函数的凸性
函数凹凸的定义
02 函数凹凸的几何意义
凹函数的几何意义
凹函数图像呈下凹状，即对于函数图 像上的任意两点A和B，如果A、B两 点连线的中点始终位于A、B连线的下 方，则该函数为凹函数。
在几何意义上，凹函数具有一个明显 的特征，即函数图像上任意两点的连 线的斜率始终小于或等于该点处的函 数导数。
凸函数的几何意义
通过分析函数的凹凸性，我们可以确定函数的拐点，从而更好地理解函数 的性质，为求解最优化问题提供指导。
在求解无约束最优化问题时，可以利用函数凹凸性选择合适的算法，如梯 度下降法、牛顿法等，以提高求解效率。
在经济学中的应用
函数凹凸性在经济学中也有 广泛应用，它可以帮助我们 理解经济现象和预测经济行
为。
函数凹凸的定义
目录
• 函数凹凸的基本概念 • 函数凹凸的几何意义 • 函数凹凸的判定方法 • 函数凹凸的应用 • 函数凹凸的反例 • 函数凹凸的扩展知识
01 函数凹凸的基本概念
凹函数
01
凹函数是指函数图形在任意两点 之间总是位于这两点连线的下方， 即对于定义域内的任意x1和x2， 都有 f((x1+x2)/2)≥f(x1)+f(x2)/2。
03
在计算机科学中，函数凹凸性可以帮助我们设计更有效的算法和数据 结构，如动态规划、图算法等。
04
在生物学中，函数凹凸性可以帮助我们理解生物系统的复杂性和行为， 如生态学、生物化学反应等。
05 函数凹凸的反例
凹函数的反例
总结词
凹函数的反例是指函数图像呈现下凹形状的反例。
详细描述
凹函数的反例通常是指那些在一定区间内，函数值随着自变量的增加而减少的函数。例如，二次函数 $f(x) = x^2$在区间$(-infty, 0)$内是一个凹函数的反例，因为在这个区间内，函数值随着$x$的增加 而减少。
求导与函数的凹凸性
求导与函数的凹凸性在微积分中，求导是一个重要的概念，它能够帮助我们研究函数的性质和特点。
而函数的凹凸性则是求导的一个应用，通过求导我们可以判断一个函数在某一区间内是凹函数还是凸函数，进而对函数的性质有更深入的认识。
一、求导的基本概念求导是微积分的基础概念之一，它表示函数在某一点的变化率。
一个函数在某一点处的导数，可以理解为该函数在该点处的斜率。
求导的基本公式是：\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]二、凹凸函数的定义凹凸函数是指函数在其定义域上的曲线形状，具有凹形或凸形的特点。
凹函数指曲线上的任意两点的割线位于曲线的下方或与曲线重合，而凸函数则相反。
凹函数的导数递增，凸函数的导数递减。
在求导的过程中，我们可以通过函数的一、二阶导数来判断函数的凹凸性。
三、求导与凹凸性的关系对于一个函数而言，通过求导可以得到其一阶导数和二阶导数。
一阶导数可以帮助我们判断函数的递增区间和递减区间，而二阶导数则能够帮助我们判断函数的凹凸性。
1. 一阶导数与凹凸性的关系对于一个函数而言，如果在某一区间内它的一阶导数恒大于0，则该函数在该区间内是递增的；如果一阶导数恒小于0，则函数在该区间内是递减的。
当一阶导数从正值逐渐减小到负值时，函数的凹凸性发生改变。
当一阶导数从正值变为负值时，函数的凹凸性由凸转为凹；当一阶导数从负值变为正值时，函数的凹凸性由凹转为凸。
2. 二阶导数与凹凸性的关系对于一个函数而言，如果在某一区间内它的二阶导数恒大于0，则该函数在该区间内是凹的；如果二阶导数恒小于0，则函数在该区间内是凸的。
当二阶导数从正值逐渐减小到负值时，函数的凹凸性发生改变。
当二阶导数从正值变为负值时，函数的凹凸性由凹转为凸；当二阶导数从负值变为正值时，函数的凹凸性由凸转为凹。
综上所述，通过求导我们可以得到函数的一阶导数和二阶导数，进而判断函数的递增区间、递减区间以及凹凸性的改变。
函数的凹凸性ppt课件
一、曲线的凹凸性与拐点
1
一、曲线的凹凸性与拐点
如图，观察抛物线 y x2 , y x ，它们
在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向
不一样。
y
这说明，在研究函数的图形时，
仅知道他们的单调性是不够的， 1
还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。
o1
x
2
二、凹凸与拐点的定义 y
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
y log2 x 在 0 x 1内为凸函数。所以答案为 B。
点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论.
8
典例 2.（05 北京理工科 13）．对于函数 f (x) 定义域中
任意的 x1 , x2 (x1 x2 ) ，有如下结论：
① f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。
【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基
本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中。经常与高中所学的函数、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。
y (1)x a
• (0,1)
y ax (a 1)
16
函数的凹凸性
yloagxa
3、幂函数
yx y
y x2
1
(是常)数
yx y x
(1,1)
o1
x
y 1 x
6、双曲函数
由 ex, ex 构成.
ycosxh
双曲 si正 n xh ex 弦 ex
2 y 1ex
D:(, ), 奇函数.
（2） 如果x 0,1 时 f (x) 1，试求实数a的范围。
解析：（1）对任意的
x, 1
x 2
R,
a
0
，
f (x ) 1
f (x ) 2
2
f
(
x 1
x 2
)
＝
2
ax2 1
x 1
ax2 2
x 2
2a(
x 1
2
x 2
)2
x 1
2
x 2
A
o
x
问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?
y
yf(x)
y yf(x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的下方。
o x1
x2 x
图形上任意弧段（的中点）
位于所张弦的上方。
二、曲线的凹凸性与拐点
y
C
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
B
y
yf(x) f(x1) f(x2)
2
解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
函数的凹凸性,极值
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
4
四、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(
x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)
2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1) 2
f
(x2 )
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2)
7
例2 判别曲线 y 1 的凹凸性. x
解 函数的定义域为 ( , 0) U (0, ) .
故 f (t) et 所对应的曲线在 ( , ) 内是凹的 . x, y ( , ) , 由曲线凹性的定义, 有
1
(e x
e
y
)
e
x y 2
,
(x y) .
2
9
y
y x3
O
在 (, 0)上 , y x3是凸的,
此时 y 0 .
在 (0, )上 ,
x
y x3 是凹的,
此时 y 0 .
f ( x) 0 ( x x0 )
14
函数的凹凸性与拐点
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
《函数凹凸性》课件
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这 表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这 表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$， 则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹 函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在 边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数 凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二 阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为 凸函数。这种方法适用于一阶导数容 易计算或形式较为简单的函数。
函数凹凸性
2) 根据拐点的定义, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但 f (x) 在 x0 两侧异号, 则点(x0 , f (x0 )) 是曲线
的一个拐点.
求拐点的步骤见教材P162.
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例4. 求曲线
的上（下）凸区间及拐点.
解: 1) 求 y
y 12x3 12x2,
36x(x 32)
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(2) 若恒有
则称
图形是上凸的; 或称f (x)为I上的上凸函数。
弦在弧的下方；切线在曲线的上方。
下凸也称为凸，上凸也称为凹。 y
o
x1 x1 x2 x2 x
2
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等价定义：
定义1´：设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有
则称
f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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作业
P168 1（3，6）；2 ; 3； 5（1，3） 6（3，4）；7（2）
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例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2
2
x x 1
证明：
令
函数的凸凹性及其应用
函数的凸凹性及其应用定义:函数的凸凹性 定义：如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≤+成立，则称)(x f 是下凸（凸）函数(如图1所示)，当且仅当21x x =时等号成立．如果函数()f x 对其定义域中任意的1x ,2x 都有[])()(21)2(2121x f x f x x f +≥+成立，则称)(x f 是上凸（凹）函数(如图2所示)，当且仅当21x x =时等号成立．定理1 （Jensen 不等式）若函数()f x 在区间I 是上凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≥+++ ;若函数()f x 在区间I 是下凸函数，则有不等式：)()()()(22112211n n n n x f q x f q x f q x q x q x q f +++≤+++ ,其中n i q I x i i,,2,1,0, =>∈；121=+++n q q q ．定理2 若)(x f 是下凸函数，则其对应定义域中的任意n 个点n x x x ,,21恒有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++ ;类似地，对于上凸函数有：[])()()(1)(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≥+++ ,当且仅当n x x x === 21时等号成立．定理3：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数; (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x且为下凸函数．（3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数.（4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．T1 设()y f x =是(),a b 上的严格凸函数，则对于(),a b 内的任意n 个点12,,,n x x x ，都有()()()()12121n n x x x f f x f x f x n n+++⎛⎫≤+++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当12n x x x === 时等号成立。
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有关函数的凸性问题
柴全水
（新绛中学 山西 043100）
在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数）
一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题
①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数
y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜）
恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。
函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式
设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ）
有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。
若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。
例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0<x 1 <x 2 <1时，使f ( ) > 恒成立的函数个数是（ ） A 、0 B 、1
C 、2
D 、3
解析：B 做四个函数图象，观察在（0，1）上的凹凸性，最后发现只有y=log 2x 函数满足条件，故选B 。
例2：如图，f i (x) (i = 1, 2, 3, 4 ) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的 x 1和x 2，任意λ∈（0，1），f [λx 1 + (1—λ) x 2]< λf (x 1) + (1—λ)f (x 2 ) 恒成立”的只有（ ）
A 、f 1(x)
B 、f 2 (x)
C 、 f 3 (x)
D 、f 4 (x)
x ＋λx
1＋λ
1 2 f (x )＋λf (x )1＋λ
1 2 ① ② ③ ④
x +x 2f (x )+
f (x )21 2 1
2
解析：A 。
由题意可知函数应该是下凸曲线，故选A 。
例3：（2005年高考全国卷I 试题）
（1）设函数f(x) = xlog 2x + (1—x) log 2 (1—x ) (0 < x < 1) ，求f(x)的最小值；
（2）设正数p 1，p 2，p 3，…，p 2 满足p 1 +p 2 +p 3+…+p 2 = 1，证明p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+ p 2 log 2p 2 ≥—n 。
解：（1）构造函数g (x) =x log 2x ，x ∈(0，1)，g '' (x) = >0，由Jensen 不等式得g( )≤ [ g(x) + g(1—x)] ，
g(x) +g(1—x ) ≥2g ( )=—1，即x log 2x + (1—x) log 2 (1—x)≥—1， 所以当x = 时，f(x)取得最小值—1。
（2）直接利用Jensen 不等式可知
即：p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+p 2 log 2p 2 ≥—n 。
三．利用导数来判断函数的上凸、下凸
若f '(x)为减函数，则原函数为上凸曲线。
若［f '(x)］'存在，即f ''(x)＜0.上凸。
同理f '(x)为增函数，则下凸。
若f ''(x)＞0.则下凸。
下面举例说明函数凸性在函数作图中的应用： 例如：作y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ＞0）的图像
∵y ' ＝3ax 2＋2bx ＋c 为二次函数，导函数有3种情况：①在x 轴上方，②与x 轴1个交点，③与x 轴
有两个交点。
①对应的原函数:x ∈R f '(x)＞0 原函数为增函数，但在（－∞，－ ）上f ' (x)为减函数，故原函数在（—∞，— ）为上凸增，在（－ ，＋∞ ） f ' (x)为增函数，则原函数在（－ ， ＋∞ ）为下凸增。
b
3a b 3a
n n n 1
xln 2x +1—x 2
12
12
1
2
n
n
b 3a
—
b
3a
— x
x 1 2 ① ② ③
b 3a
b 3a
n b
3a
—
图象为①，同理②③对应图分别（大致）为②③。
知道了三次函数的图象，那么依次类推，四次函数、五次…不难做出大致图象的。
练习：f '(x)是f(x)的导函数，f ' (x) 的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是下图中的（ ）
b 3a
—
b 3a
—
b 3a
— x 1
x 2
① ②
③。