一道多人相遇问题的多种解法
4年级-20-多人多次相遇与追及
第20讲行程-多人多次相遇追及知识梳理本讲在以前学习相遇追及的基础上进行综合拓展，难度较大，教师要把握好节奏。
多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到所有行程问题都是围绕“=⨯的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：路程和速度和相遇时间；=⨯=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．典型例题【例1】甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？【小试牛刀】甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？【例2】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？【例3】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？【小试牛刀】甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.【例4】有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米?【小试牛刀】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．【例5】在公路上，汽车A、B、C分别以80km/h，70km/h，50km/h的速度匀速行驶，若汽车A从甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车C相遇，求甲、乙两站相距多少km？【小试牛刀】甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B地、乙和丙从A地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A，B两地的距离．【例6】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走65米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过1分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【小试牛刀】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？【例7】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？课后作业1.甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?2.甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？3.A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？4.A、B两地相距480千米，甲、乙两车同时从两站相对出发，甲车每小时行35千米，乙车每小时行45千米，一只燕子以每小时行50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车返飞去，遇到甲车又返飞向乙车，这样一直飞下去，燕子飞了多少千米两车才能相遇？。
《相遇问题》
每分65米
6分钟相遇
每分75米
？米
65＋75 65＋75 65＋75 （65+75）×6
65＋75 65＋75 65＋75
=140 ×6 =840（米）
答:两家相距840米。
综合算式: 65 × 6＋75 ×6 ＝390＋450 ＝840(米)
答:两家相距840米。
综合算式: （65＋75）×6 ＝140 ×6 ＝840(米)
小萍和小明同时从家去栈桥（如图），小萍每分 钟走65米，小明每分钟走75米，经过6分钟两人在 栈桥相遇。他们两家相距多少米？
每分65米
6பைடு நூலகம்钟相遇
每分75米
？米
她们两家相距的米数与两人6分钟所 走的路程和是什么关系。 先求小萍和小明各走的路程
小萍和小明同时从家去栈桥（如图），经过6分 钟两人在栈桥相遇。他们两家相距多少米？
每分65米
6分钟相遇
每分75米
6分钟 ？米
6分钟
65×6
＋
75×6
＝390＋450
＝840（米） 答:两家相距840米。
小萍和小明同时从家去栈桥（如图），经过6分钟 两人在栈桥相遇。他们两家相距多少米？
每分65米
6分钟相遇
每分75米
？米
先求两人1分共钟所走的路程
小萍和小明同时从家去栈桥（如图），经过6分钟 两人在栈桥相遇。他们两家相距多少米？
答:两家相距840米。
解法一与解法一比较,有什么不同点? 你们认为哪一种比较好?为什么? 65×6＋75×6 （65＋75）×6
一、从思路上比，第一种先分别求6分钟两人各走的 路程，然后再求两人共走的路程，也就是全程。第二 种思路是先求速度和，小红和小丽在单位时间内所靠 近的路程，然后再求6分钟靠近的路程，也就是相遇 时，她们共走的路程。 二、从形式比,第一种是三步计算,第二种是两步 计算。第二种解法比第一种解法少一步，形式上 简单。 第二种解法好。
相遇问题的多种解法教案
相遇问题的多种解法教案。
1.常规相遇问题假设两个人从两个不同的地方同时出发，他们沿着相同的路线向相同的方向行走，当其中一个人超过另一个人时，他们就会在某个时刻相遇。
在这种情况下，可以通过以下公式进行计算：相遇时间 = （超过的距离）÷ （两者速度差值）例如，假设人A和人B在相同的路线上行走，人A的速度为5米/秒，人B的速度为3米/秒。
当人B走了1000米时，人A开始行动。
那么他们的相遇时间将是：（1000米）÷ （5米/秒 - 3米/秒） = 500秒2.碰撞问题碰撞问题是指两个物体在相反方向上运动碰撞的情况。
在这种情况下，可以通过以下公式进行计算：相遇时间 = （两者初始距离）÷（两者速度之和）例如，假设两个物体在相反方向上运动，速度分别为4米/秒和2米/秒，初始距离为2000米，那么它们相遇的时间将是：2000 ÷（4+2）= 333.33秒3.直角相遇问题直角相遇问题是指两个物体在直角交叉路口相遇的情况。
在这种情况下，我们需要通过使用拆分运算的方法进行计算，具体步骤如下：（1）拆分运算，根据三角形模型推导出时间的关系式，如下：时间关系式= AB/ VA + BC/VB其中，AB表示所需行走的距离，VA为A的速度，VB为B的速度，BC表示两个物体之间的初始距离。
（2）将上述时间关系式转化为相乘的形式，即：AB×VB + BC×VA = AB×BC（3）将左边的式子进行化简，得到以下关系式：AB = BC×VA÷（VB-VA）例如，假设A物体从A点出发，向B点行走，速度为3米/秒；B 物体从C点出发，向B点行走，速度为4米/秒。
那么，它们相遇的时间将是：AB = BC×VA÷（VB-VA）= （BC×3米/秒）÷（4米/秒 - 3米/秒）= 300米4.斜线相遇问题斜线相遇问题是指两个物体在不同角度上行驶，并在某一时刻相遇的情况。
相遇题的解法
相遇题的解法相遇题是指在一定条件下，两个或多个物体或者个体在某一时刻相遇的问题。
这类问题在数学、物理、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍相遇题的一些常见解法，并通过具体的例子来说明。
一、暴力求解暴力求解是解决相遇题最直观的方法，即穷举所有可能的情况，找出满足条件的相遇点。
这种方法的时间复杂度较高，但在一些简单的问题中仍然可行。
例子1：两个人在同一时间从不同的地点出发，以相同的速度沿着同一条直线行走，求他们相遇的位置。
假设两个人分别从A点和B点出发，他们的速度都是v，相遇的时间为t，相遇的位置为P。
根据题目的条件，我们可以得到以下方程：v * t = AP + v * t解这个方程可以得到相遇的位置P为A点和B点之间的中点。
二、双指针法双指针法是解决相遇题常用的方法，通过设置两个指针在不同的位置上进行移动，来寻找相遇点。
这种方法的时间复杂度较低，适用于一些较为复杂的问题。
例子2：给定一个有序数组和一个目标值，找出数组中两个数的和等于目标值的位置。
假设有序数组为nums，目标值为target，我们可以设置两个指针i和j，分别指向数组的起始位置和末尾位置。
根据题目的条件，我们可以得到以下算法：while i < j:if nums[i] + nums[j] == target:return [i, j]elif nums[i] + nums[j] < target:i += 1else:j -= 1这个算法的时间复杂度为O(n)，其中n为数组的长度。
三、快慢指针法快慢指针法是解决一些特殊相遇问题的常用方法，通过设置两个指针在不同的速度上进行移动，来寻找相遇点。
这种方法常用于链表相关的问题。
例子3：给定一个链表，判断链表中是否存在环。
假设链表的头节点为head，我们可以设置两个指针slow和fast，初始时都指向头节点。
slow指针每次移动一步，fast指针每次移动两步。
如果链表中存在环，那么两个指针一定会在某个时刻相遇。
列方程解相遇问题
解答这道题时，我们用到 的是什么数量关系？
速度×时间=路程
像这样有关速度、时间 和路程的应用题，通常 叫做“行程问题”。
张华和李明同时从家里出 发向对方走去。张华每分种走 60米，李明每分种走70米。经 过3分钟相遇。张华和李明家 相距多少米？
甲、乙两地相距446千米， 快、慢两车从甲、乙两地相对开 出，快车每小时行68千米。慢车 每小时行35千米。中途慢车因修 车停留半小时，求共经过几小时 两车在途中相遇？
从出发到相遇所花费的时间一样吗？
停留
半小时
快 慢
甲
乙
想一想： 快车和慢车行走的时间一样吗？ 行走的时间
解：设共5）=446
68ⅹ+35ⅹ-17.5=446 103ⅹ=463.5
ⅹ=4.5
答：共经过4.5小时两车在途中相遇。
小明和小刚相距100米，他们同时出发， 相向而行，已知小明的速度为每分钟6米， 小刚的速度为每分钟4米，另外，小明有一 条狗，和他同时出发，奔跑于小明和小刚之 间，它的速度为每分钟14米。 （1）两人需多少分钟才能相遇？ （2）两人相遇时小狗共跑了多少米？
2、 甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小 时行58千米。1小时后，货车从乙地开出，每小时行62 千米。货车开出几小时后与客车相遇？
甲
乙
x
x
注意： 同时行走 用的时间！
2、 甲、乙两地相距658千米，客车从甲地开出，每小 时行58千米。1小时后，货车从乙地开出，每小时行62 千米。货车开出几小时后与客车相遇？
解：设货车开出x小时后与客车相遇。 58 ×1+58ⅹ+62ⅹ=658 120ⅹ=658 ⅹ=5 答：货车开出5小时后与客车相遇。
行程专题：第一讲 多人(或多次)相遇与追及问题
第一讲 多人(或多次)相遇与追及问题1. 学会画图解行程题2. 能够利用柳卡图解决多次相遇和追及问题3. 能够利用比例解多人相遇和追及问题专题一、【多人相遇与追击】多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式：=⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．板块一、多人从两端出发——相遇、追及【例 1】 （难度级别 ※※）有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米．现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇6分钟后，甲又与丙相遇. 那么，东、西两村之间的距离是多少米?【解析】 甲、丙6分钟相遇的路程：()1007561050+⨯=(米)；甲、乙相遇的时间为：()10508075210÷-=(分钟)；东、西两村之间的距离为：()1008021037800+⨯=(米).【巩固】 （难度等级 ※※）甲、乙、丙三人每分分别行60米、50米和40米，甲从B 地、乙和丙从A 地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分又遇到丙．求A ，B 两地的距离．【解析】 甲遇到乙后15分钟，甲遇到了丙，所以遇到乙的时候，甲和丙之间的距离为：（60＋40）×15＝1500（米），而乙丙之间拉开这么大的距离一共要1500÷（50-40）=150（分），即从出发到甲与乙相遇一共经过了150分钟，所以A 、B 之间的距离为：（60+50）×150＝16500（米）．【例 2】 （难度等级 ※※※）甲、乙两车的速度分别为 52 千米／时和 40 千米／时，它们同时从 A 地出发到 B 地去，出发后 6 时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1 时后乙车也遇到了这辆卡车。
高一物理追及相遇问题的解法
高一物理追及相遇问题的解法高一物理中，追及相遇问题是一类典型的运动问题，涉及到两个或多个物体同时进行直线运动，并在某一时刻相遇的问题。
解决这类问题的关键是要熟悉速度、时间和距离之间的数学关系，并结合画图和列方程的方法进行求解。
以下是追及相遇问题的解法。
解法一：相对运动法相对运动法是一种基于相对概念的解题方法，该方法适用于两个物体以相对速度进行直线运动的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体相对运动的特点，即两个物体之间的相对速度关系。
2.画出示意图，并标明每个物体的运动方向和起始位置。
通常可以使用箭头表示物体的运动方向。
3.根据物体的相对速度和相对位置关系，得出追及相遇的时间和距离的关系。
4.列方程，解方程，得出问题的解。
解法二：时间比法时间比法基于物体在相同时间内应走过的距离相等的原则，适用于给出两个物体的初始位置和速度，求它们相遇时间或相遇位置的问题。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度，并画出示意图。
2.假设两个物体相遇时间为t，根据速度、时间和距离的关系可以得出两个物体行驶的距离。
比如，设第一个物体的速度为v1，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d1=v1*t；设第二个物体的速度为v2，行驶的时间为t，则它行驶的距离为d2=v2*t。
3.根据题目条件，得出物体行驶的距离之间的关系。
这个关系可以是等于、大于、小于等种情形。
4.根据物体行驶的距离之间的关系及相遇时间与行驶距离的关系，列方程，解方程，求出问题的解。
解法三：套公式法套公式法是追求解题的简便和快捷，适用于两个物体在相对静止或相对匀速运动的情况。
步骤：1.根据题目条件，确定两个物体的初始位置和初始速度。
2.判断两个物体的相对运动关系，即判断两个物体是否追及相遇。
如果两个物体的相对速度为0，则相对运动停止，此时两个物体处于静止状态，无需继续计算。
3.如果两个物体在匀速直线运动，可以利用时间、速度和距离之间的关系，套用公式进行求解。
五年级奥数多人多次相遇和追及问题 (C级 )
一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。
所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化．由此还可以得到如下两条关系式： =⨯路程和速度和相遇时间；=⨯路程差速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“=⨯路程速度时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可迎刃而解．多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N-1个全程；注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N 米，以后每次都走2N 米。
2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；…………， ………………；第N 次相遇，共走2N 个全程；3、多人多次相遇追及的解题关键知识框架多人多次相遇和追及问题多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具——柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
例题精讲【例 1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。
如果甲、乙从A，丙从B地同时出发相向而行，那么，在__________分钟或________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。
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风雨数学老师谈行程问题
一道多人相遇问题的多种解法
【题目】甲、乙、丙三人行走的速度分别是每分钟60米、80米、100米。
甲乙二人在A地，丙在B地与甲乙二人同时相向而行，丙和乙相遇后，又经过2分钟和甲相遇。
A、B两地相距多少米？
【解答】这题经常出现在竞赛中，解法也是非常多的，现在将我的一些方法整理如下：
【解法一】当乙丙相遇时，甲在乙后面2×（100+60）=320米，也就是说乙丙相遇时，乙比甲多行了320米，所以乙丙相遇用了320÷（80-60）=16分钟，由此可以得到两地相距（100+80）×16=2880米。
【解法二】乙丙合行100+80=180米，甲乙就相差80-60=20米，甲乙相差（100+60）×2=320，那么乙丙合行320÷20×180=2880米。
【解法三】甲丙合行100+60=160米，乙丙就比甲丙多行80-60=20米，当甲丙相遇时，乙丙又行了（100+80）×2=360米，所以两地之间的距离是360÷20×160=2880米。
【解法四】乙丙相遇时，乙走了全程的80÷（80+100）=4/9，甲丙相遇时，甲走了全程的60÷（60+100）=3/8，此时乙行了全程的3/8×80/60=1/2，所以乙2分钟行的80×2=160米占全程的1/2-4/9=1/18，因此两地之间的距离是160÷1/18=2880米。
【解法五】乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，甲行了全程的4/9×60/80=1/3，当甲丙相遇时，甲行了全程的60÷（60+100）=3/8，所以甲2分钟行的60×2=120米占全程的3/8-1/3=1/24，因此两地之间的距离是120÷1/24=2880米。
【解法六】乙丙相遇时，丙行了全程的100÷（80+100）=5/9，甲丙相遇时，丙行了全程的100÷（100+60）=5/8，从乙丙相遇到甲丙相遇，丙行了2×100=200米，丙行的这200米占全程的5/8-5/9=5/72，所以两地之间的距离是200÷5/72=2880米。
【解法七】乙丙相遇时，甲在乙后面（100+60）×2=320米，甲行的路程比乙少1-60÷80=1/4，所以此时乙行了320÷1/4=1280米，由于乙丙相遇时，乙行了全程的80÷（80+100）=4/9，所以两地之间的距离是1280÷4/9=2880米。
【解法八】乙丙速度和与甲丙速度和的比是（80+100）：（60+100）=9：8，相遇的时间比就是8：9，由于相差2分钟，所以乙丙相遇的时间是2÷（9-8）×8=16分钟，因此两地之间的距离是（80+100）×16=2880米。
【解法九】乙丙相遇时，两人行的路程比是80：100=4：5=32：40，甲丙相遇时，两人行的路程比是60：100=3：5=27：45，所以丙后来行的2×100=200米相当于32-27=5份的路程，每份的路程是200÷5=40米，全程一共32+40=72份，所以两地之间的距离是40×72=2880米。
【解法十】把这个问题看作一个人分别按照60+100=160米和80+100=180米的速度来行这个全程，两次的时间相差是2分钟，行1米的时间相差1/160-1/180=1/1440分钟，所以2分钟包含了2÷1/1440=2880个1米，因此两地之间的距离是2880米。