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地 面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距 1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少? 分析：已知△ABC中，
ACB 90
，
AC=900米，BC=1200米， 求斜边AB的长.
四、随堂练习
• 1、如图，直角△ABC的主要性质是： ∠C=90°，（用几何语言表示） • ⑴两锐角之间的关系： ； • (2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： A ； D • (3)三边之间的关系：
C B
五.课堂检测
与斜边c 之间的关系？
c
C
SA+SB=SC
2 2 2 a +b =c
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2 勾 a 弦
A
B
A
625
P
做一做：
225 P的面积 =______________
25 AB=__________
C B
400
20 BC=__________
15 AC=__________
6
2
4 2 X=_________
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想. ３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下 列说法正确的是（ C） A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个 169 ． 的面积S3为________
S1 S3
S2
第4题图
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第 三边的长为 。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
a
b
c
分层测试:
A组: 1、在 ABC中，C 90 ， AB=7, AC=3,求BC的长. A
b
C
A
c
B组: 2、如图，在矩形ABCD中， DE⊥AC于E，设AE=8， 且AD=10, EC = 4, 求DE 和AB的长
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三 条边长.
2 2 2 c =a +b
2 2 2 a =c -b
2 2 2 b =c -a
（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， C 90 ， 5 ； 1）如果a=3，b=4，则c=________ 10 ； 2）如果a=6，b=8，则c=________ 3）如果a=5，b=12，则c=________ 13 ； 4) 如果a=15，b=20，则c=________. 25
【证法1】
c a
b
∵
1 2
ab×4+(b-a)² =c²
2ab+（b² -2ab+a² ）=c²
∴a² +b² =c²
【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2
b a
a
a
b
c
c a
c
b a
a b c
在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
b
C
c a
B
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC² - BC² = 5² -2² C =21 ∴ AB= 21（米） (舍去负值）
D
C
B
1）两锐角之间的关系： 2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
看 一 看
一种 铺 拉 下数 成 斯 图量 的 去 相 案关 地 朋 传 ，系 面 友 两 看， 反 家 千 看同 映 作 五 你学 直 客 百 能们 角 ， 年 发， 三 发 前 现我 角 现 ， 什们 形 朋 一 么也 三 友 次 ？来 边 家 毕 观的用达 察某砖哥
c
股
b
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
• 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它 斜边上的高为__________。 • 4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第 三边长的平方是（ ） • A、25 B、14 C、7 D、7或25 • 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则 三角形的面积为（ ） • A、56 B、48 C、40 D、32
2、下列说法正确的是（ D ） A.若a、b、c是△ABC的三边，则: a 2 b2 c 2 2 2 2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则 a b c A 90 ， C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 则 a 2 b2 c 2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C 90 ， 则 a 2 b2 c 2
• • • • • 1、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。
• 2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b 、c是△ABC的三边，则 • ⑴c= 。（已知a、b，求c） • ⑵a= 。（已知b、c，求a）
勾股定理
历史因你而改变
学习因你而精彩
问题情境
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风 景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意 图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方 便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200 米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少？
c
a b
b
c
b
a
b
S=1/2ab×4+ c² =1/2ab ×4+ a² +b² a² +b² =c²
【 证法3】（1876年美国总统Garfield证 D 明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两 个全等的直角三角形，则每个直角 b 三角形的面积等于ab. 把这两个直 角三角形拼成如图所示形状，使A、 A E、B三点在一条直线上.
你能发现图中的等腰直角三角形有什 么性质吗？
A
B
C
等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直 角边的平方和。
（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟） 一般的直角三角形三边关系
在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条 直角边的平方和，其他的直角三角形中也 有这个性质吗？
A a B b
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长 为c.猜想:两直角边a、b
576
③
X=15
Y=5
Z=7
求下列直角三角形中未知边的长x:
比 一 比 看 谁 算 得 又 快 又 准 ！
X=15 17
X=12
X=13 5 16
8
x
20
x
12
x
勾股定理运用二: 可用勾股定理建立方程.
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____ 13
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( 24 ).
a
B
D
B
E C
作业
必做题：课本77页第1、2、3题. 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定 理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的 意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取 得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。
（一）、课前准备（2分钟）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何 A 语言表示）
c
C c
a
b
a D
美国总统证法：
D c C c a
b A
a
b
D
∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b) =1/2ab×2+1/2 c²
∴a² +b² =c²
三、应用定理 巩固新知
例：星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩
,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰 高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地 面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距 1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少? 分析：已知△ABC中，
ACB 90
，
AC=900米，BC=1200米， 求斜边AB的长.
四、随堂练习
• 1、如图，直角△ABC的主要性质是： ∠C=90°，（用几何语言表示） • ⑴两锐角之间的关系： ； • (2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： A ； D • (3)三边之间的关系：
C B
五.课堂检测
与斜边c 之间的关系？
c
C
SA+SB=SC
2 2 2 a +b =c
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2 勾 a 弦
A
B
A
625
P
做一做：
225 P的面积 =______________
25 AB=__________
C B
400
20 BC=__________
15 AC=__________
6
2
4 2 X=_________
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想. ３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下 列说法正确的是（ C） A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个 169 ． 的面积S3为________
S1 S3
S2
第4题图
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第 三边的长为 。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
a
b
c
分层测试:
A组: 1、在 ABC中，C 90 ， AB=7, AC=3,求BC的长. A
b
C
A
c
B组: 2、如图，在矩形ABCD中， DE⊥AC于E，设AE=8， 且AD=10, EC = 4, 求DE 和AB的长
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三 条边长.
2 2 2 c =a +b
2 2 2 a =c -b
2 2 2 b =c -a
（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， C 90 ， 5 ； 1）如果a=3，b=4，则c=________ 10 ； 2）如果a=6，b=8，则c=________ 3）如果a=5，b=12，则c=________ 13 ； 4) 如果a=15，b=20，则c=________. 25
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人教版八年级数学下册_第一节《勾股定理》勾股定理
下列说法中,正确的是
（
）
下列说法中,正确的是
（
）
2.你还有什么疑问，问问老师。 通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
（1）若a=6，b=8，则c=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
在Rt△ABC中，∠C=90°.
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
1.本节课你有什么收获？你学到了什么？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10，则b=
.
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形三边之间的关系规律了吗？
思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？
说给大家听听。 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
（2）若c=13，b=12，则a=
.
在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
第1课时 勾股定理
思考：在网格中一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A、B、C 是否也有类似的面积关系？观察下边两幅图(每个小正方形的面积为单位1)：
9
13
右图 16
9
25
Hale Waihona Puke 思考 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之 间有怎样的特殊关系？
通过前面的探究活动，你发现了直角三角形
在Rt△ABC中，∠C=90°.
三边之间的关系规律了吗？ 在Rt△ABC中，两直角边长分别为3和 ，则斜边长为
.
已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
勾股定理(第1课时)精选教学PPT课件
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边 长，求第三条边长.
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° A ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC²- BC²
情境引入
换成下图你有什发现？说出你的观点.
等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和.
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC
直角三角形三边有什么关系？ 两直边的平方和等于斜边的平方
课中探究
其它直角三角形是否也存在这种关系？ 观察下边两个图并填写下表:
A的面积 B的面积 C的面积
于斜边的平方.
B
在Rt△ABC中，∠C=900 ，
边BC、AC、AB所对应的边 勾 a
分别为a、b、c则存在下列
弦
c
关系， a2+b2=c2
Cb
A
股
此结论被称为“勾股定理”.
勾股定理
如果直角三角形的两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。”
她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛；
第一节 勾股定理(含答案)...八年级数学 学而思
第一节 勾股定理1.勾股定理如果直角三角形的两直角边分别是a ，b ，斜边为c ，那么.222c b a =+即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，如图7-1-1所示，注：勾——最短的边， 股——较长的直角边， 弦——斜边．勾股定理反映了直角三角形中三边间的关系，因此利用它可以解决有关边长的计算问题，也可以解决与直角三角形有关的一些平方关系的证明问题． 2.勾股定理的证明如图7-1-1所示，图①是一个直角三角形，方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图②所示的正方形：.,214)(S 22222c b a ab c b a ABCD =+∴⨯+=+=正方形Θ方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图③所示的正方形：.,214)(S 22222EF c b a ab b a c GH =+∴⨯+-==正方形Θ方法三：“总统”法，如图④所示将两个直角三角形拼成直角梯形：.,212122))((S 2222ABCD c b a c ab b a b a =+∴+⨯=++=梯形117--3.直角三角形的性质(1)两锐角互余．(2)三边满足勾股定理．(3)斜边上的中线等于斜边的一半． (4)ο30角所对的直角边等于斜边的一半，另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即.ch ab =4. 直角三角形的判定 (1)有一个角是直角． (2)两锐角互余．(3)勾股定理的逆定理．(4)一条边上的中线等于这条边的一半（用时需证）．1.勾股定理应用常见注意事项(1)勾股定理只适用于直角三角形．(2)运用勾股定理时，要分清直角边和斜边，如果题目没有指明，则需分类讨论． (3)勾股定理将“数”与“形”有机结合，是数形结合思想方法的典范， 2.勾股定理证明方法的注意事项(1)目前已知的勾股定理证明方法有几百种，大多本质是应用面积方法算两次，即利用同一个图形公式法算出的面积和割补法算出的面积相等这一等量关系列出方程进行证明； (2)如图7-1-1所示，图②，③这两个弦图是正方形或者等腰直角三角形证明过程中的常用模型，必须掌握熟练． 3. 构造直角三角形的常用方法(1)作高，如图7-1- 201，②所示．(2)补全，如图7-1 - 2③，④所示． 图7- I-2(3)分割，如图7—1—2⑤所示． 4.直角三角形边的关系(1)斜边上的高×斜边=直角边乘积． (2)斜边上的中线等于斜边的一半．(3) 30。
《勾股定理》PPT精品课件(第1课时)
解：本题斜边不确定，需分类讨论： B 4
当AB为斜边时，如图
BC2 AB2 AC2 16 9 7，
3 C 图
B
4 AA 3 C
图
BC 7.
方法点拨：已知直角三角形的两边求
当BC为斜边时，如图
第三边,关键是先明确所求的边是直
BC2 AB2 AC2 16 9 25， 角边还是斜边,再应用勾股定理. BC 5.
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
c2 4 1 ab b a 2 a2 b2.
2
cb a b-a
赵爽弦图
知识讲解
右图是四个全等的直角三角形拼成的.请你根据此图， 利用它们之间的面积关系推导出: a2 b2 c2
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,
知识讲解
猜想直角三角形的三边关系
B
C A
图中每个小方格子都是 边长为1的小正方形．
问题1
1、 BC=_3__, AC=_4__, AB=__5_ 2、 S黄 =_9__, S蓝 =1_6__, S红 =2_5__
3、S黄、S蓝与S红的关系是S_黄__+_S_蓝_=__S_红_.
4、能不能用直角三角形ABC的三边表 示S黄、S蓝、S红的等量关系？
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× 1 ab+c2
2
=c2+2ab， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2 +b2 =c2.
a b
ac b
b ca
cb a
知识讲解
勾股定理
勾股定理(动画课件)
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的 对边分别是a，b，c. (1)已知a＝b＝6，求c； (2)已知c＝3，b＝2，求a； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.
导引：分清斜边和直角边．因为在Rt△ABC中，a，b， c是三边，所以可以用勾股定理解决问题．
解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6， ∴由勾股定理，得 c a2 b2 62 62 6 2.
斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正
确的是( C )
A．b2＝c2－a2
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．c2＝a2＋b2
4 【中考·东营】在△ABC中，AB＝10，AC＝
2 10 ，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等
于( C )
A．10
B．8
C．6或10
D．8或10
5 【 中考·陕西】如图，将两个大小、形状完全相同 的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重 合，点C′落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB＝ ∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为( A ) A．3 3 B．6 C．3 2 D.
(3)你能发现图2-1中三个正方 形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积.
观察所得到的各组数据，你有什么发现？
A a
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
勾股定理 (毕达哥拉斯定理)
6 【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若 线段AD长为正整数，则点D的个数共有( C ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
《勾股定理》PPT优质课件(第1课时)
A． 3
B．3
C． 5
D．5
E
课堂检测
基础巩固题
1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的
长为（ C）
A.13
B.17
C. 15
D.18
2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则
另一直角边长为（ A ）
A.8
B.40
C.50
D.36
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a︰b=3︰4，c=100，则 a= _6_0___，b = __8_0___.
课堂检测
4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_____4_9_____cm2 ．
C D
B A
7cm
课堂检测
能力提升题
在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.
解：本题斜边不确定，需分类讨论：
当AB为斜边时，如图，BC 42 32 7;
形，拼成一个新的正方形.
探究新知 剪、拼过程展示：
b
a ca
朱实
b 朱实 黄实朱实
c 〓b
ba
朱实
a
M a P bb
N
探究新知 “赵爽弦图”
c
朱实
b
朱实
黄实 朱实
a
朱实
证明：∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
探究新知
毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图 示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152，
勾股定理第一课时PPT课件
58厘米
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
a
5、如图将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上,BC长 为2.16米,求梯子上端A到墙的底端B的距离AB(精确 到0.01米)
分析：先把实际问题转化成数学问题。 求：AB的长。
解：在Rt⊿ABC中，∠ABC = 90º， BC = 2.16 ， CA = 5.41 根据勾股定理得： AB = AC 2 BC 2 5.412 2.162 4.96（米）
两直边的平方和等于斜边的平方
同学们，我们也来 观察图中的地面， 看看你能发现什么？ 是否和大哲学家有 同样的发现呢？
你能发 现图中 的等腰 直角三 角形有 什么性 质吗？
A B C
观察 & 发现
C A
B
（1）观察图形 正方形A中含有 9 ___个小方格即A的 9 面积是位面积-----正方形B中含有 个小方格，即B的 9 面积是__ 个单位 9 面积-----正方形C中含 有 18 个小方格， 18 即C的面积是____ 个单位面积。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边 为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2+ a 2 c
2 b
2 =c
b 股 2 - a2 =b2 c 在西方又称毕达哥拉斯定理！
2 =a2 b
勾a
弦
c
想一想：
1、已知：a＝3， b＝4，求c c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b b 3、已知： c ＝13，a＝5，求阴影部分面积 4 、小明妈妈买了一部29英寸 c （74厘米）的电视机.小明量了电 a 视机的屏幕后，发现屏幕只有58 厘米长和46厘米宽，他觉得一定 是售货员搞错了.你同意他的想法 46厘米 吗？你能解释这是为什么吗？
勾股定理第一节
A
B C
我们也来观察右图的地面， 你能发现A、B、C面积之间 有什么数量关系吗？
SA+SB=SC
每块砖都是等腰直角三角形哦
A R Q P C
B
（每一小方格表示1cm2)
探索
割 补 转化
任意直角 三角形
动手
拼一拼
拼（一）
拼（二）
勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b , 斜边为c，那么 c 2 2 2 a
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
大正方形的面积可以表示为
2
c2
；
a
a
1 也可以表示为 (b a ) 4 ab 2 c 1 2 ∵ c2= (b a) 4 ab 2 2-2ab+a2+ 2ab =b b =a2+b2
那么这到底是 一种什么样的图形 呢？它真的有那么 大的魅力吗？ 今天就让我们和古希腊的 数学家毕达哥拉斯一起来揭开 它神秘的面纱。
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲学家、数学 家、天文学家。相传有一次他在朋友家做客时，发现朋友 家用砖铺成的地面中反映了A、B、C三者面积之间的数量 关系，进而发现直角三角形三边的某种数量关系．
谈一谈你有什么收获？
课本习题第1、2题
探索
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
C A B C 图1-1 A B
S正方形c
1 4 3 3 18 2
图1-2
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理第1节《探索勾股定理》参考课件(共35张PPT)
a
我总结,我获得
如果直角三角形两直角边为a、b 勾 股 斜边为c，那么 2 2 2 a + b = c 定 即直角三角形两直角边的平方和 理 ： 等于斜边的平方。
勾 弦
股
斜边较角中直 我 边称长边较角 国 称为的称短三 为股直为的角古 弦，角勾直形代 把 ， 。
方法三：赵爽弦图
a
c b
北 京 欢 迎 您 ！
我观察,我猜想
图中每个小方格的 边长为1，直角三角 形两直角边长分别 C 为3和4. 以各边边长为正方 形的边长作正方形.
B
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
我观察,我猜想
观察所得到的数据，你有什么发现？ SA+SB=SC
B
c5 4 b
3 a
勾 第 股 一 定 章 理
一个直角三角形的直角边长分别是3和4，你知道它的斜边长是多少吗？
要解决这个问题，就用到了我们即将要学习的——勾股定 理.
勾股世界
我国是最早了解勾股定理的国家之一.早在三多年前，周朝数学家商高就 提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么 弦就等于五.即“勾三、股四、弦五”.它被记载于我国古代著名的数学著 作《周髀算经》中.在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式. 在西方,相传二千多年前，古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理后高兴 异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理 又叫做“百牛定理”． 因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 理.
B
A
求正方形A的面积是___,正方 形B的面积是____,正方形C的 面积是_______.
3.1《勾股定理-第1课时：勾股定理》ppt课件
c2＝a2＋b2，a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(2)计算教材图3－1的三个格点正方形的面积，它们之间的 数量关系是_两__个__小__正__方__形__的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积__；
3.1 勾股定理
(3)在教材第79页的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三 角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方 形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是__两__个__小__正__方__形_ 的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积_________； (4)通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系 是___直__角__三__角__形__两__条__直__角__边__的__平__方__和__等__于__斜__边__的__平__方_．
3.1 勾股定理
因为 a2＋b2＝c2， 所以(3x)2＋(4x)2＝102， 25x2＝100，x2＝4， 所以 x＝2， 所以 a＝3x＝6，b＝4x＝8.
[归纳总结] 在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以 求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定 理列方程(思想)来求出其余两边长．
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理
[注意] 只有在直角三角形中才能运用勾股定理，钝角和锐角 三角形中均不适用．
3.1 勾股定理
重难互动探究
探究问题一 利用勾股定理求单个正方形的面积或直角三 角形的边长
例1 [教材练习第1题变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(2)计算教材图3－1的三个格点正方形的面积，它们之间的 数量关系是_两__个__小__正__方__形__的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积__；
3.1 勾股定理
(3)在教材第79页的网格中任意画一个顶点都在格点上的直角三 角形，并分别以这个直角三角形各边为一边向三角形外部作正方 形，所作的三个正方形面积之间的数量关系是__两__个__小__正__方__形_ 的__面__积__之__和__等__于__大__正__方__形__的__面__积_________； (4)通过上面的操作，写出你发现的直角三角形三边的数量关系 是___直__角__三__角__形__两__条__直__角__边__的__平__方__和__等__于__斜__边__的__平__方_．
3.1 勾股定理
因为 a2＋b2＝c2， 所以(3x)2＋(4x)2＝102， 25x2＝100，x2＝4， 所以 x＝2， 所以 a＝3x＝6，b＝4x＝8.
[归纳总结] 在直角三角形中，已知两边，利用勾股定理可以 求出第三边；若已知一边及另两边的关系，一般利用勾股定 理列方程(思想)来求出其余两边长．
(1)若c＝15，b＝12，求a； (2)若a＝11，b＝60，求c； (3)若a∶b＝3∶4，c＝10，求a，b.
3.1 勾股定理