实验 杨氏模量的测定(梁弯曲法)
实验杨氏模量的测定（梁弯曲法）
实验 杨氏模量的测定(梁弯曲法)【实验目的】用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。
【仪器用具】攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。
【实验原理】将厚为a 、宽为b 的金属棒放在相距为l 的二刀刃上（图1），在棒上二刀刃的中点处挂上质量为m 的砝码，棒被压弯，设挂砝码处下降λ，称此λ为弛垂度，这时棒材的杨氏模量λb a mgl E 334= . （1） 下面推导上式。
图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。
在相距dx 的21O O 二点上的横断面，在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度ϕd 。
显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。
计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了ϕyd ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有dxyd E dS dF ϕ=. 式中dS 表示形变层的横截面积，即bdy dS =。
于是y d y dxd EbdF ϕ=. 此力对中间层的转矩为dM ，即 dy y dx d EbdM 2ϕ=. 而整个横断面的转矩M 应是dxd b Ea dy y dx d Eb M a ϕϕ32021212==⎰ . （2） 如果将棒的中点C 固定,在中点两侧各为2l 处分别施以向上的力mg 21(图3)，则棒的弯曲情况当和图1所示的完全相同。
棒上距中点C 为x 、长为dx 的一段，由于弯曲产生的下降λd 等于ϕλd x l d )2(-= （3） 当棒平衡时，由外力mg 21对该处产生的力距)2(21x l mg -应当等于由式（2）求出的转距M ，即 dxd b Ea x l mg ϕ3121)2(21=-. 由此式求出ϕd 代入式(3)中并积分,可求出弛垂度bEa mgl dx x l b Ea mg 33210234)2(6=-=⎰λ, (4) 即 λb a m g l E 334=. (1)【仪器介绍】攸英装置如图4所示，在二支架上设置互相平的钢制刀刃，其上放置待测棒和辅助棒。
弯曲模量 杨氏模量 值
弯曲模量杨氏模量值在材料力学中，弯曲模量和杨氏模量是描述材料在受力时变形特性的两个重要参数。
它们分别反映了材料在弯曲和拉伸过程中的刚度，是工程设计和材料选择中不可或缺的参考指标。
一、弯曲模量概述弯曲模量，又称挠曲模量，是指材料在受力弯曲时，应力与应变之间的比例系数。
它反映了材料抵抗弯曲变形的能力，是评价材料弯曲刚度的重要指标。
在工程应用中，弯曲模量常用于计算梁、板等结构的弯曲变形和应力分布。
弯曲模量的测量通常采用三点弯曲试验或四点弯曲试验。
在这些试验中，试样被放置在两个支点之间，并在试样中央施加集中载荷。
通过测量试样在载荷作用下的挠度（变形量），结合试样的几何尺寸和载荷大小，可以计算出材料的弯曲模量。
二、杨氏模量概述杨氏模量，又称拉伸模量或弹性模量，是指材料在受拉伸力时，应力与应变之间的比例系数。
它反映了材料抵抗拉伸变形的能力，是评价材料拉伸刚度的重要指标。
在工程应用中，杨氏模量广泛用于计算杆、轴等结构的拉伸变形和应力分布。
杨氏模量的测量通常采用拉伸试验。
在拉伸试验中，试样被夹持在试验机的夹具之间，并施加逐渐增大的拉伸力。
通过测量试样在拉伸过程中的伸长量（变形量），结合试样的原始尺寸和拉伸力大小，可以计算出材料的杨氏模量。
三、弯曲模量与杨氏模量的区别与联系虽然弯曲模量和杨氏模量都是描述材料变形特性的参数，但它们在物理意义、测量方法以及工程应用等方面存在显著差异。
1. 物理意义不同：弯曲模量描述的是材料在弯曲过程中的刚度，而杨氏模量描述的是材料在拉伸过程中的刚度。
这意味着两者分别反映了材料在不同受力状态下的变形行为。
2. 测量方法不同：弯曲模量通常通过三点弯曲试验或四点弯曲试验来测量，而杨氏模量则通过拉伸试验来测量。
这两种试验方法在试样的准备、加载方式以及变形量的测量等方面都有所不同。
3. 工程应用不同：由于弯曲模量和杨氏模量分别反映了材料在弯曲和拉伸过程中的变形特性，因此它们在工程应用中的侧重点也有所不同。
杨氏模量
杨氏模量的测量实验目的与要求1. 掌握伸长法和弯曲法测杨氏模量的原理和实验方法；2. 掌握卷尺、千分尺、游标卡尺和读数显微镜等长度测量仪器的使用方法；3. 掌握不确定度的计算。
4. 掌握数据处理方法及实验误差分析。
实验原理根据虎克定律，固体材料的伸缩形变正比于拉压外力的大小，其比例系数即为材料的杨氏模量。
测出材料在不同拉压外力作用下的伸缩形变，即可求出其杨氏模量。
杨氏模量杨氏模量是弹性模量的一种，若长为l ，截面积为S 的均匀金属丝或棒，在其长度方向上受到的作用力F 而伸长l ∆，那么根据虎克定路：在弹性限度内，协强F/S 与协变l l /∆成正比，即：ll E S F ∆⋅= 其中的比例系数E 即为该金属材料的杨氏模量，那么，lS FlE ∆=因为F ，S ，以及l 都是比较容易测量的量。
由于金属的杨氏模量一般都比较大，所以引起的长度变化比较微小，很难用普通的测量长度的仪器测准。
在验中测量钢丝的杨氏模量，其截面为圆形，其直径为时，相应的截面积2DS π=，作用力F=mg 金属丝的产生的微小伸长量为l ∆，无法用一般的长度测量仪器测量，因此实验中用光杠杆法进行测量，测量公式：h Bbl ∆=∆2 于是可得实验中的杨氏模量测量公式：hb D Blmg E ∆=28πh ∆为望远镜中观察到的刻度的变化。
不确定度公式由计算公式hb D BlmgE ∆=28π，两边取微分，然后将微分换成不确定度，求平方和的平方根，得到杨氏模量的不确定公式d222222)()2()()()()()1121111(h u D ub u B u l u m u E u h d h dD D db b dB B dl l dm m E dE h D b B l m E ∆+++++=⇒∆∆+++++⋅=∆实验装置各测量仪器的不确定度限值： 千分尺 a = 0.004mm 卷尺 a = 1mm读数显微镜 a = 0.02mmFD-HY-MT 型霍尔位置传感器杨氏模量实验仪——复旦天欣仪器厂 千分尺（0–25mm ）——上海量具刀具厂 游标卡尺 （0–150mm ）—上海量具刀具厂 不锈钢直尺 （0–300mm ）—上海量具刀具厂 黄铜片和人造骨（PEEK ）–复旦天欣仪器厂 照明灯实验内容一、伸长法测量杨氏模量1. 仪器的调节。
实验报告模板杨氏模量的测量
i m/×10-3 kg Zi/×10-3 m Ui/×10-3 v
0 0.00
1 10
2 20
3 30.
4 40
5 50
6 60
7 70
2.铁板的实验记录 铁板的弯曲记录
i 0 1 2 3 4 5
平均值
M/×10-3kg Z/×10-3m Z2/×10-6 U/×10-3v ZU/×10-6 U2/×10-6 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 100.00 Z= Z2= U= ZU= -U2=
警示：严禁抄袭，雷同卷均判零分。
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【实验题目】杨氏模量的测量实验
班级
姓名
学号
【实验数据处理】
【思考题】
【实验小结】
警示：严禁抄袭，雷同卷均判零分。
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2. 3.
【预习要点】 1. 阅读教材《杨氏模量测量实验》中微弯法的相关内容。 2. 阅读教材《数据处理》中最小二乘法的内容理解并掌握其计算方法。 3. 阅读教材《自修性实验》中钢尺、游标卡尺、螺旋测微仪的使用方法。 【实验目的】 1. 熟知霍尔位置传感器的特性，并会用已测量的数据给传感器定标。 2. 学会使用读数显微镜。 3. 掌握用霍尔位置传感器法（微弯法）测位移测量材料的杨氏模量。 【实验原理】 1. 霍尔传感器电势差与位置的对应关系。
课程网站地址: /dxwl.html
大 学 物 理 实 验 报 告
班 月 姓名 学号 座位号
【实验题目】杨氏模量测量实验 教师姓名
上课日期 2013 年
日 教室 7 教 B 段 604 房间
（以上信息请根据网络选课页面填写完整。 ）
任课教师签字：
最终成绩：
杨氏模量的测定
①利用底脚螺丝将仪器调至水平，使小圆柱 不能触碰钳形平台 ，旋转钳形平台 上的螺丝，使其轻松旋入刻槽中。
②调节读数显微镜目镜，使眼睛观察到清晰十字准线后，将物镜对准小圆柱中部，调节显微镜距离小圆柱距离，直到看清小圆柱上刻线的像，并调节消除误差。
（2）金属丝伸长的测量
①先放上一个砝码直接用肉眼观察示数，再放上全部砝码观察示数，调节显微镜高度，使实验过程中读数全部处于显微镜图象中，保留一个砝码，将显微镜目镜对准CCD系统信号输入端。
本实验我们分别采用拉伸法与弯曲法测量样品的杨氏模量，并采用逐差法与线性拟合两种方法。
二、实验原理
1、拉伸法测量杨氏模量
当一根横截面积为 的金属丝沿其径向受 的力时，我们定义其应力为
，若金属丝原长为 ，因为受力发的形变为 ，我们定义其应变为
，则根据杨氏模量的定义 ，在实验中我们用砝码的重力充当 ，并测出金属丝的直径 ，则杨氏模量可以表示为
= ，所以应变 。
根据虎克定律有： ,又因为 ，所以
，对中性面的扭矩为
；
积分后得到
对梁上个点，又有 ，当梁的弯曲较小时， ，得
，梁平衡时，在x处的转矩应与梁右端支撑力 对x处的力矩平衡，有 ，从而得到 ，根据边界条件 ，解得微分方程 ，代入 ，得到：
③
三、实验器材与实验步骤
实验器材
实验步骤：
1、伸长法测量杨氏模量
2、弯曲法测量杨氏模量
①用直尺测出横梁上两个刀口间距离。
②用千分尺在尺上从右至左基本等距离地选取五个点测量金属梁的厚度。
③用游标卡尺在尺上从右至左基本等距离地选取五处测量金属梁的宽度。
④将金属梁对称置于两刀口上，将铜件放到两刀口的中间位置。
⑤调节读数显微镜目镜使看到清楚的十字准线，再调节物镜，使小圆柱上的刻线清晰成像并没有视差。
杨氏模量的测量
杨氏模量的测量大学物理实验论文摘要：物体受外力作用时要发生形变，只要外力不超过一定限度，则作用力和相应形变之间将遵循胡克定律。
根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量。
杨氏模量测试方法一般有静态法和动态法，静态法包括拉伸法、扭转法和弯曲法，动态法包括弯曲共振法、横向共振法、扭转共振法。
关键词：杨氏模量拉伸法弯曲共振法Measurement of Young's modulusAbstract: The object to be deformed by external force, as long as the external force does not exceed a certain limit, then force of action and corresponding deformation will follow the Hooke's law . According to Hooke's law, the object within the elastic limit stress and strain is proportional to the ratio of the Young's modulus of the material is known, it is a physical characterization of material properties. Young's modulus testing methods are generally static and dynamic method, static method including stretching, twisting and bending method, dynamic method includes bending resonance method, the transverse resonance method, torsional resonance method.Keywords: Young's modulus, stretching method, bending resonance method引言：杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。
弯梁法测量杨氏模量
3.5弯梁法测量杨氏模量实验目的1．学习用弯曲法测量金属的杨氏模量。
2．了解和使用霍尔位置传感器。
3．学习微位移的测量方法。
仪器用具霍尔位置传感器杨氏模量装置（包括读数显微镜、95A 型集成霍尔传感器等），霍尔位置传感器输出信号测量仪（数字电压表）。
实验原理在弹性限度内，物体在长度方向单位横截面积所受的力/F S 称为应力，物体在长度方向产生的相对形变/L L ∆称为应变，由胡克定律可知，这二者是成正比的，即F LES L ∆= （3.5-1） 其比例系数E 称做杨氏弹性模量，即//F SE L L=∆ （3.5-2） 杨氏模量是描述固体材料在线度方向受力后，抵抗形变的能力的重要物理量。
它与材料的物质结构、化学结构及其加工制作方法等自身性质有关，与材料的几何形状和所受外力的大小无关，是工程设计中机械构件选材的重要参数和依据。
测量杨氏模量的常用方法有拉伸法、弯曲法和振动法等。
本实验采用弯曲法测量金属的杨氏模量，运用霍尔位置传感器法测量微位移。
一．用弯曲法测量金属的杨氏模量。
将厚为a 、宽为b 的金属板放在相距为d 的二刀口上（图3.5-1），在金属板上二刀口的中点处挂上质量为m 的砝码，板被压弯，设挂砝码处下降Z ∆，这时板材的杨氏模量334d mgE a b Z =∆ （3.5-3） 下面推导式(3.5-3)。
图3.5-2为沿金属板方向的纵断面的一部分。
在相距dx 的O 1O 2二点上的横断面，在金属板弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角d ϕ。
显然，在金属板弯曲后，其下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在金属板的中间的一薄层虽弯曲但长度不变，称为中间层。
计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了yd ϕ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有dF yd EdS dxϕ= 式中，dS 表示形变层的横截面积，即dS bdy =，于是d dF Eb ydy dx ϕ=此力对中间层的转矩为dM ，即2d dM Eby dy dxϕ= 而整个横断面的转矩M 应是22301212a d d M Eb y dy Ea b dx dxϕϕ==⎰ （3.5-4）层图3.5-1 图3.5-2如果将金属板的中点C 固定，在中点两侧各为2d 处分别施以向上的力12mg （图3.5-3），则金属板的弯曲情况应当和图3.5-1所示的完全相同。
大学物理实验教案(霍耳位置传感器法测杨氏弹性模量)
即
C为比例系数。
因而
在电流不变情况下，
(2)
式中
图1
图2
即传感器输出信号电压只与Y方向位移有关。
当铜刀口下面挂上砝码m时，横梁中心下降了Z，使得铜杠杆顶端霍尔传感器上升一距离Y1，根据杠杆原理Z与Y1关系为
3、学习用逐差法处理实验数据；
实验内容
提要
1、正确安装实验装置；
2、调试好读数显微镜；
3、记录在不同负载下铜尺的下垂量；
4、测量铜尺厚度和宽度；
5、计算杨氏模量和百分偏差。
测量与数据处理要求
1、正确测量并记录铜尺厚度和宽度；
2、下垂量各组数据的均匀度；
3、杨氏模量计算结果的有效数字和数量级、单位；
4、正确表示测量结果的百分偏差。
二、报告的评分标准（满分100）
铜尺厚度a，宽度b的测量数据：各10分；共20分。
表格数据（有效数字、分布）25分；
Z和V的平均值、比例系数各10分，其中：有效数字、单位各5分；共30分。
杨氏模量15分，其中：有效数字、单位、数量级各5分。
百分偏差10分
（1）
式中L为二刀口之间的距离，a、b分别为金属薄板的厚度和宽度。
根据(1)式，测出等号右边各量，就可以求得杨氏模量E。式中a、b、L、m这四个量用一般方法容易测得。Z是一个微小变化量，本实验用读数显微镜和霍尔位置传感器来测量。
2.霍尔位置传感器测微小位移原理
本实验使用的95A型霍尔集成传感器，其输出信号电压V为
思考题
1、为什么要用逐差法处理数据？有何优点？
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实验 杨氏模量的测定(梁弯曲法)
【实验目的】
用梁的弯曲法测定金属的杨氏模量。
【仪器用具】
攸英装置，光杠杆，望远镜及直尺，螺旋测微计，游标卡尺，米尺，千分表。
【实验原理】
将厚为a 、宽为b 的金属棒放在相距为l 的二刀刃
上（图1），在棒上二刀刃的中点处挂上质量为m 的砝码，
棒被压弯，设挂砝码处下降λ，称此λ为弛垂度，这时
棒材的杨氏模量 λb a mgl E 334= . （1） 下面推导上式。
图（2）为沿棒方向的纵断面的一部分。
在相距dx 的21O O 二点上的横断面，在棒弯曲前互相平行，弯曲后则成一小角度ϕd 。
显然在棒弯曲后，棒的下半部呈现拉伸状态，上半部为压缩状态，而在棒的中间有一薄层虽然弯曲但长度不变，称为中间层。
计算与中间层相距为y 、厚dy 、形变前长为dx 的一段，弯曲后伸长了ϕyd ，它受到的拉力为dF ，根据胡克定律有
dx
yd E dS dF ϕ=. 式中dS 表示形变层的横截面积，即bdy dS =。
于是
ydy dx d Eb dF ϕ=. 此力对中间层的转矩为dM ，即 dy y dx d Eb dM 2ϕ=. 而整个横断面的转矩M 应是
dx
d b Ea dy y dx d Eb M a ϕϕ320
21212==⎰ . （2） 如果将棒的中点C 固定,在中点两侧各为2l 处分别施以向上的力mg 21(图3)，则棒的弯曲情况当和图1所示的完全相同。
棒上距中点C 为x 、长为dx 的一段，由于弯曲产生的下降λd 等于
ϕλd x l d )2
(-= （3） 当棒平衡时，由外力mg 21对该处产生的力距)2
(21x l mg -应当等于由式（2）求出的转距M ，即 dx
d b Ea x l mg ϕ3121)2(21=-. 由此式求出ϕd 代入式(3)中并积分,可求出弛垂度
b
Ea mgl dx x l b Ea mg 3321
0234)2(6=-=⎰λ, (4) 即 λ
b a mgl E 33
4=. (1)
【仪器介绍】
攸英装置如图4所示，在二支架上设置互相平的钢制刀刃，其上放置待测棒和辅助棒。
在待测棒上二刀刃间的中点处，挂上有刀刃的挂钩和砝码托盘，往托盘上加砝码时待测棒将被压弯，通过在待测棒和辅助棒上放置的千分表测量出棒弯曲的情况，从而求出棒材的杨氏模量。
【实验内容与要求】
1． 按图4安置好仪器，用千分表直接测出。
2． 用螺旋测微计在棒的各处测厚度a ，要测10次取平均值。
3． 用游标卡尺在棒的各处测宽度b （测4次）。
4． 用米尺测二刀刃间的距离l ，测4次。
5． 将测得的量代入（1）求出棒材的杨氏模量。
单位用2
-⋅m N 。
6． 求测量结果的误差。
【注意事项】
【思考问题】
1． 调节仪器的程序分几步，每一步要达到什么要求？
2． 测量时哪些量要特别仔细测？为什么？
3． 什么是弛垂度？怎样测量它？
4． 如果被测物是半径为R 的圆棒，式（1）将是什么样子的？
5． 如果用读数显微镜或螺旋测微计去测弛垂度，应当怎样进行测量？。