江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 推理与证明 推理案例赏析同步测试 苏教版选修2-1

江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 推理与证明 推理
案例赏析同步测试 苏教版选修2-1 一、基础过关
1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．
2．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13
＋…＋131>52
，… 由此猜测第n 个等式为______________(n ∈N *)．
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝______，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝ _______________________________________________________________________.
4．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，相关结论：________________________.
5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x
是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是______________．
二、能力提升
6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P —ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P —AB —C ，P —BC —A ，P —AC —B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝__________________________________________________________.
7．已知等式：(tan 5°＋1)(tan 40°＋1)＝2；
(tan 15°＋1)(tan 30°＋1)＝2；
(tan 25°＋1)(tan 20°＋1)＝2；
据此可猜想出一个一般性命题：____________________________________________.
8．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x
－1.下列判断正确的是________．
①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；
③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M . 9．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2
m 2＋
y 2n 2＝1 (m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e
. 将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：__________________________________ ________________________________________________________________________.
10．已知等式：3tan 30°·tan 30°＋tan 30°＋tan 30°＝3，
3tan 20°·tan 40°＋tan 20°＋tan 40°＝3，
3tan 15°·tan 45°＋tan 15°＋tan 45°＝ 3.
据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想．
11．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论
类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．
三、探究与拓展
12．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列：
(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…
(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…
(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；
对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；
(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．
答案
1．31
2．1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2
3．2 3 5 7 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2， n ＝12n －1， n ≥2
4．对角面AA 1C 1C ⊥BB 1D 1D
5．大前提错误 6．S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ
7．(tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝2
8．②③
9．平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2
n 2＝1 (m ，
n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e
10．解 猜想：3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝3，其中α＋β＝60°.
证明：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β
， 即3＝tan α＋tan β1－tan α·tan β
. 整理，得3tan α·t an β＋tan α＋tan β＝ 3.
11．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．
证明如下：设P 为正三棱锥A —BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC 、ACD 、ABD 的距离分别为h 1、h 2、h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则：
V P —ABC ＋V P —ACD ＋V P —ABD ＝V D —ABC .
即：13S △ABC ·h 1＋13S △ACD ·h 2＋13
S △ABD ·h 3 ＝13
S △ABC ·h . ∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD
∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论．
12．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；
对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30.
(2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，
猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)．
下面给出证明：
设等差数列{a n }的前项为a 1，公差为d .
∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0，
∴2a 1＝(1－2k )d .
又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋
2k －n 2k －n －12d －na 1－n n －12d ＝[(k －n )(1－2k )＋2k －n 2k －n －1
2－n n －1
2]d ＝0. ∴S 2k －n ＝S n ，猜想正确．。