第2节 幂级数
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
高数：函数的幂级数展开
解: f x ln1 x ln 2 ln 1
3 2
x
2 x3x2 1 x23x
ln
1 x
x x2 x3
2
3
(1)n xn1
n1 n1
xn n
1 x 1
ln 1
3 2
x
n 1
1n1
n
3 2
x
n
1
3 2
x
1
2 3
x
2 3
因此
f
(x)
ln 2
n
n
定理 (函数的幂级数展开定理)
设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
9.4.5 常用初等函数的幂级数展开式
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数f (x) 展成 x 的幂级数的步骤如下:
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn (x) 是否为0。
n
例1. 将函数 f(x)=ex 展开成 x 的幂级数
泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(x)
0。
证明:
f
(x)
令
f (n
n0
Sn1
) x0
n!
x
x
n
高等数学2 课本教材
高等数学2 课本教材高等数学2是一个涉及复杂概念和公式的学科。
它是数学的一个分支，主要研究了微积分、线性代数和概率论等内容。
本节文章将以教科书的形式，按照章节的顺序来介绍高等数学2课本的主要内容。
第一章微分方程微分方程是高等数学2中最重要的章节之一。
它涉及到描述变化过程的方程。
本章首先介绍了常微分方程的概念和基本理论。
然后，详细讨论了一阶和二阶常微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法和常数变易法等。
接着，介绍了线性常微分方程的解法及其应用。
最后，通过一些实际问题的案例，说明微分方程在物理、经济和生态学等领域的应用。
第二章无穷级数无穷级数是高等数学2中的另一个重要概念。
本章首先介绍了数列和数列极限的概念。
然后，引入了无穷级数的定义，并详细讨论了级数和部分和的性质。
接着，讨论了正项级数的收敛性质，包括比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，介绍了幂级数和傅里叶级数的基本概念及其应用。
第三章多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的一个重要分支。
本章首先引入了多元函数的概念，并讨论了极限和连续等基础理论。
然后，详细讨论了多元函数的偏导数、全微分和方向导数等概念。
接着，介绍了多元复合函数的求导法则和隐函数的求导法则。
最后，引入了多元函数的泰勒公式和拉格朗日乘数法，通过实例讲解了这些概念的应用。
第四章多重积分多重积分是高等数学2中涉及到空间区域的重要内容。
本章首先引入了二重积分和三重积分的概念，并讨论了累次积分和重积分的性质。
然后，介绍了换元积分法和坐标变换法来计算多重积分。
接着，讨论了二重积分和三重积分的应用，包括质量、质心和转动惯量等问题。
最后，介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念及其应用。
第五章曲线与曲面的方程曲线和曲面的方程是高等数学2中的一个重要内容。
本章首先介绍了参数方程和方程组的基本概念。
然后，详细讨论了平面曲线和空间曲线的一般方程及其性质。
接着，介绍了曲线的切线和法平面方程的求解方法。
复变函数 4-2
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7
2. 收敛圆与收敛半径 幂级数的收敛范围是一个圆域，级数在圆内绝
对收敛，在圆外发散。 该圆称为幂级数的收敛圆， 该圆的半径称为幂级数的收敛半径。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种: (1) 对所有的正实数都收敛.
由阿贝尔定理知: 级数在复平面内处处绝对收敛.
设 z 时,级数收敛; z 时,级数发散. 如图:
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10
问题: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?
例如, 级数:
பைடு நூலகம்
R 均为1, 收敛圆周 z 1
zn 收敛圆周上无收敛点;
n0
zn
n0 n
zn n2
n0
在点z 1发散, 在z 1收敛;
在收敛圆周上处处绝对收敛.
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
zR
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
| z | min(r1,r2 )
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
zR
n0
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17
例2 把函数
1 表成形如 zb
cn(z a)n 的幂
n0
级数, 其中 a与b 是不相等的复常数 .
解
把函数
1 z b 写成如下的形式:
1 zb
(z
a)
1
(b
a
)
b
1
a
1
1 z
a
凑出 1
ba
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u 称无穷级数
i 收敛，极限 s 称为该级数的和，并写成
i1
s u1 u2 ui
s u 如果 n 没有极限，则称无穷级数
i 发散。
i1
4．几何级数与 P 级数
（1）几何级数
aqi a aq aq2 aqi
i0
其中 a≠0，q 为级数的公比，则
u1v1 u1v2 u2v1 u1vn u2vn1 unv1
也绝对收敛，且其和为 sσ。
第二节 幂级数
一、函数项级数
1．函数项级数
un(x) (n 1, 2, 3, ) 定义在数集 E 上，则称
un (x) u1(x) u2 (x) un (x)
n1
为函数项级数。
其中第 n 项 un 称为级数的一般项。
2．部分和
级数前 n 项的和
n
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
sn 称为级数的部分和。
3．数项级数的收敛与发散
s 如果级数 ui 的部分和数列 n 有极限 s，即 i1
lim
n
sn
s
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第 7 章 无穷级数
第一节 数项级数
一、数项级数
1．数项级数
给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un
称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 ui ，即 i1 ui u1 u2 u3 ui i1
un
0 ，则
(1)n1un 收敛。
高等数学第14章第2节函数的幂级数展开
§ 2 函数的幂级数展开一 问题的提出幂级数不仅形式简单，而且有很多特殊的性质（如收敛域是区间；在收敛域内部内闭一致收敛，在收敛域内可逐项积分、逐项微分等）．这就使我们想到，能否把一个函数表示为幂级数来研究？二 问题的解决Taylor 级数设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数.Taylor 公式： ∑==+-=n k n k k x R x x k x f x f 000)()()(!)()( 余项)(x R n 的形式: Peano 型余项: )(x R n ()n x x o )(0-=,（ 只要求在点0x 的某邻域内有1-n 阶导数，)(0)(x f n 存在 ）Lagrange 型余项: )(x R n ξξ ,)()!1()(10)1(++-+=n n x x n f 在x 与0x 之间. 或 )(x R n ()0 ,)()!1()(1000)1(++-+-+=n n x x n x x x f θ1<<θ. 积分型余项: 当函数)(x f 在点0x 的某邻域内有1+n 阶连续导数时, 有)(x R n ⎰-=+x x n n dt t x t f n 0))((!1)1(. Cauchy 余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy 余项)(x R n ()10 ,)()1()(!11000)1(≤≤---+=++θθθn n n x x x x x f n . 特别地，0x 0=时，Cauchy 余项为)(x R n ξξξ ,))((!1)1(x x f n n n -=+在0与x 之间.三 基本初等函数的幂级数展开式在实际应用中,往往取00x =,此时的Taylor 级数2(0)(0)(0)1!2!f f f x x '''+++称为Maclaurin 级数, 此时积分型余项为(1)01()()()!x n n n r x f t x t dt n +=-⎰. 1 212!!nxx x e x n =+++++ , x -∞<<∞ 2 3521sin (1)3!5!(21)!n n x x x x x n +=-+-+-++ , x -∞<<∞ 3 242cos 1(1)2!4!(2)!n n x x x x n =-+-+-+ , x -∞<<∞ 4 231ln(1)(1)23n n x x x x x n-+=-+-+-+ , 11x -<≤ 5 357arctan 357x x x x x =-+-+ , 11x -≤≤ 6 0(1)nn n x C x αα∞=+=∑, 1,1x ∈<->此处,0,1,2,α≠ , (1)(1)!n n C n αααα--+=7 352113(21)!!arcsin ,2385212!n n x x n x x x n n +-=+⋅+⋅++⋅++ 11x -<< 四 应用基本展开式的例子例1 求下列函数按x 幂级数展开的Taylor 级数.(1)2sin x ; (2)6(1)(2)x x -+; (3)23ln(1)x x x --+例2 求ln(y x =+在00x =的Taylor 展开.例3 将1x : (1)按1x -幂级数展开; (2)按11x x -+幂级数展开. 作业：P58 2，（1）（3）（4）（6）（7）（9）， 3。
工程数学《复变函数》(第四版)课件 4-4 西安交大
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2
1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0
n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
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的收敛范围是以点a为中心的圆域.
8
(4) 收敛半径的定义
对幂级数(4.3), 若存在有限正数R, 使(4.3) 在圆周 z a R内绝对收敛, 在圆周 z a R 外发散, R称为此幂级数的收敛半径, z a R 为收敛圆, z a R为收敛圆周.
注:一个幂级数在收敛圆周上有三种情况 (1)处处收敛; (2)处处发散; (3)既有收敛点,也有发散点.
9
例如, 级数:
收敛半径R 均为1, 收敛圆周 z 1
zn
n 0
收敛圆周上无收敛点;
zn n n 0 zn n2 n 0
在点z 1发散, 在其它点都收敛;
在收敛圆周上处处收敛.
10
二 收敛半径的求法
定理4.12 如果幂级数
cn ( z a) n的系数cn合于
n 0
或
z
a
cn n 1 f ( )d (z a) . n0 n 1
c
简言之: 在收敛圆内, 幂级数的和函数解析; 幂级数可逐项求导, 逐项积分. (常用于求和函数)
16
( n 1) z n 的收敛半径与和函数. 例2 求级数
n 0
c n 1 n2 1, 解 因为 lim lim n c n n 1 n
z 1 于是有 n n 2 ,
n n
故该级数对任意的z均收敛.
7
(3)z z1 时, 级数收敛;
z2
收敛半径
a
z z2 时, 级数发散.
如图:
. zR 1
.
x
cn ( z a) n 幂级数
n cn 1或0
故lim n cn 1,
1 从而R 1. l
13
n
三 幂级数和的解析性
定理4.13 (1) 幂级数
f ( z ) cn ( z a ) n ,
n 0
(4.5)
的和函数f ( z )在其收敛圆K : z a R, (0 R )内解析;
故由Weierstrass定理, 在K内, f ( z )解析且(4.5)可逐项求导任意阶. 对(4.5)可逐项求p阶导数( p 1, 2, )后, 即得(4.6).
在(4.6)中令z a, 得 f ( p ) (a) cp , ( p 1, 2,) p! (0) 注意到c0 f (a) f (a), 即得(4.7).
f ( p ) (a) (3) c p , ( p 1, 2,) p!
14
证明
由Abel定理, 幂级数
n 0 n
c ( z a)
n
在其收敛圆K : z a R, (0 R )内内闭一致收敛于f ( z );
而其各项cn ( z a)n , (n 0,1, 2, )又都在z平面上解析.
所以 R 1.
利用逐项积分,得:
0 (n 1)z dz 0 n 0 n 0
n n
z
z
z n 1 ( n 1) z dz
n
n 0
z . 1 z
z 1 ) . 所以 ( n 1) z ( 2 1 z (1 z ) n 0
15
由于 lim n n(n 1) (n p 1) 1 n 故(4.5) 与(4.6)有相同的收敛半径. 注1 (4.5)可沿K内曲线C逐项积分,且收敛半径与(4.5) 相同. 即
c
f ( z )dz cn ( z a )n dz , c z a R.
z 1
17
作
业
• P178习题(一) 2(2), 3,4
18
本节未结束
谢谢！
Complex Function Theory
Department of Mathematics
19
n n 0
a
z
z1
从而它的各项必有界, 即有正数M,使
cn ( z1 a) n M , (n 1, 2,)
3
za za cn ( z a ) cn ( z1 a) M z1 a z1 a 由于 z a z1 a , 故级数
n n
cn n c0 c1 c2 2 cn n .
n 1
2
2 阿贝尔(Abel)定理
(1)定理4.10 如果(4.3)在某点z1 ( a)收敛, 则必在
圆K : z a z1 a 内绝对收敛且内闭一致收敛.
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数 cn ( z1 a) 收敛,
n 0
当l 0, 时
当l 时 当l 0时
11
例1 求下列幂级数的收敛半径: (1)
z n3 n1
n
(2)
n! z
n 1
n
;
(3) 1 z 2 z 4 z 9 .
解 (1)
cn 1 n 3 lim ( ) 1, 因为 lim n c n n 1 n
第二节
幂级数
1
一、幂级数的敛散性
1 定义 具有
cn ( z a)n c0 c1 ( z a) c2 ( z a)2 , (4.3)
n 0
形式的级数,称为幂级数.
c 其中 0 , c1 ,, cn 和a都是复常数.
若令 z a, 则(4.3)可写成
n 0
cn 1 lim l , ( D ' Alembert ) n c n
或 lim n cn l , (Cauchy)
n
或lim n cn l , (Cauchy Hadamart )
则幂级数 cn ( z a) 的收敛半径
n
n
1 , l R 0,
n
n
n 而级数 M ( ) 收敛, z1 a n 0
n n 0
K
z
a
z1
故级数 cn ( z a) 在K 内一致收敛, 从而级数 cn ( z a) 必在K内绝对且内闭一致收敛.
n n 0
5
(2)推论4.11 如果(4.3)在某点z2 ( a)发散,
(2) 在K内,(4.5)可逐项求导任意阶,即 f ( p ) ( z ) p !c p ( P 1) p 2c p 1 ( z a)
n(n 1) (n p 1)cn ( z a) n p , ( p 1, 2,) (4.6)
(4.6)与(4.5)有相同的收敛半径;
则它以a为心通过z2的圆外发散.
(3)(4.3)收敛情况
(1) 对所有的复数除z=a外都发散. 此时, 级数在复平面内除点a外处处发散.
1 z 22 z 2 n n z n 例如,级数
当 z 0 时, 通项不趋于零,
故级数发散.
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(2) 对所有的复数都收敛 由Abel定理知: 级数在复平面上处处绝对且内闭一致收敛. z2 zn 例如, 级数 1 z 2 n 2 n z 1 从某个n开始, 总有 n 2 , 对任意固定的z,
n n
1 lim cn lim 3 lim 1 1, 或 n n n n n 3 n
所以收敛半径 R 1,
12
(2)
cn 1 (n 1)! lim lim n c n n! n
,
故R 0.
(3)
由于n为平方数时, cn 1,
其它情形cn 0,
这样即有
n
n
za 0 M z a n 1
n 0
n
为收敛的等比级数,
从而级数 cn ( z a ) n在圆K内绝对收敛.
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其次, 对K内任一闭圆K z a (0 z1 a )上的一切点, 有
n K za M( ) cn ( z a ) M z1 a z1 a