2008年华中科技大学高等代数考研试题
2008年数四 考研数学真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设0a b <<，则()10lim nnnn ab--→+（ ）()A a .()B 1a -. ()C b .()D 1b -.（2）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()x f t dt g x x=⎰的（ ）()A 跳跃间断点. ()B 可去间断点.()C 无穷.()D 振荡.（3）设()f x 是连续奇函数，()g x 是连续偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤≤≤则正确的（ ）()A ()()0Df yg x dxdy =⎰⎰.()B ()()0D f x g y d x d y =⎰⎰.()C [()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰.()D [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.（4）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分'0()axf x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABCD 面积.()B 梯形ABCD 面积.()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +可逆.()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ ()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =的分布函数为（ ）()A ()2F x .()B ()()F x F y .()C ()211F x --⎡⎤⎣⎦.()D ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()0,1X N ，()1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ）()A {}211P Y X =--=. ()B {}211P Y X =-=. ()C {}211P Y X =-+=.()D {}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程为 . （11）2113ln y dx x xdy =⎰⎰ .（12）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=通解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =，则A 的秩为 .（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX == .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分10分）求极限201sin limln x x x x→. (16) （本题满分10分） 设()()1f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值、单调区间和凹凸区间.(17)（本题满分10分）求函数222u x y z =++在在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大和最小值.(18)（本题满分10分）设(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时，求(1)dz （2）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求u x ∂∂.(19)（本题满分10分）()f x 是周期为2的连续函数，（1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t t g x f t f s ds dt +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数． （20）（本题满分11分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+（2）a 为何值，方程组有唯一解（3）a 为何值，方程组有无穷多解 (21)（本题满分11分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，证明（1）123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.（22）（本题满分9分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-，Y 概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它，记Z X Y =+（1）求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭（2）求Z 的概率密度（23）（本题满分9分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工且再加工的合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？.。
华中科技大学数学分析部分考研真题PDF
b
x
5.设 f n ( x)( n = 1,2,...) 是区间 [a, b] 上的连续函数，当 n → +∞ 时， f n ( x) 在 [a, b] 上 一致收敛于函数 f ( x ) ，每个 f n ( x) 在 [a, b] 上均有零点，证明： f ( x) 在 [a, b] 上 至少有一个零点.
上一致收敛于 f ( x). 证明：至少存在一点 x0 ∈ [a, b], 使得 f ( x0 ) ≥ 0. 二.2005 年数学分析真题
eA − eA 1.设 an > 0 ( n = 1,2,...), ∑ an = 1, An = ∑ ak , 求极限 lim e . n →∞ A − Ae n =1 k =1 n n −1
∞ n
n n −1
2.设 f ( x) 在区间 [0,1] 上有二阶连续导数，f (0) = f (1) = 0, f ′( x) ≤
8 8 , f ′′( x) ≤ , 试给出 5 5
f ( x ) (0 ≤ x ≤ 1) 的一个估计.
3. 设 f ( x ) 在区间 [0，∞ ) 上可微且恒大于零， f (0) = 1,
2.设 f (t ) 为连续函数，证明： 3.设反常积分
1
∫
b
a
dy ∫ ( y − x) n f ( x) dx =
a x →∞
y
1 b (b − x ) n +1 f ( x ) dx. ∫ a n +1
∞ 0
∫
∞
0
f ( x) dx 绝对收敛且 lim f ( x ) = 0, 证明 ∫ f 2 ( x) dx 收敛. x df ( x) 存在且有限，证明： dx
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题及答案
（Ⅱ）记 则 可逆，
即 .
【难易度】★★
【详解】
解析：
则 。记 ，则
则 ，正、负惯性指数相同，故选
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）已知函数 连续，且 ，则
【答案】2
【考点】等价无穷小
【难易度】★★
【详解】
解析：利用等价无穷小因子替换有
.
（10）微分方程 的通解是 .
【答案】y＝Cx－xe－x，其中C为任意常数
2个无穷间断点
2个跳跃间断点
【答案】
【考点】函数间断点的类型
【难易度】★★
Hale Waihona Puke 【详解】解析： 的间断点为 ，而 ，故 是可去间断点；
， ，故 是跳跃间断点
故选 .
（5）设函数 在 内单调有界， 为数列，下列命题正确的是（ ）
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
若 收敛，则 收敛. 若 单调，则 收敛.
【详解】
解析：令
得方程组 即 ，解得 或
得 .
.
（22）（本题满分11分）
设 元线性方程组 ，其中 ， ， .
（Ⅰ）证明行列式 ；
（Ⅱ）当 为何值时，该方程组有唯一解，求 ；
（Ⅲ）当 为何值时，该方程组有无穷多解，求通解.
【考点】行列式的基本性质，非齐次线性方程组解的判定
【难易度】★★★
【详解】
解析：（Ⅰ）证明：消元法．记
．
（Ⅱ）由克莱姆法则， 时方程组有唯一解，故 时方程组有唯一解.
由克莱姆法则，将 得第一列换成 ，得行列式为
所以， ．
（Ⅲ）当 时，方程组为
此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ，其中 为任意常数．
2008—数二真题、标准答案及解析
( B) E − A 不可逆， E + A 可逆.
(C ) E − A 可逆， E + A 可逆.
( D) E − A 可逆， E + A 不可逆.
（8）设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
，则在实数域上与
A
合同的矩阵为（
）
(
A)
⎛ ⎜ ⎝
−2 1
1⎞
−2
⎟ ⎠
.
(
B)
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
−1⎞
2
本题的难度值为 0.537.
(6)【答案】 A
【详解】用极坐标得
( ) 所以 ∂F = vf u2 ∂u
本题的难度值为 0.638.
(7) 【答案】 C
∫∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) F
u, v
=
D
f
u2 + v2 u2 + v2
dudv =
v
dv
0
u 1
f
(r r
2
)rdr
=v
u 1
f
(r2 )dr
⎟ ⎠
.
(C
)
⎛ ⎜ ⎝
2 1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(
D
)
⎛ ⎜ ⎝
1 −2
−2 ⎞
1
⎟. ⎠
二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）
已知函数
f
(
x)
连续，且
lim
x→0
1− cos[xf (ex2 −1) f
( x)] (x)
856高等代数考研真题答案08
河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码： 856 科目名称： 高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知4阶行列式D 的第3行元素分别为 1,0,2,4-，第4行元素对应的余子式依次是5,10,,4a ，求a 的值。
2、（5分）已知矩阵B A ,满足关系A B AB =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012021B ，求矩阵A 。
3、（5分）设*A 为3阶方阵A 的伴随矩阵，A =2，计算行列式|21)3(|*1A A --。
解：1、因为 31413242334334440a A a A a A a A +++=，(3)L L分这里ij a 和ij A 分别是第i 行第j 列处的元素和该元素的代数余子式，所以有 150102440a -⨯+⨯+⨯-+⨯=（-）（），可得212a =。
(5)L L 分 2、 因为B A AB =-，所以B E B A =-)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-20001210211)(1E B B A ，(5)L L 分 3、|21)3(|*1A A --=111||3A A ---=12||3A --=312()||3A --=427-。
(5)L L 分二、（15分）计算)3(≥n n 阶行列式：0111101010n x xD x x x x =L L LM M M OM L。
（注释：该行列式主对角线上元素都是0，第一行和第一列除去第一个位置的元素是0外，其余的都是1，行列式中其余的元素都是x 。
要求写出解题步骤，也可以用语言叙述）。
解（法一）：0111101010n x x D x x x x =L L LM M M O M L1(),(2,3,,)i r x r i n ⨯-+=L 0111100100100x x x---L L L M M M O M L(6)L L 分当0x ≠时，再把第j 列的1x倍加到第1列（2,3,,j n =L ），就把n D 化成了上三角行列式 121111000(1)(1)000000n n n n x x D n x x x----==----L LL M M M O M L， (12)L L 分当0x =时，显然有0n D =。
线性代数华中科技大学历年考试试卷及答案
线性代数试卷一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 向量组s ααα，，， 21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
2. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有(A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且； (C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或。
3. 设α是n 维非零实列向量,矩阵T E A αα+=,3≥n ，则___________(A) A 至少有n －1个特征值为1； (B) A 只有1个特征值为1；(C) A 恰有1-n 个特征值为1； (D) A 没有1个特征值为1。
4. ______________)()(,则，且，阶方阵为设B r A r n B A = (A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A r B A r =+； (C) )(2)(A r B A r =，； (D) )()()(B r A r B A r +≤，。
5. 设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则(A) A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B) T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C) A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D) T AA 是m 阶单位矩阵。
二、填空题（每题3分，共15分）1．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A 。
2. 若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 。
2008年数二真题及标准答案及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--,则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3(2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ )()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积。
(3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛。
()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛。
()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛。
（6）设函数f 连续,若22(,)uvD F u v =，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F∂= （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若30A =，则（ ()A E A -不可逆，E A +不可逆.()B E A -不可逆，E A +()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()B 2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭。
()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭。
30676 77D4 矔 29252 7244 牄27551 6B9F 殟-25596 63FC 揼：二、填空题：9—14小题,每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.(10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =。
2008年考研数学二试题答案与解析
(B) E − A 不可逆, E + A可逆. (D) E − A 可逆, E + A不可逆.
[C]
(8)
设
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 2
2 1
⎞ ⎟ ⎠
,则在实数域上与
A
合同的矩阵为
(A)
⎛ −2
⎜ ⎝
1
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
.
(B)
⎛2
⎜ ⎝
−1
−1⎞
2
⎟ ⎠
.
(C)
⎛2
⎜ ⎝
1
1⎞
2
⎟ ⎠
.
(D)
⎛1
⎜ ⎝
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由定积分性质,有
m(b
−
a)
≤
b
∫a
f
(
x )dx
≤
M
(b
−
a)
即
m
≤
b
1 −
a
b
∫a
f
(
x)dx
≤
M
由连续函数介值定理可知,至少存在一点η ∈[a,b] ,使得
f
(η
)
=
b
1 −
a
b
∫a
f
( x)dx
即
b
∫a
f
( x)dx
=
f
(η )(b − a)
x = ln (1+ t2 )
dy dx
=
dy
dt dx
=
ln (1+ t2 ) ⋅ 2t
2t
=
(1+ t2 ) ln (1+ t2 )
dt
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8 设 α1 为线性变换 T 的特征向量， (T − λ E )α1 = 0 ，这里 E 为恒等变换， 且 向 量 组 α1 , α 2 ,L , α r 满 足 (T − λ E )α i +1 = α i , i = 1, 2,L , r − 1. 证 明 ： 向 量
3
−1 −1 假设 n × n 实对称矩阵 A, B 以及 A − B 均是正定矩阵,证明: B − A
也是正定矩阵 4 证明：向量 α1 = (1,1, Λ 1), α 2 = (1,1, Λ 1,0), Λ α n = (1,0, Λ 0) 是 n 维向量空间 的一组基。 5 设 A,B 分别为 n 阶正定和半正定矩阵，证明： A + B ≤ A + B , 且仅 当 B=0 时取等号 6 设 A 与 B 是 n 阶矩阵，证明 AB 与 BA 有相同的特征值。 7 设 A 为 m × n 实矩阵，秩 ( A) = n ，证明：
α1 , α 2 ,L , α r 线性无关.
9 设 V 和 W 都是数域 F 上向量空间， L(V ) 和 L(W ) 分别是 V 和 W 的线性 变换组成的向量空间， f 是 V 到 W 的同构映射。
−1 1． 证明： ∀σ ∈ L(W ) ，有 f σ f ∈ L(V ) ；
2． 证明： L(W ) ≅ L(V ) ，这里 ≅ 表示同构。
华中科技大学 08 硕士研究生考试高等代数试题
1 1 1 0 1 1 * * 1 若矩阵 A 的伴随矩阵 A = 0 0 1 ,求 A 的逆
2 2 2 假设 A, B 都是 2 × 2 的实矩阵,并且 A = B = E , AB + BA = O ,证明:存在可
1 0 −1 0 1 P −1 AP = , P BP = 0 −1 1 0 . 逆矩阵 P ,使得
−1 10 设 A, B 都是 n 阶矩阵，且 ABA = B43; 秩 ( E + AB ) = n.