八年级函数 练习题知识讲解
八年级函数知识点讲解全集
八年级函数知识点讲解全集函数是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济、金融、计算机科学等各个领域。
在中学数学课程中，函数也是一种重要的知识点，本文将为读者全面讲解八年级函数知识点。
一、函数的定义函数是一种数学映射关系，将自变量的取值映射到因变量的取值。
通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量，表示x经过函数映射后得到的结果。
二、函数的图像函数的图像是指在坐标系中表示函数映射关系的图形。
可以通过给定自变量的取值，然后计算得出因变量的取值，将这些点依次连线可以得到函数的图像。
例如，y=x²的图像如下所示：[图片]从图中可以看出，x自变量的取值为-3时，y因变量的取值为9。
因此可以将这个点(-3,9)表示在坐标系上，以此类推，将所有点依次连接起来，就可以得出这个函数的图像。
三、函数的性质函数在数学上有几个基本的性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
1. 定义域函数的定义域是指所有可能的自变量取值范围，通常用D(f)表示。
例如，y=√x的定义域为非负实数集合，即D(f)=[0,+∞)。
2. 值域函数的值域是指所有可能的因变量取值范围，通常用R(f)表示。
例如，y=x²的值域为非负实数集合，即R(f)=[0,+∞)。
3. 单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减情况。
可以分为递增和递减两种情况，通常用符号“≤”和“≥”表示，在数学上表示为：递增：f(x₁) ≤ f(x₂)，其中x₁ < x₂递减：f(x₁) ≥ f(x₂)，其中x₁ < x₂4. 奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于坐标轴的对称性。
奇函数的特点是关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，例如y=x³；偶函数的特点是关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，例如y=x²。
5. 周期性周期函数是指函数图像在一定的范围内存在重复的规律。
对于周期为T的函数，有以下性质：f(x+T) = f(x)，其中T > 0例如，y=sin(x)是一个周期为2π的函数。
沪教版八年级数学第一学期18.1：函数的概念、正比例函数
第七讲 函数的概念、正比例函数函数的概念 一、知识点 1. 变量与常量在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量. 2. 函数的定义在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量。
3. 函数的定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域. 如果y 是x 的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a ，变量y 的对应值叫做当x a =时的函数值.符号“()y f x =”表示y 是x 的函数，f 表示y 随x 变化而变化的规律. 二、例题讲解例1 物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G mg =，其中，m 表示质量，G 表示重力，9.8g =牛/千克，物体所受的重力G 是不是它的质量m 的函数？解：物体所受的重力G 随它的质量m 的变化而变化，由G mg =可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受的重力G 是它的质量m 的函数.例2 汽车的速度为50千米/时，写出汽车匀速运动时行驶的路程y （千米）关于时间x （时）的函数解析式及定义域.分析： 本题依据公式“路程=时间Ｘ速度”列出数量关系，因为时间为非负数，所以定义域为0x ≥. 解：函数解析式为50y x =，定义域为0x ≥. 例3 求下列函数的定义域：（1）23y x =+; （2）11y x =-； （3）y = 解：（1）对于整式23x +，无论x 取什么实数，它都有意义，所以函数23y x =+的定义域是一切实数；（2）对于分式11x -，当1x =时，它没有意义.所以函数11y x =-的定义域是1x ≠；（3，当12x ≥-时，它有意义，所以函数y = 域是12x ≥-.说明：求函数的定义域应该根据解析式的特征进行思考. 例4 已知()f x =12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 分析：函数与函数值是不同的概念.函数是指两个变量之间的某种关系，而函数值指的是当自变量取某一数值时，函数的一个对应值.求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，就是当12x =-时，求21y x =-+的值，只需要把12x =-代入后计算即可. 解：131322.241212f ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-==- ⎪⎝⎭⎛⎫-⨯-+ ⎪⎝⎭例5 等腰三角形的周长等于20cm ，请写出这个等腰三角形的底边长()x cm 和腰长()y cm 之间的解析式. 分析 根据周长的定义，得220x y +=，整理得20220,2xy x y -=-=， 即 1102y x =-+.函数解析式就是一个等式，求函数解析式时，有时可以利用一些现成的等式或公式，比如周长公式、面积公式等等.答案：1102y x =-+ 说明：1. 变量2x +是不是变量x 的函数？解： 对于代数式2x +，给定x 的一个值，可以求出这个代数式的一个值.所以2x +与x 有着确定的依赖关系，可以把变量2x +看做y .由函数的概念：在某个变化过程中有两个变量x 和y ，如果在x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的2. 对于“”中的“f ”怎样理解？答：记号“()f x ”表示“y 是x 的函数”，这个记号比较抽象，“f ”并不是表示一个变量，()f x 也不是表示“f ”与“x ”的积，而是指明在变化过程中的自变量为x ，用f 表示变量y 随着x 的变化而变化的规律；在同时研究几个函数时，应选用不同字母表示不同函数变量间相互依赖的变化规律，如()()g x h x 、等，以免引起混乱.三、 巩固练习1. 说出下列变化过程中，哪些量是常量，哪些量是变量，变量之间是函数关系吗？ （1）正方形的周长C 与它的边长a ；（2）银行一年定期存款的本金x 元与利息y 元； （3）等腰三角形顶角的度数x 与底角的度数y ； （4）长方形的宽一定时，其长与面积； （5）等腰三角形的底边长与面积；（6）关系式y x=中的y 与x .答案：（1）变量是周长C 与边长a ，是函数关系；（2）变量是本金x 元与利息y 元，是函数关系； （3）变量是顶角的度数x 与底角的度数y ，是函数关系；（4）变量是长方形的宽与面积，是函数关系； （5）变量是等腰三角形的底边长与面积，不是函数关系；（6）变量是y 与x ，不是函数关系. 2. 写出下列个函数的定义域；（1）2y x =-； （2）y =答案： 一切实数 答案：1x ≥- （3）234y x x =+-； （4）11y x =-；答案：一切实数 答案：1x ≠（5）1y x x =+； （6）y =答案：0x ≠ 答案：0x ≥≠且x 23. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积12S ah=，当a 为定长时，在此式子中（ A ）.A. S 、h 是变量，a 是常量B. ,,S h a 是变量，12是常量 C. ,a h 是变量，1,2S 是常量 D. S 是变量，1,,2a h是常量4. 下列函数中，自变量的取值范围是113x <<的是（ D ）.A.y =B.y =C.y = D.y = 5. 如果()f x =()3f =___6. 已知()234x f x x +=+，则()0f =___34____,f=____814_____. 7. 若12y x y -=+，则y 用x 的代数式表示为y =___211x x+-___.8. 设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系式，并求自变量x 的取值范围.答案：()0.10y x x x =≥且是整数 提高题1. 若函数2221x x y x --=-，则与函数值0y =对应的x 的值是（ D ）. A. 1x =-或2x =B. 1x =或2x =-C. 1x =-且2x =D. 2x = 2. 把一块边长为20厘米的正方形铁皮，四角各截去边长为x 厘米的小正方形后折成一个无盖盒子，则盒子的容积V （立方厘米）关于自变量x （厘米）的函数解析式为__()2202V x x =-__,定义域为_010x <<_. 3. 洗衣机在洗衣的过程中经历了进水、清洗、排水等过程.下图能反映洗衣机工作时的水量y （升）与时间x （分）之间关系的图像大致是（ C ）A.正比例函数 一、知识点1. 正比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的比值是一个非零常数，那么称两个变量成正比例.用数学符号语言记为yk x =或()0y kx k =≠.解析式形如()0y kx k =≠的函数叫做正比例函数，其中，常数k 叫做比例系数，正比例函数y kx =的定义域是一切实数.2. 正比例函数的图像和基本性质 XXX二、例题 例1 若函数()31m y m x -=-是正比例函数，则m =_________,函数的图像经过_________象限.分析 由正比例函数的解析式可知，31m -=，所以4m =.把4m =代入函数解析式，得3y x =，再由正比例函数的性质，得到它的图像经过第一、三象限. 解：4m =，图像经过第一、三象限. 例2 若y 与21x +成正比例，且函数图像经过点()3,1A -,求y 与x 的函数解析式. 分析 由y 与21x +成正比例，可以设()()210y k x k =+≠.再把点A 的坐标()3,1-代入函数解析式，即可求出k 的值，这种求函数解析式的方法叫做待定系数法.解:y 与21x +成正比例，∴ 设()()210y k x k =+≠.把点A()3,1-代入，得15k =-，()1215y x ∴=-+例3 已知点()11,x y 和()22,x y 在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 分析 由条件当12x x >时，12y y <，联系正比例函数的图像和性质，可知函数值y 随着x 的值增大而减小，即比例系数小于零.解 ：由题意，函数值y 的值随着x 的值增大而减小，0,2k k ∴<<例4 直角三角形的一条直角边是6，写出它的面积y 关于另一条直角边x 的函数关系式并画出这个函数的图像.解：由直角三角形的面积公式，得162x y ⨯=.()30y x x ∴=>说明：由于直角三角形的边长为正数，在画函数图像时要特别注意自变量x 的取值范围，因为定义域为X0x >，此时函数图像为一条射线，并且要除去端点.1. 如何理解正比例函数的性质：当0k >时，y 随着x 的值增大而逐渐增大，当0k <时，y 随着x 的值增大而逐渐减小？答：从解析式来看，当0k >时，若12x x <，由不等式的性质有12kx kx <，即12y y <；当0k <时，若12x x <由不等式的性质有12kx kx >，即12y y >;也可以结合正比例函数的图像去理解：当0k >时，从左往右看，直线上的点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置随着从低到高逐渐变化，说明此时函数值y 相应地从小到大逐渐变化.当0k <时类似.2. 学习函数的性质要掌握的一个重要数学思想是“数形结合”，学会利用函数的图像直观的研究函数的性质.三、 巩固练习 1. 填空：（1）如果正比例函数的图像过点（1，-2），那么它的解析式是_2y x =-__;函数的图像经过第__二、四__象限.（2）正比例函数2y x =-的图像上一点横坐标为2，纵坐标是__-4___, 函数值随x 的值增大而__减小___. （3）由图写直线PO 的解析式：___34y x =___. （4）某函数具有下列两条性质：① 它的图像是经过 原点（0,0）的一条直线；② y 的值随x 的值增大而增大.请你举出一个满足上述条件的函数：____2y x =_（答案不唯一）___. 2. 选择：（1）下列函数中，正比例函数的是（ B ）A.3y x =B. 32y x =- C.213x y += D. 2y x = （2）下列各点中，在直线2y x =上的点有（ A ）.A.21⎫-⎪⎪⎝⎭ B. (2,2 C. 5,10D. ()2,1-（3）函数y kx =的图像经过点（1,4），那么()2y k x=-的图像经过第（ B ）象限.P-3/2-20yXA. 一、三B. 二、四C. 一、二D. 三、四 3. 已知y 是x 的正比例函数，当2x =时，12y =（1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当x =y 的值； （3）在直角坐标系内画出该函数的图像. 答案：（1）14y x =；（2）4y =；（3）略 4. 正比例函数2112y k x k ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭的图像经过第二、四象限，求函数的解析式.答案：12y x =-5. 已知3y -与x 成正比例函数，且它的图像经过点（2,7） （1）求y 与x 的函数解析式； （2）求当4x =时，y 的值； （3）求当3y =-时，x 的值.答案：（1）23y x =+； （2）11； （3）-3 6. 如果28my mx -=是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值(),x y ，有0xy <.求m 的值.答案：-37. 小明早上骑自行车离开家去学校，下图反映了小明离开家的距离y （米）与时间x （分）之间的关系.根据图像回答：（1） 小明家与学校的距离是___3000__米；（2） 小明骑自行车的平均速度是___200___米/分； （3） 写出小明汽车途中，离开家的距离y （米）与时间x （分）的函数关系式及定义域：___()200015y x x =≤≤提高题1. 正比例函数y kx =的图像上有一点A ，过点A 向x 轴作垂线，垂足为点B ，点B 的坐标为（2,0）.若三角形OAB 的面积为6，试求k 的值. 答案：3或-32. 已知正比例函数的自变量x 减小2时，对应的函数值增加4.求该正比例函数的解析式. 答案：2y x =-3. 已知点()()122,,1,A y B y -是正比例函数y kx =的图像上的两个点.若12y y >，试判断k 的取值范围. 答案：0k <家庭作业一、 填空题： 1. 若()21m y m x=+是正比例函数，则m =___1___.2. 已知函数()g x =，则()2g =___3___. 3. 在直角坐标系中，若点(),4M x -和点()3,N y 关于x 轴对称，则x y +=_7__.4. 如果正比例函数3xy =的图像过点()6,k ，那么k =___2___. 5. 已知矩形的周长为12，若矩形一边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()2606y x x x =-+<<___.6. 若等腰三角形顶角的度数为y ，底角的度数为x ，则y 与x 的函数关系式及定义域是__()1802090y x x =-<<___.7. 若等腰三角形的周长是20cm ，腰长与底边长分别是ycm 和xcm ，那么y 与x 的函数关系式为__102xy =-__,定义域为__010x <<__. 8. 若()25y a x b =+-+是正比例函数，且其图像恰为第二、四象限的角平分线，则a b +=__2__. 9. 若等腰梯形的周长为20cm ，上底长ycm ，底角为30，腰长xcm ，则y 与x 的函数关系式为__2102y x +=-__.10. 若y 成正比例，且当4x =时，3y =-则当32x =时，y =__-___. 二、选择题11. 若()2,P x y 是1P 关于y 轴的对称点，而点1P 在第三象限内，则（ A ）A. 0,0x y >>B. 0,0x y ><C. 0,0x y <<D. 0,0x y <> 12. 若点()111,P x y 与()222,P x y 在同一个正比例函数的图像上，则（ D ）A. 1212x x y y +=+；B. 1212x x y y -=-；C.1212y y x x =； D. 1221x y x y =. 13. 平面直角坐标系中有点()4,3A -,那么点A 到x 轴的距离是（ A ）A. 3 ;B. -3 ;C. 4 ;D. -4. 14. 点()11,A x y 与()11,B y y 之间的距离是（ A ）A. 11x y -；11y - ；C.D. 15. 下列问题中，两个变量成正比例的是（ D ） A. 三角形的面积一定，它的底边与底边上的高； B. 等边三角形的面积与它的高；C. 长方形的一边长确定，它的周长与另一边长；D. 商品的价格确定时，销售额与销售量；E. 点到横坐标的距离确定时，它的纵坐标与横坐标；F. 商品的价格确定时，利润与成本. 三、 简答题16. 求下列函数的定义域：（1）322612y x x x =--+； （2）y =；答案：一切实数 答案：72x ≥（3）6y x =-； （3）y =答案：126x x ≥-≠且 答案：143x <17. 已知()225f x x =-+，求()()5+13f f a f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、.答案：5539f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭；()225f a a =-+；2243a a --+ 18. 已知正比例函数23y x =-. (1) 当x 取何值时，3y >-； (2) 当x 取何值时，3y =-； (3) 当x 取何值时，3y <-；(4) 画出图像，并结合图像说明理由. 答案：（1）()()999;2;3(4)222x x x <=>略 四、综合题已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，依照要求画图，并完成以下各 （1） 在函数34y x =的图像上取一点A （横坐标为4），点A 的坐标是__()4,3__;设点A 关于y 轴对称的点为A ’，那么A ’的坐标是__()4,3-__;（2） 过原点和点A ’画直线OA ’，它与直线34y x =关于y 轴对称吗？___对称____; （3） 如果在函数34y x =的图像上选取另一点B ，点B 关于y 轴对称的点B ’在直线OA ’上吗？ ________在_______;（4） 已知函数()0y kx k =≠的图像与函数34y x =的图像关于y 轴对称，那么k 的值是多少？ _____34y x =-____.x(分)。
沪科版八年级上册 12.4 一次函数的应用典型例题讲解 讲义(无答案)
一次函数的应用一、知识点复习1.一次函数的图像与性质2.一次函数)0kxby中k的实际意义：=k(≠+在行程问题中，k可以是指代单一物体的速度，也可指代速度和或速度差。
3.待定系数法求一次函数的解析式二、常考典型例题分析题型一：待定系数法在一次函数中的应用1．弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）关系如右图所示，刚弹簧不挂重物时的长度是（）A．9cm B．10cm C．10.5cm D．11cm2.大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数，如表是测得的指距与身高的一组数据：请你根据所给信息确定：某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是。
题型2：分段函数问题3.张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（）A．加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是y=-8t+25 B．途中加油21升C．汽车加油后还可行驶4小时D．汽车到达乙地时油箱中还余油6升题型3：两直线相交问题4.小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l、2l分别表示小敏、小聪离B地的距离y（km）与已用1时间x（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是（）A．3km/h和4km/h B．3km/h和3km/h C．4km/h和4km/h D．4km/h和3km/h5.一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．客车比出租车晚4小时到达目的地B．客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时C．两车出发后3.75小时相遇D．两车相遇时客车距乙地还有225千米题型4：利用一次函数解决购买方案问题6.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（2x）个羽毛球，供社区居民免费借用。
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习48 一次函数图象的平移问题
八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题48 一次函数图象的平移问题一、单选题1．把直线1y x =--向上平移3个单位长度，得到图像解析式是（）A ．4y x =--B ．2y x =-+C ．4y x =-D ．2y x =+2．在平面直角坐标系中，将直线y ＝kx ﹣6沿x 轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．﹣3D ．33．直线2(1)y x =-向下平移3个单位长度得到的直线是（）．A ．2(4)y x =-B ．33y x =-C ．25y x =-D ．22y x =-4．将函数y ＝-4x 的图象沿y 轴向下平移2个单位后，所得到的函数图象对应的函数表达式（）A ．42y x =-+B ．6y x =-C ．42y x =--D ．2y x =-5．函数4y x =的图象可由函数44y x =-的图象沿y 轴（）A ．向上平移4个单位得到B ．向下平移4个单位得到C ．向左平移4个单位得到D ．向右平移4个单位得到6．把正比例函数y=2x 图象向上平移3个单位，得到图象解析式是( )A ．y=2x-3B ．y=2x+3C ．y=3x-2D ．y=3x+27．把直线y=2x-1向下平移1个单位，平移后直线得关系式为（）A ．y=2x-2B ．y=2x+1C ．y=2xD ．y=2x+28．对于一次函数132y x =-+，下列结论正确的有（）个． （1）该函数图像与y 轴交点()0,3，与x 轴交点为()6,0．（2）将函数12y x =-的图像向上平移3个单位，可得函数132y x =-+的图像，（3）该函数图像不经过第四象限，（4）函数值y 随自变量x 的增大而减小．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．把经过点(-1，1)和(1，3)的直线向右移动2个单位后过点(3，a)，则a 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．410．将直线y=2x 向上平移两个单位，所得的直线是A ．y=2x+2B ．y=2x-2C ．y=2（x-2）D ．y=2（x+2）11．在平面直角坐标系中，将直线6y kx =-沿x 轴向右平移3个单位后恰好经过原点，则k 的值为（）A ．2-B ．2C ．3-D ．312．把直线21y x =-+向右平移2个单位后，所得直线的解析式为（）A ．23y x =-+B ．21y x =--C ．23y x =--D ．25y x =-+13．在平面直角坐标系中，将一次函数3324y x =-的图象沿x 轴向左平移m （m ≥0）个单位后经过原点O ，则m 的值为（ ）A ．43B ．34C ．2D ．1214．将直线112y x =-向上平移3个单位，所得直线是（） A ．122y x =+ B ．142y x =-- C ．122y x =- D ．1y x 42=- 15．一次函数21y x =-+图象沿y 轴向下平移2个单位，则平移后与y 轴的交点的纵坐标为（）A ．3B ．2C ．1-D ．016．将直线3y x =沿y 轴向下平移1个单位长度后得到的直线解析式为（）A ．31y xB ．31y x =-C ．1y x =+D ．1y x =-17．关于一次函数y =3x -1的描述，下列说法正确的是（）A ．图象经过第一、二、三象限B ．函数的图象与x 轴的交点是（0，-1）C ．向下平移1个单位，可得到y =3xD ．图象经过点（1，2）18．将直线y ＝3x +1沿y 轴向下平移3个单位长度，平移后的直线所对应的函数关系式（ ）A ．y ＝3x +4B ．y ＝3x ﹣2C ．y ＝3x +4D ．y ＝3x +219．将直线26y x =-向右平移5个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为（）A ．215y x =+B ．215y x =-C ．26y x =+D ．26y x =-20．把直线3y x =向上平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到的直线的表达式为（ ）A ．311y x =-B ．313y x =+C ．313y x =--D ．311y x =--21．将直线l ：23y x =+，先向下平移3个单位，再向右平移4个单位得直线1l ，则平移后得到直线1l 的解析式为（）A ．24y x =+B ．24y x =-C ．28y x =-D ．28y x =+22．关于函数3y x =-，下列说法正确的是（）A ．在y 轴上的截距是3B ．它不经过第四象限C ．当x≥3时，y≤0D ．图象向下平移4个单位长度得到7y x =-的图象23．一次函数y =2x +1的图像，可由函数y =2x 的图像（ ）A ．向左平移1个单位长度而得到B ．向右平移1个单位长度而得到C ．向上平移1个单位长度而得到D ．向下平移1个单位长度而得到24．如图1，将正方形ABCD 置于平面直角坐标系中，其中AD 边在x 轴上，其余各边均与坐标轴平行，直线l ：y =x －3沿x 轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形ABCD 的边所截得的线段长为m ，平移的时间为t （秒），m 与t 的函数图象如图2所示，则图2中b 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．525．关于一次函数2y x b =-+（b 为常数），下列说法正确的是（）A ．y 随x 的增大而增大B ．当4b =时，直线与坐标轴围成的面积是4C ．图象一定过第一、三象限D ．与直线32y x =-相交于第四象限内一点26．已知：将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（）A ．经过第一、二、三象限B ．与x 轴交于()1,0-C ．与y 轴交于()0,1D ．y 随x 的增大而减小27．对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是( )A ．函数的图象与x 轴的交点坐标是()0,4B ．函数值随自变量的增大而减小C ．函数的图象不经过第三象限D ．函数的图象向下平移4个单位长度得到2y x =-的图象28．将直线y=-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（1，4），则直线AB 的函数表达式为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-6C ．y=-2x+3D ．y=-2x+629．在平面直角坐标系中，将直线b ：y ＝﹣2x+4平移后，得到直线a ：y ＝﹣2x ﹣2，则下列平移方法正确的是（）A ．将b 向左平移3个单位长度得到直线aB ．将b 向右平移6个单位长度得到直线aC ．将b 向下平移2个单位长度得到直线aD ．将b 向下平移4个单位长度得到直线a30．将一次函数y kx b =+的图象向上平移9个单位得到直线36y x =+，（）A ．3B ．C ．3±D ．31．下列说法中正确的是（）A B ．两个一次函数解析式k 值相等，则它们的图像平行C ．连接等腰梯形各边中点得到矩形D ．一组数据中每个数都加3，则方差增加332．把直线3y x =--向上平移m 个单位后，与直线24y x =+的交点在第二象限，则m 的取值范围是（）A ．17m <<B ．34m <<C ．1mD ．4m <33．在平面直角坐标系中，将直线1:41l y x =--平移后，得到直线2:47l y x =-+，则下列平移作法正确的是（）A ．将1l 向右平移8个单位B ．将1l 向右平移2个单位C ．将1l 向左平移2个单位D ．将1l 向下平移8个单位34．在同一直角坐标系中，若直线y =kx +3与直线y =-2x +b 平行，则（ ）A ．k =-2，b ≠3 B．k =-2，b =3 C ．k ≠-2，b ≠3 D．k ≠-2，b =335．如图在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，直线与、轴分别交于A 、B ，且∥，OA=2，则线段OB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题36．在平面直角坐标系中，把直线y ＝2x ﹣1向上平移3个单位长度后，所得到的直线对应的函数解析式是_____．37．已知一次函数y =2x +m 的图象是由一次函数y =2x ﹣3的图象沿y 轴向上平移8个单位得到的，则m =_____．38．在平面直角坐标系中，一次函数56y x =-+与53y x =--的图象的位置关系为______．39．将函数31y x 的图像平移，使它经过点()2,0-，则平移后的函数表达式是______．40．直线23y x =-是由25y x =+向下平移__________个单位得到的．41．如图所示，一次函数y=kx ＋b 的图象是正比例函数y=-2x 的图象平移得到，且经过点A （2，3），则kb =______________．42．将直线y=x+3沿y 轴向上平移3个单位得到的一次函数的解析式是_____．43．已知将直线y kx =向上平移2个单位后，恰好经过点(1,0)-，则不等式42x kx -<+的解集为_____．44．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的边OC 落在x 轴的正半轴上，且点(4,0),(6,2)C B ，直线41y x =+以每秒2个单位的速度向下平移，经过______秒该直线可将平行四边形OABC 的面积平分．45．如图，一次函数24y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．点C 的坐标为()2,3，若点D 在直线24y x =+上，点E 在x 轴上，若以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形，则点E 的坐标为______．46．已知直线y ＝13x +2与函数y ＝()()1111x x x x ⎧+≥-⎪⎨--<-⎪⎩的图象交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）点A 的坐标是_____；（2）已知O 是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m 个单位，点A ，B 平移后的对应点分别为A ′，B ′，连结OA ′，OB ′．当m ＝_____时，|OA '﹣OB '|取最大值．47．如图，等边△OAB 的边长为2，以它的顶点O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系.若直线y =x +b 与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数b 的范围是____.48．直线22y x =+沿y 轴向下移动6个单位长度后，与x 轴的交点坐标为_______三、解答题49．把一次函数21y x =-的图象沿y 轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式为________．50．（1）先列表，再画出函数21y x =+的图象．（2）若直线21y x =+向下平移了1个单位长度，直接写出平移后的直线表达式.51．已知y﹣3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y与x的函数关系式；（2）将所得函数图象平移，使它经过点（2，﹣1），求平移后直线的解析式．52．如图，一次函数y= -3x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）将直线AB向左平移1个单位长度，求平移后直线的函数关系式；（2）求出平移过程中，直线AB在第一象限扫过的图形的面积．53．在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上．（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当0≤y≤2时，自变量x的取值范围（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，得到线段AC，请在网格中画出线段AC．（3）若直线AC的函数解析式为y＝kx+b，则y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．54．直线1y kx =+沿着y 轴向上平移b 个单位后，经过点(2,0)A -和y 轴正半轴上的一点B ，若ABO （O 为坐标原点）的面积为4，求b 的值．55．已知y 是x 的一次函数，且当0x =，1y =；当1x =-时，2y =．（1）求这个一次函数的表达式：（2）将该函数图象向下平移3个单位，求平移后图象的函数表达式．56．如图，点A 的坐标为()1,0-，点B 在直线24y x =-上运动．（1）若点B 的坐标是()1,2-，把直线AB 向上平移m 个单位后，与直线24y x =-的交点在第一象限，求m 的取值范围．（2）当线段AB 最短时，求点B 的坐标．57．如图，直线AB ：2y x k =-过点M （k ，2），并且分别与x 轴，y 轴相交于点A 和点B ．（1）求k 的值；（2）求点 A 和点B 的坐标；（3）将直线AB 向上平移3个单位得直线l ，若C 为直线l 上一点，且3AOCS =，求点C的坐标．58．平面直角坐标系内一条直线AB ，A （a ，0），B （0，b ），a ，b 40b -=， （1）求直线AB 的表达式，（2）直接写出把这条直线向上平移3个单位长度后得到的表达式．59．已知一次函数的图象与直线1y x =-+平行，且过点()2,5-，求该一次函数的表达式． 60．如图，正比例函数y ＝kx 的图象经过点A ，点A 在第二象限．过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ．已知点A 的横坐标为﹣3，且△AOH 的面积为4.5． （1）求该正比例函数的解析式．（2）将正比例函数y ＝kx 向下平移，使其恰好经过点H ，求平移后的函数解析式．61．如图直线l 经过点A (-3,1)，B (0,-2)，将直线l 向右平移两个单位得到直线l 1．（1）在图中画出平移后的直线l 1；（2）求直线l 1的表达式．62．已知一次函数y kx b =+，当1x =时，1y =-；当1x =-，5y =-． （1）在所给坐标系中画出一次函数y kx b =+的图象： （2）求k ，b 的值；（3）将一次函数y kx b =+的图象向上平移2个单位长度，求所得到新的函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标．63．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图像由函数y x =的图像平移得到，且经过点()1,2．（1）请在所给平面直角坐标系中画出这个一次函数的图像并求该一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值函数y mx =（0m ≠）的值大于一次函数y kx b =+的值，求出m 的取值范围．64．如图，在平面直角坐标系中，直线11:3l y x =与直线2l 交点A 的横坐标为3，将直线1l 沿y 轴向下平移3个单位长度，得到直线3l ，直线3l 与y 轴交于点B ，与直线2l 交于点C ，点C 的纵坐标为1-，直线2l 与y 轴交于点D ．（1）求直线2l 的解析式； （2）连接AB ，求ABC 的面积．65．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． （1）在平面直角坐标系中，画出函数y ＝|x|的图象： ①列表：完成表格②画出y ＝|x|的图象；（2）结合所画函数图象，写出y ＝|x|两条不同类型的性质； （3）写出函数y ＝|x|与y ＝|x ﹣2|图象的平移关系．66．已知一次函数23414m y x m +=+-． （1）当32m >-时，这个函数的函数值y 随x 的增大而增大还是随x 的增大而减小呢？ （2）当这个函数的图象与直线3y x =-平行时，求m 的值．67．已知一次函数y kx b =+（,k b 是常数，且0k ≠）的图象过()A 3,5与()2,5B --两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点()3,a a --在该一次函数图象上，求a 的值；（3）把y kx b =+的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式． 68．在平面直角坐标系中，直线532y x =--交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线334y x =-+交x 轴于点C ，交y 轴于点D .()1如图1，连接BC ，求BCD 的面积；()2如图2，在直线334y x =-+上存在点E ，使得45ABE ∠=︒，求点E 的坐标； ()3如图3，在()2的条件下，连接OE ，过点E 作CD 的垂线交y 轴于点F ，点Р在直线EF上，在平面中存在一点Q ，使得以OE 为一边，O E P Q ，，，为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q 的坐标.。
2022-2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练18-1 函数的概念带讲解
18.1 函数的概念1、函数的相关概念在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y,如果在变量x 的允许取值范围内，变量y 随着x 的变化而变化，那么变量y 叫做变量x 的函数 ，x 叫做自变量 。
要点：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. 2、函数的定义域与函数值①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数 （4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：函数记号：y 是x 的函数用记号y=f （x ）表示；函数值：在函数记号y=f （x ）表示时，f （a ）表示当x=a 时的函数值。
题型1：变量与常量1．刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（ ）．A ．金额B ．单价C ．数量D ．金额和数量D【分析】根据常量与变量的定义即可判断． 解：常量是固定不变的量，变量是变化的量， 单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化， 故选：D ．【点睛】本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．2．下列关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，说法正确的是（ ）A ．C 、r 是变量，π是常量B ．r 、π是变量，2是常量C ．C 、r 是变量，2是常量D ．C 、r 是变量，2π是常量D【分析】根据变量和常量的定义判断即可．解：关于圆的周长C 与半径r 之间的关系式2C r π=中，C 、r 是变量，2π是常量． 故选：D ．【点睛】本题考查了变量和常量的定义，解题关键是明确变量和常量的定义，注意：π是常量．3．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么在下列各量中，变量的个数是( )①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个C解：变量有：②行驶时间、③行驶路程、④汽车油箱中的剩余油量．共3个． 故选C ．【点睛】本题考查变量的概念，变量是指变化的量．题型2：函数的定义（从1.变量之间的关系；2.函数解析式；3.函数图像判断）4．下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A ．长方形的宽一定，其长与面积 B ．正方形的周长与面积C ．等腰三角形的底边与面积D ．速度一定时，行驶的路程与时间C【分析】在一个变化过程中，存在两个变量,,x y 对于变量x 的每一个值，变量y 都有唯一的值与之对应，我们就说：y 是x 的函数，根据函数的定义逐一判断即可得到答案. 解：长方形的宽一定，其长与面积，符合函数定义，故A 不符合题意； 正方形的周长与面积，符合函数定义，故B 不符合题意；等腰三角形的底边与面积，在这个变化过程中，还有底边上的高是变量，所以不符合函数定义，故C 符合题意；速度一定时，行驶的路程与时间，符合函数定义，故D 不符合题意； 故选：.C【点睛】本题考查的是函数的定义，掌握“函数的定义判断变量之间是不是函数关系”是解题的关键. 5．给出下列式子：①35y x =-；②1y x=；③y =x+z ；④2y x =；⑤2y x ．其中y 是x 的函数的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个B【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应． ①35y x =-，y 是x 的函数； ②1y x=，y 是x 的函数；③中有x ，y ，z 三个变量，因此不能说y 是x 的函数；④中当x 取任一正数值时，有两个y 值与之对应，故y 不是x 的函数． ⑤2yx ，y 是x 的函数.故选B ．【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键． 6．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（ ）A ．1个B ．2个 C ．3个 D ．4个B【分析】根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量，据此判断即可． 解：属于函数的有故y 是x 的函数的个数有2个，故选：B ．【点睛】本题考查了函数的定义，熟记定义是本题的关键．题型3：函数的解析式7．半径2的扇形，设圆心角为n ，则面积S 关于圆心角n 的函数解析式是 ___________________．8．某种货物的进价是每件5元，售出时的标价是每件5.8元，那么获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是__________．0.8y x =【分析】根据获得的利润等于与每件的获得的利润乘以售出的数量，即可求解．解：获得的利润y （元）与售出的数量x （件）之间的函数关系式是()5.850.8y x x =-= ． 故答案为：0.8y x =．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．9．在登山过程中，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是 9℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高 x 千米时，所在位置的气温是 y ，那么y 关于x 的函数解析式是_______．69y x =-+【分析】根据登山队大本营所在地的气温是 9℃，海拔每升高 1 千米气温下降 6℃，可求出y 与x 的关系式．解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：69y x =-+； 故答案为：69y x =-+．【点睛】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的低温=底面气温－降低的气温．题型4：函数的定义域10．函数()f x _________.【点睛】本题考查了函数的定义域问题、二次根式的被开方数大于或等于0的性质，掌握二次根式的被开方数大于或等于0是解答本题的关键． 11．函数y =的定义域是________． 5x >【分析】根据分母是二次根式，则要求被开方数为正数，即可求得函数的定义域．解：由题意知：50x -> ∴5x > 故答案为：5x >【点睛】本题考查了求函数的自变量的取值范围即函数的定义域，一般考虑两个方面：一是分母不为零；二是二次根式非负．12．下列函数的定义域为2x ≤的是（ ）A ．32y x =+ B ．5x y x =-C ．y =D ．y =13．函数y _____________1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，可列出关于x 的不等式组，解出x 即可．解不等式②可用整体010+≥①②，10610x ++≥变形为9610x +++≥中，14．已知函数26y x =-，当3x =时，y =_______；当19y =时，x =_______． 3 5±【分析】分别将3x =和19y =代入解析式，即可求解．解：当3x =时，2363=-=y ； 当19y =时，2196x =- ，解得：5x =± ． 故答案为：3；5± ．【点睛】本题主要考查了求函数的自变量和函数值，解题的关键是理解并掌握当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． 15．已知函数1my x =+，当2x =时，函数值为3，则m 的值是_________． 已知函数故答案为：9．【点睛】本题考查了函数的表达式，代入求值是解题的关键． 16．x=___________时，函数y=3x-2与函数y=5x+1有相同的函数值．17．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．18．已知()221f x x =-，则(f =______．19．已知3()21f x x =-，且f （a ）＝15，那么a 的值是________． 2【分析】将函数值代入解析式求出a 即可． 解：由题意得：3()2115f a a =-=，故答案为：2．【点睛】本题考查了已知函数值求自变量，是基础题，直接代入计算即可．题型7：函数的有关概念综合题20．下表是某报纸公布的世界人口数据情况：表中的变量（ ）A ．仅有一个，是时间（年份）B ．仅有一个，是人口数C ．有两个，一个是人口数，另一个是时间（年份）D ．一个也没有C【分析】根据变量的定义直接判断即可． 解；观察表格，时间在变，人口在变，故C 正确； 故选：C ．【点睛】本题考查了变量的定义，解题关键是明确变量的定义，能够正确判断．21．弹簧挂重物会伸长，测得弹簧长度()y cm 最长为20cm ，与所挂物体重量()x kg 间有下面的关系．下列说法不正确的是（ ）A ．x 与y 都是变量，x 是自变量，y 是因变量B ．所挂物体为6kg ，弹簧长度为11cmC ．物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cmD ．挂30kg 物体时一定比原长增加15cm D【分析】弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，由表格数据可知物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ，可以计算当所挂物体为6kg 或30kg 时弹簧的长度，但应注意弹簧的最大长度为20cm ．解：A ．因为弹簧长度随所挂物体的重量的变化而变化，所以x 是自变量，y 是因变量．故本选项正确； B ．当所挂物体为6kg 时，弹簧的长度为80.5611cm +⨯=．故本选项正确；C ．从表格数据中分析可知，物体每增加1kg ，弹簧长度就增加0.5cm ．故本选项正确；D ．当所挂物体为30kg 时，弹簧长度为80.5302320cm cm +⨯=>．故本选项不正确．故选：D【点睛】本题考查了变量、自变量、因变量的概念，认真审题能从题目中抽取出有效信息是解题的关键．题型8：从图像判断信息22．如图表示的是某种摩托车的油箱中剩余量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系．由图象可知，摩托车最多装__升油，可供摩托车行驶___千米，每行驶100千米耗油___升．10 500 2【分析】根据图象可知，当x=0时，对应y的数值就是摩托车最多装多少升油，当y=0时，x的值就是摩托车行驶的千米数；根据摩托车油箱可储油10升，可以行驶500km即可得出每行驶100千米消耗汽油升数．解：由图象可知，摩托车最多装10升油，可供摩托车行驶500千米，每行驶100千米耗油2升．故答案为：10，500，2．【点睛】此题主要考查了利用函数图象解决问题，从图象上获取正确的信息是解题关键．23．如图，甲，乙两人在一次赛跑中的路程（m）与时间（s）的关系图象，则：①甲，乙两人中先到达终点的是______；②乙在这次赛跑中的速度为______m/s．甲8【分析】①根据函数点的横纵坐标的含义可得答案；②由乙在这次赛跑中100米用时12.5秒可得答案．解：①根据图象可得甲跑完全程用12s，乙用12.5s，所以先到终点的是甲，故答案为：甲；②100÷12.5=8（m/s），故答案为：8．【点睛】本题考查了函数图象，正确理解坐标系的横纵坐标的意义是解决本题的关键．24．王阿姨从家出发，去超市交水电费．返回途中，遇到邻居交谈了一会儿再回到家，如图所示的图像是王阿姨离开家的时间t（分）和离家距离S（米）的函数图像．则王阿姨在整个过程中走得最快的速度是______米/分．100【分析】根据题意，分别求出每一段路程的速度，然后进行判断，即可得到答案．解：根据题意，0~15分的速度：160800153÷=；25分~35分的速度：(800500)1030-÷=；45分~50分的速度：5005100÷=；∵160301003<<，∴王阿姨在整个过程中走得最快的速度是100米/分；故答案为：100．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象解决相应的问题．25．在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器，容器内水面高度h与时间t的函数图象如图所示，那么这个容器的形状可能是（）A．B．C．D．C【分析】根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断．根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小．则杯子应该是越向上开口越大．故杯子的形状可能是C．故选：C．【点睛】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．题型9：分段函数26．已知函数2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，若2y=，则x=_________．2【分析】根据y值可确定x的取值范围，根据x的取值范围结合函数关系式列方程求出x的值即可得答案．∵0≤x＜1时，0≤x2＜1，2,0122,1x xyx x⎧≤<=⎨-≥⎩，∴y=2时，x≥1，∴2x-2=2，解得：x=2，故答案为：2【点睛】本题考查函数值，根据y值结合各函数关系式得出对应的x的取值范围是解题关键．题型10：拓展-函数映射思想27．下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（）A．B．C．D．D解：A、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；B、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；C、对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数，此项不符题意；D、当3x=时，有两个y的值与其对应，所以y不是x的函数，此项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数）是解题关键．一、单选题1．设路程为s（km），速度为v（km/h），时间为t（h）．当50s=时50,tv=在这个函数关系式中（）A．路程是常量，t是s的函数B．路程是常量，t是v的函数C．时间是常量，v是t的函数D．速度是常量，t是v的函数B【分析】函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数，结合选项即可作出判断．在50,tv=中，速度和时间是变量，路程s是常量，t是v的函数故选：B．【点睛】本题考查了函数解析式的定义，掌握函数解析式的定义是解题的关键．2．以等腰三角形底角的度数x（单位：度）为自变量，顶角的度数y为因变量的函数关系式为（）A．y=180﹣2x（0＜x＜90）B．y=180﹣2x（0＜x≤90）C．y=180﹣2x（0≤x＜90）D．y=180﹣2x（0≤x≤90）A【分析】根据三角形内角和定理得2x+y=180，然后变形就可以求出y与x的函数解析式．解：y=180﹣2x，∵21800xx-+>⎧⎨>⎩，∵x为底角度数，∴0＜x＜90．故选A．【点睛】本题考查函数关系式，解决本题的关键是利用三角形内角和定理求一次函数的解析式．3．下列图像中表示y是x的函数的有几个（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x ，y ，当给定一个x 的值时，y 由唯一的值与之对应，则称y 是x 的函数，x 是自变量，注意“y 有唯一性”是判断函数的关键．解：根据函数的定义，每给定自变量x 一个值都有唯一的函数值y 与之相对应，故第2个图符合题意，其它均不符合，故选：A ．【点睛】本题考查函数图象的识别，判断方法：做垂直x 轴的直线在左右平移的过程中，与函数图象只会有一个交点．4．某商贩卖某种水果，出售时在进价的基础上加上一定的利润，其销售数量x 与售价y 的关系如下表，王阿姨想买这种水果6千克，她应付款（ ） 销售数量x （千克）1 2 3 4 5 … 售价y （元）40.5+ 8 1.0+ 12 1.5+ 16 2.0+ 20 2.5+ …A ．27元B ．24元C ．7元D ．26.5元A【分析】根据表格，推导出y 与x 的关系式，然后将x=6代入关系式即可求出结论．解：∵40.5+=1410.5⨯+⨯8 1.0+=2420.5⨯+⨯12 1.5+=3430.5⨯+⨯16 2.0+=4440.5⨯+⨯ 20 2.5+=5450.5⨯+⨯∴y=40.5 4.5x x x +=将x=6代入，得y=4.5627⨯=故选A ．【点睛】此题考查的是函数的应用，根据表格数据，求出函数关系式是解题关键．5．甲、乙二人沿相同的路线由A 到B 匀速行进，A ，B 两地间的路程为20km ．他们行进的路程(km)s 与甲出发后的时间t （h ）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确．．．的是（ ）A ．甲的速度是5km/h ；B ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．从A 到B ，甲比乙多用了1h D 【分析】由图可得，该图象是路程与时间的关系，乙比甲晚出发一小时且乙的速度比甲的速度快． 解：从图象可知甲乙两人均行驶了20千米，用时分别为4小时和2小时，从而得到甲、乙的速度分别为5km/h 和10km/h ，故A 、B 正确，D 错误；从图象可知乙比甲晚出发1小时，故C 正确；故选：D ．【点睛】此题主要考查了函数的图象，重点考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．设函数()()1f x x x =-，以下结论正确的是（ ）.A ．()()0f a f a +-=B ．若()f a a =，则0a =C ．()()1f a f a -=D ．()()1f a f a =- D【分析】()f x 中x 即自变量，把自变量的值代入解析式计算，然后进行判断即可．f (a )+f (−a )=a (a −1)−a (−a −1)=2a 2，A 不正确；f (a )=a ,即a (a −1)=a ，即a (a −2)=0，则a =0或2，B 不正确；f (a )f (-a )=a (a −1)×[−a (−a −1)]= a4- a2，C 不正确；f (a )= a (a −1),f (1−a )=(1-a )(1-a -1)=(1-a )(-a )= a (a −1)，D 正确，故选D.【点睛】本题考查求函数值，在本题中代入自变量时需注意当自变量为-a或1-a时需将-a或1-a看成一个整体，去替换关系式中的x.还需注意化简时的符号问题.7．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是6和2，输出的y值相等，则b等于（）A．5B．10C．7D．10-D【分析】把x=6与x=2代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．当x6=时，y=-x6=-，当x2=时，y=2x+b22b4b=⨯+=+，由题意得：4b6+=-，解得：b10=-．故选：D．【点睛】本题主要考查了函数值，解题的关键是掌握函数值的计算方法．8．若函数23(2)3(2)x xyx x⎧-≤=⎨>⎩，则当函数值9y=时，自变量的值是（）A．23±B．3 C．3± 3 D．23- 3D【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解．解：当y=x2-3=9，解得：x=-23或x=23（舍去）；当y=3x=9，解得：x=3．故选D．【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键．9．如图，一只蚂蚁从О点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与О点的距离为,s 则s 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ． B【分析】根据蚂蚁在半径OA 、AB 和半径OB 上运动时，判断随着时间的变化s 的变化情况，即可得出结论．解：一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行，在开始时经过半径OA 这一段，蚂蚁到O 点的距离随运动时间t 的增大而增大；到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，图象是与x 轴平行的线段；走另一条半径OB 时，S 随t 的增大而减小；故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，根据随着时间的变化，到AB 这一段，蚂蚁到O 点的距离S 不变，得到图象的特点是解决本题的关键．10．函数[]y x =叫做高斯函数，其中x 为任意实数，[]x 表示不超过x 的最大整数．定义{}[]x x x =-，则下列说法正确的个数为( )①[ 4.1]4-=-；②{3.5}0.5=；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<．A ．0B ．1C ．2D ．3D【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，即可解答．解：①[ 4.1]5-=-，故原说法错误；②{3.5} 3.5[3.5] 3.530.5=-=-=，正确，符合题意；③高斯函数[]y x =中，当3y =-时，x 的取值范围是32x -≤<-，正确，符合题意；④函数{}y x =中，当2.5 3.5x <≤时，01y ≤<，正确，符合题意；所以，正确的结论有3个．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确[]x 表示不超过x 的最大整数．二、填空题11．当圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，它们之间的变化关系为2πS r =，在这个变化过程中，自变量为______，因变量为______，常量为______.r S π【分析】根据常量、变量的概念，通过对圆的面积公式中的各个量进行分析，即可确定答案. ∵圆的半径r 由小变大时，它的面积S 也越来越大，∴自变量是圆的半径r ，因变量是圆的面积S ，常量是π.故答案为r ，S ，π. 【点睛】本题考查变量与常量. 常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量. 自变量就是本身发生变化的量,因变量就是由于自变量发生变化而引起变化的量.12．在面积为120m²的长方形中，它的长y （m ）与宽x （m ）的函数解析式是______.120xy ，进而变形即可得120xy， 120x=. 【点睛】本题考查用关系式法表示变量之间的关系. 能利用矩形的面积公式中的等量关系列出关系式是解决此题的关键.13．已知2()1x f x x -=- ，则f =_________．【点睛】本题主要考查求函数值的知识，关键是根据题意把自变量代入函数表达式求解即可．14．已知函数()f x =()3f =_______． 函数【分析】由分式与二次根式有意义的条件可得10,10x x ①②再解不等式组即可得到答案10,10x x ①②由由②得：1,x ≠所以函数1y =【点睛】本题考查的是二次函数的自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，掌握“分式与二次根式有意义的条件”是解本题的关键.16．油箱中有油60升，油从管道中匀速流出，一小时流完，则油箱中剩余油量Q （升）与流出时间t （分钟）之间的函数关系为________________________ ， 定义域为_____________ ，当Q=10升时， t=___________60Q t =- 060t ≤≤ 50【分析】根据“剩余油量=总油量－用去的油量”建立函数关系式，再代入求值即可．由题意可得，油从管道中流出的流速是每分钟1升，∴60Q t =-，∵一小时流完，∴定义域为060t ≤≤，将Q=10代入60Q t =-得，10=60－t ，解得：t =50．故答案为：60Q t =-；060t ≤≤；50．【点睛】本题考查了函数关系式，掌握实际问题中关系式的求法是解题的关键．17．将231a b -=写成用a 的代数式表示b 的形式为______，那么______是______的函数，______是自变量. 2133b a =-b a a 【分析】根据等式的性质将等式表示成左边为b 右边为含a 的代数式的形式即可，根据函数的定义填写后面三个空.解：∵231a b -=移项可得：321b a -=-+将b 的系数化为1得：2133b a =-. 根据函数的定义b 是a 的函数，a 是自变量，b 是因变量故四个空依次填：2133b a =-，b ，a ，a. 【点睛】等式的性质和函数的定义.在用a 的代数式表示b 时可将a 看成已知数，b 看成未知数，解b 的方程即可，理解函数的定义也是解决本题的关键.18．用黑、白两种颜色的正六边形地板砖镶嵌成若干图案（如图），则第n 个图案中白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式是________，其中常量是________，变量是________． 42N n =+ 2，4 N ，n【分析】根据图形所呈现的规律得出白色地板砖的总块数N （块）与n 之间的关系式，再确定自变量、因变量．由图①可得：N =1×6－（1－1）×2＝6； 由图②可得：N =2╳6-（2-1）╳2=10；由图③可得：N =3╳6-（3-1）╳2=14；由上可得图形规律为：N =6n -2（n -1）=4n +2，常量为4，2；变量为白色地板砖的总块数N 与n ， 故答案为：N =4n +2；4，2；白色地板砖的总块数N 与n ．【点睛】考查常量与变量以及图形的变化类，解题关键是发现图形所呈现的规律．三、解答题19．下列式子中的y 是x 的函数吗？为什么？（1）35y x =-； （2）21x y x -=-； （3）y = 请再举出一些函数的例子．20．下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式．（1）改变正方形的边长x ，正方形的面积S 随之改变．（2）每分向一水池注水30.1m ，注水量y （单位：3m ）随注水时间x （单位：min ）的变化而变化．（3）秀水村的耕地面积是6210m ，这个村人均占有耕地面积y （单位；2m ）随这个村人数n 的变化而变化．（4）水池中有水10L ，此后每小时漏水0.05L ，水池中的水量V （单位：L ）随时间t （单位：h ）的变化而变化．21．小明准备买a 本练习本，已知练习本的单价为3元.（1）写出小明所花的钱数y （元）与本数a （本）之间的表达式； （2）当6a =时，求y 的值. （1）3y a =；（2）18【分析】（1）根据每本练习本的价格及练习本的数量得出关系式即可； （2）再把a =6代入求出y 的值即可.(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式y =3a ； (2)当a =6时，y=3×6=18.答：(1)小明所花的钱数y (元)与本数a (本)之间的关系式，y=3a ； (2)当a =6时，y 的值为18.【点睛】本题考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的应用是解题的关键.在本题中一定要清楚总价=单价×数量.22．在烧开水时，水温达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3）时间推移2分钟，水的温度如何变化？（4）时间为8分钟时，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？（1）上表反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量；（2）水的温度随着时间的增加而增加，到100℃时恒定；（3）时间推移2分钟，水的温度增加14℃，到10分钟时恒定；（4）时间为23．已知x 与y 有如下关系：2x y =-. （1）把它改成()y f x =的形式；（2）求f的值.24．已知()()234,53f x x x g x x =+=-，求：（1）()()f x g x + （2）(1)(2)f g -+ （1）2483x x +-；（2）8【分析】（1）通过合并同类项，即可完成求解；（2）通过(1)f -和(2)g 分别计算后再相加，从而完成求解．（1）()22()3453483f x g x x x x x x +=++-=+-（2）2(1)3(1)4(1)341f -=⨯-+⨯-=-+= (2)5237g =⨯-=∴(1)(2)178f g -+=+=．【点睛】本题考查了求函数值、合并同类项的知识；求解的关键是函数值的方法和合并同类项的性质，从而完成求解．25．下图是某物体的抛射曲线图，其中s 表示物体与抛射点之间的水平距离，h 表示物体的高度．（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？ （2）根据图象填表：/m s0 1 2 3 4 5 6 /m h（3）当距离s 取0~6m 之间的一个确定的值时，相应的高度h 确定吗？ （4）高度h 可以看成距离s 的函数吗？（1）反映了拋射距离s 与高度h 之间的关系；（2）2.0，2.5，2.65，2.5，2.0，1.2，0；（3）确定；（4）可以【分析】（1）根据变量的定义，即可求解； （2）根据图象填表即可；（3）根据这一范围内对于任一个距离s ，对应的函数值高度h 是唯一的，即可得到相应的高度h 是确定的； （4）根据函数的定义，即可求解．解：（1）根据题意得：这个图象反映了高度h与拋射水平距离s之间的关系；（2）根据图象填表如下：/ms0 1 2 3 4 5 6/mh 2.0 2.5 2.65 2.5 2.0 1.2 0（3）当距离s取0~6m之间的一个确定的值时，相应的高度h是确定的，理由如下：因为这一范围内对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，所以相应的高度h是确定的；（4）∵高度h随距离s的变化而变化，并且对于任一个距离s，对应的函数值高度h是唯一的，∴高度h可以看成距离s的函数．【点睛】本题主要考查了函数与变量，熟练掌握设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量是解题的关键．26．如图是一辆慢车与一辆快车沿相同路线从A地到B地所行的路程与时间之间的函数图像. 请根据图像，回答下列问题：（1）慢车比快车早出发______h，快车追上慢车时行驶了______km，快车比慢车早______h到达B地；（2）求A、B两地的距离.（1）2、276、4；（2）A、B两地的距离为828km.【分析】(1)图像中横轴表示时间，纵轴表示路程，根据快、慢车的函数图象即可得出结果；(2)设快车与慢车相遇时，快车用了t小时，则慢车用了t+2小时，据此可用含t的代数式表示它们的速度，根据到达目的地时，快车的路程=慢车的路程列出方程，解方程可求出t，从而可求出快车的速度，进而求出A、B两地的距离.（1）慢车的图象是从原点开始的，快车的图象是从x=2开始的所以慢车比快车早出发2h；两图象相交时，y=276，故快车追上慢车时行驶了276km；当x=14时快车到达，当x=18时慢车到达，故快车比慢车早4h到达B地.所以填2、276、4.（2）设相遇时快车用了t h,速度为276tkm/h，则慢车用了()2t+h，速度为2762tkm/h，则。
正比例函数的图象和性质(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.7正比例函数的图象和性质（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数的图象1.函数的图象：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出相应的点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象,2.函数图象的画法步骤(1)列表：列表给出一些自变量和函数的对应值(2)描点：以表中各组对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点(3)连线：按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用线依次连接起来,特别解读(1)函数的图象是由一些点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点,使图象更准确；在画图象时,应考虑自变量的取值范围.【知识点2】正比例函数图象1.一般地,正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是一条经过原点(0,0)的直线,我们称它为直线y=kx(k≠0)特别解读:有些正比例函数的图象因其自变量取值范围的限制,并不一定是一条直线,可能是一条射线、一条线段或一些点.2.图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般地，过原点和点(1,k)的直线，即为正比例函数y=kx(k≠0)的图象.特别解读:正比例函数y=kx(k≠0)中，k 越大，直线与x 轴相交所成的锐角越大，直线越陡；|k 越小，直线与x 轴相交所成的锐角越小，直线越缓。
【知识点3】正比例函数的性质正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小.【知识点4】待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ，y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值.【考点一】正比例函数的图象【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）已知正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，求：（1）求正比例函数关系式；（2）画出正比例函数y kx =的图象；（3）当自变量x 满足34x -≤≤时，直接写出对应函数值y 的取值范围．【答案】（1）2y x =-；（2）画图见分析；（3）86y -≤≤【分析】（1）把()()2,40A a a a -≠代入函数解析式即可；（2）先列表描点，再连线即可；（3）分别求解当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；从而可得答案．（1）解：∵正比例函数y kx =的图象过点()()2,40A a a a -≠，∴24ak a =-，∴2k =-，∴正比例函数为2y x =-；（2）列表：x 012y x=-02-描点连线：（3）当3x =-时，6y =；当4x =时，8y =-；当自变量x 满足34x -≤≤时，对应函数值y 的取值范围为86y -≤≤．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，画正比例函数的图象，求解函数的函数值的取值范围，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽合肥·八年级合肥一六八中学校考阶段练习）若点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭在同一个正比例函数图象上，则11()()a ab b a b ---的值是（）A ．13B ．－3C ．3D ．34-【答案】A【分析】设正比例函数解析式为y kx =将A ，B 两点代入可计算ab 的值，再将原式化简后代入即可求解．解：设正比例函数解析式为y kx =，将点()2,A a -，3,2B b ⎛⎫⎪⎝⎭代入上式，得2a k =-，32bk =，2ak ∴=-，3222a ab b ⎛⎫∴=⋅-=- ⎪⎝⎭，3ab ∴=-，11111()()()33a ab b a b a a b a b a b b ∴-=-=-=-----，故选：A ．【点拨】本题主要考查一次函数图象上点的特征，求解ab 的值是解题的关键．【变式2】（2021春·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在()0y kx x =>图象上有一点A ，若A 点的坐标为(，O 为原点．则OA 的长为．【答案】2【分析】根据坐标系中两点间的距离公式求解即可．解：2OA =；故答案为：2．【点拨】本题考查了正比例函数图象和坐标系中两点间的距离，熟记公式是关键．【考点二】正比例函数的性质【例2】（2022秋·陕西榆林·八年级校考期中）已知4y +与21x -成正比例，且=1x -时，2y =．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点()21m m -+，，求m 的值．【答案】（1）42y x =--；（2）1m =【分析】（1）由4y +与21x -成正比例，设()421y k x +=-，把=1x -，2y =代入解析式求解k 即可得到答案；（2）把点的坐标代入函数解析式即可得到答案．（1）解：∵4y +与21x -成正比例，∴设()421y k x +=-，∵=1x -时，2y =，∴()2421k +=--，解得：2k =-，∴()4221y x +=--，即：42y x =--，y ∴与x 之间的函数关系式为42y x =--；（2）解：∵它的图象经过点()21m m -+，，∴()1422m m +=---，解得：1m =．【点拨】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解一次函数解析式，掌握以上知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）关于正比例函数14y x =-，下列结论不正确的是（）A ．图象经过原点B ．y 随x 的增大而减小C ．点12,2⎛⎫⎪⎝⎭在函数14y x =-的图象上D ．图象经过二、四象限【答案】C【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．解：A 、图象经过原点，故本选项正确，不符合题意；B 、因为104-<，所以y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C 、当2x =时，1112422y =-⨯=-≠，则点12,2⎛⎫⎪⎝⎭不在函数14y x =-的图象上，故本选项错误，符合题意；D 、因为104-<，所以图象经过二、四象限，故本选项正确，不符合题意；故选：C【点拨】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．【变式2】（2023春·山东枣庄·八年级校考期中）规定：[]，k b 是一次函数y kx b =+（a ，b 为实数，且0k ≠）的“特征数”．若“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则点(321)，+-m m 所在的象限是第象限．【答案】二【分析】根据题意得出240m -=，10+<m ，求出2m =-，求出(321)，+-m m 为()1,3-，即可得出答案．解：∵“特征数”为214，⎡⎤+-⎣⎦m m 的一次函数是正比例函数，∴240m -=，解得：2m =±，∵y 随x 的增大而减小，∴10+<m ，解得：1m <-，∴2m =-，∴()323221m +=+⨯-=-，()112123m -=--=+=，∵()1,3-在第二象限，∴(321)，+-m m 在第二象限．故答案为：二．【点拨】本题主要考查了正比例函数的性质，象限内点的特点，解题的关键是求出点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(),++；第二象限(),-+；第三象限(),--；第四象限(),+-．【例3】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，长方形OABC 边42BC AB ==，．（1）直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，求k 的取值范围：（2）直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，试写出S 关于k 的解析式；（3）直线(0)y kx k =≠，是否可能将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3？若能，求出k 的值；若不能，说明理由．【答案】（1）102k <≤；（2）18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3），58k =或25k =【分析】（1）待定系数法求得直线OB 的解析式，即可求解；（2）分类讨论①当直线(0)y kx k =≠，与AB 相交，根据长方形面积减去AOP S 即可求解，②当直线(0)y kx k =≠与BC 相交，直接根据三角形面积公式求解；（3）根据（2）的结论，结合题意，列出方程，解方程即可求解．（1）解：∵长方形OABC 边42BC AB ==，．∴()4,2B ，将()4,2B 代入1y k x =，得112k =，∴直线OB 的解析式为12y x =，∵直线(0)y kx k =≠，交边AB 于点P ，∴102k <≤；（2）解：∵直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分，靠近y 轴的一部分记作S ，令4x =，∴4y k =，即()4,4P k ，∴12444882S k k =⨯-⨯⨯=-，∴18802S k k ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，由(0)y kx k =≠，令2y =，则2x k=，即直线(0)y kx k =≠与BC 的交点为2,2k ⎛⎫⎪⎝⎭，当12k >时，1222S OC k k=⨯=，∴212S k k ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，综上所述，18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩；（3）由（2）可得18802212k k S k k ⎧⎛⎫-<≤ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，直线(0)y kx k =≠，将长方形OABC 的面积分成两部分的面积比为2:3，当(0)y kx k =≠与线段BC 有交点时285S =，即2285k =，解得58k =，当(0)y kx k =≠与线段AB 有交点时385S =，即88385k -=，解得25k =，综上所述，58k =或25k =．【点拨】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南新乡·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A B ，均在坐标轴上，已知点()0,1A ，()2,0B ，AB BC =，90ABC ∠=︒，连接OC ，则OC 所在直线的表达式是（）A ．23y x =B ．32y x =C ．23y x=-D ．32y x=-【答案】A【分析】如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，证明AOB BDC △≌△得到12BD OA CD OB ====，，进而求出()32C ，，由此利用待定系数法求出对应的函数解析式即可．解：如图所示，过点C 作CD x ⊥轴于D ，∴90CDB BOA ∠=∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90OBA OAB OBA DBC +=︒=+∠∠∠∠，∴OAB DBC ∠=∠，又∵AB BC =，∴()AAS AOB BDC ≌△△，∴BD OA CD OB ==，，∵()0,1A ，()2,0B ，∴12BD OA CD OB ====，，∴3OD =，设直线OC 所在直线的表达式为y kx =，∴23k =，即23k =，∴直线OC 所在直线的表达式为23y x =，故选A ．【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求正比例函数解析式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式2】（2023春·福建厦门·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中有()0,5A ，()2,3B 两点，将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，点B 的对应点F 在直线12y x =上，则点D 的坐标为．【答案】()4,5【分析】先根据平移的性质求出点F 的纵坐标为3，代入12y x =可得点F 的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得．解： 将OAB 沿x 轴向右平移后得到EDF ，且()2,3B ，∴点F 的纵坐标为3，当3y =时，132x =，解得6x =，∴将OAB 沿x 轴向右平移624-=个单位长度后得到EDF ，平移后，点D 与点A 是对应点，且()0,5A，()04,5D ∴+，即()4,5D ，故答案为：()4,5．【点拨】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键．。
一次函数与正比例函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解： 一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解： 一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解： 直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解： 从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。
人教版八年级数学下册_【例题与讲解】用二元一次方程组确定一次函数表达式
7 用二元一次方程组确定一次函数表达式1．二元一次方程与一次函数的关系 若k ，b 表示常数且k ≠0，则y －kx ＝b 为二元一次方程，有无数个解；将其变形可得y ＝kx ＋b ，将x ，y 看作自变量、因变量，则y ＝kx ＋b 是一次函数．事实上，以方程y －kx ＝b 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象相同．【例1】 (1)方程x ＋y ＝5的解有多少个？写出其中的几个．(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y ＝5－x 的图象上吗？(3)在一次函数y ＝5－x 的图象上任取一点，它的坐标适合x ＋y ＝5吗？(4)以方程x ＋y ＝5的解为坐标的所有点所组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同吗？分析：方程x ＋y ＝5的解有无数个，以这些解为坐标的点组成的图象与一次函数y ＝5－x 的图象相同，二者是相同的．解：(1)有无数个．⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4；⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3；⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝2；⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.(2)以这些解为坐标的点，都在一次函数y ＝5－x 的图象上．(3)适合．(4)相同．2．用图象法求二元一次方程组的近似解用图象法求二元一次方程组的近似解的一般步骤：(1)先把方程组中两个二元一次方程转化为一次函数的形式：y 1＝k 1x ＋b 1和y 2＝k 2x ＋b 2；(2)建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象；(3)写出这两条直线的交点的横纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x ，纵坐标是y .【例2】 用作图象的方法解方程组：⎩⎨⎧x －y ＝3， ①x ＋2y ＝－3. ②分析：先把两个方程化成一次函数的形式；再在同一直角坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解．解：由①，得y ＝x －3；由②，得y ＝－12x －32.在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝x －3的图象l 1和一次函数y ＝－12x －32的图象l 2，如图所示．观察图象，得l 1和l 2交点的坐标为M (1，－2)．故方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋2y ＝－3的解为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝－2.3．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．因此一次函数与二元一次方程组有密切联系．利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的一般步骤如下：(1)写出函数表达式：一次函数y ＝kx ＋b ；(2)把已知条件代入，得到关于k ，b 的方程组；(3)解方程组，求出k ，b 的值，写出其表达式．【例3】 已知一次函数y ＝ax ＋2与y ＝kx ＋b 的图象如图所示，且方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解为⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1点B 坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A 的坐标，再代入表达式，求出字母a ，k ，b 的值．解：∵方程组⎩⎨⎧ ax －y ＝－2，kx －y ＝－b 的解是⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝1， ∴交点A 的坐标为(2,1)．∴点A 在函数y ＝ax ＋2的图象上，2a ＋2＝1.[来源:zz^@step.&com*%]∴a ＝－12.∵点A (2,1)，点B (0，－1)在函数y ＝kx ＋b 图象上，∴⎩⎨⎧ 2k ＋b ＝1，b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝－1. ∴两个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋2，y ＝x －1.析规律 方程组的解与交点坐标方程组的解就是两个一次函数图象的交点的坐标．4．用待定系数法求一次函数的表达式用待定系数法求一次函数的表达式的方法可归纳为“一设，二列，三解，四还原”．具体的说明如下：一设：设出一次函数表达式的一般形式y ＝kx ＋b (k ≠0)；二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k ，b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k ，b 的值；四还原：将已求得的k ，b 的值再代入y ＝kx ＋b (k ≠0)中，从而得到所要求的一次函数的表达式．确定二元一次方程(组)中字母的取值，是一类常见的题目，解这类问题的基本方法是利用方程(组)的有关知识，得到含有字母系数的方程(组)，然后解这个方程(组)，求出待定字母．析规律 求与坐标轴的交点坐标 解答这类问题要切记，函数图象与x 轴的交点的纵坐标是0，函数图象与y 轴的交点的横坐标是0.【例4】 某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下： 印数x (册)5 000 8 000 10 000 15 000 … 成本y (元) 28 500 36 000 41 000 53 500 …(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y (元)是印数x (册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x 的取值范围)；(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？[来源:~@中国解：(1)设所求一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意，得⎩⎨⎧ 5 000k ＋b ＝28 500，8 000k ＋b ＝36 000.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝52，b ＝16 000.所以所求的函数关系式为y ＝52x ＋16 000. (2)将y ＝48 000代入y ＝52x ＋16 000中，得48 000＝52x ＋16 000.解得x ＝12 800.所以能印该读物12 800册．5．利用数形结合法理解二元一次方程组解的三种情况(1)方程组有唯一一组解：即方程组中的两个二元一次方程有唯一公共解，如方程组⎩⎨⎧ x －y ＝3，x ＋y ＝5有唯一一组解⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝1.函数y ＝x －3和y ＝5－x 的图象是两条相交的直线，只有一个交点．(2)方程组无解：即方程组中的两个二元一次方程没有公共解，如方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，3x ＋3y ＝5无解，这类方程组也叫做矛盾方程组．函数y ＝5－x 和y ＝13(5－3x )的图象是两条平行直线，无交点．(3)方程组有无数组解：即方程组中的两个二元一次方程有无数个解，如方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝4有无数组解．函数y ＝2－x 和y ＝12(4－2x )的图象是同一条直线．【例5】 如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B 在汽车A 后出发)，试回答下列问题：(1)图中l 1，l 2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？(2)写出汽车A 和汽车B 的路程与时间的函数关系式，汽车A 和汽车B 的速度各是多少？(3)图中交点是什么意思？分析：图中l 1，l 2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l 1经过点(0,0)和(3,100)，直线l 2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．解：(1)l 1表示A 车的路程与时间的关系，l 2表示B 车的路程与时间的关系．(2)汽车A 的函数关系式是s ＝1003t ，汽车B 的函数关系式是s ＝100t －200；汽车A的速度是1003km/h，汽车B的速度是100 km/h.(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.。
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八年级函数概念周练1
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择填空题（每小题6分，30分）
1.已知函数y =212+-x x ,当x =a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3 B.－1 C.－3 D.1
2.某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x (分)之间的函数关系正确的是（ ）
3.甲、乙两地相距S 千米，某人行完全程所用的时间t （时）与他的速度v （千米/时）满足vt=S ，在这个变化过程中，下列判断中错误的是（ ）.
A.S 是变量
B.t 是变量
C.v 是变量
D.S 是常量
4.已知油箱中有油25升，每小时耗油5升，则剩油量P(升)与耗油时间t(小时)之间的函数关系式为（ ）.
A.P=25+5t （t>0）
B.P=25－5t(t ≥0)
C.P=t
525 (t>0) D.P=25－5t (0≤t ≤5) 5.写出下列函数关系式:
①速度60千米的匀速运动中，路程S 与时间t 的关系___________ .
②等腰三角形顶角y 与底角x 之间的关系 ______________ .
③汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油10升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的关系______.
④矩形周长30,则面积y与一条边长x之间的关系__________ .
二、解答题（每小题14分，70分）
1.下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
①②
图1 图2 ③
通话时间t/
0＜t≤3 3＜t≤4 4＜t≤5 5＜t≤6 6＜t≤7 …
分
话费y/元0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 …
2.下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
3．父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低，”并给小明出示了下面的表格．
根据上表，父亲还给小明出了下面几个问题，你和小明一起回答．
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？
（4）你能猜出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
4．张爷爷晚饭以后外出散步，碰到老邻居，交谈了一会儿，返回途中在读报栏前看了一会儿报，如图是据此情境画出的图象，请你回答下面的问题：
（1）张爷爷是在什么地方碰到老邻居的，交谈了多长时间？
（2）读报栏大约离家多远？
（3）图中反映了哪些变量之间的关系？其中哪个是自变量？哪个是因变量？
5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
（1）上表反映了哪些变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度怎样变化？
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化？
（4）如果物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；（5）当物体的质量为2.5kg时，根据（4）的关系式，求弹簧的长度．
参考答案
一．选择题
1．A 【解析】3a 12
a 1a 2==+-
2.C
【解析】注意三分钟到四分钟之间并不随时间的增长而增长，只要超过三分钟就加收一元，以此类推。
3.D
【解析】s 是变量
4.D
【解析】由油量的取值为0到25之间，可得自变量t 的取值0≤t ≤5
5.①s=60t
②y=180-2x
③y=100-0.2x
④y=x （30-2x ）
二、解答题
1．①②③都含有两个变量，①中人均纯收入可以看成年份的函数，
②中有效成分释放量是服用后的时间的函数
③中话费是通话时间的函数
2．(1)(2)(3)(4)(7)(8)是函数关系，(5)(6)不是.
3．解：（1）上表反映了温度和距地面高度之间的关系，高度是自变量，温度是因变量．
（2）由表可知，每上升一千米，温度降低6摄氏度，可得解析式为t=20-6h ；
（3）由表可知，距地面5千米时，温度为零下10摄氏度；
（4）将t=6代入h=20-t 可得，t=20-6×6=-16
4．解：由图象可知：
（1）张爷爷在距家600米的地方碰见老邻居的，交谈了25-15=10（分钟）；
（2）读报栏离家300米；
（3）题目中涉及到了离家的距离与外出散步的时间之间的关系，时间t是自变量，能将离开家的距离看成时间的函数．
1与L2的交点坐标为（-16
5
，
9
5
）。
5. 解：（1）反映了物体的质量与弹簧的长度之间的关系，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量；
（2）弹簧的长度由原来的12cm变为13.5cm；
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度逐渐变长；
（4）y=12+0.5x；
（5）当x=2.5时，y=12+0.5×2.5=13.25（cm）。