排队论
排队论
11.排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。
顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。
服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。
服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。
11因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图1.所示:商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。
表2.11列举了一些排队系统的到达和服务过程。
表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。
在许多实际(Poisson流,或指数分布。
顾客源可能是有限的,也可情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)能是无限的。
顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。
比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。
一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。
以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。
但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。
第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。
另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。
运筹学第五章排队论
§2 排队论基本理论总廓
§2.1 排队论研究的基本问题
1.排队系统的统计推断:即通过对排队系统主 要参数的统计推断和对排队系统的结构分析，判 断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根 据排队理论进行研究。
3. 服务机构
1）服务机构可以是单服务员和多服务员服务， 这种服务形式与队列规则联合后形成了多种不同队 列，不同形式的排队服务机构，如：
1 单队单服务台
1
2
..
..
nLeabharlann 多队多服务台（并列)1
2 。。。
n
单队多服务台（并列）
1
2
... n
单队多服务台（串列）
1
1
2
3
2
混合形式
2)服务方式分为单个顾客服务和成批顾客服务。 3)服务时间分为确定型和随机型。 4)服务时间的分布在这里我们假定是平稳的。
值得注意的是求稳态概
率Pn并不一定求t→∞的 极限,而只需求
P ’(t)=0 即可。
过渡状态
稳定状态
t
图3 排队系统状态变化示意图
3.根据排队系统对应的理论模型求出用以判断系统 运行优劣的基本数量指标的概率分布或特征数。 数量指标主要包括:
(1)平均队长（Ls）:系统中的顾客数。 平均队列长（Lq）:系统中排队等待服务的顾客数。 系统中顾客数Ls =系统中排队等待服务的顾客数Lq +正被
含优化设计与优化运营。
问题1 系统中顾客数=平均队列长（Lq）+1？
§2.3 排队论主要知识点
排队论
排队长度：等待服务的顾 客数量
平均等待时间：顾客在系统 中等待服务的平均时间
平均排队长度：系统中平均 排队的顾客数量
服务台数量：系统中的服 务台数量
利用率：服务台被利用的 程度
排队系统的稳定性：系统是 否处于稳定状态，即平均等 待时间和平均排队长度是否
收敛
排队系统的分析方法
01
排队论的基本概 念：顾客到达、 服务时间、等待
服务台：提供服务的地方
队列：等待服务的顾客队列
顾客到达时间：顾客到达服 务台的时间 服务台容量：服务台可以同 时服务的顾客数量 排队系统状态：当前系统中 顾客和服务员的状态
排队系统的参数
顾客到达率：单位时间内到 达系统的顾客数量
服务速率：单位时间内服务 台能够服务的顾客数量
排队规则：先进先出（FIFO） 或后进先出（LIFO）
谢谢
排队论
演讲人
排队论的基本概念 排队论的基本原理Biblioteka 目录CONTENTS
排队论的应用实例
排队论的基本概念
排队系统的定义
1
排队系统：由顾 客和服务台组成 的系统，顾客需 要等待服务台的
服务。
2
服务台：提供某 种服务的设施， 如收银台、售票
窗口等。
3
顾客：需要接受 服务台的服务的 人，如顾客、乘
客等。
4
时间均服从指数分布
M/G/1模型：单服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/c模型：单服务台、多 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
M/G/∞模型：单服务台、 无限队列、顾客到达服从泊 松分布、服务时间服从指数
分布
G/M/1模型：多服务台、单 队列、顾客到达服从泊松分 布、服务时间服从指数分布
排队论
f ( w n 1)
n！
e w
w0
f ( w ) Pn f ( w n 1) n0 ( w ) n w (1 ) n e ( )e ( ) w n0 n！
熊燕华
6.
忙期和闲期
系统忙的概率为ρ ，则闲的概率为1-ρ 。可以 认为在一段时间内，忙期和闲期的长度比为 ρ :(1-ρ ) 由于顾客到达间隔服从无记忆性的负指数分布， 且与服务时间无关。闲期I（系统从空闲开始到新 的顾客到达时刻）服从参数为λ 的负指数分布，则 E[I]=1/λ E[B]= ρ/(1-ρ) E[I]=1/(μ-λ )=Ws
熊燕华
L S n Pn
n0
1
Little公式
Ls=Lq+λ/μ Ws=Wq+1/μ
L q (n 1) Pn n 1
Ws=E(W)=1/(μ-λ) Wq=Ws－1/μ=ρ/(μ-λ)
Ws=Ls/λ
Wq=Lq/λ
熊燕华
定理： 对于存在平稳分布的任何排队系统，下列 关系成立：
熊燕华
七、随机过程知识准备
系统的状态
系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统 状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率 Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡 状态解。
注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程 的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时
第八章 排队论
基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析
熊燕华
排队论
(t )n et P( X (t ) n) n!
E ( X (t )) t
e t f T (t ) 0 1 E (T )
for t 0 for t 0
服务时间的概率 = t 1/ : 平均服务时间
在t时间内已经服务n个顾客 的概率 平均服务率=
队列
队列容量
有限/无限 先来先服务（FCFS）；后来先服务； 随机服务； 有优先权的服务；
排队规则
3.服务机构
服务机构
服务设施， 服务渠道与服务台 服务台数量:1台和多台 服务时间分布:
指数, 常数,
排队模型分类－Kendall记号
Kendall 记号: X/Y/Z/ A/B/C 顾客到达时间间隔分布/服务时间分布/服务台数 目/排队系统允许的最大顾客容量/顾客总体数量/ 排队规则 M/M/1///FCFS M/M/1 / M: 指数分布 (Markovian) D: 定长分布 (常数时间) Ek: k级Erlang 分布 GI:一般相互独立的时间间隔分布 G: 普通的概率分布 (任意概率分布)
0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 NUMBER IN SYSTEM 26 28 30 32 34 36 38 40
Probability
74.94% 0.2506 1.2294 1.9788 0.2734 0.4401 0.7494 0.1007
排队模型的记号
系统状态 = 排队系统顾客的数量。 N(t) = 在时间 t 排队系统中顾客的数量。 队列长度 = 等待服务的顾客的数量。 Pn(t) = 在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。 s = 服务台的数目。
交通流理论—排队论
组成
排队系统的组成 (1) 输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到 达。有各式各样的输入过程，例如： D—定长输入：顾客等时距到达。 M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。 Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。
组成
排队系统的组成
(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。 例如： • 损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。 • 等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，
离去 1
到达
离去 2
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
(组1)成单通道服务系统
到达
离去
服务台的排列方式1
服务台
单通道单服务台系统
(2)多通道服务系统
(2) 多通道服务系统
离去
1
到达
离去 2
3
离去
可通的多通道系统
到达 1
离去
2
...
n
单通道多服务台系统
到达
离去
1
到达
离去
2
到达
M/M/1系统及其应用
其他参数
平均非零排队长度：
qw
1
1
(qw q ) （辆）
即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度， 即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。
M/M/1系统及其应用
其他参数
系统中顾客数超过k的概率：
P(n k) 1 P(n k)
k
1- Pi 1 (1 (1 ) ... k (1 )) i 0
运筹学-排队论
定长分布（D）：每个顾客接受的 服务时间是一个确定的常数。
负指数分布（M）：每个顾客接受
的服务时间相互独立，具有相同
的负指数分布：
b(t)=
e- t
t0
0
t<0
其中>0为一常数。
K阶爱尔朗分布（En）：
b(t)=
k(kt)k-1
(K-1)!
e- kt
当k=1时即为负指数分布；k 30,近似
M/M/1 等待制排队模型
单服务台问题，又表示为M/M/1/ ： 顾客相继到达时间服从参数为的负 指数分布；服务台数为1；服务时间 服从参数为的负指数分布；系统的 空间为无限，允许永远排队。
队长的分布
记 Pn=p{N=n} , n=0,1,2….为系统达到平衡状态后队 长的概率分布，
则 n=；n= ，= /<1， 有Pn= (1-)n n=0,1,2….
排队系统类型：
顾客到达
服务台串联排队系统
排队系统类型：
聚
散
服务机构
（输入）
（输出）
随机聚散服务系统
随机性——顾客到达情况与顾客 接受服务的时间是随机的。
一般来说，排队论所研究的排队 系统中，顾客相继到达时间间隔 和服务时间这两个量中至少有一 个是随机的，因此，排队论又称 随机服务理论。
顾客（单个或成批）相继到达的时
间间隔分布：这是刻划输入过程的
最重要内容。令T0=0，Tn表示第n顾
客到达的时刻，则有T0T1 T2…..
Tn ……
记Xn= Tn –Tn-1
n=1,2,…,则Xn是第n顾客与第n-1顾
客到达的时间间隔。
一般假定{Xn}是独立同分布，并 记分布函数为A(t)。
(完整)排队论
5。
2 排队论排队是日常生活和工作中常见的现象,它由两个方面构成，一是要求得到服务的顾客，二是设法给予服务的服务人员或服务机构（统称为服务员或服务台）,顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。
如图5。
5所示。
图5.5 排队系统结构5.2.1 排队论概述1. 排队论研究的基本问题随机性是排队系统的共同特性，顾客的到达间隔时间与顾客所需的服务时间中,至少有一个具有随机性.排队论研究的首要问题是系统的主要数量指标（如：系统的队长（系统中的顾客数）、顾客的等待时间和逗留时间等）的概率特性，然后进一步研究系统优化问题。
与这两个问题相关联的还有系统的统计推断问题。
1) 性态问题（即数量指标的研究）研究排队系统的性态问题就是通过研究系统的主要数量指标的瞬时性质或统计平衡下的性态来研究排队系统的基本特征.2) 最优化问题排队系统的最优化问题涉及排队系统的设计、控制以及系统有效性的度量，包括系统的最优设计（静态最优）和已有系统的最优运行控制(动态最优），前者是在服务系统设置之前,对未来运行的情况有所估计，确定系统的参数，使设计人员有所依据；后者是对已有的排队系统寻求最优运行策略。
其内容很多，有最小费用问题，服务率的控制问题等。
3) 统计推断问题排队系统的统计推断是通过对正在运行的排队系统多次观测、搜集数据，用数理统计的方法对得到的资料进行加工处理，推断所观测的排队系统的概率规律,建立适当的排队模型。
2. 排队系统的基本组成及特征实际中的排队系统是各种各样的，但从决定排队系统进程的因素看，它由3个基本部分组成：输入过程、排队规则和服务机构。
由于输入过程、排队规则和服务机构的复杂多样性,可以形成各种各样的排队模型，因此在研究一个排队系统之前，有必要弄清楚这3部分的具体内容和结构。
1） 输入过程输入过程是说明顾客来源及顾客是按怎样的规律到达系统.它包括3方面内容:①顾客总体（顾客源）数：它可能是有限的，也可能是无限的。
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排队论大作业
学院名称：信息工程与自动化学院专业班级：通信092
姓名：罗鹏飞
学号：200910404214
论排队论在信息系统中的应用
——论排队论在医疗排队系统中应用
罗鹏飞200910404214
在我国，医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象，它每天以这样或者是那样的形式出现在我们面前，患者对于一般常见病、多发病通常选择在门诊就诊，往往需要排队等待接受某种服务。
门诊业务流程具有一下特点：病人流量大、随机性强、患者经历门诊环节多，反复排队等待，形成综合性大医院“”三长一短”的现象。
“三长一短”的核心是服务时间及排队的问题。
经过调查研究发现，不同于基于经验的管理方法，排队论能较为科学、量化地分析医院的排队系统，并提出合理的整改意见。
而中国正处于医院应用阶段的排队论系统，大多都是凭经验建立的单一的门诊、体检、取药、检验、住院、结算等各环节的独立系统。
这时就需要一个能够辅助患者贯穿整个就诊流程的全程排队解决方案，以缩短病人就诊时间，提高看病效率。
排队论就是对排队现象和拥挤现象进行定量研究的理论。
本研究通过测量案例医院门诊挂号和收费窗口患者到达的规律、服务台的设置以及服务时间的规律等，应用排队论的理论、方法与模型，分析评价门诊挂号、收费窗口服务流程效率等，并对该服务系统提出优化措施，从而得出基本结论及具体措施：医院要通过义务分流来控制客户流，减少客户亲自到医院办理义务的次数，从而达到不排队或少排队的目的。
关键词：等待时间；服务强度；排队模型；概率分布
正文：
一个特定的模型可能会有多种假设，同时也需要通过多种数量指标来加以描述。
由于受实际所处情况的影响，我们只需要选择那些起关键作用的指标作为模型求解的对象。
尽管我们希望得到关于系统行为的详细信息，但研究中所能给出的一切结果都只能是一个稳态指标。
稳态指标并不意味着系统以某种固定的方式有规律地运转，他们所提供的仅仅是这个系统经历长期运转所反映的数学期望值。
在
排队论中研究的主要指标通常是：
1、稳态分布：当时间趋于无穷时的极限分布。
2、队长：是指系统中的顾客（患者）的数目，它的期望为LS，排队长度则仅指排在队列中等待的顾客数，它的期望为Lq，系统中的顾客数为等待顾客数加上正被服务的顾客数，所以Ls（或Lq）越大，说明系统的服务效率越低。
3、等待时间：是指顾客到达时间算起到他开始接受服务时止的这段时间，其期望值记为Wq，逗留时间则指为从顾客到达时刻算起到他接受服务完毕为止所需要的时间，即时顾客在系统中所话费的时间，其期望值为Ws。
逗留时间=等待时间+服务时间。
4、忙期：指服务台连续繁忙的时间，即顾客从到达空闲服务台算起到服务台再次变为空闲状态时的这段时间。
这是服务台最关心的指标，在排队系统中忙期和闲期是交替出现的。
除了以上列出的四个主要数量指标外，另外服务台的利用率在排队论的研究中也是很重要的指标。
排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是专门研究由于随机因素的影响而长生的拥挤现象的科学。
排队系统有很多种形式，如但服务台排队系统、多服务台队列排队系统、网络排队系统等。
在日常的应用中比较广泛的是：M/M/1/∞排队系统；M/G/1/∞排队系统；G/G/1/∞排队系统；以及其他相似的一些派生模型。
改进医院的排队模型
合理的分析和优化就诊流程是解决医院“三长一短”缓解拥挤的重要方面。
医院作为服务行业来说，病人是服务流程烦人客体。
在服务流程中，病人参与烦人程度可以是无参与、间接参与或者是直接参与。
在此我们应该优化病人的就诊流程有助于缩短排队等待时间，最大限度的满足病人的需求并提高工作效率。
在此将对大型医院的就诊流程进行分析，进而提出整改方案。
一、挂号
在传统挂号方式应该增加现代高效的方式。
这么就在一定程度上的减小了医院的拥挤程度。
1、远程挂号
增加网页、手机客户端、自主终端、电话等远程挂号方式，这么在一定程度上避免了挂不到号和挂错号的现象。
也大大节约了顾客的时间，这么也使得更具有预见性和可组织性。
从宏观上管理医院的资源使用状况，为做好资源配置计划奠定基础。
2、现场挂号
将挂号处设置在各科的分诊台，由分诊护士管理。
同时将挂号。
制成医院存取款单的形式，根据病人的挂号单分成多种单据，由病人自行拿去，填写姓名，并向分诊护士缴纳相应的钱款。
这么就为挂号厅分流和充分利用资源。
二、划价收费环节
各医院的西药、中成药、中药划价收费系统都是相互独立的单服务台系统，如果处方既有中药又有西药，病人就要排多次队。
现将划价收费设在同一楼层，并与药房相连，使取药与交费一一对应，让交完费的病人马上就可以取药。
并增强现有划价收费窗口的功能，使原来只能为一类药品提供划价收费服务的窗口，改为能为三类药品提供划价收费服务。
三、就诊环节
常规流程是病人在多格科室之间奔走，增加了病人出入诊室的次数和行走的距离。
1、增加预检环节。
减少了一定的无效排队使得就诊效率更高。
2、将开处方与医生医嘱两个活动合并。
在医生开处方后即进行医嘱，告知病人如何服药等注意事项，或写于处方上，方便病人执行，也省去了病人再次返回的麻烦。
四、检查环节
当前医院各检查项目都是单独预约的，虽然保证该项目的资源能够得到合理的利用，但并不能保证病人的检查流程比较合理，反而使流程混乱，降低了效率。
增设综合性预约岗位，将能够根据病人的检查项目，综合考虑医院现有检查资源的使用情况，合理安排病人的检查时间，从而即达到了导医的解惑作用，又协调了病人的检查时间，最终减少了病人在门诊不必要的停留时间。
五、排队论系统分析
在通信中各种排队模型的构建，用数字的形式把排队模型体现出来，我在找各种模型适用的通信中，但我们也的最终目的是根据这所有的模型找到一个最合理的模型，我们所说的模型是系统设计最优化和系统控制优化。
我们还要根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统最为经济。
这就是我们要研究的费用模型。
然后费用模型也是有好多种，例如平均服务率取连续值是单窗口的最优μ值、μ取离散值时单服务窗的最优μ值等。
假定μ可以连续变化，但为使系统平稳，要求λμ>，并假定μ和费用之间符合线性关系。
用S 为μ增加1单位是，服务窗的单位时间服务费用；W 为每个顾客在系统中逗留的时间所需要的费用。
于是，排队系统单位时间内总的期望费用可以写为:
L s
w s f +=μμ)( 由于 λμλ-=L s 代入上式得
)(1
)(λμλμμ--+=w s f 为求出)(μf 达到最小的μ值，则
0=μ
d df
即 0)(2=---λμλw s
所以的得最优μ值为
s w λ
λμ+=*
总结：在此系统分析优化后可以发现：在医疗单位服务系统中，针对有限资源，利用排队论，建立合适、合理的模型，重点考虑
病人队列和平均等待时间等主要函数，进行最优评测和分析，最大限度地满足患者的需求，最大限度的利用医院的医疗资源，使患者损失费用和医院服务成本之和达到最小，使得性价比到达最高。
排队的意义就是在此，因生活而存在，为生活而改变。