倒推分析法学习定理证明与做习题

采用‘倒推分析法’学习定理证明与做习题
何松年
实变函数课程似乎素有难学的名声，其难有二：其一是内容难懂，其二是习题难做。

如何解决这一问题，在认真听讲勤于思考的基础上，在学习定理证明和做习题的时候，有意识地用“倒推分析法”训练自己大有裨益。

所谓“倒推分析
法”就是由果索因，亦即由结果出发分析，欲证┅，只需证┅，而欲证┅，又只需要证┅，直到已知条件为止。

这种方法往往可以找到解决问题的途径，你可能会觉得证明思路实际上是很自然的，并不是玄妙的和不可思议的，可以更深刻地理解所学内容的本质，也有助于形成良好的思维习惯。

下面以实变函数中十分重要的叶果洛夫定理为例阐述如何“倒推分析。

”
一、 叶果洛夫定理
设,),(,),(),(),(21 x f x f x f x f n 是定义在可测集E 上的几乎处处有限的可测函数，且+∞<)(E m ，若..),()(e a x f x f k →于E ，则对任何,0>δ 存在可测集
E E ⊂δ，使得
（1）{})(x f k 在δE 上一致收敛于),(x f （2）δδ<-)(E E m 。

二、定理分析 倒着推
（1） 定理要求寻求满足两个条件的δE 。

首先要想明白何为收敛？ 若
E x ∈0为收敛点，则,0>∀ε ∃自然数
εj ，使当εj k ≥时成立
ε
<-)()(00x f x f k ，
即
() +∞
=<-∈ε
εj k k x f x f E x )()(0。

集合() +∞
=<-ε
εj k k x f x f E )()(中的点，满足对于一切
εj k ≥
ε<-)()(x f x f k 。

但此集合显然不是一个收敛点集，更不是一个一致收敛点集！当然也就没有资格充当δE ！
（2） 如何找一个一致收敛点集？当然需要先让ε动起来！∀i ，选一个i j （其值待定），做集合
+∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<-i j k k i x f x f E 1)()(，,,2,1 =i
自然想到，令
,1)()(1 +∞=+∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<-=i j k k i i x f x f E E δ
容易验证，{})(x f k 在δE 上一致收敛于)(x f 。

（3） 剩余的问题是：如何选择i j ，使得()δδ<-E E m ？先看看δE E -是何
模样，显然
+∞=+∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≥-=-11)()(i j k k i i x f x f E E E δ。

于是，欲使
()δδ<-E E m ，
由测度次可加性，只需对每个i ，选择适当i j ，满足
i j k k i
i x f x f E m 21)()(δ<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞+= ，
,,2,1 =i
而这又只需证明（对每个自然数i ）
,01)()(lim =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-+∞=+∞→ j k k j i x f x f E m ,,2,1 =i 于是，核心问题是：0>∀ε，是否成立
().0)()(lim =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-+∞=+∞
→ j k k j x f x f E m ε 这与已知条件是什么关系？注意到()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-+∞= j k k x f x f E ε)()(，,,2,1 =j 是一个
递降的集合列，且由于条件()+∞<E m ，所以有
()()()()
.
)()(lim |)()(|)()(lim 1εεε≥-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛≥-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≥-+∞
→∞+=∞+=+∞=+∞
→x f x f E m x f x f E m x f x f E m k k k j k j j k k j 因而只需证
()()
0)()(lim =≥-+∞
→εx f x f E m k k ，
但显然
()()f f E x f x f E k k k 不收敛于⊂≥-+∞
→ε)()(lim ，
故由已知条件，可得
()()
0)()(lim =≥-+∞
→εx f x f E m k k 。

三、定理证明
（1） 先证对任何,0>ε成立
().0)()(lim =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛≥-+∞=+∞
→ j k k j x f x f E m ε 因为..),()(e a x f x f k →于E ，而显然
()()f f E x f x f E k k k 不收敛于⊂≥-+∞
→ε)()(lim ，
所以，有
()()
0)()(lim =≥-+∞
→εx f x f E m k k 。

注意到()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≥-+∞= j k k x f x f E ε)()(，,,2,1 =j 是一个递降的集合列，以及条件
()+∞<E m ，有
()()()
()
.
0)()(lim )()()()(lim 1=≥-=⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛≥-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛≥-+∞
→∞+=∞+=+∞=+∞
→εεεx f x f E m x f x f E m x f x f E m k k j j k k j k k j
（2） 其次，由上论证，知对任意给定的,0>δ 对每个自然数i ，存在自然
数i j ，使得
i j k k i
i x f x f E m 21)()(δ<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-∞+= ，
令
+∞=+∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
≥-=-11)()(i j k k i i x f x f E E E δ，
则有
()δδ
δ=<-∑
+∞
=1
2
i i
E E m 。

（3） 最后，来证可测函数列{})(x f k 在
() +∞=+∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
<-=--=11)()(i j k k i i x f x f E E E E E δδ
上一致收敛于可测函数).(x f 事实上，0>∀ε，取定一个0i ，使得
ε<0
1
i ，从而，当0i j k ≥时，对一切
+∞
=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛<-⊂
∈0
01)()(i j k k i x f x f E E x δ，
有
ε<<
-0
1
)()(i x f x f k 。