假设检验——非参数检验
数学建模方法-非参数假设检验
两相关样本的非参数检验(2 Related Samples Test)
【例12】clinical trial.sav 比较试验药组(group=1) 治疗前血红蛋白含量(hb1)和治疗后血红蛋白含量(hb2) 有无差异.
这是两组相关计量资料的比较. 结论:P=0.018,有显著性差异.
多个相关样本的非参数检验(K Related Samples Test) 【例13】nonpara_7.sav 分析药物是否有效
两相关样本的非参数检验(2 Related Samples Test) 多个相关样本的非参数检验(K Related Samples Test)
两独立样本的非参数检验(2 Independent Samples Test) 检验两个独立样本间是否具有相同的分布. 【例8】nonpara_3.sav 比较两组人群的RD值有无差别 这是两组计量资料的比较. 选择要检验的变量和分 类变量,定义分类值(1-2),其它使用默认选项即可.从负二项分 布的结论.
单样本的K_S拟合优度检验
检验一计量资料是否服从某种理论分布,这里的分布可以 是正态分布(Normal),均匀分布(Uniform),泊松分布(Poisson), 指数分布(Exponential).
【例7】diameter_sub.sav 检验是否服从正态分布
多个独立样本的非参数检验(K Independent Samples Test) 【例10】nonpara_5.sav 比较三种药物的效果有无差别 这是三组计量资料的比较. 选择要检验的变量和分 类变量,定义分类值(1-3),其它使用默认选项即可. 结论:三组的秩和12.6,7.6,3.8,P=0.008,三种药物的 效果有显著性差异,以甲药效果最好. 【例11】nonpara_6.sav 比较三种固定钉治疗骨折的疗效 这是三组等级/频数资料的比较. 先说明频数变量, 再选择要检验的变量和分类变量,定义分类值(1-3),其它 使用默认选项即可. 结论:P=0.129,故三组无显著性差异.
参数检验和非参数检验
参数检验和非参数检验参数检验和非参数检验是统计学中两种常用的假设检验方法。
参数检验假设总体服从其中一种特定的概率分布，而非参数检验则不对总体的概率分布进行特定的假设。
本文将分析和比较这两种假设检验方法，并讨论它们的优缺点和适用范围。
参数检验的基本思想是假设总体的概率分布属于一些已知的参数化分布族，例如正态分布或泊松分布。
然后根据样本数据计算出统计量的观察值，并基于它们进行假设检验。
常见的参数检验方法有t检验、F检验和卡方检验等。
以t检验为例，它适用于研究两个样本均值之间是否存在显著差异的情况。
假设我们有两组样本数据，分别服从正态分布。
可以使用t检验来计算两组样本均值的差异是否显著。
t检验基于样本均值和标准差来估计总体均值的差异，并通过计算t值和查表或计算p值来判断差异是否显著。
参数检验的优点是它们对总体概率分布的假设比较明确，计算方法相对简单，适用于数据符合特定分布的情况。
此外，参数检验通常具有较好的效率和统计性质。
然而，参数检验也有一些限制和缺点。
首先，参数检验通常对数据的分布假设要求较高，如果数据不符合指定的分布假设，则结果可能不可靠。
另外，参数检验对样本大小的要求较高，需要较大的样本才能获得可靠的检验结果。
此外，参数检验对异常值和离群值比较敏感，这可能会导致统计结论的错误。
与参数检验相比，非参数检验更加灵活，不需要对总体的概率分布做出特定的假设。
它适用于更广泛的数据类型和样本分布。
常见的非参数检验方法有Wilcoxon符号秩检验、Mann-Whitney U检验和Kruskal-Wallis检验等。
以Wilcoxon符号秩检验为例，它适用于比较两个相关样本的差异。
这个检验不要求样本数据满足正态分布的假设，它基于样本差值的秩次来判断差异是否显著。
非参数检验的优点在于其适用范围广泛，不需要对总体分布做出特定假设，对数据平均性和对称性的要求较低，对异常值和离群值的鲁棒性较好。
此外，非参数检验对样本大小的要求较低，可以在较小的样本情况下获得可靠的结果。
非参数检验的检验方法
非参数检验的检验方法非参数检验是一种假设检验的方法，它不依赖于总体分布的具体形式，而是基于样本数据进行推断。
相比于参数检验，非参数检验更加灵活和普适，可以适用于更广泛的情况。
非参数检验的主要思想是通过对样本数据的排序或者秩次变换，来推断总体的性质。
下面将介绍几种常见的非参数检验方法：1. Mann-Whitney U检验（又称Wilcoxon秩和检验）：Mann-Whitney U检验用于比较两个独立样本的总体中位数是否相等。
它的基本思想是将两组样本的数据合并，按照从小到大的顺序进行排列，并为每个值分配一个秩次。
然后计算两组数据秩次和之差的绝对值，该值即为检验统计量U，根据U的大小可以进行推断。
2. Kruskal-Wallis H检验：Kruskal-Wallis H检验用于比较多个独立样本的总体中位数是否相等。
它的基本思想是将所有样本的数据合并，按照从小到大的顺序进行排列，并为每个值分配一个秩次。
然后计算每个样本的秩次和，以及总体的秩次和。
根据这些秩次和的差异来进行推断。
3. 秩和检验：秩和检验是一类常见的非参数检验方法，包括Wilcoxon符号秩检验和符号秩和检验。
这两种方法都是用来比较两个相关样本的总体中位数是否相等。
基本思想是将两个样本的差的符号进行标记，并用秩次表示绝对值大小的顺序。
然后根据秩次和的大小来进行推断。
4. Friedman检验：Friedman检验用于比较多个相关样本的总体中位数是否相等。
它的基本思想是将所有样本的数据进行秩次变换，并计算每个样本的秩次和。
然后根据秩次和的差异来进行推断。
在进行非参数检验时，需要注意以下几点：1. 样本独立性：非参数检验通常要求样本之间是独立的，即样本之间的观测值不受其他样本观测值的影响。
如果样本之间存在相关性，应考虑使用相关性检验或者非参数检验的相关版本。
2. 样本大小：非参数检验对样本的大小没有严格要求，但样本大小较小时可能会影响检验的统计功效。
第三节 非参数假设检验
,由于χ = 12 > 11.07
所以拒绝H0，说明下半年各月销售量与均
匀分布有差别，这些差别尚不能完全归结为随机 原。
【例6.11】在高速公路收费站100分钟内观测到通过 收费站的汽车共190辆，每分钟通过的汽车辆 数分布如下表：
用显著性水平a=0.05检验这些数据是否来自泊松分布。 解：设
H0 ：汽车通过收费站的辆数服从泊松分布；
【例6.14】为了比较两个小学贯彻素质教育的情况，现从甲学 校抽15名学生，乙学校抽25名学生，按素质教育的要求进 行测试并评分，按评分高低顺序排队并编上等级，其结果 如下：
W2 W1 为 ，第二个样本的等级和为 ，则有
第三步：计算曼-惠特尼U检验统计量
W1 + W2 = n(n + 1) / 2
从
U和 中选择较小者并称其为 U2 1
n1 (n1 + 1) U1 = n1n2 + − W1 2 n2 (n2 + 1) U 2 = n1n2 + − W2 2
。
U
第四步：作出判断 对于
2
个数。
2 χ分布表求相应的 第四步：根据显著性水平a查
临界值——
2 2
χ
2 a
χ > χ a 时，拒绝原假设，说明样本观测并非来
自该理论分布。
【例6.10】某百货公司的电器部下半年各月洗衣机 的销售数量如下：
该电器部经理想了解洗衣机的销售数量是否在各 月是均匀分布的，也就是说各月中销售数量的差别 可以归结为随机原因，这样可以为以后的进货提供 依据。要求以a=0.05 的显著性水平进行检验。
U − E (U ) Z= D(U )
近似地服从标准正态分布。
非参数假设检验方法
非参数假设检验方法
非参数假设检验方法，那可真是个超棒的统计利器！咱先说说它的步骤吧。
嘿，你想想看，就像搭积木一样，第一步得先明确问题，确定咱要检验啥。
然后收集数据，这数据就像是建筑材料，得好好收集。
接着计算检验统计量，这就如同给积木搭出形状。
最后根据统计量判断是否拒绝原假设。
这步骤简单易懂吧？
注意事项也不少呢！数据得有代表性，不然就像盖房子用了劣质材料，那可不行。
样本量也不能太小，不然就像小娃娃搭的积木城堡，风一吹就倒啦。
说到安全性和稳定性，那可是杠杠的！它不像有些方法那么娇气，对数据的分布要求不高。
就好比一辆越野车，能在各种路况下行驶，不用担心路况不好就抛锚。
应用场景那可多了去啦！当数据不满足参数检验的条件时，非参数假设检验方法就大显身手啦。
比如研究不同年龄段的人对某种产品的喜好，数据可能乱七八糟的，这时候非参数检验就像救星一样。
它的优势也很明显啊，操作简单，容易理解，不需要太多高深的数学知识。
就像玩游戏，不需要看厚厚的说明书就能上手。
给你举个实际案例吧。
有个公司想知道新推出的广告有没有效果，就用了非参数假设检验方法。
结果发现广告确实提高了产品的知名度。
这效果，哇塞，杠杠的！
非参数假设检验方法就是这么牛！它简单易用，安全稳定，应用场景广泛，优势明显。
赶紧用起来吧！。
假设检验——非参数检验
假设检验（二）——非参数检验假设检验的统计方法，从其统计假设的角度可分为两类：参数检验与非参数检验。
上一节我们所介绍的Z 检验、t 检验，都是参数检验。
它们的共同特点是总体分布正态，并满足某些总体参数的假定条件。
参数检验就是要通过样本统计量去推断或估计总体参数。
然而，在实践中我们常常会遇到一些问题的总体分布并不明确，或者总体参数的假设条件不成立，不能使用参数检验。
这一类问题的检验应该采用统计学中的另一类方法，即非参数检验。
非参数检验是通过检验总体分布情况来实现对总体参数的推断。
非参数检验法与参数检验法相比，特点可以归纳如下：（1）非参数检验一般不需要严格的前提假设；（2）非参数检验特别适用于顺序资料；（3）非参数检验很适用于小样本，并且计算简单；（4）非参数检验法最大的不足是没能充分利用数据资料的全部信息；（5 ）非参数检验法目前还不能用于处理因素间的交互作用。
非参数检验的方法很多，分别适用于各种特点的资料。
本节将介绍几种常用的非参数检验方法。
一．2检验2检验主要用于对按属性分类的计数资料的分析，对于数据资料本身的分布形态不作任何假设，所以从一定的意义上来讲，它是一种检验计数数据分布状态的最常用的非参数检验方法。
22检验的方法主要包括适合性检验和独立性检验。
（一）2检验概述2是实得数据与理论数据偏离程度的指标。
其基本公式为：2 （ f0 f e）（公式11—9）fe式中，f0 为实际观察次数，f e 为理论次数。
分析公式可知，把实际观测次数和依据某种假设所期望的次数（或理论次数）的差数平方，除以理论次数，求出比值，再将n 个比值相加，其和就是2。
观察公式可发现，如果实际观察次数与理论次数的差异越小， 2值也就越小。
当 f 0 与 f e 完全相同时，2值为零。
际次数与理论次数之差的大小而变化利用2值去检验实际观察次数与理论次数的差异是否显著的方法称为2检验有两个主要的作第一，可以用来检验各种实际次数与理论次数是否吻合的这类问题统称为适合性检验； 第二， 判断计数的两组或多组资料是否相互关联还是相互独立的问 题，这类问题统称为独立性检验。
非正态总体参数的假设检验和非参数检验
分布类型，此时F0可能含有未知参数，
上述方法不再适用。此时若要检验假
设
H0 : F (x) F0 (x;1,L ,，m由) 于
未于知 是pi0，可故以上用述估检计验量法（不极能大直似接然使估用计，）
来代替未知参数。
此时的统计量为
2 r (ni npˆi0 )2 .
i 1
npˆ i0
当n充分大时，上述统计量近似服
服从多项分布。
由大数定律知，当n充分大时，频 数ni与理论频数npi越来越小。故ni 与npi之间的差异可以反映出概率分 布 ( p1, p2,L , pr )是否为总体的真实分 布。令
2 r (ni npi )2
i1
npi
称上述统计量为皮尔逊统计量。
定理（皮尔逊定理）设总体的真实 分布为( p1, p2,L , pr ) ，则有
实际上，还可以用皮尔逊统计量检 验任意的一个总体是否具有某个指 定的分布函数 F0 (x)。
若我们要检验假设 H0 : F (x) F0 (x). 可选取r-1个不相等的实数 y1 L yr1 把实数轴分成r个区间，令
p1 F ( y1), pi F ( yi ) F ( yi1),i 2,L , r 1, pr 1 F ( yr1).
缺点：由于采用分组处理样本，实 际上检验的只是若干特殊点的值， 这就导致很可能犯第二类错误（取 伪错误）。
2. Kolmogorov检验法
出发点：考虑经验分布函数 Fn*(x) 和原假设H0 : F (x) F0 (x)成立时总 体分布函数之间偏差的最大值。
2 ~& 2 (r 1)
由上述定理，当样本容量较大时，
统计量 2近似服从自由度为r-1的卡
方分布。
非参数检验
非参数检验非参数检验是一种统计方法，用于比较两组或多组数据的差异或关联性，它并不依赖于数据的分布假设。
相比于参数检验，非参数检验通常更为灵活，可应用于各种数据类型和样本量，尤其在数据不满足正态分布的情况下表现优势。
本文旨在介绍非参数检验的基本原理、应用领域以及常见方法。
首先，非参数检验的基本原理是依赖于样本中的秩次，即将原始数据转化为秩次数据进行统计分析。
秩次是数据在全体中的相对位置，将数据转化为秩次可以消除异常值对统计结果的影响，并使数据的分布不再成为限制因素。
非参数检验的应用领域广泛，包括但不限于以下几个方面。
一、假设检验非参数检验可用于假设检验，比如检验两组样本的中位数是否存在差异。
常见的方法有Wilcoxon符号秩检验、Mann-Whitney U检验等。
在实际应用中，如果数据的分布无法满足正态分布假设，非参数检验则是一种理想的选择。
二、相关性分析非参数检验可用于判断两个变量之间的关联性。
常见的方法有Spearman秩相关系数检验、Kendall秩相关系数检验等。
这些方法的核心思想是将原始数据转化为秩次数据，通过秩次数据之间的比较来判断两个变量之间是否存在显著相关。
三、分组比较非参数检验可用于比较多个样本之间的差异。
常见的方法有Kruskal-Wallis检验、Friedman检验等。
这些方法可用于比较三个以上的样本组之间的差异，而不依赖于数据的分布假设。
在实际应用中，非参数检验需要注意以下几个问题。
一、样本容量非参数检验对样本容量的要求相对较低，适用于小样本和大样本。
然而，在样本容量较小的情况下，非参数检验可能会产生较大的误差，因此应根据实际情况选择合适的方法。
二、数据类型非参数检验可应用于各种数据类型，包括连续型数据和离散型数据。
但对于有序分类数据、定序数据和名义数据，非参数检验相较于参数检验有更好的适用性。
三、分布假设非参数检验不需要对数据的分布做出假设，这使得它更加灵活。
但是，如果数据满足正态分布假设，参数检验也是一种较为有效的选择。
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假设检验（二）——非参数检验假设检验的统计方法，从其统计假设的角度可分为两类：参数检验与非参数检验。
上一节我们所介绍的Z 检验、t 检验，都是参数检验。
它们的共同特点是总体分布正态，并满足某些总体参数的假定条件。
参数检验就是要通过样本统计量去推断或估计总体参数。
然而，在实践中我们常常会遇到一些问题的总体分布并不明确，或者总体参数的假设条件不成立，不能使用参数检验。
这一类问题的检验应该采用统计学中的另一类方法，即非参数检验。
非参数检验是通过检验总体分布情况来实现对总体参数的推断。
非参数检验法与参数检验法相比，特点可以归纳如下： （1）非参数检验一般不需要严格的前提假设； （2）非参数检验特别适用于顺序资料；（3）非参数检验很适用于小样本，并且计算简单；（4）非参数检验法最大的不足是没能充分利用数据资料的全部信息； （5）非参数检验法目前还不能用于处理因素间的交互作用。
非参数检验的方法很多，分别适用于各种特点的资料。
本节将介绍几种常用的非参数检验方法。
一．2χ检验2χ检验主要用于对按属性分类的计数资料的分析，对于数据资料本身的分布形态不作任何假设，所以从一定的意义上来讲，它是一种检验计数数据分布状态的最常用的非参数检验方法。
2χ检验的方法主要包括适合性检验和独立性检验。
（一）2χ检验概述2χ是实得数据与理论数据偏离程度的指标。
其基本公式为：∑-=ee f f f 202)(χ (公式11—9) 式中，0f 为实际观察次数，e f 为理论次数。
分析公式可知，把实际观测次数和依据某种假设所期望的次数（或理论次数）的差数平方，除以理论次数，求出比值，再将n 个比值相加，其和就是2χ。
观察公式可发现，如果实际观察次数与理论次数的差异越小，2χ值也就越小。
当0f 与e f 完全相同时，2χ值为零。
2χ值的特点为：① 2χ值具有可加性。
② 2χ值永远不会小于零。
③ 2χ值的大小随着实际次数与理论次数之差的大小而变化。
利用2χ值去检验实际观察次数与理论次数的差异是否显著的方法称为2χ检验。
2χ检验有两个主要的作用：第一，可以用来检验各种实际次数与理论次数是否吻合的问题，这类问题统称为适合性检验；第二，判断计数的两组或多组资料是否相互关联还是相互独立的问题，这类问题统称为独立性检验。
2χ检验的具体步骤与t 检验基本相同。
第一，建立虚无假设。
例如假定实测次数与理论次数无显著差异，差异仅由机会造成。
第二，计算理论次数，并求出2χ值。
第三，统计推断。
根据df 数目和选定的显著性水平，查2χ值表得出超过实得2χ值的概率。
把概率的大小，作为接受或拒绝假设的依据。
表11—9 2χ检验统计决断规则（二）适合性检验适合性检验是应用2χ检验方法的一种。
它主要适用于检验实际观测次数与理论次数之检查以是否显著，它所面对的研究对象主要是一个因素多项分类的计数资料，所以又称为单因素分类2χ检验或单项表的2χ检验。
适合性检验的种类主要有无差假设的适合性检验和实际次数分布是否属于正态分布的适合性检验，下面逐一进行简要介绍。
1． 无差假设的适合性检验所谓无差假设是指各项分类的次数没有差异，理论次数完全按概率相等的条件计算，即理论次数= 总数／分类项数例1，随机抽取70名学生，调查他们对高中分文理科的意见，回答赞成的有42人，反对的有28人。
问对分科的意见有无显著差异？解：此例只有两种分类。
因此应有理论次数e f =70×0.5=35（人） 检验步骤：（1）建立假设： 0H ：300==e f f ， 1H ：e f f ≠0 （2）计算2χ值：∑-=ee f f f 202)(χ=8.235)3528(35)3542(22=-+- （3）统计推断。
首先确定自由度df ，2χ检验的自由度一般等于分类项数减1，本例df =2 — 1 = 1。
查df = 1的2χ表，)05.0,1(2χ=3.84，故有 2χ＜)05.0,1(2χ，因此应在0.05显著性水平上保留虚无假设，拒绝备择假设。
其结论为：学生对高中文理分科的态度的差异不显著。
例2，某大学某系的46位老年教师中，健康状况属于良好的有15人，中等的有20人，比较差的有11人，问该系老教师中三种健康状况的人数是否一样？解：此例有三种分类。
因此应有理论次数e f = 346= 18（人） 检验步骤：（1）建立假设： 0H ：健康状况好、中、差三种人数相同 1H ：健康状况好、中、差三种人数不相同 （2）计算2χ值：∑-=ee f f f 202)(χ=44.318)1811(18)1820(18)1815(222=-+-+- （3）统计推断。
首先确定自由度df ，本例df = 3— 1 = 2。
查df = 2的2χ表，)05.0,2(2χ=5.99，故有 2χ＜)05.0,2(2χ，因此应在0.05显著性水平上保留虚无假设，拒绝备择假设。
其结论为：该系老教师中，健康状况好、中、差三种人数无显著差异。
2．实际次数分布是否属于正态分布的适合性检验2χ检验还可以通过将正态分布的概率转换为理论次数的数值，来检验某些实际次数分布是否属于正态分布。
例3，今对某校100名学生进行操行评定，分优、良、中、差四等，评定结果为：优19人、良39人、中35人、差7人。
试检验其分布的形式是否属于正态分布？解： 检验步骤：（1）建立假设： 0H ：评定结果服从正态分布 1H ：评定结果不服从正态分布 （2）计算2χ值：首先需求出理论次数。
正态分布的各部分理论次数，是通过正态分布图中面积比率乘以总次数得出的。
在正态分布情况下，正态曲线底边上±3σ之内几乎包含了全部量数，因此我们可将正态分布底线长度从－3σ至＋3σ分为四个等分，每等分为1.5σ，其面积比率为：第一等分（优）的面积：上限3σ，下限为1.5σ。
1.5σ～3σ之间的面积比率为： 0.4987－0.4332=0.0655，即7%。
第二等分（良）的面积：位于0～1.5σ之间，其面积比率为0.4332，即43%。
第三等分（中）的面积：位于0～－1.5σ之间，其面积比率为0.4332，即43%。
第四等分（差）的面积：位于－1.5σ～－3σ之间的面积比率为：0.4987－0.4332=0.0655，即7%。
根据各等分的面积比率，乘以总人数，即可得出理论次数。
如：优的人数为7%×100=7，良的人数为43%×100=43。
同理可求出中的人数为43，差的人数为7。
即优的 e f =7，良的e f =43，中的e f =43，差的e f =7。
代入（公式11—9）有：=2χ43.227)77(43)4335(43)4339(7)719(2222=-+-+-+- （3）统计推断。
首先确定自由度df ，本例df = 4— 1 = 3。
查df = 2的2χ表，)05.0,3(2χ=7.81，)01.0,3(2χ= 11.345，故有 2χ＞)01.0,3(2χ，因此应在0.01显著性水平上拒绝虚无假设，接受备择假设。
其结论为：此评定结果不服从正态分布。
（三）独立性检验独立性检验也是2χ检验的一个重要应用。
如果想研究两个或两个以上因素之间是否具有独立性，就可利用2χ独立性检验。
独立性检验一般都采用表格的形式来显示观察结果，所以独立性检验也称为列联表分析。
当检验对象只有两个因素而且每个因素只有两项分类的列联表就称为2×2列联表或四格表；而一个因素有R 类，另一个因素有C 类，这种表称之为R ×C 表。
本节只讨论二维列联表的情况。
关于二维列联表的独立性检验，需注意几个问题：第一，独立性检验的虚无假设是二因素（或多元素）之间是独立的或无关联，被择假设是二因素（或多因素）自荐有关联或者说差异显著。
一般多用文字叙述而很少用符号代替。
第二，独立性检验的理论次数是直接由列联表所提供的数据推算出来的。
如果用Ri f 表示第i 行的和，Cj f 表示第j 列的和，N 为所有数据值和，则第i 行第j 列的方格内的理论次数为：Nf f f ji ij C R e ⨯=（公式11—10）第三，二维列联表自由度与二因素各自的分类项数有关。
设R 为行分类项数（行数），C 为列分类项数（列数），则自由度为： )1)(1(--=C R df 。
1．2×2列联表的独立性检验2×2列联表就是把样本按两种性质分组，并排成两行两列的表，它是最简单的列联表，简称为四格表。
2×2列联表用以进行两个组彼此独立互无关联的检验。
独立性检验下面我们从样本的不同情况出发，分别介绍相应的检验方法。
独立样本的2×2列联表的独立性检验独立样本4格表的独立性检验，既可以用计算2χ的基本公式（公式11—9）计算，也可用下面的简捷公式计算：2χ=))()()(()(2d b c a d c b a bc ad N ++++- （公式11—11）式中：d c b a ,,,分别是四格表内的实计数。
表11—10 2×2列联表的 2χ值计算示意表d例4，设有甲乙两区，欲测验两区中学教学水平，各区随机抽取500名初三学生，进行统一试题的数学测验，其结果是：甲区及格学生为475人，不及格为25人；乙区及格学生460人，不及格为40人，问甲区中学与乙区中学的数学测验成绩的差异是否显著？解： 检验步骤：（1）建立假设：0H ：甲区中学与乙区中学数学测验成绩无显著差异 1H ：甲区中学与乙区中学数学测验成绩差异显著 （2）计算2χ值：表11—11 甲区中学与乙区中学的数学测验成绩表根据简捷公式：2χ==⨯⨯⨯⨯-⨯⨯50093565500)2546040475(100023.68 （3）统计推断。
首先确定自由度df ，本例df =（2-1）（2-1）=1，查df =1的2χ表，)05.0,1(2χ=3.84，故有 2χ＜)05.0,1(2χ，因此应在0.05显著性水平上保留虚无假设，拒绝备择假设。
其结论为：甲区中学与乙区中学数学测验成绩无显著差异。
例5，随机抽取某校男生250名，女生240，进行体育达标考核，结果如下表 问体育达标水平是否与性别有关？表11—12 体育达标考核情况表解：检验步骤：（1）建立假设：0H ：体育达标水平与性别无关 1H ：体育达标水平与性别有关（2）计算2χ值：利用基本公式 ∑-=ee f f f 202)(χ，其理论次数为：11e f =85.14662835=⨯ 15.2066383512=⨯=e f 15.1366283121=⨯=e f 85.1766383122=⨯=e f2χ =006.085.17)85.1718(15.13)15.1313(15.20)15.2020(85.14)85.1415(2222=-+-+-+- （3）统计决断： 首先确定自由度df ，本例df =1，查df =1的2χ表，)05.0,1(2χ=3.84，故有 2χ＜)05.0,1(2χ，因此应在0.05显著性水平上保留虚无假设，拒绝备择假设。