一元二次方程的应用(面积容积)
人教版九年级数学上册《一元二次方程的应用——面积问题》教学设计
一元二次方程的应用—面积问题知识与技能1.以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法.2.能根据实际问题正确列出一元二次方程解应用题.3.能够发现，归纳出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决问题.4.提高分析问题，解决问题的能力。
过程与方法通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动，发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习热情。
情感态度与价值观，培养学生数形结合的思想。
重点：二次函数的模型的刻画难点：二次函数的性质的应用教学过程创设情境引入新课.。
[创设情境引入新课]1. 请学生回顾举行的面积公式，并进行两个小题的列方程来巩固矩形的面积公式。
2问:若纸板长为80cm,宽60cm，做成的长方体盒子底面积1500cm2。
同学们想一想怎样求剪去的小正方形的边长。
3 把无盖长方体盒重新展开，又会得到原来的长方形纸板，帮助学生从实际问题1.学生们动手制作，在长方形纸板的四个角上截去四个大小相同的正方形，然后把四边折起做成一个无盖的长方体包装盒..2.小组讨论学生们不难发现截去的正方形的边长就是盒子的高.从学生熟悉的矩形的面积入手，能迅速激发学生参与学习的兴趣；让学生发现生活中有些实际问题可以通过列一元二次方程来解决，从而顺利地引入新课。
启发探究建立模型启发探究，建立模型如图，在一个长为20m,宽为15m的长方形空地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条互相垂直且宽度相同的小路，剩余的地方种植花草，如图所示，要是种植花草的面积为266m2，那么小道的宽度应为多少米？。
1. 学生观察、相互讨论得出等量关系：（1）大矩形的面积—两条小路的面积=四个小矩形的面积之和；（2）大矩形的面积—四个小矩形的面积之和=两条小路的面积。
2、学生讨论，合作交流，请学生板演讲解.让学生经历从具体情境中抽象出一元二次方程的模型的过程，探索具体问题中的数量关系和变化规律，既起到了深化例题的作用，又复习了根的判别式的知识.一元二次方程应用教学反思这节课是“列一元二次方程解应用题”，讲授在几何问题中以学生熟悉的现实生活为问题的背景，让学生从具体的问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终解决实际问题。
17.5.1一元二次方程的应用(面积问题)
议探交流
1、对议
2、组议
1.例1中等量关系是什么？有几种列方程的方法？ 2.列一元二次方程解方程的一般步骤是什么？ 3.解决一元二次方程的应用题需要注意什么？
例1：某兴趣小组想制作一个无盖长方体纸盒，在长方形纸板的 四个角上截去四个大小相同的正方形，现有纸板长为40cm,宽 30cm，要求做成的无盖长方体盒子底面积为600cm2。同学们 想一想盒子的高是多少？
面积与数字问题
基本训练
如图，用长为18m的篱笆（实线部分），两面靠墙围成 矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计?
解:设苗圃的一边长为xm,则另一边长为(18-x)m
由题意得：x(18 x) 81
化简得：x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
例2：如图一个长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为 18m），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为35m。 （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
如图，一个长方形鸡场，一边靠墙（墙的长度为18m）， 墙对面有一个2m宽的门，另外三边（门除外）用篱笆 围成。篱笆总长为33m。 （1）当所围的面积为150m2，则长方形鸡场的长和宽分 别是多少？ （2）能够围成160m2的鸡场吗？
提示：截去的正方形的边长与盒子的高有什么 关系？
600cm2
40cm
30cm
一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个角各截去一个
正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容
器，求这块铁皮的长和宽？
高
2xcm
长 xcm 宽
设：长方体的宽是 5(x-10)(2x-10)=500
一元二次方程的应用(面积问题)
这里a=1,b=－10,c=30,
b2 4ac (10)2 4 1 30 20 0
此方程无解. 所以用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
例4：如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方 形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折 成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘 米.求截去正方形的边长。
练习：如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑 同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直), 把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积 为570平方米,问:道路宽为多少米?
例2：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积 是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如 何设计四周边衬的宽度? 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题 央的矩形两边之比也为9:7
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩 形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与 左右边衬的宽度之比也为9:7
解：设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm
3 依题意得 (27 18 x)(21 14 x) 27 21 4 63 3 解方程得 x 4
左右边衬的宽度为:
21 7 x 2
21 7
3 3 2 42 21 3 1.4 2 4
例2：要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积 是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如 何设计四周边衬的宽度?
变式：一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个角各截 去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长 方体容器，求这块铁皮的长和宽. 2xcm 高 长 xcm 宽 那么制成的长方体容器底面的宽是 (x-10)cm, ； 长是(2x-10)cm. .
一元二次方程的实际运用(传播,变化率,单双循环,面积)
一元二次方程的实际运用一、本讲内容的教材地位一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位。
其中一元二次方程的应用是初中数学应用问题的重点内容，同时也是难点。
它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用。
本节是一元二次方程的应用，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型二、教学目标知识与技能：学会利用一元二次方程的知识解决实际问题，将实际问题转化为数学模型。
过程与方法：经历由实际问题转化为一元二次方程的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
情感、态度与价值观：通过合作交流进一步感知方程的应用价值，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型。
同时让学生在学习活动中培养合作精神和克服困难的勇气，从而使学生获得成功的体验，建立自信心。
三、重点：培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想。
难点：将同类题对比探究，培养学习分析、鉴别的能力。
四、课时2小时五、教学环节安排（一）复习旧知，导入新课（二）师生合作，探究新知（三）自编自创，提升自我（四）课堂练习，巩固新知（五）归纳总结，知识升华（六）作业设计，延伸拓展六、教学过程（一）、复习旧知，导入新课俗话说：“好的开端是成功的一半”同样，好的引入能帮助学生复习旧知识，并起到激发兴趣的作用。
因此我们用学生已学的知识提出问题：列方程解应用题的一般步骤有几步？哪几步？（二）、师生合作，探究新知1、传播问题传播问题虽学生常见，但数量关系较为抽象，所以从谚语入手，让学生有感性认识：“一传十、十传百、百传千千万”在此基础上以学案为载体出示一下问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设计意图：让学生计算三轮后患流感的人数，使学生认识到传染病的危害性。
体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣。
问题：1、开始有一人患了流感，第一轮设他传染了x人，则第一轮后，共有个人患了流感。
一元二次方程的应用(2)
教学过程复习预习1.列一元二次方程解应用题的一般步骤(1)列一元二次方程解决实际问题的关键是由已知条件确定等量关系.(2)列一元二次方程解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量之间的数量关系)；设(直接方法或间接方法设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中分析的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验)；验（检验所求方程的解能否保证满足实际问题中的存在意义）答(写出所求问题答案).2.几何面积问题三角形面积=底乘高的一半；正方形面积=边长的平方；矩形的面积=长乘宽；不规则图形面积要转化为规则的图形面积来求。
二知识讲解考点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是全方面审题；二是把分析问题中的数量关系，并列出等量关系式；三是正确求解方程并检验方程的根是否符合实际意义。
例题精析【例题1】【题干】如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．【答案】解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．根据题意可得，x（50﹣2x）=300，解得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．【解析】考查一元二次方程的几何面积应用问题，已知矩形面积求满足条件的长和宽的优化设计；围墙MN最长可利用25m是解决本题的易错点；矩形周长的长、宽关系是解决本题的关键．【例题2】【题干】某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带（1）请你计算出游泳池的长和宽。
（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？【答案】解：（1）设游泳池的宽为x米，则长为2x米，（2x+2+5+1）(x+2+2+1+1)=1798整理，得：解得：（不合舍去）由得∴游泳池的长为50米，宽为25米。
一元二次方程及其应用
一元二次方程及其应用
一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。
一元二次方程的解法包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
一元二次方程的应用非常广泛，包括解决实际问题、数学建模、物理问题等。
例如，在解决几何问题时，常常需要用到一元二次方程来求解面积、周长等。
在解决代数问题时，一元二次方程也是非常重要的工具，例如求解线性方程组的解、求解不等式等。
在解决物理问题时，一元二次方程也经常被用来描述物理现象，例如求解物体的运动轨迹、求解电路中的电流等。
总之，一元二次方程是数学中非常重要的概念之一，它不仅在数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有非常重要的意义。
《一元二次方程的应用》复习
《一元二次方程的应用》复习一、面积问题例：1、如图，某小区规划在一个长40米，为26米的矩形场地ABCD中修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草。
若使每一块草坪的面积为144平方米，求小路的宽度。
2、如图,AD是△ABC的高,点G、H在BC边上,点E在AB边上，点F在AC边上，BC=20cm,AD=8cm,四边形EFHG是面积为30cm²的矩形，求这个矩形的长和宽。
二、数字问题例：一个两位数，十位数比个位数少3，这个两位数恰好比个位数的平方少2，求这个两位数。
三、质点运动性问题例：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ、AQ．（1）当运动多少秒时，△PAQ 的面积为6.4cm2？（2）当运动多少秒时，四边形APQB的面积等于14.4cm2？四、增长率问题：例：恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.五、握手问题：例：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？六、每每问题例：某租凭公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为150元，未租出的车每两每月只需维护费50元（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆？（2）当每辆车的月租金定位多少元时，租凭公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？练习题：1、一个小组有若干人，新年互送贺卡，已知全组共送贺卡56张，若设这个小组有x人，依题意可列方程为。
一元二次方程方程的应用面积问题
一元二次方程方程的应用面积问题一元二次方程是数学中的重要概念，它在现实生活中有着丰富的应用。
其中之一就是在解决面积问题时发挥作用。
从简到繁，本文将深入探讨一元二次方程在面积问题中的应用，以便读者能够更深入地理解这一概念。
一、一元二次方程的基本概念在深入讨论一元二次方程在面积问题中的应用之前，我们先来复习一下一元二次方程的基本概念。
一元二次方程通常具有如下形式：\[ax^2 + bx + c = 0\]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是一元二次方程的系数，而 \(x\) 则是未知数。
通过求解一元二次方程，我们可以得到该方程的根，从而找到方程所代表的数学意义。
二、一元二次方程在面积问题中的应用1. 求矩形的面积假设矩形的长为 \(x+3\)，宽为 \(x-1\)，我们希望求解这个矩形的面积。
根据矩形面积的计算公式 \[面积 = 长 \times 宽\]我们可以建立一个关于矩形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个矩形的面积。
2. 求三角形的面积假设有一个底边长为 \(x+2\)，高为 \(2x-1\) 的三角形，我们可以利用一元二次方程来求解这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式\[面积 = \frac{底边 \times 高}{2}\]我们可以建立一个关于三角形面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个三角形的面积。
3. 求圆的面积对于圆的面积问题，我们需要利用一元二次方程的相关知识进行转化。
假设一个圆的半径为 \(x+1\)，我们希望求解这个圆的面积。
根据圆的面积公式 \[面积 = \pi \times 半径^2\]我们可以建立一个关于圆面积的一元二次方程，通过求解这个方程，就可以得到这个圆的面积。
三、总结与回顾通过以上的例子，我们可以看到一元二次方程在面积问题中的广泛应用。
无论是矩形、三角形还是圆，我们都可以利用一元二次方程来求解其面积，这为我们在实际生活中的计算提供了便利。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作资料、求职资料、报告大全、方案大全、合同协议、条据文书、教学资料、教案设计、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!In addition, this shop provides you with various types of classic model essays, such as work materials, job search materials, report encyclopedia, scheme encyclopedia, contract agreements, documents, teaching materials, teaching plan design, composition encyclopedia, other model essays, etc. if you want to understand different model essay formats and writing methods, please pay attention!数学教案一元二次方程的应用（6篇）在教学工作者实际的教学活动中，通常需要用到教案来辅助教学，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。
一元二次方程的应用 复习课
课堂小结
列方程解应用题的步骤是： 审、找、设、列、解、验、答
三类问题的模型建立：
面积问题
模型化归：
方
几何图形面积公式
程
、
利润问题
模型化归：
函 数
总利润=每件利润╳销量
、
数
变化率问题
模型化归： a(1±x)2=b
形 结 合
当堂检测
1.养殖场2010年产值为500万元，2010～2012年总产值为1655万元，设平均 增长率为x，则可列方程：_________________ 2.工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容 器，需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计，实线表示裁剪线，虚线表示 折痕）.若长方体底面面积为12dm2时，设裁掉的正方形边长为xdm，则可列 方程_________________
课后延伸
实践性作业： 周末时间走进社区调查你所在地区近3年房价的变化情况，统计数据作出简单的分 析，从“应用一元二次方程解决实际问题”的角度提出一个问题，并能解决，形成 简单的调查成果：①原实际数据的统计与分析；②数学问题的提出或设计；③问题 的解决。
感谢您的聆听
每株利润（元） 2
2+x
假设涨价 x 元 销售量（株）
200
200-20x
总利润（元） 400 640
解：设涨价x元，每株利润为（2+x）元，销量为（200-20x）株
由题可得（2+x）（200-2x）=640 即：-20x2+160x-240=0 整任 独理务 立得要 完：求 成x：表2-格8x（+112）=的0 填解写得，：列x出1=方2程x，2=写6出解答过程，小组讨论订正后展示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Share(分享智慧)1：
“面积、体积”作为等量关系列方程
Solve(共谋问题解决)1：
问题1：一根22cm的铁丝. （1）将其围成面积是30cm2的矩形，求矩形 的长与宽？
（2）能否围成面积是32cm2的矩形？并说明 理由.
变式问题一： 如图，要建一个面积为20㎡的长方形活 动场地，它的一边靠墙（墙长6 m），其余三 边利用长13 m的旧围栏.问围成的长方形场地 的长和宽各是多少？
变式问题二： 其它条件不变，如图在旧围栏上开一道1m 的门，问围成的长方形场地的长和宽各是多少？ （只列方程）
1m
Share(分享智慧)2：
列：矩形面积=a
解：方法的选择
验：关注已知条件Leabharlann Solve(共谋问题解决)2：
问题2：
一块长方形铁皮的长是宽的两倍，四个 角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是 500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长 和宽.
谈一谈你的收获?
变式问题三：如改变一下道路的位置，以下问题如 何解决？ 如图，在长为40m，宽为22m的矩形地面内， 修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的铺上草 坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多 少？
（1 ） (2)
Share(分享智慧)3：
审：弄清对应面积
复杂图形
平移
转化
简单图形
Succeed(获得成功体验)
30 15
解：设道路的宽度是x (30+2x)(15+2x)=544
变式问题一： (2)若已知包括道路在内的长方形长为30， 宽为15，草坪的面积是364，求道路的宽度？
30
15
解：设道路的宽度是x (30-2x)(15-2x)=364
变式问题二： 日常生活中，你能找到一些以上面所得 方程 “(30+2x)(15+2x)=544” 或“(30-2x)(15-2x)=364” 为模型的实际问题吗？（不考虑单位）
高 xcm 宽
2xcm 长
1. 这个问题的相等关系是：
长×宽×高=长方体容积 铁皮长= 2× 铁皮宽
2. 如果设这块铁皮的宽是xcm， 则长是2xcm
(x-10)cm, 那么制成的长方体容器底面的宽是_________
(2x-10)cm. 长是________
变式问题一： (1)已知长方形草坪的长为30，宽为15， 草坪四周是宽度相等的道路，若包括道路在 内的长方形总面积是544，求道路的宽度？
“4s”课堂教学模式研讨课
南京市第13中学红山分校
承伟
复习引入
(1)一元二次方程与一元一次方程有何区 别与联系？ （2） 类比一元一次方程解应用题步骤， 一元二次方程解应用题的一般步骤： 审、设、列、解、验、答
等量关系
面积、容积问题
Subject：（分层定位）
1(1). 100﹪学生会运用一元二次方程知 识解决简单的面积、容积问题。 1(2). 80﹪会综合运用一元二次方程知识 解决较复杂面积、容积问题。 2.学会“合作与分享”，提升“类比学 习”、“思考与表达”等能力。