势能与功能原理

例：质量为m的物体从静止开始，在竖直平面内沿着四分之一 的圆周从A滑到（如图）。在B处速度的大小是v，已知圆的半 B 径为R，求物体从A到B摩擦力所作的功。 A
O
用动能定理求
摩擦力与重力做功
R
摩擦力做功A 重力做功mgR 1 2 1 2 A mgR mv 0 A mv mgR 2 2
重力、弹簧弹性力、万有引力，静电场力、分子力是保守力
第三章 守恒定律
6
大学 物理
3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
4.摩擦力的功
f m g
与路径有关
f
m
S1
L1
b
摩擦力所作元功：
dA m gds
AL1 mgds mgS 1
L1
a
f
S2
m
L2
沿路径L1运动，摩擦力所作的功 ：
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
3.5.1 一对力的功
分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力，称之为 “一对力”。一对力通常是作用力与反作用力，但也可不是。
z B1× dr1 f1 r21 m 1 r1 r2
A× x
B2× f2 dr2 m2
× A
(2)
o
1
2
A12 对
1. 第一宇宙速度 已知：地球半径为R，质量为m0， 卫星质量为m。要使卫星在距地 面h高度绕地球作匀速圆周运动， 求其发射速度。 解： 设发射速度为v1。 2 m0 m v1 G m 2 Rh R h
m
m0
R
h R
mm0 mg G 2 R Gm0 gR R
v1

f 2 d r21 ( f1 d r12 )
(1)
y (2)
d A对 f1 d r1 f2 d r2 f 2 (d r2 d r1 ) f 2 d(r2 r1 ) f 2 d r21 d r21 :m2相对m1 的元位移。
(1) 选取研究对象。 (2) 分析受力和守恒条件。
判断是否满足机械能守恒条件，如不满足，则应用功能 原理求解。
(3) 明确过程的始、末状态。
需要选定势能的零势能位置。
(4) 列方程。 (5) 解方程，求出结果。
(6) 讨论解的物理意义。
第三章 守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
第三章 守恒定律
M
5
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
3.弹簧弹性力作的功 －与路径无关
a
b
x
l0
o
xa
Aab
xb
xa
xb 1 1 2 1 2 2 2 F dx kxdx k ( xb xa ) kx a kx b
2 2 2
初 末
如果力作功仅与运动物体的始末位置有关， 而与所经路径无关，则称之为保守力。
作功与路径有关的力 称为非保守力
及磁力、火药爆炸力
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沿路径L2运动，摩擦力所作的功 摩擦力是非保守力 ：
AL2 mgds mgS 2
L2
第三章
守恒定律
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3.5.3 势能
a点的函数值减去b点的函数值，定 义为从a -->b保守力所做的功，该 函数就是势能函数简称势能。
如果系统中只有保守内力作功，而其它内力和外力都不作 功，或作功的总和始终为零，则系统总机械能保持不变。

普遍的能量守恒定律
在一个孤立系统（即不受外界作用的系统）内，能量可以有一 种形式转换为另一种形式，但系统的总能量保持不变。
第三章 守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
应用功能原理或机械能守恒定律解题步骤
－与路径无关
mM f G 2 r dA f dr f cos dr f cos(180 ) dr f dr cos mM fdr －G 2 dr r
rb
a

m f
dr dr
b
rb
ra
mM A G 2 dr ra r mM mM 1 1 ) (G ) GmM ( ) (G ra rb ra rb
EPa＝A保a0 ＝
a
F保 dr
第三章
守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律 势能归属
EPa＝A保a0 ＝
势能零点 a
F保 dr
势能由于是以研究一对力的功引进的，所以它应属于这一对力 相互作用着的系统 。 重力势能是属于物体与地球所组成的重力系统的 Mm 1 2 Ep G Ep kx Ep mgz r 2
(1)
第三章
守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
(2)
A12 对

(2) f 2 d r21 ( f1 d r12 )
(1)
(1)
两质点间一对力所做的功等于其中一个质点所受的力沿着该质 点相对于另一质点所移动的路径所做的功。
说明：
1.A对 与参考系选取无关。 2.以一个质点静止，以该质点所在位置为坐标原点建 立坐标系，计算另一质点在此坐标系中运动时所受力 所做的功即为一对力所做功之和。 重力做功 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下， 一对力的功必为零。
第三章 守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
例 2 一轻弹簧, 其一端系在铅直放
置的圆环的顶点P，另一端系一质量 为m 的小球, 小球穿过圆环并在环 上运动(μ =0)．开始球静止于点 A, 弹簧处于自然状态，其长为环半径R;
当球运动到环的底端点B时，球对环 没有压力．求弹簧的劲度系数． 解 以弹簧、小球和地球为一系统
所以：
Fx
Ep
x z y Ep Ep Ep F i j k Ep y z x 梯度 i j k x y z
第三章 守恒定律
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Fy
Ep
Fz
Ep
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律 3.5.2 保守力与非保守力
1.重力的功
－与路径无关
z
hb o
x
hb
a

b
ha
y
Aab mgdz mg (hb ha ) mgha mghb
ha
初
第三章 守恒定律
末
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2.万有引力的功
z
a
A保ab EPa EPb
A保ab ( EPb EPmghb
质点在保守力的作用下，势能的增量的负值等于保守力所做 的功 b Aab F dr a 势能零点： 质点在任一点的势能等于它从该点改变至势能零点时保守力 所做的功 势能零点
Gm0 Gm0 Rh R
v1 gR 7.9 103 m s1
第三章 守恒定律
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2. 第二宇宙速度 宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度
（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。 （2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。 由机械能守恒定律：
v
B 用功能原理求 解：取物体与地球为系统，以B点处为重力势能零点。 初态：在A点，Ek1 0, EP1 mgR E1 mgR 1 2 1 2 末态：在 B点， Ek 2 mv , EP2 0 E2 mv 2 2
1 2 用功能原理A E2 E1得：A mv mgR 2
第三章 守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律 例如：
v12
N
v1
1
m
2
v2
光滑
N′ M
AN 0
N 不垂直于 1 v
AN 0 N 不垂直于 2 v Nv 12 , 即 N d r12
A对 AN AN 0
第三章 守恒定律
m0 m 1 2 mv2 G Ek Ep 0 2 R
解得：
2Gm0 v2 2 gR 2v1 R 11.2 103 m s 1
第三章 守恒定律
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Ep
Ep
Ep
O
x
O
重力势能曲线
z
O
x
弹性势能曲线
第三章 守恒定律
引力势能曲线
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律 3.5.4 保守力与势能的关系：
因为：
A Ep
dA dEp
z dz
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
dEp Ep x dx Ep y dy Ep
P
30
R
A
o
B
2 vB kR mg m R 2mg k R
A B 只有保守内力做功
取点B为重力势能零点
EB E A
1 2 1 2 mvB kR mgR(2 sin 30o ) 2 2
第三章 守恒定律
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3-2势能 功能原理 机械能守恒定律
例 计算第一、第二宇宙速度
作用于质点系内各质点上的所有外力和非保守内力在某 一过程中作功的总和，等于质点系机械能的增量。