期权和公司债务的定价
金融学十大模型
金融学十大模型一、现金流量模型现金流量模型是金融学中最基本的模型之一。
它描述了企业或个人在一定时期内的现金流入和现金流出情况，帮助人们了解企业的经济状况和财务健康度。
现金流量模型可以帮助决策者在做出投资决策时更加明晰地了解投资项目的现金流量预测。
二、资本资产定价模型资本资产定价模型是用来确定资产的预期回报率的模型。
它基于风险和收益的关系，通过考虑市场风险和个体资产风险之间的权衡关系，计算出资产的合理价格。
资本资产定价模型可以帮助投资者评估资产的风险与收益，并做出相应的投资决策。
三、股票评估模型股票评估模型是用来确定股票的合理价格的模型。
它考虑了公司的盈利能力、成长潜力、市场需求等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出股票的内在价值。
股票评估模型可以帮助投资者判断股票的价值是否被低估或高估，并作出相应的投资决策。
四、期权定价模型期权定价模型是用来确定期权的合理价格的模型。
它考虑了期权的行权价格、到期时间、标的资产价格、波动率等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出期权的内在价值和时间价值。
期权定价模型可以帮助投资者评估期权的风险与收益，并做出相应的投资决策。
五、债券定价模型债券定价模型是用来确定债券的合理价格的模型。
它考虑了债券的票面利率、到期时间、市场利率等因素，通过对这些因素的综合分析，计算出债券的内在价值。
债券定价模型可以帮助投资者判断债券的价值是否被高估或低估，并作出相应的投资决策。
六、资本结构模型资本结构模型是用来确定企业资本结构的最优化模型。
它考虑了企业的债务成本、股权成本、税收政策等因素，通过对这些因素的综合分析，帮助企业找到最适合自身情况的资本结构。
资本结构模型可以帮助企业降低资金成本，提高企业价值。
七、投资组合模型投资组合模型是用来确定投资组合的最优化模型。
它考虑了投资者的风险偏好、预期收益率、资产之间的相关性等因素，通过对这些因素的综合分析，帮助投资者构建最适合自身情况的投资组合。
罗伯特·默顿简介
罗伯特·默顿简介罗伯特·默顿姓名：罗伯特·默顿性别：男出生年月：1944年生籍贯：美国纽约学历：美国麻省理工学院经济学博士学位罗伯特·默顿（robert c. merton）1944年生于美国纽约,由于他对布莱克－斯科尔斯公式所依赖的假设条件做了进一步减弱，在许多方面对其做了推广，因而获得1997年诺贝尔经济奖。
默顿，1966年获哥伦比亚大学工程学士学位,1967年获加州理工学院应用数学硕士学位，1977年获麻省理工学院经济学博士学位,1970－1988任教麻省理工学院，1988至今执教于哈佛大学. 1973年默顿在《经济和管理杂志》上发表了《理性期权定价理论的文章》，对布莱克－斯科尔斯公式的假定条件做了进一步削弱，在许多重要方面都对布莱克－斯科尔斯的研究做了推广.他对布莱克—斯科尔斯原用的分析方法进行了改进，以股价变动的跳跃过程而不是扩散过程为出发点，也就是认为股价变动是不连续的，可以从一个价格跳到另一个价格而不经历其间的价格.这样推导出的公式更加现实.从1973年后，默顿和布莱克以及斯科尔斯继续，在专业经济学杂志上发表了不少论文，将定价公式扩展到许多衍生金融品上.在1974年默顿发表的《企业债务的定价》一文中，他利用期权定价模型解决了企业的定价问题，1977年他又发表了对贷款担保进行分析的文章，为大型项目实施融资提供了帮助。
默顿对企业债务的这种分析，使人们认识到：可以利用期权定价方法对所有具有期权特点的决策问题进行研究，从而使得期权定价理论在投资决策分析中得以广泛应用.期权思想的确立修正了传统的净现值方法.也就是说在投资可以延迟的情况下，企业持有了看涨期权，而此时只有当净现值远大于零时，进行投资才是最优决策，这种分析结果与实际中的最优投资情况往往是相吻合的.许多项目的建设常常需要多期投资才能完成，由于项目建设需要的较长，在建设过程中，企业可以根据最终产品价格的上涨或下跌、预期投入成本是否要增加等因素决定是否扩大建设规模还是暂时性或永久性停止项目建设。
浅谈期权定价问题
The study on option pricing problemScience and Technology College of Ningbo University, Ningbo, Zhejiang, ChinaKeywords: option;option pricing;the basic way of option pricing; stock option pricing Abstract.Uncertain pricing is one core of financial mathematics study, it involves the theories of modern finance such as asset pricing theory, investment combination theory and risk management theories, as well as stochastic analyzing and optimizing theory of modern mathematics. Effective investment of risky assets is the key to financial derivative securities for the correct valuation.In order to adapt to the continuous development of financial markets, we need to have singular conduct an in-depth study of options, in order to meet investor preferences better.浅谈期权定价问题关键词:期权；期权定价；期权定价基本方法；股票的期权定价方法中文摘要.期权定价问题已经成为金融工程研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合研究、风险管理理论以及现代数学中的随机分析、优化理论等学科。
金融学十大模型
金融学十大模型引言：金融学作为一门研究经济资源配置和金融市场运作的学科，涉及的内容广泛而复杂。
在这个领域中，有许多重要的模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
本文将介绍金融学领域中的十大重要模型，帮助读者更好地理解金融市场的运作和决策过程。
1.资本资产定价模型（CAPM）CAPM是金融学中最基本、最重要的模型之一。
它描述了资产定价的原理，通过衡量资产的系统风险和市场风险，预测资产的预期回报率。
CAPM模型对于投资组合的构建和风险管理具有重要意义。
2.有效市场假说（EMH）EMH认为金融市场是高度有效的，即市场上的价格反映了所有可获得的信息。
这一模型对于投资者来说具有重要的指导意义，告诉他们不应该试图通过分析市场来获得超额收益，而应该追求市场上的均衡投资组合。
3.期权估值模型期权估值模型用于计算金融衍生品（如期权）的价格。
著名的期权估值模型包括布莱克-斯科尔斯模型和它的变体。
这些模型对于金融市场中的风险管理和投资决策非常重要。
4.资本结构理论资本结构理论研究公司资本结构的最优化问题，即确定债务和股权的比例。
这个模型帮助企业决定最佳的资本结构，以最大化股东权益和降低成本。
5.股票定价模型股票定价模型用于估计股票的公允价值，帮助投资者决定是否购买或出售股票。
常见的股票定价模型包括股票的相对估值模型和基本估值模型。
6.利率期限结构模型利率期限结构模型研究不同期限的债券收益率之间的关系。
这个模型对于利率预测和债券投资具有重要的参考价值。
7.国际资本资产定价模型（ICAPM）ICAPM是CAPM的扩展，它考虑了国际金融市场的影响。
这个模型对于跨国投资和国际资产配置具有重要的意义。
8.风险管理模型风险管理模型帮助金融机构识别、测量和管理风险。
常见的风险管理模型包括价值-at- risk 模型和条件风险模型。
9.货币供给模型货币供给模型研究货币供应对经济活动和通货膨胀的影响。
这个模型对央行制定货币政策具有重要的参考价值。
金融理论的世纪回顾与展望(一)
金融理论的世纪回顾与展望金融理论的世纪回顾与展望一、金融理论的世纪回顾在20世纪金融理论的发展史上，50年代是一个重要的分水岭。
一般认为，现代金融理论起始于50年代初马柯维茨提出的投资组合理论。
而在此之前已存在的金融理论体系，则被称为是古典经济学中的金融理论。
古典金融理论在凯恩斯主义出现之前，一直是以“货币与实物经济相分离”的古典经济学“两分法”为手段，从实物经济的层面出发，对货币的职能、银行的流动性、信用机制、货币与经济的关系、国际收支平衡、汇率的决定等问题进行探讨，并取得相当成就。
该阶段所出现的影响较大的理论成果有：甘末尔学说（1907年）、费雪的现金交易数量理论（1911年）、马歇尔的现金余额数量论（1923年）、庇古的剑桥方程式（1917年）、哈耶克的中立货币理论（1931年）、莫尔顿的银行可转换性理论（1918年）、勒纳等的弹性理论（30年代）、卡塞尔的购买力平价理论（1922年）、阿夫塔里昂的汇兑心理理论（1927年）、凯恩斯与爱因齐格的利率平价理论（1930年）等。
1936年凯恩斯的《就业利息与货币通论》问世，这不仅在经济发展史上是一个重要的里程碑，称为经济学的一场革命，特别在古典金融理论的发展史上更具有划时代的意义。
凯恩斯将货币视为一种资产，把货币资产融入实际经济中，指出货币对就业、产出、收入等实际经济有着重要而特殊的作用，填平了货币与实物经济之间的“两分”，创立了以货币经济为特征的宏观经济学。
在凯恩斯之后，希克斯与汉森于1949年创立了商品市场与货币市场相结合的is－lm模型，鲍莫尔于1952年提出了平方根定律，弗里德曼于50年代提出现代货币数量论。
50、60年代，由于直接融资的迅速发展，金融市场上金融工具不断创新，新的金融机构不断涌现。
在金融理论方面，不仅出现了商业银行的负债管理理论，而且出现了大量以金融市场为研究对象的微观金融理论。
尤其是，1952年马柯维茨提出了证券组合理论，创立现代金融理论之开端。
现代金融经济学主要包含三个核心内容
1. 所有投资者都是风险规避的 2. 所有投资者处于同一单期投资期 3. 投资者根据收益率的均值（期望收益率）和方差(风险）
来选择投资组台。投资者的效用是关于投资组合的期 望收益率和标准差的函数，使在给定风险水平下期望 收益率最高或者在给定期望收益率水平风险最小。理 性的投资者通过选择有效的投资组合，实现期望效用 最大化。
资本资产定价理论(CAPM)(1)
威廉·夏普(William F. Sharpe,1964)和约翰·K·林特纳 （John K.Lintner1965)在马柯维茨均值-方差组合投资模 型理论的基础上提出著名的资本资产定价模型（CAMP）。
假设条件:
在假设条件(1)(2)(3)的基础上, (4)所有投资者对同一证券的所有统计特征（均值，协方差）等有
where:
d1
ln( S
/
K)
(r
1 2
T t
2 )(T
t)
d2 d1 T t
N () distribution function for N(0,1)
These formulas are basic...know them!!!
24
二项式期权定价
Cox，Ross，Rubinstein （1979）用一个离散时的二项 随机过程去模拟股票的变动，用无套利方法导出了二 项期权定价公式。对B-S模型进行了简化。
ct
rScS
1 2
2S
2cSS
rc
c(S,T ) (S K ) c(0,t) 0
pt
rSpS
1 2
2S
2
pSS
rp
p(S,T ) (K S ) p(0, t) Ker(T t)
期权定价
第三节期权定价期权定价：如果某一期权合约在未来某个日子到期，那么，什么是该期权合约在今天的公平（真实）价值？权利金的价值应该是多少？二项式定价模型、风险中性概率、布莱克－斯科尔斯定价模型（一）二项式定价模型（BOPM）1.单期两状态期权定价假定在期权到期时股票价格只有两种可能：股票价格或者涨到给定的较高水平，或者降到给定的较低的价格。
举例：考虑经过1期后到期的欧式看涨期权，期权的执行价格为50元。
假设今天的股票价格为50元。
假设标的股票不支付股利（除非明确说明）。
在1期后，股价有可能上升10元或者下降10元。
单期无风险利率为6%。
将这些信息汇总，由如下的二叉树来表示。
二叉树为具有两个分支的时间线，每个时点代表着那段时间内可能发生的事件：01股票债券看涨期权股票债券∆表示购买的股票数量，B表示对债券的初令始投资。
∆+=B60 1.0610∆+=40 1.060B求解关于∆和B的联立方程，方程的解为：∆= 0.5，B = -18.8679。
看涨期权的价格必定等于复制组合的当前市场价值。
复制组合的当前价值等于：50500.518.87 6.13B ∆+=⨯-= 元看涨期权的当前价格为6.13元。
既然已经清楚了期权定价的基本理念，将上述定价过程一般化股票期权确定股票的数量∆和债券的头寸B ，以便使得复制组合的支付在股价上涨或下跌时，与期权的支付相匹配：(1)u f u S r B C ∆++=(1)d f d S r B C ∆++= （7.3.11式） 求解∆和B ，得到二项式模型中的复制组合：u d u d C C S S -∆=-1d d f C S B r -∆=+ （7.3.12式） 期权在今天的价值C 就等于复制组合的成本： C S B =∆+ （7.3.13式） 上式相对简单，它不要求待估价的期权必须为看涨期权，也可应用它来为未来支付取决于股价的任何证券进行估值。
[例7－14] 假设某股票的现行市价为60元，经过1期后，股价将上涨20%或下跌10%。
金融行业的金融产品定价模型
金融行业的金融产品定价模型金融行业的金融产品定价模型是指通过一系列的数学和统计方法，对金融产品的价格进行建模和定价的过程。
金融产品的定价对于金融机构和投资者来说非常重要，它直接影响着金融市场的稳定性和经济的发展。
本文将介绍金融行业常用的一些金融产品定价模型。
一、期权定价模型期权是金融市场上常见的一种金融衍生品，它赋予了持有者在未来一定时间内以约定价格购买或出售某个标的资产的权利。
期权的定价模型主要有两个，分别是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Model）和考夫曼期权定价模型（Cox-Ross-Rubinstein Model）。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型基于一系列假设，如股票价格服从几何布朗运动、利率是恒定的等，通过在二项式模型中构建对冲投资组合，得到对期权价格的理论估计。
这个模型通过对风险中性概率测度的引入，建立了期权价格和各种因素之间的关系，为期权交易提供了重要的参考依据。
考夫曼期权定价模型是一种离散化的方法，它认为股票价格可以在短时间内上涨或下跌，并根据股票价格的波动性和获利概率来评估期权的价格。
考夫曼期权定价模型更加贴近实际市场情况，考虑了离散的时间点和有限的价格变动，因此在金融市场中得到广泛应用。
二、债券定价模型债券是金融市场上的一种债务工具，债券的发行方会向债券持有者承诺在债券到期日支付债券的本金和利息。
债券的定价模型主要有两个，分别是贴现模型（Discounted Cash Flow Model）和收益率曲线模型（Yield Curve Model）。
贴现模型是一种基于现金流的方法，它认为债券的价值等于债券未来现金流的现值。
具体而言，贴现模型使用债券的到期日和到期收益率来计算债券的现值，从而确定债券的价格。
这个模型在实际中广泛使用，尤其是对于固定收益类债券的定价具有较高的准确性。
收益率曲线模型是一种基于债券的收益率曲线来估计债券价格的方法。
债券的收益率曲线反映了不同期限的债券的市场利率，通过对该曲线的拟合和插值，可以获得债券的预期收益率和价格。
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课程：专业英语专业：概率论与数理统计年级：2009级姓名：董南成绩：期权和公司债务的定价费希尔·布莱克（Fischer Black）迈伦.斯科尔斯（Myron Scholes）如果期权能在市场中正确地定价，就有可能确定由期权及其标的股票的多头和空头所构造的资产组合的收益。
运用这个原理，可以推导出一个理论上的期权定价公式。
因为几乎所有的公司负债都可以被视为期权的组合，推导期权的公式和分析也可用于诸如普通股、公司债券和权证等公司负债。
特别地，公式可以用于推导可违约公司债券的贴现值。
介绍期权是一种受制于一定条件，在指定的期限内，赋予买入或卖出某种资产权利的保证。
“美式期权”是一种可以在期权到期之前的任意时间行使的期权。
“欧式期权”是一种只能在一个未来指定的日期行使的期权。
行使期权时资产支付的价格被称为“行使价格”或“执行价格”。
期权可被行使的最后一天被称为“截止日”或“到期日”。
最简单的期权品种是赋予购买单一普通股的权利。
本文中大部分我们都是讨论这种期权，这种期权常被归为“看涨期权”。
v1.0 可编辑可修改一般来说，股票的价格越高，期权的价值就越大。
当股票价格远大于行使价格时，期权肯定会被行使。
期权的现值因此也会近似等于股票的价格减去与期权有相同到期日、面值等于执行价格的纯贴现债券的价格。
另一方面，如果股票的价格远小于行使价格，期权到期时不会被行使，它的价值近似为零。
如果期权的截止日在非常遥远的未来，那么在到期日支付行使价格的债券的价格会非常低，期权的价值就近似等于股票的价格。
在另一方面，如果到期日非常近，期权的价值就近似等于股票的价格减去行使价格，如果股票价格低于行使价格，期权的价值为零。
通常地，如果股票的价值不变，期权价值随到期日的接近而下降。
这些期权价值和股票价格关系的一般性质常用图1中的图形说明。
直线A 代表期权的最大值，因为期权的价值不会超过股票的价格。
直线B 代表期权的最小值，因为期权的价值不为负且不会小于股票的价格减去行使价格。
直线321,,T T T 和依次代表到期日越来越短的期权的价值。
一般地，代表期权价值的曲线是向上凹的。
由于它也位于45度直线A 的下方，我们可以看到期权的变动比股票的更不稳定。
一个给定股票价格百分比的变动会导致一个到期日恒定的期权的价值更大的变动。
然而，期权的相对变动性不是一个常数，它依赖于股票的价格和到期日。
先前大部分有关于期权定价的工作都是以权证的形式表述的。
例如，Sprenkle （1961）、Ayres （1963）、Boness （1964）、Samuelson （1965）、Baumol 、Malkiel 和Quandt （1966）和Chen （1970）都推导出同样的定价公式的一般形式。
然而，他们的公式都是不完整的，因为他们都没有涉及有一个或多个任意参数的情况。
例如，Sprenkle 的期权定价公式如下：)()(2*1b cN k b kxN -)()(21/ln **21t t t t c kx b --+=υυ )()(21/ln **22t t t t c kx b ---=υυ 在这个表达式中，x 是股票价格，c 是行使价格，*t 是到期日，t 是当前日期，2υ是股票回报的方差率，ln 是自然对数，)(b N 是累计正态密度函数。
但k 和*k 是未知的参数。
Sprenkle （1961）定义k 为当权证到期时股票价格的期望值与股票当前价格的比值，*k 是基于股票风险的一个贴现因子。
他尝试以经验估计k和*k的值，但结果发现他还是无能为力。
更典型地，Samuelson（1965）有两个未知参数α和β，其中α是股票的期望回报率，β是权证的期望回报率或应用于权证的贴现率。
他假设当权证到期时股票合理的价值分布服从对数正态分布且在行使价格切断分布并取这个分布的期望值。
随后他用贴现率β将这个期望值贴现至今。
不幸地是，在资本市场均衡的条件下似乎没有证券的定价模型能用这个合适的程序确定权证的价值。
在随后的论文中，Samuelson和Merton（1969）认识到当权证行使时贴现其可能价值分布的期望值不是合适的程序。
他们进一步发展了将期权价格看做股票价格函数的理论。
他们还认识到贴现率在某种程度上是由投资者愿意持有的全部股票与期权的应收账款这个必要条件确定的。
但他们没有利用投资者也必须持有其它资产的事实，因此影响其贴现率的期权和股票的风险仅仅是无法回避风险的一部分。
他们最终的公式依赖于他们所假设的典型投资者的效用函数。
Thorp和Kassouf（1967）表述了我们开发模型的观念之一。
他们用实际权证价格的曲线模拟得到了一个权证的经验定价公式。
之后他们利用这个公式计算了用作对冲的一个多头和另一个空头的股票与权证的比例。
他们没有从事均衡的研究，即对冲的回报应该等于一项无风险资产的回报。
我们下面所展示的是用均衡条件来推导理论上的定价公式。
定价公式为了能根据股票价格推导出期权价值的公式，我们假设一些市场对于股票和期权的“理想条件”。
a) 短期利率是已知的且在整个时间段内是常数。
b) 股票价格在连续的时间内随机游动且其方差率与股票价格的平方成比例。
因此在任意有限时间间距的末端合理的股票价格分布是对数正态的。
股票回报的方差是常数。
c) 股票不支付红利和其它的股利派发。
d) 期权是“欧式的”，也就是说它只能在到期日行使。
e) 买卖股票和期权是没有交易费用。
f) 可用短期利率借到任意价格单位的证券买进或持有。
g) 短期卖出没有处罚金。
没有证券的卖家直接接受买家提供的证券价格，且同意将来与买家进行清算并支付他与那天证券价格相当的一定数量的证券。
在这些假设下，期权的价值只依赖于股票的价格、时间和已知为常数的变量。
因此，可以设计一个由股票多头和期权空头组成的对冲策略，它的价值不依赖于股票价格，但依赖于时间和一直常数的值。
记),(t x w 为期权的价值，它是股票价格x 和时间t 的函数，相对于一股股票的多头期权被卖空的数量为：),(11t x w （1） 在表达式（1）中，下标表示),(t x w 的对第一个自变量的偏导数。
为了理解这个不依赖于股票价格的对冲策略，注意到当股票价格变化很小时期权价值的变化与股票价格的变化的比例为),(1t xw。
对于第一种近似法，如果股票价格的变化量为x∆，期权价格的变化量为xtxw∆),(1，由表达式（1）给出的期权数量的变动为x∆。
因此，股票多头的变动值将会近似地抵消11w期权空头的变动值。
当变量x和t的变动时，期权被卖空的数量随股票对冲策略改变。
如果对冲是持续持有的，那么上文中提到的近似法是准确的，且对冲策略的回报与股票的变动值是完全独立的。
事实上，做对冲的回报是确定的。
为了说明对冲策略的构造，我们考虑图1中的实心线（2T）并且假设股票价格以$为起点，因此期权的价值就以$为起点。
同时假设直线在那点的斜率为21。
这意味着对冲策略是买入一股股票同时卖出两单位期权。
一股股票花费$，销售两单位期权的收入为$，因此这个策略的收益为$。
如果对冲策略不随股票价格的改变而改变，那么在有限时间间距的末端的权益值包含了一定的不确定性。
假设两单位期权从$涨到$同时股票从$涨到$，或它们从$跌到$同时股票从$跌到$。
因此，当股票价格在正负两个方向变动$时收益从$变为$。
即当股票价格在正负两个方向变动$时收益下降了$。
另外，曲线随期权到期日的改变而转换（如图1中由2T到3T）。
结果期权价值的下降意味着股票价格的大变动导致对冲的收益增加和可能损失的抵消。
注意到随着股票价格的大变动收益的下降的幅度很小。
股票价格变动值越小，收益的下降值与股票价格的变动值之间的比例股票价格变动值就越小。
同时也注意到收益变动的方向与股票价格变动的方向独立的，这意味着在股票价格遵循连续一个随机游动且方差率为常数的假设下，收益回报和股票回报之间的协方差为零。
如果股票价格和“市场投资组合”的价值遵循一个协方差为常数的联合的连续随机游动，它意味着收益回报与市场回报之间的协方差为零。
因此，如果能不断调整期权的空头策略可以使对冲的风险为零。
如果这个策略不能不断地调整，风险也较小，且利用对冲策略的投资组合也能分散全部的风险。
一般而言，由于对冲策略包含一股股票多头和11w 单位期权的空头，此策略的收益值为：1w w x - （2）在短间隔t ∆上收益的变动值为：1w w x ∆-∆ （3）假设空头策略不断地变动，我们可以利用随机微积分的知识去展开w ∆，即),(),(t x w t t x x w -∆+∆+如下：t w t x w x w w ∆+∆+∆=∆2221121υ （4） 在（4）式中，w 的下标指的是偏导数，2υ是股票回报的方差率。
将表达式（3）代入（4）式，我们得到对冲策略的收益变动值为： 122211/)21(w t w x w ∆+-υ （5）由于对冲策略的收益回报是确定的，回报必须等于t r ∆。
即使对冲策略不是不断变动的，风险也很小且全部都可以分散，因此对冲策略的期望回报就是短期利率。
否则，套利者就会通过借入大量资金实施对冲策略并从中获利，这个过程就会迫使回报下降至短期利率。
因此（5）式中收益的变动必须等于（2）式中的收益值乘上t r ∆。
t r w w x w t w x w ∆-=∆+-)/(/)21(1122211υ （6） 消去两边的t ∆，重新整理，我们得到一个期权价值的微分方程。
11221221w x rxw rw w υ--= （7）记*t 为期权的到期日，c 为行使价格，我们知道；,),(*c x t x w -= c x ≥ （8） ,0= c x <这是),(t x w 受制于边界条件（8）满足微分方程（7）的唯一公式。
这个公式就是期权定价公式。
为了解出这个微分方程，我们作以下的置换：)21)(/2[(),(22)(*υυ-=-r y e t x w t t r )],)(21(/[ln *2t t r c x ---υ )()21)(/2(*222t t r ---υυ （9） 有了这个置换，微分方程变为；112y y = （10）并且边界条件变为：,0)0,(=u y 0<u （11） ],1[)21/()21(22-=-υυr u e c 0≥u 微分方程（10）是物理学中的热传导方程，它的解由Churchill(1963,p155)给出。
换成我们的记号，方程的解为; dq e e c s u y u q r s q u ⎰∞---+-=δυυπ2/2/)21/()21)(2(222]1[2/1),( (12)将（12）式代入（9）式，简化后，我们得到：)()(),(2)(1*d N ce d xN t x w t t r --= tt t t r c x d --++=**21))(21(/ln υυ （13） t t t t r c x d ---+=**22))(21(/ln υυ 在（13）式中，)(d N 是累计正态密度函数。