用量子力学讨论氢原子问题
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
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胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
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教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
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胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
用基础量子力学解释氢原子
用基础量子力学解释氢原子四川师范大学本科毕业论文用基本量子力学解释氢原子——量子力学与氢原子的相遇相知相交学生姓名黄兰院系名称物理与电子工程学院专业名称物理学班级2008级 2 班学号2008070219指导教师侯邦品四川师范大学教务处二○一二年五月用基本量子力学解释氢原子本科生：黄兰指导老师：侯邦品内容摘要：主要从以下几个方面来运用基本量子力学解释氢原子。
1、氢原子的能级和能量本征函数。
首先介绍在量子力学中的波函数，再利用薛定谔方程来导出氢原子的能量本征函数，最后再分析它的物理含义。
2、氢原子的四个量子数的物理意义。
解释它们其与氢原子的能级的关系。
3、径向波函数和角度波函数。
主要是得出径向波函数和角度波函数同时给出它的物理意义。
4、简并性破除与量子激光。
氢原子的内部结构中电子在原子中受到的磁场的作用所产生的正常塞曼效应和反常塞曼效应，以及可能引起的电子跃迁。
5、氢原子的Stark效应。
氢原子在外场的作用下表现的Stark 效应，这部分将作简单的介绍。
关键词：量子量子力学氢原子 stark效应Schr?dinger方程Using quantum mechanics to explain the physical phenomena in hydrogen atomsAbstract:we shall use quantum mechanics to explain the physicalphenomena in the hydrogen atoms as follows: 1, the energy eigenfunctions for hydrogen are obtained after introducing the wave function in quantum mechanics . 2 , physical significance of the four quantum numbers in the hydrogen atoms.Here we shall focus on the hydrogen atom electron spin and its physical meaning of the four quantum numbers . 3, the radial wave function and the angle wave function . Coming to the radial wave function and the angle of the wave function at the same time we will get its physical significance. 4, the degeneracy is broken by magnetic fields. The normal and the anomalous Zeeman effect induced by magnetic field are introduced. 5, Finally, the the Stark effect in the hydrogen atomis briefly introduced.Key Words:Quantum Quantum mechanics Hydrogen atoms stark effect Schr?dinger equation目录引言 (4)1氢原子的能级和能量本征函数 (6)1.1波函数与Shr?dinger方程 (6)1.1.1波函数 (6)1.1.2波函数的归一化 (6)1.2 Shr?dinger方程 (7)1.2.1不含时Shr?dinger方程 (7)1.2.2 Shr?dinger方程的一般形式 (7)1.3中心力场中角动量守恒与径向方程 (7)1.4氢原子的能级与本征函数波函数 (8)2氢原子四个量子数 (11)2.1氢原子的定态薛定谔方程 (11)2.2 三个量子数 (12)2.3电子的自旋与第四量子数 (15)2.3.1斯特恩--盖拉赫实验(1921年) (15)3径向波函数和角度波函数 (17)3.1径向几率分布 (17)3.2电子的几率密度随角度的变化 (19)4氢原子四个量子数 ................................................................ 错误！未定义书签。
量子力学对氢原子的处理
(2)若 E<0, 即E=Ek+U<0 则 Ek＜U 根据其波函数必须满足的标准条件,解得
En
mee4
4
2 0
(2)2
1 n2
me4
8 02 h
2
1 n2
n=1,2,3,…
n 称为主量子数 n=1,2,3 ，…其决定着氢原子能量的取值。
5
n=1 ，称之为基态，代入有关数据,算得
E1 13.6eV
+
计算表明：
Lz ml ml 0,1,2...... l
Ml 称为磁量子数，其决定了电子角动量在空间的可能取向。 对于一个给定的 l ml=0， ± 1， ± 2，... ± l， 这时 L 在空间可以有 (2l+1) 个可能取向。
9
例：当 l=2 时， L 与轴的夹角可有如图的几种形式。 ml=0，± 1,± 2 ml=0 ，表示 L与 Z轴垂直 ,"±"表示 L 对 Z 轴正负向的投影,
l 0
2
对应于每一个能级有 n2 个简并态，
对应于每一个电子状态,需要三个量子数 n, l, ml 来描述。
11
3, … (n-1) 电子的状态 , 现仍沿用这些称号。 例如， n=2,l=0,1 就分别称之为 2 s态和 2 p 态，其对应关 系详见下节教材。 (3)简并现象，简并态,简并度
上面计算表明，对应于一个主量子数 n,可有 n 个不同的 l 值，也就是说，在同一能级，电子可取 n 个不同的角动量，电 子可取若干个不同的运动状态，这种现象称作 "简并" 现象。
d 2
d 2
ml
2
0
(1)
1
sin
氢原子 能级跃迁 量子力学
氢原子能级跃迁量子力学以氢原子能级跃迁为主题的量子力学研究是一项重要的物理学研究领域。
在量子力学中，氢原子是最简单的原子系统，其能级跃迁过程是量子力学理论的基础之一。
本文将从能级结构、跃迁机制以及实验观测等方面探讨氢原子能级跃迁的量子力学原理。
我们来了解一下氢原子的能级结构。
根据量子力学的理论，氢原子的能级由主量子数n、角量子数l和磁量子数m确定。
主量子数n 决定了能级的大小，角量子数l决定了能级的形状，而磁量子数m 决定了能级在空间中的方向。
氢原子的能级可以用能级图表示，其中每个能级用一个水平线表示，而能级之间的跃迁用垂直的箭头表示。
在氢原子中，能级跃迁可以分为吸收和发射两种过程。
吸收过程是指氢原子从低能级跃迁到高能级，而发射过程是指氢原子从高能级跃迁到低能级。
根据量子力学的原理，能级跃迁的发生是由于原子吸收或发射了一个能量等于能级差的光子。
根据能级差的大小，能级跃迁可以分为不同的系列，如巴尔末系列、帕舍尼系列等。
在量子力学中，氢原子能级跃迁的概率可以用跃迁几率表示。
跃迁几率与跃迁矩阵元相关，而跃迁矩阵元又与波函数之间的叠加积分有关。
根据量子力学的计算方法，可以通过求解氢原子的定态薛定谔方程来计算跃迁几率。
定态薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解该方程可以得到氢原子的波函数，进而计算出能级跃迁的几率。
实验观测是验证量子力学理论的重要手段之一。
通过精密的实验测量，科学家们可以观察到氢原子能级跃迁的现象，并验证量子力学的预测。
实验观测可以通过光谱技术来实现，光谱技术可以分析物质吸收或发射的光线的频率和强度。
利用光谱技术，科学家们可以测量氢原子能级跃迁所对应的光谱线，从而验证量子力学理论对能级跃迁的描述。
在实际应用中，氢原子能级跃迁在很多领域都有重要的应用价值。
例如，在激光技术中，氢原子能级跃迁可以用来产生激光光源。
通过在氢原子中引入外部能级跃迁的能量，可以激发氢原子发射出一束高强度、单色性好的激光光束。
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程
狄拉克方程求解氢原子(含详细推导过程狄拉克方程是描述自旋1/2粒子的相对论性量子力学方程，是描述基本粒子的标准模型中的重要组成部分。
而氢原子是量子力学初学者学习的第一个模型问题，所以求解氢原子的问题可以帮助我们更好地理解狄拉克方程的物理和数学含义。
在这篇文章中，我们将尝试使用狄拉克方程来求解氢原子的问题。
首先，我们先来回顾一下氢原子的非相对论性量子力学描述。
氢原子的非相对论性薛定谔方程可以写为:\[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi - \frac{e^2}{r}\Psi = E \Psi\]其中，\(\Psi\) 是波函数，\(m\) 是电子的质量，\(e\) 是元电荷，\(E\) 是能量。
在经典非相对论性量子力学理论中，薛定谔方程可以成功地描述氢原子的能量谱和波函数，但是当我们要考虑到电子的自旋以及相对论性效应时，就需要使用更加全面的狄拉克方程。
狄拉克方程可以写为：\[(i\hbar \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - mc)\Psi = 0\]其中，\(\gamma^{\mu}\) 是4x4的矩阵，被称为狄拉克矩阵，\(\mu\) 取值0,1,2,3，代表时空的分量，\(m\) 是电子的静质量。
为了更加方便地求解问题，我们可以进行相应的单位转换，使得\(\hbar = c = 1\)。
然后，我们可以选择如下表示狄拉克矩阵：\[\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}, \gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^i \\ -\sigma^i & 0 \end{pmatrix}\]其中，\(I\) 是2x2单位矩阵，\(\sigma^i\) 是Pauli矩阵。
接下来，我们可以用这个矩阵表示来展开狄拉克方程，将波函数表示为二分量形式\(\Psi= \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\)，并且对狄拉克方程取伴随得到：\[(i\partial_0 - \gamma^i\partial_i - m)\Psi^{\dagger} = 0\]接下来，我们要求得狄拉克方程的解，这一步是非常复杂的，我们需要使用一些高等数学知识和物理知识。
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
氢原子的原子轨道能量取决于量子数
氢原子的原子轨道能量取决于量子数在物理学和化学中，氢原子是一个非常重要的模型系统，它有助于我们更深入地理解原子结构和量子力学的基本原理。
氢原子的原子轨道能量是由量子数决定的，这是一个非常重要且深奥的主题。
在本文中，我将从简单的介绍开始，逐渐深入探讨氢原子的量子数及其对原子轨道能量的影响。
1. 起源与基本概念氢原子是由一个质子和一个电子组成的最简单的原子系统。
在氢原子中，电子围绕质子运动，而这种运动的轨道和能量是由量子力学描述的。
量子力学给出了一些特定的量子数，它们决定了氢原子的轨道能量和结构。
2. 主量子数和能级让我们来看看氢原子的主量子数。
主量子数n是一个整数，表示氢原子轨道的主要能级。
主量子数越大，能级越高，能级越高，对应的轨道能量也会越高。
主量子数决定了氢原子轨道的基本能量结构。
3. 角量子数和轨道角动量角量子数l则描述了氢原子轨道的形状。
角量子数l包括0到n-1的整数取值，不同的l对应着不同形状的轨道。
对于给定的主量子数n，轨道角动量和轨道能量是由角量子数决定的。
这样，我们可以看到，角量子数l对氢原子轨道能量的影响是非常明显的。
4. 磁量子数和轨道磁矩除了主量子数和角量子数，磁量子数m还起着重要的作用。
磁量子数描述了轨道在外磁场中的取向，它决定了氢原子轨道的磁矩。
虽然磁量子数对氢原子轨道能量的影响不如主量子数和角量子数明显，但在一些特定情况下，它也是非常重要的。
通过以上简要介绍，我们可以看到氢原子的原子轨道能量确实取决于量子数。
主量子数、角量子数和磁量子数这三个量子数共同决定了氢原子轨道的能量结构，而轨道能量的结构又直接影响着氢原子的化学性质和光谱特性。
从深度和广度的角度来看，氢原子的量子数不仅影响着其轨道能量，还涉及到了原子的化学键、化学反应以及原子光谱等许多方面。
深入理解氢原子的量子数对于理解化学和物理学的基本原理是非常重要的。
总结回顾在本文中，我从氢原子的基本构成和量子力学的基本原理出发，逐步介绍了氢原子的主量子数、角量子数和磁量子数对轨道能量的影响。
氢原子的量子力学描述
氢原子是最简单的原子，核外只有一个电子绕核运动，质子和电子之间存在库仑相互作用。
由于质子的质量是电子质量的大约2000倍，一般可以建立一个坐标系，把坐标原点取在质子上。
电子受原子核的库仑场作用，势能函数为：r e r U 024)(πε-=0222=-+∇)r ()]r (U E [m )r ( ψψ0)()4(2)(0222=++∇r r e E m r ψπεψ由于氢原子具有球对称性，可用球坐标系表示定态薛定谔方程：)(sin sin 1)(1222θψθθθψ∂∂∂∂+∂∂∂∂r r r r r 0)4(2sin 10222222=++∂∂+ψπεϕψθr e E m r 其解一般为的函数：ϕθ,,r ),,(ϕθψψr =定态薛定谔方程设波函数为)()()(),,(ϕθϕθψΦΘ=r R r 代入球坐标系的薛定谔方程，在求解波函数时，考虑到波函数应满足的单值、有限、连续以及归一化的标准化条件，可得到氢原子的量子化特征。
我们主要对一些重要的结论进行讨论。
()),3,2,1(12422204 =⋅-=n nme E n πε1. 能量量子化 主量子数求解薛定谔方程，得到氢原子的能量为n — 主量子数注意：⑴ 氢原子能量是一系列离散值 —— 反映能量量子化能级间隔随主量子的增大而减小，↓∆↑⇒E n ⑵ 最低能级对应1=n eV E 6.131-=基态能量eV nE n 26.13-=采用分离变量法，可得到三个常微分方程，分别求解出相应的函数和量子数。
n =1 基态能量eV 6.131-=E eV 6.131=-∞E E n = 2,3,… 对应的能量 称为激发态能量eV 40.32-=E eV 51.13-=E 当 n 很大时，能级间隔消失而变为连续值对应于电子被电离∞=n 当 ，0=∞E ∞=n 11E 232E 3E 454E ∞E ∞2. 角动量（动量矩）量子化 角量子数电子绕核运动 求解薛定谔方程结论：电子绕核运动的转动角动量是量子化的)1(+=l l L 角动量— l 副量子数（角量子数）氢原子的电子电离能为：eV n E n 26.13-=氢原子能量公式)1(,,2,1,0-=n l氢原子中电子的量子态n =1n =2n =3n =4n =5n =6l = 0l = 1l = 5l = 4l = 3l = 2( s )( p )( h )( g )( f )( d )1s 5f 5d 5p 5s 6s 6p 6d 6f 6g 6h 4s 3s 3p 4f 3d 4p 4d 5g 2p 2s )1(+=l l L 共有 n 个可能的取值用,,,,f d p s 分别代表 ,3,2,1,0=l 等各个量子态玻尔的旧量子论与量子力学描述电子运动的角动量量子化的区别注意：若 l = 0有 L = 0电子的概率分布具有球对称性角动量为零)1(,,2,1,0-=n l 角动量（动量矩）量子化3. 空间量子化（空间取向量子化） 磁量子数角动量空间取向是量子化的—— 电子运动具有角动量量子化波函数 电子运动相当于一圆电流圆电流具有一定磁矩 磁矩在外磁场作用下具有一定取向 电子运动的磁矩方向与其角动量方向相反 电子转动角动量方向有确定的空间取向ZB , LθμzL o 经典理论：空间取向连续θ可取π→0的任意值量子力学：空间取向不连续z L ，只取一系列的离散值 m L z =ll l l l m -----=),1(,,2,1, 角动量空间取向是量子化的 m —— 磁量子数对应一个角量子数 l ，角动量有 2 l +1个取值例 11=l 1,0±=m Z B , o -例 22=l 2,1,0±±=m Z B , o- 22- 6)1(=+=l l L 2=L 21=+=)l (l L 例 3 设氢原子处于2 p 态，试分析氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向？解：2 p 态表示： n = 2, l = 1得eV 40.32-=E 角动量的大小为2)1(=+=l l L 当 l =1 时，磁量子数 m l 的可能值：-1, 0, +1，则角动量方向与外磁场的夹角的可能值为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=4324)1(arccos πππθl l m l eV 6.132nE n -=4. 电子云 （Electron cloud ）—— 电子的概率分布电子在绕核运动中无固定点、无轨道概念，只能用各处出现的概率来描述电子运动的状态，故用电子云的密度形象地显示概率分布。
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用量子力学讨论氢原子问题
摘要:本论文在量子力学理论计算的基础之上,对求解出来的能量及能量本征函数对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
关键词:量子力学氢原子光谱系能级
1900年,普朗克假说脱颖而出并率先在黑体辐射上有新的突破,1905年,爱因斯坦用量子化概念成功的解释了光电效应,1911年,卢瑟福依据粒子散射实验提出原子核式结构模型,接着1913年,玻尔在前人研究的基础上建立“玻尔理论”。
但玻尔理论是以经典物理为基础,加上一些量子化的条件限制,具有一定的局限性。
到玻尔理论建立十年之后,量子力学体系逐步建立起来,才完全解释了原子问题。
而氢原子是最简单的原子,在量子力学建立过程中有着特殊地位。
通过计算,已经得到氢原子的能量及能量本征函数,即氢原子的能量为:,氢原子的本征函数为:。
在此基础之上,本文就氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明。
以便为解决其它复杂原子和分子结构作一基础。
1 氢原子的能级分布
根据前面解出的归一化的径向波函数的通解,可得出最低几条能级的径向波函数是:
n=1,;
n=2,,;
n=3,,
,
2 能级的简并度
对于给定能级(即给定主量子数n),按式
=0,1,2,…,n-1
相应有:=n-1,n-2,n-3,…,0
而对于给定量子数,磁量子数可以取个可能值
m=,-1,…,-+1,-
因此,属于能级共有量子态的数目为:,
此即的简并度。
由计算结果可以看出,它比一般中心力场能级的简并度高,这是因为,一般中心力场中的粒子的能级,依赖于量子数和,但是氢原子的核
外电子处在库伦场中,能量只依赖于n,它是和的一种特殊组合,即,对于给定能级,角动量可以取0,1,…,。
此即简并,这比一般中心力场的简并度要高。
从径向方程求解可以看出,这是∝所导致的。
从物理上讲,这是氢原子核外电子所处的库伦场比一般的中心力场的几何对称性更高的动力学对称性的表现。
3 氢原子的光谱线规律
从较高能级到较低能级跃迁时,发射出光线的波函数为:
(﹥)
(里德伯常数)
对于=1,即从各激发态到基态的跃迁,
=2,3,4…
其极限位置在,这就是lyman线系,它处于紫外光谱区。
对于=2,则有: =3,4,5 …
就形成Balmar线系,此线系处于可见光谱区。
对于=3,则有: =4,5,6 …
就形成Pashen线系,此线系处于红外区。
以此类推,具有不同的值,就形成不同的线系。
4 径向位置概率分布
按照波函数的统计诠释,在定态之下,在球壳中找到电子的概率为:。
5 概率分布随角度的变化
按照波函数的统计诠释,在定态之下,在方向的立体角找到电子的概率为:∝.
它与角无关,即绕轴旋转是对称的,这是因为是的本征态的缘故,因此,可以用通过周的任何一个平面上的曲线来描述概率密度随角的变化。
6 电流分布与磁矩
按照波函数的统计诠释,在定态之下,电子的电流密度为:
利用球坐标系中梯度的表示:
由于的径向波函数及部分波函数都是函数,,
所以,通过的电流元为,它对磁矩的贡献为,是绕轴的环的面积,因此总磁矩为:
利用归一化条件,可得:,其中(波尔磁子)。
7 结语
本文在计算出氢原子的能量及能量本征函数的基础之上,进一步对氢原子的光谱系、能级、简并度、概率分布以及电流分布与磁矩的变化等性质进行了详细讨论,并对其给予了定量的解释说明,可以得出以下结论:(1)氢原子的能级分布为:第一条能级很低,随着n的增大,能级越来越密,在E接近0的区域内,有无限多分离的能级,在E大于0的区域内,为连续区。
(2)氢原子的能级简并度。
(3)氢原子的光谱公式为:(﹥),(里德伯常数)。
对于不同的,可以观察到不同的线系。
(4)氢原子在径向位置概率分布中,的节点数(不包括点)为,而概率分布与角无关,即对轴旋转是对称的。
(5)氢原子中电流是绕轴的环电流密度,并且其磁矩为。
参考文献
[1] 曾谨言.量子力学[M].北京:科学出版社,1989.
[2] 李钰.一维、二维、三维氢原子能级和电子分布概率[J].广西物理,1998(4).
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[4] 罗任远.如何理解量子力学中氢原子的能级[J].赣南师范学院学报,1999(6).。