2011-积分变换与场论--B卷
15版河北工大复变函数作业
15版河北工大复变函数作业河北工业大学向量分析与场论作业（1）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1．设A 是n m ?矩阵，,)(Ax x f =则________)('=x f 。
2．设r T t z t y t x t )](),(),([)(=，],[T t t 0∈是一条空间曲线，则在参数为t 的点，曲线r )(t 的切线向量为__________________。
二．设x =T x x x x x ],,,,[54321，f T f f f ],,[321=，且1f (x )=3423321+-+x x x e x,2f (x )=5311226x x x x x -+-cos , 3f (x )=54321x x x x x ++sin ，求f )('x ,f ),,,,('72310三．设S 为球心在原点、半径为a 的球的外表面，r 为向径向量，求积分：dS r S河北工业大学向量分析与场论作业（2）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1. 数量场zy x z y x u 22+=),,(过点),,(2110M 的等值面为________。
2.设l 为数量场u 在0M 的等值面上的一个向量，则lu (0M )=_______. 3.设l 和grad u 方向一致，则lu =_________. 二．求函数222x yz y u -+=在点),,(121M 处沿向量k j i l ++=21的方向导数。
三．设函数22y y e x u x-+=cos ，点),,(11πM 求（1）u 在点),,(11πM 的梯度；（2）u 在点),,(11πM 处沿向量k j i l 22++=的方向导数；（3）u 在点M 沿哪个方向方向导数最大？这个方向导数的最大值是多少？河北工业大学向量分析与场论作业（3）_______专业____班姓名________学号_________一．填空题1．设向量场，F )(yz x +=2i +)(zx y +2j +)(zy z +2k ,则F ??_____=。
积分变换与场论
积分变换与场论
积分变换与场论是物理学和工程学中使用的数学工具，它们在描述和分析物理现象和工程问题时发挥着重要作用。
积分变换是一种将一个函数或分布转换为另一个函数或分布的数学操作。
在物理学和工程学中，积分变换被广泛应用于求解各种偏微分方程和积分方程。
常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换、梅林变换等。
这些变换可以用于求解具有复杂边界条件或初始条件的偏微分方程，以及解决涉及时间或空间分布的问题。
场论是研究场的性质和行为的物理学分支。
在物理学中，场是一种物理量在空间中的分布，可以是标量场、矢量场或张量场。
场论用于描述场的产生、传播和相互作用。
在量子力学和相对论中，场论扮演着重要的角色。
量子场论是量子力学与场论的结合，它提供了描述微观粒子相互作用的理论框架。
相对论场论是描述相对论效应的场论，它为研究相对论现象提供了重要的数学工具。
积分变换与场论在许多物理学和工程学领域中都有应用。
例如，在电磁学中，积分变换被用于分析电磁场的分布和传播。
在流体力学中，场论被用于描述流体速度场、压力场和温度场的分布和变化。
在固体物理学中，积分变换和场论被用于描述电子和声子的行为以及材料的电磁和热性质。
总之，积分变换与场论是物理学和工程学中重要的数学工具，它们为解决各种问题提供了有效的数学手段。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
场论知识点整理
*1.【圆函数】e (φ)=cos φi +sin φj .*2.a.弧长的微分ds =以点M 为界,当ds 位于s 增大一方时取正号;反之取负号.b.矢性函数的微分的模,等于(其矢端曲线的)弧微分的绝对值.矢性函数(其矢端曲线的)弧长s 的导数d r /ds 在几何上为一切单位矢量,恒指向s 增大的一方.+3.证明||.ds d d r t dt=证,d dx dy dz dtdt dtr i j k dt =++d dt r =由于ds 与dt 有相同的符号,故有.ds d dt dt r ===由此可知:矢端曲线的切向单位矢量.d d ds d d dt dt dt dtd r s r r r ==*4.【二重矢积】公式：a ×(b ×c )=(a ·c )b -(a ·b )c .+5.矢性函数A (t)的模不变的充要条件是.d d A A t•=0证假定|A |=常数,则有A 2=|A |2=常数.两端对t 求导[左端用导数公式],就得到.d d A A t •=0反之,若有.d d A A t •=0则有,d dt A =20从而有A 2=|A |2=常数.所有有|A |=常数.定常矢量A (t)与其导矢相互垂直.*6.''.A B A dt t B B A d ×=×+×∫∫''.A B A dt t B B A d •=•−•∫∫+7.一质点沿曲线r =rcos φi +rsin φj 运动,其中r,φ均为时间t 的函数.求速度v 在矢径方向及其垂直方向上的投影v r 和v φ.解将r 写成r =r e (φ),则有()().d dr d r dt dt v d r e e t ϕϕϕ==+1由此可知：,.r dr d v v r dt dtϕϕ==[使用圆函数e (φ)，则e (φ)及e 1(φ)之方向即为矢径方向及与之垂直的方向.]*8.【矢量线】A =A x i +A y j +A z k 为单值、连续且有一阶连续导数。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(K12教育文档)
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«复变函数与积分变换»期末试题(A）一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i-的幅角是（）;2。
)1(iLn+-的主值是（ )；3. 211)(zzf+=,=)0()5(f（）;4．0=z是4sinzzz-的( )极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zfs( )；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为（）；（A) yxiuuzf+=')(； (B）yxiuuzf-=')(;（C）yxivuzf+=')(；（D）xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf（），则0d)(=⎰C zzf．（A）23-z；（B)2)1(3--zz; （C）2)2()1(3--zz；（D)2)2(3-z.3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，则级数在（A）2-=z点条件收敛； (B）iz2=点绝对收敛；（C）iz+=1点绝对收敛； (D）iz21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数)(zf在z点可导，则)(zf在0z点一定解析；(B) 如果)(zf在C所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dzzf)(=dzzf（D)函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A ） 的可去奇点；为z1sin ∞(B ） 的本性奇点；为z sin ∞ （C) ;1sin 1的孤立奇点为z ∞（D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）(1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a(2）．计算⎰-Cz z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3)计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z(4)函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点,请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数; （1）110<-<z ，（2）10<<z ,（3）∞<<z 1五．(本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分)求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：ted tββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题(A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分,共计15分)1．231i -的幅角是( 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2。
第9 章 《电磁感应 电磁场理论》复习思考题
第9章 《电磁感应 电磁场理论》复习思考题一、填空题：1．飞机以1s m 200-⋅=v 的速度水平飞行，机翼两端相距离m 30=l ，两端这间可当作连续导体。
已知飞机所在处地磁场的磁感应强度B 在竖直方向上的分量T 1025-⨯。
机翼两端电势差U 为0.12V 。
2．当穿过一个闭合导体回路所包围的面积内的 磁通量 发生变化时，在导体回路中就会产生电流，这种现象称为电磁感应现象。
3．用导线制造成一半径为m 10.0=r 的闭合圆形线圈，其电阻Ω=10R ，均匀磁场B 垂直于线圈平面。
欲使电路有一稳定的感应电流A 01.0=I ，B 的变化率应为__3.18T/s_____________。
4．楞次定律：感生电流的磁场所产生的磁通量总是 阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
5．如果导体不是闭合的，即使导体在磁场里做切割磁力线运动也不会产生感应电流，但在导体的两端产生_感应电动势____。
6．楞次定律是 能量守恒和转换 _定律在电磁现象领域中的表现。
二、单选题1．感生电场是 。
（A ）由电荷激发，是无源场； （B ）由电荷激发，是有源场；（C ）由变化的磁场激发，是无源场； （D ）由变化的磁场激发，是有源场。
2．关于感应电动势的正确说法是： 。
（A ）导体回路中的感应电动势的大小与穿过回路的磁感应通量成正比；（B ）当导体回路所构成的平面与磁场垂直时，平移导体回路不会产生感应电动势；（C ）只要导体回路所在处的磁场发生变化，回路中一定产生感应电动势；（D ）将导体回路改为绝缘体环，通过环的磁通量发生变化时，环中有可能产生感应电动势。
3．交流发电机是根据 原理制成的。
（A ）电磁感应； B ）通电线圈在磁场中受力转动；（C ）奥斯特实验； （D ）磁极之间的相互作用。
4．将形状完全相同的铜环和木环静止放置，并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，则不计自感时， 。
（A ）铜环中有感应电动势，木环中无感应电动势（B ）铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（C ）铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大（D ）两环中感应电动势相等。
大连理工大学航空航天学院
飞行器设计与工程专业培养计划运载工程与力学学部执行院（系）：运载工程与力学学部 2009年入学适用四年制本科生1、类别或专业飞行器设计与工程专业2、包含专业飞行器设计与工程3、专业设置简介飞行器设计与工程专业是航空宇航科学与技术学科的主要专业方向之一，本专业培养航空航天飞行器总体设计与结构设计、飞行动力学与控制、机电一体化系统设计方面的高级专业技术人才。
本专业毕业生基础理论扎实、知识面宽广、具备良好的数学、力学和计算机基础，熟悉与本专业相关的机械设计、工程力学、自动化等专业的基础知识、具有很强的适应能力。
本专业的毕业生可从事航空航天工程、机电一体化工程、计算机软件工程等方面的研究、设计、开发与管理工作，优秀毕业生可继续攻读本专业及航空宇航科学与技术学科其他专业的硕士和博士学位。
4、培养目标及要求培养目标：本专业以培养全面发展的复合型、创新型航空宇航科学与技术专业人才为目标。
要求学生掌握飞行器设计与工程专业的基本知识、基本理论与实践技能，具备良好的人文和社会科学知识与素养及外语水平，具备良好的适应能力和发展潜力。
能够在航空航天飞行器总体设计、结构设计、飞行动力学与控制、机电一体化等领域从事研究、设计、开发与管理工作；也能够在工程力学、机械工程、能源动力、电子信息、兵器工程等领域从事技术研发与管理方面的工作。
培养要求：本专业学生主要学习飞行器设计与工程专业的基础知识、基本理论和实践技能，学习飞行器结构分析与设计、气动与推进、飞行器动力学与控制、飞行器人机环境等方面的基础知识。
使学生接受现代航空航天飞行器设计专业的基本训练，培养学生具备进行飞行器总体设计、结构设计、飞行动力学与控制、飞行器系统仿真与计算机应用方面的基本能力。
本专业毕业生应获得的知识和达到的能力包括：1．具有较扎实的自然科学基础、较好的人文、艺术和社会科学基础及良好的语言文字表达能力；2．较系统地掌握本专业领域宽广的技术理论基础知识，主要包括飞行器结构力学、空气动力学、自动控制原理、机械设计基础、航空航天推进系统、航空航天材料工程、飞行器人机环境工程、飞行器动力学与控制、计算机系统及数值计算方法等基础知识；3．具有本专业必需的制图、计算、实验、测试和文献检索能力；4．具有本专业所必要的专业知识，了解其科学前沿及发展趋势；5．具备进行飞行器总体与结构设计、飞行动力学分析、控制、仿真及计算机应用方面的基本能力；6．具有较强的自学能力、创新意识和较高的综合素质；7．必须通过学校统一组织的外国语四级考试；8．必须通过学校统一组织的计算机能力一、二级考试；1飞行器设计与工程专业29． 必须达到本培养计划规定的基本学分要求和各类学分要求。
复变函数与积分变换答案（马柏林、李丹横、晏华辉）修订版,习题3
习题三1. 计算积分2()d Cx y ix z -+⎰,其中C 为从原点到点1+i 的直线段.解 设直线段的方程为y x =,则z x ix =+. 01x ≤≤故 ()()12212310()11(1)(1)(1)333Cx y ix dz x y ix d x ix i i ix i dx i i x i -+=-++-=+=+⋅=+=⎰⎰⎰2. 计算积分(1)d Cz z -⎰，其中积分路径C 为(1) 从点0到点1+i 的直线段;(2) 沿抛物线y =x 2，从点0到点1+i 的弧段.解 (1)设z x ix =+. 01x ≤≤()()111()Cz d z x i x dx i x i-=-++=⎰⎰ (2)设2z x ix =+. 01x ≤≤()()122211()3Ciz dz x ix d x ix -=-++=⎰⎰ 3. 计算积分d Cz z ⎰，其中积分路径C 为(1) 从点-i 到点i 的直线段;(2) 沿单位圆周|z |=1的左半圆周，从点-i 到点i ;(3) 沿单位圆周|z |=1的右半圆周，从点-i 到点i .解 (1)设z iy =. 11y -≤≤1111Cz dz ydiy i ydy i --===⎰⎰⎰(2)设i z e θ=. θ从32π到2π22332212i i Cz dz de i de i ππθθππ===⎰⎰⎰(3) 设i z e θ=. θ从32π到2π23212i Cz dz de i πθπ==⎰⎰6. 计算积分()sin zCz ez dz -⋅⎰ ,其中C 为0za =>.解()sin sin zzCCCz ez dz z dz e zdz -⋅=-⋅⎰⎰⎰∵sin ze z ⋅在z a =所围的区域内解析∴sin 0zCezdz ⋅=⎰从而()2022sin 0z i CCi z e z dz z dz adae a i e d πθπθθ-⋅====⎰⎰⎰⎰ 故()sin 0zCz ez dz -⋅=⎰7. 计算积分21(1)Cdz z z +⎰,其中积分路径C 为（1）11:2C z =（2）23:2C z =（3）31:2C z i +=（4）43:2C z i -= 解：（1）在12z =所围的区域内，21(1)z z +只有一个奇点0z =. 12111111()2002(1)22CC dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （2）在2C 所围的区域内包含三个奇点0,z z i ==±.故22111111()20(1)22CC dz dz i i i z z z z i z iπππ=-⋅-⋅=--=+-+⎰⎰ （3）在2C 所围的区域内包含一个奇点z i =-,故32111111()00(1)22C C dz dz i i z z z z i z i ππ=-⋅-⋅=--=-+-+⎰⎰（4）在4C 所围的区域内包含两个奇点0,z z i ==,故42111111()2(1)22C C dz dz i i i z z z z i z i πππ=-⋅-⋅=-=+-+⎰⎰10.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1)20cos 2izdz π+⎰(2)z ie dz π--⎰ (3)21(2)iiz dz +⎰(4) 1ln(1)1iz dz z ++⎰ (5)1sin z zdz ⋅⎰(6)211tan cos izdz z +⎰解 (1)2201cos sin21222iiz z dz ch ππ++==⎰(2)2zz iiedz e ππ----=-=-⎰(3)22311111111(2)(2)(2)(2)333ii ii iz dz iz d iz iz i i +=++=⋅+=-+⎰⎰ (4) 222111ln(1)11ln(1)ln(1)ln (1)(3ln 2)1284ii iz dz z d z z z π+=++=+=-++⎰⎰ (5)11110000sin cos cos cos sin1cos1z zdz zd z z z zdz ⋅=-=-+=-⎰⎰⎰(6) 222112111221tan 1sec sec tan tan cos 2111tan1tan 1t 122ii i i iz dz zdz z zdz tanz z z ith h +=+=+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰11. 计算积分21zCe dz z +⎰,其中C 为 (1) 1z i -= (2) 1z i += (3) 2z =解 (1)221()()z z ziz iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ===⋅=++-+⎰⎰ (2)221()()z z zi z iC C e e e dz dz i e z z i z i z iππ-=-==⋅=-++--⎰⎰(3)122222sin1111z z z i iC C C e e e dz dz dz e e i z z z πππ-=+=-=+++⎰⎰⎰16. 求下列积分的值,其中积分路径C 均为|z |=1.(1) 5zC e dz z ⎰ (2) 3cos C z dz z ⎰(3) 020tan12,()2C zdz z z z <-⎰ 解 (1) (4)52()4!12z z z C e i idz e z ππ===⎰ (2)(2)3cos 2(cos )2!z C z i dz z i z ππ===-⎰(3) 0'220tan22(tan )sec ()2z z C zz dz i z i z z ππ===-⎰17. 计算积分331(1)(1)C dz z z -+⎰ ,其中积分路径C 为(1)中心位于点1z =,半径为2R <的正向圆周(2) 中心位于点1z =-,半径为2R <的正向圆周解：(1) C内包含了奇点1z =∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i idz z z z ππ===-++⎰ (2) C内包含了奇点1z =-,∴(2)13331213()(1)(1)2!(1)8z C i i dz z z z ππ=-==--+-⎰19. 验证下列函数为调和函数.3223(1)632;(2)e cos 1(e sin 1).x xx x y xy y y i y ωω=--+=+++解(1) 设w u i υ=+,3223632u x x y xy y=--+ 0υ=∴223123u x xy y x ∂=--∂ 22666ux xy y y∂=--+∂ 22612u x y x∂=-∂ 22612ux y y ∂=-+∂ 从而有22220u ux y ∂∂+=∂∂,w 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. (2) 设w u i υ=+,cos 1x u e y =⋅+ sin 1x e y υ=⋅+∴cos x u e y x ∂=⋅∂ s i n x ue y y∂=-⋅∂ 22cos x u e y x ∂=⋅∂ 22cos x u e y y∂=-⋅∂ 从而有22220u ux y∂∂+=∂∂,u 满足拉普拉斯方程,从而是调和函数. sin x e y x υ∂=⋅∂ cos x e y yυ∂=⋅∂ 22sin xe y x υ∂=⋅∂ 22s i n x y e yυ∂=-⋅∂ 22220x yυυ∂∂+=∂∂,υ满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.20.证明:函数22u x y =-,22xx yυ=+都是调和函数,但()f z u i υ=+不是解析函数证明: 2u x x ∂=∂ 2u y y ∂=-∂ 222u x ∂=∂ 222u y∂=-∂ ∴22220u ux y ∂∂+=∂∂,从而u 是调和函数. 22222()y x x x y υ∂-=∂+ 2222()xy y x y υ∂-=∂+ 223222362()xy x x x y υ∂-+=∂+ 223222362()xy x y x y υ∂-=∂+ ∴22220x yυυ∂∂+=∂∂,从而υ是调和函数. 但∵u x y υ∂∂≠∂∂ u yx υ∂∂≠-∂∂ ∴不满足C-R 方程,从而()f z u i υ=+不是解析函数.22.由下列各已知调和函数,求解析函数()f z u i υ=+ (1)22u x y xy =-+(2)22,(1)0yu f x y ==+ 解 (1)因为 2u x y x y υ∂∂=+=∂∂ 2u y x y xυ∂∂=-+=-∂∂ 所以22(,)(,)(2)(2)(2)00(0,0)(0,0)222u u x y x y y x dx dy C y x dx x y dy C xdx x y dy C y xx y xy Cυ∂∂=-++=-+++=-+++⎰⎰⎰⎰∂∂=-+++2222()i(2)22x y f z x y xy xy C =-++-+++令y =0,上式变为22()i()2x f x x C =-+从而22()i i 2z f z z C =-⋅+(2)2222()u xy x x y ∂=-∂+ 22222()u x y y x y ∂-=∂+ 用线积分法，取（x 0,y 0）为(1,0)，有2(,)4222(1,0)122222()0()1110x y x u u x y ydx dy C dx x dy Cy x x x y x x yC x x y x y υ∂∂=-++=-+⎰∂∂+=-+=-+++⎰⎰ 2222()i(1)y xf z C x y x y=+-+++ 由(1)0.f =，得C=0 ()11f i z z ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭23.设12()()()()n p z z a z a z a =--- ,其中(1,2,,)i a i n = 各不相同，闭路C 不通过12,,,n a a a ,证明积分1()d 2π()C p z z i p z '⎰ 等于位于C 内的p(z )的零点的个数.证明: 不妨设闭路C 内()P z 的零点的个数为k , 其零点分别为12,,...k a a a1112312121()()()...()...()1()12πi ()2πi ()()...()111111...2πi 2πi 2πi 111111...1...2πi 2πi nnk k n k k C Cn C C C nC C k n k z a z a z a z a z a P z dz dzP z z a z a z a dz dz dz z a z a z a dz d z a z a -==+-+--+--'=---=+++---=++++++--∏∏⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰个z k=24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f (z )在闭路C 及其外部区域D 内解析，且lim ()z f z A →∞=≠∞，则(),,1()d ,.2πC f z A z D f A z G i z ξξξ-+∈⎧=⎨∈-⎩⎰ 其中G 为C 所围内部区域.证明：在D 内任取一点Z ，并取充分大的R ，作圆C R : R z =，将C 与Z 包含在内则f(z )在以C 及RC 为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有R 1()()()[-]2πi C C f f f z d d z zζζζζζζ=--⎰⎰ 因为()f z zζζ-- 在R ζ>上解析，且()1lim lim ()lim ()11f f f z z ζζζζζζζζζ→∞→∞→∞=⋅==--所以，当Z 在C 外部时，有1()()2πi C f f z A d z ζζζ=--⎰即1()()2πi C f d f z A zζζζ=-+-⎰ 设Z 在C 内，则f(z )=0，即 R 1()()0[]2πi C C f f d d zz ζζζζζζ=---⎰⎰ 故有：1()2πi C f d A z ζζζ=-⎰ 。
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大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 积分变换与场论 试 卷： B 考试形式： 闭卷 授课院 (系)： 数学科学学院 考试日期：2011年07月21日 试卷共 6 页
一、 (10分) 求矢量场2222()A xz i yz j x y k =+++通过点M (1,1,2)的
矢量线方程。
姓名： 学号： 院系： 级 班
装
订
线
二、 (10分) 证明矢量场22(2)(2)()z A xyz i x z y j x y e k =++++为无旋场，并求势函数。
三、 (10分) 坐标原点处电量为q 的点电荷所产生的平面静电场中电场强度为222q
xi yj
E x y πε+=
+，证明E 为平面调和场，并求其通
过M (5,3)的力线（力函数）和等势线（势函数）。
四、 (10分) 若[]()()F f t ω=F ，求函数()(21)f t t f t =⋅--的Fourier 变换。
五、 (10分) 求函数22
11()0
1
t t f t t ⎧-<=⎨
>⎩的Fourier 积分
六、 (10分) 求函数1()()at f t e u t -=⋅和2()sin 2()f t t u t =⋅在Fourier 意义下的卷积。
七、 (10分) 用积分变换求解积分方程0()y()d cos t
y t t ττω-∞'+=⎰。
八、 (10分) 用留数法求解2241
()21
s s F s s s ++=++的Laplace 逆变换。
九、 (10分) 求0
sin ()()cos ()d t
kt
f t t t ke u t τ
δττ
=++⎰的Lapalace 变换。
十、 (10分)
已知
=L ，证明 2
10d t ττ--⎡
⎤
=
L ，并求1
-L。