大学积分变换之矢量分析11-1334页

v C
v
在直角坐标系中：
B
A (B C)
( Axex
Ayey
Azez )
ex Bx
ey By
ez Bz
Cx Cy Cz
Ax Ay Az
Bx By Bz
Cx Cy Cz
②矢量三重积
vvv vvvvvv A (B C ) (A C )B (A B )C
2. 矢性函数的概念
定义 设有数性变量t和变矢A，如果对于t，在某个范围 G内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则 称A为数性变量t的矢性函数，记作
lt it0m A(t)A0
极限运算法则：
若设
A ( t) A x ( t) i A y ( t) j A z ( t) k
则有
l t t 0 i A ( t ) m l t t 0 i A x ( t m ) i l t t 0 i A y ( t m ) j l t t 0 i A z ( t m ) k
A xB xA yB yA zB z
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
① 交换律：
A B B A
② 分配律：
A ( B C ) A B A C
③ 与数量点积： (k A )B k(A B )
④ 特殊的点积： 同向、反向、正交
①b.矢大量小积：（叉|C 积| ）A C sA B iA B n ,B )(
出一条曲线l，称为矢函数A(t)的矢端曲线，也称为矢函数A
的图形。同时称（1.1）式或（1.2）式为此曲线的矢量方程。
原点也称为矢端曲线的极。
z
由于终点为M(x,y,z) 的矢量OM
M
对于原点O的矢径为
r O M xi y j zk
A(t)
o
y
x
l
当把A的起点取在坐标原点时，A实际上就成为其终点的矢径
即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。
连续性的定义 且有
若矢函数A(t)在点t0的某个邻域内有定义，
lt it0m A(t)A(t0)
则称A(t)在 t = t0 处连续。
矢函数A(t)在t0 处连续的充分必要条件是它的三个 坐标函数Ax(t)，Ay(t)，Az(t)都在t0处连续。
一个大小为零的矢量称为空矢（Null Vector）或零矢（Zero Vector），一个大小为1的矢量称为单位矢量（Unit Vector）。 在直角坐标系中，用单位矢量i、j、k表征矢量分别沿x、y、 z 轴分量的方向。
(1)矢量的定义
矢量： A A xiA yjA zk
z
模的计算：
v |A| Ax2Ay2Az2
A B ( A x B x ) i ( A y B y ) j ( A z B z ) k
矢量的相乘：
v
B
a. 标量积（点积）A vB v|A v||B v|cos
v
A
有两矢量点积：
A B ( A x e x A y e y A z e z ) ( B x e x B y e y B z e z )
x A x(t)y , A y(t)z, A z(t)
4. 矢性函数的极限和连续性
极限的定义 设矢函数A(t)在点t0的某个邻域内有定义（但
在t0处可以无定义），A0为一常矢。若对于任意给定的正数
ε，都存在一个正数δ，使当t 满足 0t t0
就有
A(t)A0
成立，则称A0为A(t)当 t t0 时的极限，记作
C
方向： 右手定则
②分配律：
A
B
A ( B C ) A B A C
③与数量叉积： (k A ) B k (A B )
④ 特殊的叉积：
平行：
AB0
正交：
|AB|AB
⑤ 不服从交换律：
A B (B A )
⑥在直角坐标系中： ex ey ez
AB Ax Ay Az
主要内容
1.矢性函数的运算规则 2.矢性函数及性质（极限、连续、导数、微分、积分） 3.场论（梯度、散度、旋度）
重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同 坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包 括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem以及运算的重要公式。
定义：
vvvvvv A B C |A ||B ||C |s inc o s
v vv
hBC v
A
含义：标量三重积结果为三矢量
Hale Waihona Puke v C构成的平行六面体的体积 。
v
B
V A v ( B v C v ) C v ( A v B v ) B v ( C v A v ) hvBvCv v
A
注意：先后轮换次序。
A=A(t) 并称G为矢性函数A的定义域。
在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成
A ( t) A x ( t) i A y ( t) j A z ( t) k
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
3. 矢端曲线
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A(t)的
起点取在坐标原点。这样当t变化时，A(t)的终点M就描绘
(AyBzA zBy)e x(A zB BxxA BxB y z)e Byz(A xB yA yB x)e z
c.三重积
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (BC)
标量，标量三重积。
v vv A(BC)
矢量，矢量三重积。
① 标量三重积
法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
第一章 矢量分析
1.1 矢性函数 1.2 矢性函数的导数与微分 1.3 矢性函数的积分
1.1 矢性函数
1. 标量与矢量
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量（Scalar）， 例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实 数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量(Vector) ， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。
v
v
Az
A
单位矢量：A0 Ax i Ay j Az k
AA A
cosi cos j cosk
v Ax
o
x
方向角与方向余弦： , ,
v Ay
y
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
(2)矢量的代数运算法则
矢量的和或差: （Vector addition or subtraction）