保持函数凸性的几种变换
最优化方法(凸集与凸函数)
m
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原来凸集的性质告诉我们： 任意的两个点的凸组合都属于 D。 原来凸集的性质告诉我们： 任意的两个点的凸组合都属于 。 现在让我们证明 们证明， 现在让我们证明，任意的 m 个点的凸组合都属于 D。 。 咋办？？ 咋办？？
两个―――多个 两个―――多个 ――― 两个―――三个―――四个―――多个 两个―――三个―――四个―――多个 ―――三个―――四个―――
=
(i = 1 , 2 ,⋯, k ) 的凸组合。 的凸组合。
（2）凸集：设集合 X ⊂ R n ，如果 X 中任意两点的凸组合 ）凸集： 仍然属于 X ，则称 X 为凸集。 2.凸函数 凸函数 2 1 2 n 设 f : X ⊂ R → R ，任取 x , x ∈ X ，如果∀a1 , a2 ≥ 0 , i∑1ai = 1 ， 任取 如果 = 上的（ 有 f (a1 x 1 + a2 x 2 )(< ) ≤ a1 f ( x 1 ) + a2 f ( x 2 ) ，则称 f 为X上的（严格） 则称 上的 严格） 凸函数。 凸函数。
~ x+x 凸集， 由于 D 是凸集，故有 ∈ D ，又因为 γ 是集合 D 到 y 的 2
最短距离，上式应有等号成立，因此，存在实数 最短距离，上式应有等号成立，因此，存在实数 α 距离 应有等号成立 ~ y − x = α(y − x)
12
是凸集， 设 D ⊂ R n 是凸集， y ∈ R n 但是 y ∉ D ，则 的距离最小， （1）存在唯一的点 x ∈ D ，使得集合 D 到点 y 的距离最小，即 x − y = inf { x − y , x ∈ D} （2） x ∈ D 是点 y 到集合 D 的最短距离点的充分必要条件为
凸分析的基本概念
注意在我们的定义中，定义域 C 为凸集是函数 f : C → 现在我们介绍凸函数的几种拓展定义. 函数 f : C →
先决条件. 因此当称某函数为凸函数时， 通常默认其定义域为凸集. 函数 (strictly convex)， 如果其满足式 (1.1) 且不等式处处被严格满足， 即 式 (1.1) 对所有满足 x = y 的向量 x, y ∈ C 及所有 α ∈ (0, 1) 都取不等号. 函数 f : C → 件是 C 为凸集. 一个凸函数的典型例子是仿射函数 (affine function)，这类函数形如 f (x) = a x + b，其中 a ∈
n n
使得(x, w) ∈ epi(f ) ,
(自变量 x 的空间) 上的投影. 如果把 f 的定义
域限制为其有效定义域，函数的上图不变. 类似地，如果扩展 f 的定义域到 并对任意 x ∈ / X 定义函数值为 f (x) = ∞，新函数的上图和有效定义域 亦不变.
图 1.1.4 扩充实值的凸函数和非凸函数， 及其分别的上图和有效定义域.
1.1
凸集与凸函数
本章将介绍凸集合与凸函数相关的基本概念，这些内容将贯穿本书所 有的后续章节. 附录 A 列举了本书将用到的线性代数和实分析的定义、符 号和性质. 首先我们给出凸集合的定义如下 (见图 1.1.1). 定义 1.1.1
n
的子集 C 被称为凸集， 如果其满足 ∀ x, y ∈ C, ∀ α ∈ [0, 1]
n
0, j = 1 , · · · , r },
中的一组向量. 线性代数中介绍的子空间则是多面体
锥的一种特例， 同时多面体锥则是多面体的一种特例.
1.1.1
凸函数
现在我们给出实值凸函数的定义 (见图 1.1.3). 定义 1.1.2 令 C 为
函数的凸性
有关函数的凸性问题柴全水（新绛中学 山西 043100）在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数）一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜）恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。
函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ）有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。
若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。
例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0<x 1 <x 2 <1时，使f ( ) > 恒成立的函数个数是（ ） A 、0 B 、1C 、2D 、3解析：B 做四个函数图象，观察在（0，1）上的凹凸性，最后发现只有y=log 2x 函数满足条件，故选B 。
例2：如图，f i (x) (i = 1, 2, 3, 4 ) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的 x 1和x 2，任意λ∈（0，1），f [λx 1 + (1—λ) x 2]< λf (x 1) + (1—λ)f (x 2 ) 恒成立”的只有（ ）A 、f 1(x)B 、f 2 (x)C 、 f 3 (x)D 、f 4 (x)x ＋λx1＋λ1 2 f (x )＋λf (x )1＋λ1 2 ① ② ③ ④x +x 2f (x )+f (x )21 2 12解析：A 。
凸函数和凸的
凸函数和凸的凸函数和凸集是数学中的两个重要概念，在数学和工程应用中非常常见。
本文将着重介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、凸函数1. 定义对于实数集合X上的函数f，如果对于任意的x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，都有f(αx1+(1−α)x2)≤αf(x1)+(1−α)f(x2)则称f是X上的凸函数。
简单来说，就是图像上任意两点连线在函数图像下方时，该函数为凸函数。
如下图：2. 性质（1）凸函数的一阶导数单调增加。
（2）如果f(x)在[a,b]内是凸函数，则∀x∈(a,b)，有f(x)≤f(a)+f'(a)(x−a)或f(x)≤f(b)+f'(b)(x−b)（即解析式可以被类比为斜率大于等于零的直线），同时也可以得出：f(a)+f(b)2≥f(a+b2)即弦比切的定理。
（3）如果f(x)在[a,b]上是二次凸函数，则额外满足：f(a+x+b−a−2x2b−a)≤f(a)+f(b)2−f'(a)(b−a)4根据其定义可知，凸函数有一个很好的性质，即对于任意一个凸函数f(x)，其局部最小值也是全局最小值。
这个性质在优化问题中非常有用。
3. 应用凸函数在优化问题中很常见，比如线性规划、非线性规划、半正定规划以及凸优化等。
此外，凸函数在机器学习中也有非常广泛的应用，比如核方法、支持向量机等。
二、凸集1. 定义凸集是指对于一个实数集合X，如果对于其中的任意两个点x1,x2∈X及实数α(0≤α≤1)，有αx1+(1−α)x2∈X则称X是凸集。
也就是说，凸集内的任意两点连线上的任意一点也在凸集内。
如下图：2. 性质（1）凸集的交仍为凸集。
（2）凸集的凸组合一定在该凸集内。
（3）凸集的闭包也是凸集。
（4）如果X是凸集，则对于x∈X，X是以x为球心的超球体内的凸集。
3. 应用凸集和凸函数在很多方面都是密切相关的，比如凸优化和半正定规划等都涉及到凸集的概念。
凸集也被广泛应用于统计学和经济学中，例如一些概率模型的凸包上界（convex hull upper bound）和有效边界（efficient set）等等。
函数凹凸性的应用
函数凹凸性的应用什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方.如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？设函数()f x 在区间I上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I∈（12x x <）.曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB的下方,即任意12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程211121()()()()f x f x y x x f x x x -=-+-.对任意12(,)x x x ∈有,整理得21122121()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤+--.令221()x x t x x -=-,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1211x x tx x -=--,上式可写成1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-1.1凸凹函数的定义凸性也是函数变化的重要性质。
通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。
图像向下凸的函数叫做凸函数，图像向上凸的函数叫做凹函数。
设[]()()()()()211212:,,,0,1,11f I R I f ff x x x x x x λλλλλ→∀∈∀∈+-≤+-若不等式成立，（1）则称f为I 上的凸函数。
若()120,1,,x x λ∀∈≠()()()()()121211f ff x x x x λλλλ+-+-不等式 （2）则称f 为I 上的严格凸函数。
6.5函数的凸性与拐点
30 f 对I上的任意两点 x1 , x2 ,有 f ( x2 ) f ( x1 ) f '( x1 )( x2 x1 )
注1 论断 3 的几何意义是:曲线 y f (x) 总是在它的任一切线的 上方(图6-14).这是可导凸函数 的几何特征.对于凹函数,同样有 类似于定理6.14的结论.
h
x2 x1
h
令h 0
, 因为
lim
h0
f
(
x1 )
f h
( x1
h)
f( x1 )
f ( x1),
lim
h0
f ( x2 h) h
f ( x2 )
f( x2 )
f ( x2 ),
所以 f ( x1 )
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
f ( x) f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) 因为 f '( x0 ) 0 ,故对任何 x (a, b)总有 f ( x) f ( x0 )
即 x0 为 f 在(a, b)内的极小值点(而且为最小值点).
例2 若函数 f 为定义在开区间(a, b)内的可导的凸(凹)函数,则
i 1
f
k
i
xi
k
i f ( xi ).
i1
i1
k 1
现设x1 , x2 , , xk , xk1 [a, b]及 i 0(i 1, 2, , k 1), i 1
i 1
令i
i 1 k1
,i
1, 2,
第三节 凸函数
f(x1+ λ (x2-x1))= f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ) (1) 而由于f(x)是D上的凸函数，又有
f(x1+ λ (x2-x1))=f(λ x2+ (1-λ )x1)
≤ λ f(x2) + (1-λ ) f(x1)
(2)
两式联立，有
λ f(x2) + (1-λ ) f(x1) ≥ f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ)
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。
定义2 严格凸函数 f[λx1+(1-λ)x2]＜λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。 注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义。
凸函数的几何性质
对一元函数f(x),在几何上λf(x1)+(1-λ)f(x2) （0≤α≤1)表示连接(x1，f(x1))， (x2，f(x2))的 线段。
• 性质3 设D是内部非空的凸集，f(x)是定义 在D上的凸函数，则f(x)在D的内部连续。
注意：凸函数在定义域的边界有可能不连续。 例如，设f(x)的定义域是区间[1,4] x2,1<x<4
f(x)=
2,x=1 f(x)是区间[1,4]上的凸函数，但显然在边界点x=1处 不连续。
三、凸函数的判定
其中，x=λx1+(1-λ)x2 , 0≤λ≤1
(x2-xf1()x_ )
_
由于D是凸集，故x∈D,由已知条件，当然▽2
f(也x_ )是半正
定矩阵。于是有
函数的凸性与拐点解读
函数的凸性与拐点解读第一篇：函数的凸性与拐点解读九江学院理学院《数学分析》教案§ 5 函数的凸性与拐点一．凸性的定义及判定：1．凸性的定义：由直观引入.强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义1 设函数f(x)在区间I上连续.若对∀x1,x2∈I 和λ∈(0,1)恒有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线 y=f(x)在区间I的凸函数, 反之, 如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称曲线y=f(x)在区间I的凹函数.若在上式中, 当x1≠x2时, 有严格不等号成立, 则称曲线y=f(x)在区间[a,b]上是严格凸(或严格凹)的.引理 y=f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是:对I上任意三点: x1<x2<x3 , 总有f(x2)-f(x1)f(x3)-f(x2)≤x2-x1x3-x2定理6.13 设函数f(x)在区间I 上可导, 则下面条件等价:(i)为I上凸函数(ii)为I上的增函数(iii)对I上的任意两点x1,x2 有f(x2)≥f(x1)+f'(x1)(x2-x1)2．利用二阶导数判断曲线的凸向: Th 6.14 设函数f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数, 则在(a,b)内⑴ f''(x)<0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格上凸;⑵ f''(x)>0, ⇒ f(x)在(a,b)内严格下凸.证法一(用Taylor公式)对∀x1,x2∈(a,b), 设x0=x1+x2, 把f(x)在点 2九江学院理学院《数学分析》教案x0展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有f(x1)=f(x0)+f'(x0)(x1-x0)+f''(ξ1)(x1-x0)2, 2f''(ξ2)(x2-x0)2.2f(x2)=f(x0)+f'(x0)(x2-x0)+其中ξ1 和ξ2在x1 与x2 之间.注意到x1-x0=-(x2-x0), 就有f(x1)+f(x2)=2f(x0)+1f''(ξ1)(x1-x0)2+f''(ξ2)(x2-x0)2, 2[]于是, 若有f''(x)<0, ⇒上式中[Λ]<0, ⇒ f(x1)+f(x2)<2f(x0), 即 f(x)严格上凸.若有f''(x)>0, ⇒上式中[Λ]>0, ⇒f(x1)+f(x2)>2f(x0), 即f(x)严格下凸.证法二(利用Lagrange中值定理.)若f''(x)>0, 则有f'(x)↗↗.不妨设 x1<x2, 并设 x0=x1+x2, 分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用2Lagrange中值定理, 有∃ξ1∈(x1,x0), ∍f(x0)-f(x1)=f'(ξ1)(x0-x1), ∃ξ2∈(x0,x2), ∍f(x2)-f(x0)=f'(ξ2)(x2-x0).有x1<ξ1<x0<ξ2<x2, ⇒f'(ξ1)<f'(ξ2), 又由x0-x1=x2-x0>0，⇒f'(ξ1)(x0-x1)⎛x1+x2⎫⎪，f(x)严格下凸.⎝2⎭九江学院理学院《数学分析》教案3．凸区间的分离: f''(x)的正、负值区间分别对应函数f(x)的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.例1 确定函数f(x)=xe-x的上凸、下凸区间和拐点.解f的定义域为(-∞, +∞)，f'(x)=e-x(1-2x2), f''(x)=2x(2x2-3)e-x.令f''(x)=0, 解得x1=-2223 , x2=0 , x3=23.2在区间(-∞ , -3333),(- , 0),(0 ,),(, +∞)内f''的符号依次为 222233⎛⎛333-2⎫32⎫⎪⎪- , + , - , +，⇒Λ.拐点为: -2 , -2e⎪ ,(0 , 0), 2 , 2e⎪.⎝⎭⎝⎭倘若注意到本题中的f(x)是奇函数, 可使解答更为简捷.Jensen不等式及其应用: Jensen不等式: 设函数f(x)为区间[a,b]上的凸函数, 则对任意 xi∈[a,b], λi>0,i=1,Λ,∑λi=1, 有Jensen 不等式: i=1nf(∑λixi)≤∑λif(xi)，i=1i=1nn且等号当且仅当x1=x2=Λ=xn 时成立.1n证令x0=∑xk, 把f(xk)表为点x0处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿nk=1前述定理的证明，注意∑(xk=1nk-x0)=0, 即得所证.九江学院理学院《数学分析》教案例2 证明: 对∀x,y∈R, 有不等式 ex+y2≤1x(e+ey).2例3 证明均值不等式: 对∀a1,a2,Λ,an∈R+, 有均值不等式a+a2+Λ+an≤na1a2Λan ≤1.111n++Λ+a1a2ann证先证不等式na1a2Λan ≤ a1+a2+Λ+an.n 取f(x)=lnx.f(x)在(0 , +∞)内严格上凸, 由Jensen不等式, 有1n1n⎛1n⎫⎛1n⎫lnn∏xk=∑lnxk=∑f(xk)≤f ∑xk⎪=ln ∑xk⎪.nk=1nk=1 k=1⎝nk=1⎭⎝nk=1⎭由f(x)↗↗ ⇒ na1a2Λan ≤ na1+a2+Λ+an.n对111，Λ,∈R+用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.a1a2an例4 证明: 对∀x1,x2,Λ,xn∈R, 有不等式22x1+x2+Λ+xnx12+x2+Λ+xn ≤.(平方根平均值)nn222例5 设x+y+z=6，证明x+y+z≥12.2解取f(x)=x, 应用Jensen不等式.例6 在⊿ABC中, 求证 sinA+sinB+sinC≤33.2解考虑函数f(x)=sinx, 0≤x≤π.f''=-sinx< 0 , 0<x π.⇒ sinx在区间(0 , π)内凹, 由Jensen不等式, 有九江学院理学院《数学分析》教案sinA+sinB+sinCf(A)+f(B)+f(C)π3⎛A+B+C⎫.∴=≤f ⎪=sin=33332⎝⎭⇒sinA+sinB+sinC≤33.2例7 已知a,b,c∈R+, a+b+c=1.求证 33a+7+33b+7+33c+7≤6.解考虑函数f(x)=3x, f(x)在(0 , +∞)内严格上凸.由Jensen不等式, 有3a+7+33b+7+33c+7f(3a+7)+f(3b+7)+f(3c+7)=≤≤f 3⎛3a+7+3b+7+3c+7⎫⎪=f(a+b+c+7)=f(8)=38=2.⇒3⎝⎭ 33a+7+33b+7+33c+7≤6.例8 已知α>0 , β>0 , α3+β3≤2.求证α+β≤2.(解函数f(x)=x在(0 , +∞)内严格下凸.由Jensen不等式, 有33332(α+β)3⎛α+β⎫⎛α+β⎫f(α)+f(β)α+β≤=1, ⇒==f≤=⎪⎪2282⎝2⎭⎝2⎭(α+β)3≤8 , ⇒α+β≤2.)第二篇：二阶导数与函数凹凸性证明证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f“(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。
凸函数简介——精选推荐
凸函数简介凸函数简介凸函数凸函数是⼀个定义在某个向量空间的凸⼦集C（区间）上的实值函数f，⽽且对于凸⼦集C中任意两个向量x1,x2,f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2。
于是容易得出对于任意(0,1)中有理数p,f(px1+(1-p)x2)≤pf(x1)+(1-p)f(x2)。
如果f连续，那么p可以改成任意(0,1)中实数。
若这⾥凸集C即某个区间I,那么就是：设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为Ｉ上的凸函数。
判定⽅法可利⽤定义法、已知结论法以及函数的⼆阶导数对于实数集上的凸函数，⼀般的判别⽅法是求它的⼆阶导数，如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于等于0，就称为凸函数。
（向下凸）如果其⼆阶导数在区间上恒⼤于0，就称为严格凸函数。
性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
⼀元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。
⼀元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上⽅：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y x)。
特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最⼩值。
⼀元⼆阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的⼆阶导数是⾮负的；这可以⽤来判断某个函数是不是凸函数。
如果它的⼆阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成⽴。
例如，f(x) = x4的⼆阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。
更⼀般地，多元⼆次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的⿊塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极⼩值也是最⼩值。
严格凸函数最多有⼀个最⼩值。
对于凸函数f，⽔平⼦集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。
(整理)经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
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凸函数是一类性质独特的函数.凸函数的性质在不等式证明中有广泛应用,本文在凸函数的前提下,进一步研究了对数凸函数,并给出了它在不等式研究中的应用;给出了几何凸函数的一些性质,建立了关于几何凸函数的琴生型不等式,并给出了其在证明较难不等式中的简便应用,从而克服了构造函数这一难题.
3.1
为应用方便,首先介绍相关概念.
4)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的几何凸函数 (不等号反向称其为几何凹函数) .
引理 11) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的几何平均凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数;
2) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的对数凸函数,当且仅当 是 上的凸函数;
3) 设 是定义在区间 上的正值函数.若 是 上的几何凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数.
在学习数学的过程中,我们常常觉得一些公式、等式的变化很难理解,在解题时,对于一些形式繁杂、怪异的数学表达式往往感到很难下手,于是思想上对数学产生畏惧、厌倦情绪,要消除这些障碍,除了需要掌握好相应的数学知识外,我们还需要掌握必要的数学思维方法或解题方法,变量代换法是众多数学方法中易于掌握而行之效的方法.
关键词：变量代换；函数凸性；几何平均凸函数；对数凸函数；几何凸函数
以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年高考或竞赛中层出不穷,它们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托.这些题目从不同的角度抓住了初、高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐.以函数的凸性为背景的试题更是一大热点,虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但是通过第二课堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究及横向发散都是大有裨益的.
例4分解因式
解设
原式化解为
再代回原式
原式
本例也可设
则原式化为 再化解即可将此因式分解.
例5计算
解设 ,
原式
变量代换法也称换元法,就是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量来代换,而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法.在数学学习的过程中,恰当的应用变量代换的方法,可以化简为易,化简计算.常见代换方法有:比值代换、均值代换、倒代换、算式代换、整体代换、方程代换、三角代换、常数代换等等.本文主要总结了变量代换法在求解函数表达式、极限、积分和微分方程中的应用.
定义11)设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,则称 为 上的凸函数（不等号反向称其为凹函数） ;
2）设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,
则称 为 的几何平均凸函数（不等号反向称其为几何平均凹函数） ;
3)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的对数凸函数 (不等号反向称其为对数凹函数) ;
3.3
定理2若 >0 ,且 ,则 .进一步,等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 , ,
由对数凸函数的Jensen不等式可得 ,
两边 次方即得 .
推论4若 均大于1,且 ,则 ,
等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 < <1 ,且 ,
代入重新整理可得,原不等式等价于 .
再由 ,
只须证 ,此即定理2.
推论 5若 < < ,则 < <
例1设对任一非零实数 总有 ,求 .
分析解这种问题时,需找出这样的换元:在将 便成为 的同时将 变成 ,这样的换元显然就是 .
解令 ,
则有
即 ,
与原方程联立,解得 ,
即 .
2.2
求解函数极限的方法很多,而最常用的方法就是罗比达法则,它主要用于求解 和 型未定式,还有延伸的类型 , 以及一些幂指数形式的极限.但并不是所有这样的类型都可以或者可以直接运用此法则.对于一些特殊的情况,可以通过变量代换将其转化成可以运用罗比达法则求解的形式.常见的有两种.
例5求不定积分
解令
则 ,
代入得
2.4
微分方程是一类重要的数学模型,其中一阶微分方程是最简单的也是最重要的,因此我们要掌握其求解方法.有的一阶方程（如齐次方程、伯努利方程）不能直接求解,通过变量代换便可转化成可分离变量方程或者一阶线性方程,下面举例说明.
例6求微分方程 的通解.
分析本题既是一阶齐次方程,又是伯努利方程,两种解法都要换元.
1.2
根据无理方程特征,引入新的变量,有时便可使解题十分简单.
例3解方程
解两根式内有两项相同,
可设 , ,
即
解之得
（或 ）
解得
经检验均是原方程的根.
无理方程类型较多,只要善于分析方程中各种情况,适当引入变量,往往能找到解题的捷径.
1.3
对于项数较多的多项式进行因式分解时,利用变量代换常常可以化成二次三项式型再分解.
方法一作为齐次方程,
令 ,
即 ,
则有
代入原方程得 ,
即
分离变量, 时积分得 ,
以 代回,
得 ,
另有特解 未包含于通解中.
方法二作为伯努利方程,
令 ,
原方程可化为线性方程 ,
化成恰当方程 ,
积分得
以 代回
得 ,
另有一个特解
综上所述,运用变量代换法可以将复杂的问题化成我们熟悉的简单问题,事实上,很多数学问题都可以用变量代换方法解决,如多元函数微分,幂级数展开等.而同一个问题的解法可能有多种,我们在解决问题时要选择最恰当的方法.这需要我们在平时的学习过程中不断总结,不断提高.
2.3
变量代换法在这部分的应用称为换元法,主要分为第一换元法（凑微分法）和第二换元法.求不定积分和定积分的换元法基本相同,不同的是求定积分时,换元换限.常用的方法是倒代换,指数代换.
2.3.1 倒代换
积分表达式分母中两个自变量的幂之差大于1时,可以运用倒代换.
例4求不定积分
解令 ,
则
2.3.2指数代换
［5］吴善和.对数凸函数与琴生型不等式[J].高等数学研究.2004(5):61-64
［6］吴善和.几何凸函数与琴生不等式[J].高等数学研究.2004(2):155-163
［7］李世杰.几何凸函数的若干性质[J].湖北中学数学.1999(5):28-30
［8］裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].高等教育出版社.1988
变量代换法本身并不复杂,但是它的应用时广泛而多变的.变量代换法在高等数学中不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法,掌握这种方法以便学生在学习高等数学时能充分掌握并且能够熟练、灵活地运用“变量代换法”,从而提高学生的解题能力.
在泛函分析和应用数学及其相关领域中,对函数的凸性的研究一直是一个倍受关注和吸引人的重要领域.数学分析中对函数凸性的刻画还需进一步的细化.本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合方式引申出几何平均凸函数对数凸函数与几何凸函数等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引申出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.当然变量代换和函数凸性的推广还有很多内容值得我们做进一步的探讨与研究.
［1］龚成通.李红英.王刚.高等数学例题与习题[M].
［2］匡继昌.常用不等式[M].济南.山东科学技术出版社.2004:348-356
［3］夏红卫.凸函数与不等式[J].常州工学院学报.2005(2):4-6
［4］岳嵘.几何平均凸(凹)函数及其性质[J].高等数学研究.2009(3):18-19
3.2
定理 1
1) 若 ,且 ,
则 ;
2) 若 ,且 ,
则 ;
3) 若 ,且 ,
则 ;
,当且仅当所有自变量取值相等时等号成立.
证明设 ,
则 ,
由凸函数的Jensen不等式及函数的单调性可知,l)成立,且2)与3) 的第一个不等式也成立;
又设 ,
则 ,
则由几何平均凸函数的Jensen不等式 及函数的单调性可知,2)与3)的第二个不等式及4)成立.
推论 l若 ,则 . (第39届国际数学奥林匹克竞赛预选题)
证明在定理1中取 即得.
推论 2若 ,则 . (2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
证明定理 1中取 , 即得.(2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
推论 3若 ,
则 (温州大学学报.自然科学版(2010)第31卷第3期)
证明 在定理1中取 即得
［9］甘志国.初等数学研究.哈尔滨[M].哈尔滨工业大学出版社.2008
例2求极限
分析这是 型未定式,但直接运用罗比达法则求解后幂函数次数越来越高,所以必须找一个新的变量将幂次降低,于是可以令 .
解令
则
本题是运用变量代换将 型未定式转化成 型,然后通过多次运用罗比达法则,从而求得极限.
例3求极限
分析这是 型未定式,解题思路是先将 转化为 .
解令 ,
则
像例3这样的问题很多,都可以用同样的方法求解.
解设
则原方程组化为
这是一个二元一次方程组,易求得
由 ,得 ,即
,得 ,即
经检验原方程组的解是
例2解方程
分析若去分母,将得一个关于 的四次方程,不易求解,仔细观察,
方程中 与 互为倒数,
因此可设 ,
原方程化为
解之,得 ,
即 , （此方程无解,应舍去）
解之 ,
经检验, ,是原方程的根.
以上通过变量代换,把分式方程转化为整式方程,或更简单的分式方程,便于求解.
证明不难用平均值不等式推证左边的不等式,这里仅证明右边的不等式.
易见原不等式(右边)等价于 > ,
在定理2中取 , 即得.
3.4
定理3
1) 若 >0 ( =1,2, ), 为非零常数,