高一数学必修一幂函数

证明: 任取x 证明 任取 1 ,x2 ∈ ［0，+∞）,且x1< x2 ， ）且
f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 − x2
= ( x1 − x2 )( x1 + x2 )
=
x1 − x2 x1 + x2
x1 + x2
Q 0 ≤ x1 < x2 ,∴ x1 − x2 < 0, x1 + x2 > 0
∴ f ( x1 ) < f ( x2 )
， ）上是增函数. ∴ f (x ) = x 在［0，+∞）上是增函数 注意： 注意：在解题中对分子或分母有理化的灵活运用
1－1.已知幂函数 f(x)＝x3-m，其中 m>－1，且 m∈Z，若 f(x) 是偶函数，且 f(3)<f(5)，求 m 的值． 解：∵f(3)<f(5)，
以下函数中的函数有什么共同特征？ 以下函数中的函数有什么共同特征？
(1)
(2) (3) (4) (5)
y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1
（1）均是以自变量为底； ）均是以自变量为底； （2）指数为常数； ）指数为常数； （3）自变量前的系数为 ）自变量前的系数为1;
y = xα 的函数。 上述问题中涉及的函数，都是形如
形如 y＝xα 的函数叫幂函数，这里需有：①系数为 1，②指 数为常数，③后面不加任何项．例如：y＝3x、y＝xx+1、y＝x2+1 均不是幂函数， 再者注意与指数函数的区别， y＝x2 是幂函数， 如 y＝2x 是指数函数．
幂函数图象的画法 函数图象的画法是：列表、描点、连线， 函数图象的画法是：列表、描点、连线，那 么幂函数也用此法。 我们主要学习下列几种函数. 我们主要学习下列几种函数 (1) y=x (4) y=x1/2 (2) y=x2 (5) y=x-1 (3) y=x3
， 都有定义, 所有的幂函数在 x∈(0 +∞)都有定义,并且图象都通过点 (1,1). α是偶数，幂函数是偶函数, α是奇数，幂函数是奇函 是偶数， 是奇数， 是偶数 幂函数是偶函数, 是奇数 数. α>0时, (1)图象都经过点（0，0）和（1，1） (1)图象都经过点 图象都经过点（ ， 是增函数. (2)函数在 (2)函数在x∈(0 +∞) 是增函数. α<0时, (1)图象都经过点（1，1）； (1)图象都经过点 图象都经过点（ ， 是减函数; (2)函数在 (2)函数在 x∈(0 +∞)是减函数; (3)在第一象限内 图象向上与Y 在第一象限内, (3)在第一象限内,图象向上与Y轴无限 地接近,向右与X轴无限地接近. 地接近,向右与X轴无限地接近.
−
2 3 (2) (− ) 和(− ) 3 5
< <
(3) 4.1 和5.8
2 5
2 3
利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 利用幂函数的增减性比较两个数的大小 (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调 若能化为同指数 指数， 性比较两个数的大小； 性比较两个数的大小； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单 若能化为同底数 底数， 调性比较两个数的大小； 调性比较两个数的大小； (3)当不能直接进行比较时，可在两个数 当不能直接进行比较时， 当不能直接进行比较时 中间插入一个中间数 中间数， 中间插入一个中间数，间接比较上述 两个数的大小. 两个数的大小
偶
x∈[0,+∞] ∈
非奇非偶
奇 x∈[0,+∞] ∈ ∞ 减 x∈[-∞,0] ∈ ∞ 减
单调性
增
增
x∈[- ∞,0] ∈
减
定点
(1,1) , (0,0)
公共点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
图 像
(1,1) (0,0)
(1,1)
(1,1)
结合以上特征得幂函数的性质如下: 结合以上特征得幂函数的性质如下
−
1 2
思维突破：利用单调性，把不等式转化为简单不等式．
解：∵y＝ x 的定义域为(0，＋∞)，且为减函数． 4>0 m＋4>0 1 3 ∴原不等式化为3－2m>0 ，解得－3<m<2. m＋4>3－2m
注意定义域的约束条件，否则就会导致所求 的范围扩大．
3－1.若(a－1)-1<(3－2a)-1，求 a 的取值范围．
一般地， 一般地，函数
叫做幂函数，其中x为自变量 α 为常数。 为自变量， y = x α 叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数。
例1，判断下列函数哪几个是幂函数？ ，判断下列函数哪几个是幂函数？ 1 x （） =3 ; y = 2 ; y = 2x2; y = x2 +1 1 y (2) (3) (4) ; x 1 0 (5)y =1 (6)y = ；)y = x 答案（2）（ ）（7） ; (7 答案（ ）（6）（ ） ）（ ）（ x
中学教育在线
例1 比较下列各组数的大小
(1) 3 和3.1
1 (2) 8 和( ) 9
7 8
5 − 2
5 − 2
< > <
7 8
(3) 3 和5
1.4
1.5
练习比较下列各组数的大小 练习比较下列各组数的大小
(1) 1.5 和 1.7
− 2 3
1 3
1 3
2 3
<
∴3－m>0，∴m<3. 又∵－1<m，且 m∈Z，∴m＝0,1,2. 当 m＝0 时，f(x)＝x3 不是偶函数； 当 m＝1 时，f(x)＝x2 是偶函数； 当 m＝2 时，f(x)＝x 不是偶函数． ∴m＝1.
单调性、奇偶性的应用——求范围问题
例 3：已知 (m + 4)
1 − 2
−
1 2
< (3 − 2m) ，求 m 的取值范围．
, 例1： 已知幂函数的图象过点 (2 2) ,试求出此函数 ： 试求出此函数 的解析式. 的解析式
f ( x) = xα 由题意得 设 解:设
所以 ( x) = x
总结: 理解并掌握幂函数的定义。 总结 理解并掌握幂函数的定义。
幂函数的应用
例2 证明幂函数 f (x ) = x 在［0，+∞）上是增函数 ， ）上是增函数.
y=x
2
y = xy = x2
3
y=x
y=x
1 2
y=x
y=x
−1
−1
下一张幻灯片
y=x
定义域 值域 奇偶性
y=x² R
[ 0,+∞] ∞
y=x³ R R 奇
y=x
[ 0 , +∞ ] ∞ [0 , +∞ ] ∞
1 2
y=x
−1
R R 奇 增 增
{x|x∈R,x≠0} | ∈ ≠ {y|y∈R,y≠0} | ∈ ≠