谓词逻辑举例
知识表示的形式 逻辑谓词
知识表示的形式逻辑谓词
逻辑谓词是知识表示的一种重要形式，主要用于描述对象之间的关系。
在人工智能和计算机科学中，逻辑谓词被用来构建形式化的知识表示系统，例如一阶谓词逻辑。
谓词通常表示为一个函数，该函数在某些对象上取值，并返回一个布尔值（真或假）。
例如，谓词“P(x) 表示x 是一个学生”中，P 是一个谓词，x 是其参数，当x 是一个学生时，P(x) 返回真，否则返回假。
通过组合和嵌套谓词，可以表示复杂的关系和事实。
例如，谓词“Q(x, y) 表示x 喜欢y”和“R(x, y) 表示x 和y 是朋友”可以组合成新的谓词“S(x, y) 表示x 喜欢y 并且x 和y 是朋友”，即S(x, y) = Q(x, y) ∧ R(x, y)。
逻辑谓词具有以下优点：
精确性：逻辑谓词可以精确地描述对象之间的关系，避免了自然语言中的模糊性和歧义性。
形式化：逻辑谓词提供了一种形式化的语言，使得知识表示可以被计算机处理和理解。
可扩展性：通过组合和嵌套谓词，可以构建更复杂的知识表示系统。
然而，逻辑谓词也存在一些局限性，例如难以处理不确定性和模糊性等问题。
因此，在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的知识表示形式。
第4章 谓词逻辑
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不便(bùbiàn)之处
1. 从书写上十分不便，总要特别注明个体域；
2. 在同一个比较复杂的句子中，对于(duìyú)不同命 题函数中的个体可能属于不同的个体域，此时无 法清晰表达；
3.
如例 (1)和(4)的合取
4.
( x)P(x)∧( x)R(x)
x∈{老虎} x∈{人}
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不便(bùbiàn)之处(续)
┐( x)(H(x)∧M(x)) 或者 ( x)(H(x)→┐M(x))；
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例4.2.3(续)
（3）在美国留学的学生未必都是亚洲人 设A(x)：x是亚洲人；
H(x)：x是在美国留学的学生，则： ┐( x)(H(x)→A(x))
或者 ( x)(H(x)∧┐A(x))； （4）每个实数都存在(cúnzài)比它大的另外的实数 设R(x)：x是实数；L(x, y)：x小于y，则：
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结论(jiélùn)
1. 谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意 (suí yì)变更。如命题F(b, c)为“真”，但命 题F(c, b)为“假”；
2. 一元谓词用以描述某一个个体的某种特性，而n 元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
3. 0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题；
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例4.2.1
设有如下命题，并用n元谓词进行表示。
P：王童是一个三好学生；
Q：李新华是李兰的父亲；
SR(：x)张：强x是与一谢个莉(是y好ī 朋友ɡè()p三én好g you)；
学FS生(：x,武y汉)：位x于是北y京的和父广亲州之间。 Tab(：：x,王李童y新)：华x与y是好朋友 命cBd：(题x李,张Py可,强兰z表)：示x为位：于Sy(和a)z之间 ef命：题武谢Q汉可莉表g示：为北：京F(b,h：c)广州 命命题题SR可可表表示为：TB(df,, eg), h)
第1章2谓词逻辑
xA(x) 的
那一部分称为公式的x约束部分。而A（x）称为量词
x或 x的辖域。x在公式的x约束部分的任一出现都称为x
的约束出现。
公式中约束出现的变元是约束变元 当x 的出现不是约束出现时，称x 的出现是自由出现 。 自由出现的变元是自由变元。
26
例
指出下列各公式中的量词辖域及自由变元和约束变元。
6
二、个体变元 个体常元 表示具体或特定的个体的个体词称为个体常元。 个体变元 表示抽象的，或泛指的（或者说取值不确定的）
个体称为个体变元。
例2 L（x,y,z）表示“x+y=z”,其中x,y,z为个体变元。
L（3，2，5）表示真命题“3+2=5”， （3，2，5）为个体常元 而L（1，2，4）表示假命题“1+2=4” ， （1，2，4）为个体常元。
14
例5
(1) “所有的人都是要死的。”
(2) “有的人活百岁以上。” 当x的个体域E为全体人组成的集合时，符号化上述命题。
令D（x）：x是要死的。则（1）可表示为 x D（x）。 令G（x）：x活百岁以上。则（2）可表示为 x G（x）。
15
当取x的个体域为全总个体域时，必须引入一个特性谓词将人 从全宇宙的一切事物中分离出来。 P60 （1）对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。 ( 2）存在着个体，它是人并且它活百岁以上。 于是令M（x）：x是人。 （1） x（M（x） D（x）） （2） x（M（x）∧G（x））
令P（x）：x是x+1=0的整数解。
则命题可表示为 !x P（x），
其中x的个体域为整数集。
12
个体变元的取值范围称为个体域（论域）。
谓词逻辑_
2-2.1 命题函数
比如：L(x,y)表示“x小于y”是二元谓词， L(x,3)表示“x小于3”是一元谓词，L(2,3)表示 “2小于3”是0元谓词。
因此可以将命题看成n元谓词的一个特殊 情况。
0元谓词都是命题，命题逻辑中的简单命 题都可以用0元谓词表示。
2-2.1 命题函数
定义2：复合命题函数（compound propositional function）：
举例说明：
例1．“有些人是要死的”. 解1： 采用全体人作为个体域.
设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
解2： 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死
的. 原命题符号化成: (x)(M(x) ∧G(x))
例2． “凡人都是要死的”. 解1: 采用全体人作为个体域. 设: G(x): x是要死的. 原命题符号化成: (x)G(x)
（x）P(x) is false if P(x) is false for every x in U.
2-2.2 量词
唯一存在量词（unique quantifier）： “恰好存在一个”，用符号“!”表示。
2-2.2 量词
现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号 化之前必须确定个体域。
第一种情况．个体域D为人类集合。 设：F(x) ： x是要死的。
解2: 采用全总个体域. 设: M(x): x是人; G(x):x是要死的. 原命题符号化成: (x)(M(x) →G(x))
例3: “存在最小的自然数”。 解1: 采用全体自然数作为个体域. 设: G(x,y): x≤y; 原命题符号化成: (x)(y)G(x,y) 注意量词顺序: (y)(x)G(x,y): “没有最小的自然数”.
(第5讲)谓词逻辑
W
质，而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。
U
0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。
3) 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的
S
个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就
T
成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体
域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值
有很大的影响。
XDC
C
S
其他定义
T
由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生
个体词 a1:张红 a2:王南 a3:李华
例： 张红是一个西南科技大学的学生； P(a1)
XDC
C
S
例
|
设有如下命题：
P：上海是一个现代化的城市；
S
Q：甲是乙的父亲；
W
R：3介于2和5之间。
T：李兰与高翔是同班同学。
U
S
解：设有如下谓词：
则上述命题可表示为：
S
也可以理解为“说‘存在一个x，x是自然数且对
T
一切自然数y，x均大于y’是不对的”。
符号化为：x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y))
以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。
XDC
C
S
|
注意：不可以用最大来直接定义谓词。
S
设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。
W
以上命题可以表示为：x(N(x) ∧B(x))
S
而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称
为全总个体域。
T
4) 设D为非空的个体域，定义在Dn(表示n个个体都在个
体域D上取值)上取值于｛0,1｝上的n元函数，称为n
元 谓 词 , 记 为 P(x1,x2,…,xn) 。 此 时 ， 个 体 变 量 x1,x2,…,xn的定义域都为D，P(x1,x2,…,xn)的值域为 {0，1｝。
离散数学(谓词逻辑)课后总结
第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。
设N(x)：x是自然数。
I(x)：x是整数。
此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。
设E(x)：x是偶数。
此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。
设P(x):x是个人。
M(x,y):y是x的生母。
此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。
其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。
设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。
例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。
设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。
该命题的真值是真的。
表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。
例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。
而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。
谓词逻辑表示法
谓词逻辑表示法是把一些知识表示为经典逻辑中的谓词表示式。
它只能表示出精确的知识，而对不确定的知识无法有效表示，同时这种表示方式也不能很好地体现知识的内在联系。
在进行教学时，首先需要通过实例让学生了解什么是命题和命题公式，什么是谓词和谓词公式，然后用实例来分析讲解将知识表示为谓词公式的过程：1）定义谓词和个体例：王先生是李文的老师。
首先定义谓词：TEACHER(X,Y):X 是Y 的老师，而后定义个体：王先生(Wang)，李文（LiWen ）；2）为每个谓词中的变元赋以特定的值：TEACHER(Wang,LiWen)；3）根据所要表达的知识语义，以适当的连接词和量词符号将各个谓词连接起来，得到知识的谓词公式：TEACHER(Wang,LiWen)。
在理解连接词∧(逻辑与)、∨（逻辑或）、┐（逻辑非）时可以参考我们平时的语言中的“并且”、“或者”、“不”，对P →Q 的理解可以参考┐P ∨Q 。
在此节只要求学生对谓词表示法有了解，命题的证明等内容不做要求，可以将相关内容放在辅助教学网站的拓展篇，以满足不同学生的需求。
在教学中除了书本中介绍的例子之外，还可以使用以下例子。
例1：用谓词逻辑和公式表达意境。
分析如下命题和谓词逻辑，并尽可能正确表达它的含义：（1） 蓝的（天）∧飘（白云）∧奔跑（马儿）∧飞翔歌唱（鸟儿）；答：这是一个由“与”关系连接起来的谓词逻辑公式，它表达了一种大自然的景观：蓝色的天上白云飘飘，马儿在奔跑，鸟儿在飞翔歌唱。
（2） )(x {好姑娘（x ）∧居住的地方(z,x) ∧遥远的(z) ∧(y)[人(y) ∧行走经过(y,z) →回头留恋地张望(y)]}答：这是一个既有谓词表示，又有命题逻辑表达，既有连接词，又有全称量词和存在量词的较复杂的谓词公式，它表达的意思是：在那遥远的地方，有位好姑娘，人们经过她的身旁，都要回头留恋地张望。
这就是青海民歌《在那遥远的地方》（王洛宾词曲）中的意境。
一阶谓词逻辑的例子
一阶谓词逻辑的例子一阶谓词逻辑是数理逻辑的一种重要分支，用来描述命题逻辑中不可分解的具体对象和其属性之间的关系。
下面将列举10个例子，以便更好地理解一阶谓词逻辑的应用。
1. 人类学科的分类命题：所有人类学科都是社会科学。
谓词：学科是社会科学。
量化：∀x 学科(x) → 社会科学(x)2. 数学定理的证明命题：如果一个数是偶数，则它的平方也是偶数。
谓词：数是偶数，数的平方是偶数。
量化：∀x 偶数(x) → 偶数(x^2)3. 学生成绩评定命题：如果一个学生的考试成绩高于60分，则他及格。
谓词：学生的考试成绩高于60分，学生及格。
量化：∀x 考试成绩高于60分(x) → 及格(x)4. 飞机航班延误命题：如果一个航班的起飞时间晚于计划起飞时间，则它延误。
谓词：航班的起飞时间晚于计划起飞时间，航班延误。
量化：∀x 起飞时间晚于计划起飞时间(x) → 延误(x)5. 车辆交通违规行为命题：如果一辆车闯红灯，则它违规。
谓词：车辆闯红灯，车辆违规。
量化：∀x 闯红灯(x) → 违规(x)6. 数学集合运算命题：如果一个元素属于集合A并且不属于集合B，则它属于A-B。
谓词：元素属于集合A，元素属于集合B，元素属于集合A-B。
量化：∀x (属于(A,x) ∧ ¬属于(B,x)) → 属于(A-B,x)7. 人类语言学命题：如果一个词是名词，则它可以被复数化。
谓词：词是名词，词可以被复数化。
量化：∀x 名词(x) → 可以被复数化(x)8. 物理学中的牛顿第二定律命题：如果一个物体受到力的作用，则它会产生加速度。
谓词：物体受到力的作用，物体产生加速度。
量化：∀x 受力作用(x) → 产生加速度(x)9. 金融投资策略命题：如果一个投资组合的回报率高于市场平均回报率，则它具有优势。
谓词：投资组合的回报率高于市场平均回报率，投资组合具有优势。
量化：∀x 回报率高于市场平均回报率(x) → 具有优势(x)10. 生物学中的进化理论命题：如果一个物种的适应度高于其他物种，则它在进化中具有优势。
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例1 证明下面诸命题推得的结论是有效的: 如果今天是星期三, 那么我有一次离散数学或数字逻辑测验; 如果离散数学课老师有事, 那么没有离散数学测验; 今天是星期三且离散数学老师有事, 所以, 我有一次数字逻辑测验。
证明先将各命题形式化。
设A: 今天是星期三。
B: 我有一次离散数学测验。
C: 我有一次数字逻辑测验。
D: 离散数学课老师有事。
则本题要求证: A→B∨C , D→┐B , A∧D C。
(1) A∧D（前提）
(2) A ((1),Ｉ1）
(3) A→B∨C（前提）
(4) B∨C ((2), (3), Ｉ11）
(5) D ((1), Ｉ2）
(6) D→┐B（前提）
(7) ┐B（(5), (6), Ｉ11）
(8) C（(4), (7),Ｉ10）
例2 证明三段论方法的正确性：
凡人要死。
苏格拉底是人。
苏格拉底要死。
令H(x): x是人。
M(x): x要死。
a: 苏格拉底。
则本题要证明：x(H (x)→M (x )) , H (a ) M (a )
证明
(1) H (a ) （前提）
(2) x (H (x )→M (x ))（前提）
(3) H (a )→M (a ) （(2),US）
(4) M ( a ) （(1), (3), Ｉ11
例3 用形式证明的方法证明“任何人如果他喜欢步行, 他就不喜欢乘汽车,每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。
有的人不爱跨自行车, 所以
有的人不爱步行。
”
证明设个体域为全体人的集合。
P (x): x喜欢步行。
Q (x): x喜欢搭车。
R (x): x喜欢骑自行车。
则本题要证明:
x (P (x)→┐Q (x )), x (Q (x )∨R (x )) , x┐R (x ) x┐P (x )本题证明树如图2―2。
其证明过程如下:
(1) x ┐R (x)（前提）
(2) ┐R (c ) （(1), ES）
(3) x (Q (x )∨R (x)) （前提）
(4) Q (c )∨R (c ) （(3), US）
(5) Q (c)（(2), (4),Ｉ10）
(6) x (P (x )→┐Q (x )) （前提）
(7) P (c )→┐Q (c)（(6), US）
(8) ┐P (c ) （(5), (7), Ｉ12）
(9)x┐P (x) （(8), EG）
例4 将下列推理符号化, 并推证其结论:
所有有理数是实数, 某些有理数是整数, 因此某些实数是整数。
解：设
R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
I(x)：x是整数。
则上述推理可符号化为：x(Q(x)→R(x))，x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。
结论推证如下：
① x(Q(x)∧I(x)) (前提)
②Q(a)∧I(a) (①，ES)
③Q(a) (②，I1)
④I(a) (②，I2)
⑤x(Q(x)→R(x)) (前提)
⑥Q(a)→R(a) (⑤，US)
⑦R(a) (③，⑥，I11)
⑧R(a)∧I(a) (④，⑦，I9)
⑨ x(R(x)∧I(x)) (⑧，EG)
∴x(Q(x)→R(x))， x(Q(x)∧I(x)) x(R(x)∧I(x))。