一元二次方程有四种解法

解一元二次方程五种方法

解一元二次方程五种方法解一元二次方程五种方法解一元二次方程是初中数学中的基础知识，也是高中数学中的重要内容，掌握多种解法对于提高数学能力和解题能力有着重要作用。

下面介绍五种解一元二次方程的方法。

方法一：配方法（也称为配方根公式）配方法是一种常见的解一元二次方程的方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项分离出完全平方项；2. 将方程化为完全平方形式，即形如(x + a) = b；3. 对方程两边取平方根，得到x的两个解：x = -a ± b。

方法二：公式法公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的公式为：x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a其中a、b、c分别为一次项系数、二次项系数和常数项。

方法三：图像法图像法是一种直观的解题方法，它的步骤如下：1. 将方程化为标准形式：ax+bx+c=0；2. 将方程左侧变形为y=ax+bx+c的二次函数的图像；3. 通过观察二次函数的图像，得到x的解。

方法四：因式分解法如果一元二次方程的左侧可以因式分解，那么可以使用因式分解法解题。

例如：x+5x+6=0，可以因式分解为(x+2)(x+3)=0。

因此，x的解为x=-2或x=-3。

方法五：完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的一种简便方法，它的步骤如下：1. 根据二次项系数、一次项系数和常数项计算出Δ=b-4ac；2. 如果Δ是完全平方数，那么方程的解为x=(-b±√Δ)/2a。

以上是解一元二次方程的五种方法，希望对大家有所帮助。

掌握多种解题方法可以提高数学思维和解题能力，也可以在考试中提高解题速度和准确性。

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程四种解法例题

一元二次方程四种解法例题摘要：一、引言二、一元二次方程的基本概念三、四种解法详解1.直接开平方法2.配方法3.公式法4.因式分解法四、例题解析五、总结正文：一、引言一元二次方程是数学中常见的一种方程，它在实际生活和学科学习中都有着广泛的应用。

解决一元二次方程，可以提高我们的数学思维能力和解决实际问题的能力。

本文将为大家介绍一元二次方程的四种解法及例题解析。

二、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指形如ax+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 为已知数，且a≠0。

在这个方程中，a、b、c 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

方程的解为使等式成立的未知数x 的值。

三、四种解法详解1.直接开平方法直接开平方法适用于当二次项系数a 为1 的情况。

具体步骤如下：（1）将常数项移到等式右边；（2）将二次项系数化为1；（3）对一次项系数的一半进行开平方，得到一个正数；（4）将开平方后的结果加到等式两边，得到一个完全平方；（5）开平方取正负根，得到方程的两个解。

2.配方法配方法适用于任何二次项系数的一元二次方程。

具体步骤如下：（1）将常数项移到等式右边；（2）将二次项系数化为1；（3）将一次项系数的一半平方加到等式两边，使左边成为一个完全平方；（4）开平方取正负根，得到方程的两个解。

3.公式法公式法是求解一元二次方程的通用方法，适用于任何二次项系数的方程。

公式如下：x = [ -b ±sqrt(b - 4ac) ] / 2a其中，sqrt 表示平方根，b - 4ac 称为判别式。

当判别式大于0 时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0 时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0 时，方程无实根。

4.因式分解法因式分解法适用于可以分解成两个一次因式的一元二次方程。

具体步骤如下：（1）将方程因式分解成两个一次因式；（2）分别求出两个一次因式的根；（3）将两个一次因式的根组合起来，得到方程的两个解。

四、例题解析例题：求解方程x - 3x - 4 = 0 的解。

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略）常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

解一元二次方程的三种基本方法

解一元二次方程的三种基本方法解一元二次方程的三种基本方法一元二次方程是数学中的基础概念之一，它的解法有很多种。

在这里，我们将介绍三种基本的解法。

一、配方法（1）将方程写成“完全平方”的形式。

例如，对于方程x²+6x–16=0，将右边的常数项移到左边，变为x²+6x=16，然后再将6x一分为二，得到x²+3x+3x=16，继续变形，即可让其成为完全平方。

（2）设定新的变量，使其成为一个完全平方。

例如，对于x²+6x–16=0，令y=x+3，代入原方程，得到y²–9+6y–16=0，简化后得到y²+6y–25=0，再将其变形成完全平方，可得(y+3)²=34，解得y= ± √34–3，代入y=x+3得到x=-3±√34。

二、公式法在公式法中，我们将方程ax²+bx+c=0写成：x=[–b±√(b²–4ac)]/2a，即可求得方程的两个根。

例如，对于方程x²+6x–16=0，可将a=1，b=6，c=–16带入公式中，计算得到x=-3±√34。

三、图像法对于一元二次方程y=ax²+b x+c，我们可以将其用一条二次函数的图像表示出来，相交坐标轴的两个点就是其解。

例如，对于方程x²+6x–16=0，我们可以作出相应的二次函数的图像，其中一条相交坐标轴的边界为x=-4和x=–2，因此可以解得方程的两个根为x=-4和x=-2。

总结以上三种方法都可以用来解一元二次方程。

配方法被广泛地应用于题目的解答中，因为它在操作方式上比较简单，尤其是在遇到较为复杂的方程式时有很好的实际应用。

公式法是一种少有的利用抽象公式的方法，尤其是在解有较大常数的一元二次方程时，可以简化计算。

图像法则不太常用，但在一些情况下，例如探究关于两个变量的函数的等高线时，它是非常实用的。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础，应引起同学们的重视。

一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的方程，其解为x=m± .例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×∴(3x+1)2=5∴3x+1=±(注意不要丢解)∴x=∴原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x2-24x+16=11∴(3x-4)2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2方程左边成为一个完全平方式：(x+ )2=当b2-4ac≥0时，x+ =±∴x=(这就是求根公式)例2．用配方法解方程3x2-4x-2=0解：将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+( )2= +( )2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2= .3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

(完整版)九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】一。

知识结构网络二、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02≥=b b x 或()b a x =+2的形式的方程求解。

当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0<b 时，方程无实数根。

2. 因式分解法解方程的步骤:（1）将方程一边化为0；(2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。

3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。

（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2)计算ac b 42-的值并判别其符号；（3）若042≥-ac b ，则利用公式aac b b x 242-±-=求方程的解，若042<-ac b ，则方程无实数解。

【典型例题】（1）67302x x --=(用因式分解法）解:0)32)(13(=-+x x23，31∴032或013∴21=-==-=+x x x x(2）1432+=x x (用公式法) 解：01432=--x x028)1(×3×4)4(2>=---=∆372，372∴37±23×228±)4(∴21-=+==--=x x x（3)030222=--x x （用配方法)解:15222=-x x8121)42()42(15)42(222222=-+=+-x x x225，23∴2411±42∴21-===-x x x【经典练习】一、直接开方法（1)()()x x +=-11222 (2）b a x =+2)(二、配方法注：（1）223002x x --= （2）3412x x =+ 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程()12202x x +-=;解：()228102y y +-=；解：()3231802x x -+=;解：()43212y y -=；解:()525102x x +-=;解：()625302x x ++=；解：()734502x x -+=；解:(7)方程无实数根；()82432202x x +-=；解：()...90020030352x x -=;解:(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式,()()()101233132+-=+x x 解：。

一元二次方程的几种解法

第一节解一元二次方程的几种方法
1.直接开平方法：利用平方根的定义，直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法。

例题1. 解方程(x+3)2=81
解：两边开平方，得x+3=8
即x+3=8或x+3=-8
所以x=5或x=-11
2.因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段求出方程解的方法。

例题2. 解方程x2+4x+3=0
解：原方程变形为（x+1）（x+3）=0
即x+1=0或x+3=0
所以x=-1或x=-3
3配方法：对于一个一元二次方程，首先利用恒等变形，通过配方把它花为一边含有未知数的完全平方形式，另一边是非负数，再用开平方法解方程的方法就是配方法。

例题3 解方程x2-6=4x
解：移项得x2+4x=6
配方得x2+4x+22=6+22
即（x+2）2=10
x+2=10
±
所以x=-12或x=8
4公式法：由一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，应用配方
法可推出一元二次方程的求根公式为X=
a ac
b b
2
4 2-
±
-例题4 解方程x2+5x+6=0
b2-4ac=52-4×6=1
x=(﹣5±1)/2
即x=﹣3或x=﹣2。