北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
4.1 n 维向量空间
ai bi , i 1,2,, n
零向量 负向量
0 (0,0,,0)
(a1 ,a2 ,,an )
三维向量的线性运算满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
是否是 R2 的子空间？
x1 , x2 , x1 x2 0,
y1 , y2 V1
y1 y2 0,
x1 y1 , x2 y2 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) 0
V1
x1 , x2 , R, x1 x2 0, V1
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
n 维向量的线性运算也满足八条运算规律
1. 2.( ) ( ) 3. 0 4. 0
则 0 或a1 a2 an 0
0或 0
线性方程组的矩阵表示:
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
a1n b1 a11 a12 a a 21 x 22 x a 2 n b2 x1 2 n a a a b m1 m2 mn m
5.1 6.k ( l ) ( kl)
7.k l k l 8.k k k
北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时， 能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则 可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线 性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则 可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
《线性代数》课件-第4章 n元向量空间
§4.1 n元向量组的线性相关性第四章 n元向量空间线性表示定义11122=+++s sk k k βααα 为表示系数. 12,,,s k k k 若存在数 ， 12,,,∈s k k k 使得 例如， 则称向量 可由向量组 线性表示， 12,,,s αααβ零向量是任意向量组的线性组合，这是因为12000s =⋅+⋅++⋅0ααα.向量组中的任意一个向量都可由该向量组线性表示, 12,,,s ααα这是因为11100100,-+=⋅++⋅+⋅+⋅++⋅i i i i s αααααα(1,2,,).=i s 给定 中的向量和向量组 12,,,s ，αααn β1111212212221212,,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n n ns b a a a b a a a b a a a 设；，βααα一般地：121122,⇔=+++s s s x x x x x x ，，，βααα.存在数使得12,,,s 可由线性表示βααα11112211211222221122,,,+++=⎧⎪+++=⎪⇔⎨⎪⎪+++=⎩s s s s n n ns s na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b 非齐次线性方程组有解.则1122s ⇔⨯+++=s s n x x x 非齐次线性方程组有解.αααβ12,,,s 可由线性表示β ααα1212,,,,,,A A ⇔==s s 矩阵[]的秩等于矩阵[]的秩.αααααα,β结论则称向量组 向量组的线性相关性()12,,,s αααⅠ:1122+++=0s s k k k ααα，给定 中的向量组 n()12,,,s ，αααⅠ:12,,,s k k k ，如果存在不全为零的数 使否则称()Ⅰ向量组线性无关（linearly independent ）. 线性相关（linearly dependent ）. 定义2===；123[1,0],[0,1],[1,3] 向量组线性相关ααα例如，()向量组线性无关Ⅰ注 1122+++=0.s s k k k才有ααα120====时s k k k 只有，===；123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] 向量组线性无关εεε例如， 12,,,n n n 在中，元基本向量组线性无关.εεε()=⇔=s 时当组线性相关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性相关分量对应成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性相关2,Ⅰ()1-s 个组中至少有一个向量能由其余Ⅰ向量线性表示.()=⇔≠s 时当组线性无关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性无关分量对应不成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性无关2,Ⅰ()1-s 个组中每一个向量都不能由其余Ⅰ向量线性表示.线性相关的几何意义：两向量共线，三向量共面.线性无关的几何意义：两向量不共线，三向量不共面.(1) 若部分组线性相关，则整组必线性相关； (2) 若整组线性无关，则任一非空部分组必线性无关； 包含零向量或成比例向量在内的向量组必线性相关.例如， 结论部分组的整组的线性相关性的关系11121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m m nm n n nm a a a a a a a a a 设则ααα1122⇔⨯+++=0m m n m x x x 齐次线性方程组ααα12,,m , 线性相关ααα有非零解12[,,]A =m ,令矩阵ααα12[,,]A ⇔=m m ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（线性无关）.(仅有零解）. (等于向量个数m, 即矩阵A 列满秩）.n m （）时，.1当小于向量个数该向量组一定线性相关=n m （），2当时特别地，1212,,|,,|0⇔≠n n ,,.向量组线性无关行列式αααααα1212,,|,,|0⇔=n n ,,.向量组线性相关行列式αααααα相应地，可以得到关于行向量组的结论.定理1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()12s ,,,而向量组Ⅱ:,αααβ线性相关，()，则向量可由向量组Ⅰ线性表示且表示方式惟一.β证明思路 只需证明非齐次线性方程组 1122+++=s s x x x αααβ有唯一解, 即证明1212,,,,,,A A ====矩阵的秩矩阵的秩s s s [][].αααααα,β()12s ,,,A 由向量组线性无关知矩阵的秩为s ，Ⅰ:,ααα()12s ,,,1A +由向量组线性相关知矩阵的秩小于s ，Ⅱ:,,αααβ事实上，()12s ,,,,则向量组Ⅱ:也线性无关.αααβ()()1A A ≤+所以=<s r r s ,()().A A 即有==r s r 推论1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()若向量不能由向量组Ⅰ线性β表示，§4.2.1 向量组的秩(1) 第四章 n元向量空间向量组的线性表示及等价定义1()()1212:,,,:,,,设有两个向量组及s t ⅠⅡ，αααβββ()个向量都能由向量组线性表示Ⅰ，()如果组中的每Ⅱ则称向量组(II)能由向量组(I)线性表示. 则称这两个向量组等价. 如果向量组(I)与向量组(II)能互相线性表示， ()()()()()()⎫⎪⇒⎬⎪⎭Ⅱ可由Ⅰ线性表示Ⅲ可由Ⅰ线性表示；Ⅲ可由Ⅱ线性表示 向量组间的线性表示关系不满足对称性，但满足①反身性，即任一向量组可由自身线性表示；②传递性即， 向量组间的等价满足反身性，对称性和传递性.注1234[1,2,3,1],[1,2,3,1],[1,1,1,1],[0,2,4,1].αααα==----=---=已知向量组1234123134I ,,,II ,,III ,,αααααααααα记向量组（）（线性相关）；（）（线性相关）；（）（线性无关），1I III 2I II 则 （）向量组（）与（）等价； （）向量组（）与（）不是等价的.例1()()1212:,,,:,,,设向量组可由向量组线性表示s t ⅠⅡ，αααβββ().≤组线性无关,则s t Ⅰ定理1若向量.等价的线性无关组必包含有相同个数的向量推论1基本定理1212,,,,≤如果向量组的一个部分组满足r s i i i r s (I),(II),()：αααααα12,,向量组线性无关r i i i ①(II),；ααα则称向量组为向量组的一个(II)(I)极大线性无关部分组，简称极大无关组.12,,原向量组的任一向量都能被部分组线性表示r i i i ②(I)(II),，ααα定义2• 只含零向量的向量组没有极大无关组；• 线性无关向量组的极大无关组是其本身； • 一般来说，线性相关组的极大无关组不唯一；注 向量组的极大无关组===求向量组的极大无关组.ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例向量组的任一极大无关组与向量组自身等价.命题1向量组的任意两个极大无关组等价.注1 ，向量组的任两个极大无关组所含向量的个与极大无关组的选数都相同取无关.注212,,,向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量s ααα0.规定只含零向量的向量组的秩为 ()12,,,.记作s r ααα组的秩，定义3向量组的秩===的秩为2.向量组ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例 等价的向量组秩相等.注向量组的秩与线性相关性的联系向量组线性无关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .=r s ,,,ααα向量组线性相关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .<r s ,,,ααα定理211121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n ns a a a a a a a a a 设则ααα12[,,]A =s ,令矩阵ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（即矩阵A 列满秩）.向量组线性相关 12s ,,,ααα向量组线性无关 12s ,,,ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩等于向量个数ααα 矩阵的秩与线性相关性的联系§4.2.2 向量组的秩(2) 第四章 n元向量空间A ⨯⎡⎤=⎣⎦ij n m a 1212[,,,]⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦m n ，ββαααβ设矩阵其中 12,,,∈nm ααα为矩阵 A 的行向量组， 为矩阵 A 的列向量组.12,,,∈mn βββ定义 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩， 矩阵A 的列向量组的秩称为A 的列秩.矩阵的行秩和列秩是矩阵的秩的另两种刻画.A ⎡⎤=⨯⎣⎦设是数域上的矩阵, 则ij a n m .A A A 的行秩的列秩的秩==定理证 若A =O ，结论显然成立；设 ,A O ≠并设A 的秩等于r ，先证明A 的列秩=A 的秩= r.因为A 的秩等于r ，则A 中必存在一个r 阶非零子式， r D 而子式 所在 r D 的A 的r 个列向量构成一个列满秩矩阵，因此A 的这r 个列向量线性无关. 另外A 的任意 r +1个列向量都线性相关. 否则，可假设A 的某 r +1个列线性无关， 则这 r +1个列向量所构成的矩阵列满秩，即它的秩为r +1.于是矩阵A 中存在一个r +1阶非零子式， 这与A 的秩为r 相矛盾.从而非零子式所在的r 个列是A 的列向量组 的一个极大无关组， r D 因而A 的列秩= r =A 的秩.因为A 的行秩= 的列秩 T A T ()A =r ()A =r = A 的列秩， 故定理得证.对于n 元向量所构成的向量组，在一般情况下，以矩阵的秩为 工具，可以很好地解决：求向量组的秩以及判断该向量组的 线性相关性等问题.例1()()1212,,,,,,证明若中的向量组 可由 线性表示，n s t ⅠⅡαααβββ()().≤则r r ⅠⅡ命题112,,,∈nm ααα若向量组 的秩为r ， 则该向量组中任意 r 个线性无关的向量就是一个极大无关组. 命题2如果矩阵A 经过有限次初等行变换化为矩阵B ， 列向量组有相同的线性相关性.则A 和B 中对应的1212[,,,][,,,].A B ==m m ，αααβββ设矩阵 取矩阵A 的s 个列向量 12,,,s j j j ααα1212[,,,][,,,]A B =−−−−→=m m 初等行变换，αααβββ及矩阵B 中对应的s 个列向量12,,,.j j js βββ当 有 121211[,,,][,,,]A B =−−−−→=s j j j j j js 初等行变换，αααβββ从而线性方程组1212+++=0s j j s j x x x ααα1212+++=0m j j s j x x x βββ与同解，故向量组与 有相同的线性相关性. 12,,,sj j j ααα12,,,mj j j βββ证T T T 123T T 45[1,0,1,1],[2,1,2,0],[2,1,0,1],[0,1,2,1],[0,0,2,1]=-=-=--=-=-求向量组的秩和一个极大无关组.ααααα例2解令12200011101202210111A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦1220001110,0011100000R -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥−−−−→=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦初等行变换（行阶梯矩阵）125(,,,)()3,A ==r r ααα125,,,ααα123,,ααα是向量组 的一个极大无关组.§4.3 n元向量空间第四章n元向量空间n 元向量空间及其子空间{}1212[,,,],,,nn n n a a a a a a =∈数域上全体元向量的集合记为：1212[,,,],[,,,],∀=∈∀=∈nnn n a a a b b b αβ1122[,,,];+=+++∈nn n a b a b a b αβ加法运算 数乘运算 12[,,,].∀∈=∈nn k k ka ka ka ， α因为， 所以 是一个非空集合. [0,0,,0]=∈0nn因此 对于线性运算是封闭的.n并且线性运算满足如下八条运算律：(1),;∀∈+=+n 对，有α,β αββα1212(4)[,,,],[,,,],..();∀=∈∃-=---∈+-=0nnn n a a a a a a s t αααα(2),()();∀∈++=++n 对，有α,βγαβγαβγ(3)[0,0,,0],..,;∃=∈∀∈+=00nns t 有ααα(5)1;∀∈⋅=n 对，有ααα(6),,()();∀∈∀∈=nk l k l kl 对，有ααα(7),,();∀∈∀∈+=+nk l k l k l 对，有αααα(8),().∀∈∀∈+=+nk k k k 对，，有αβαβαβ（零元素）（负元素）{}12[,,,]1,2,,∈=nn i a a a a i n =|,n 数域上元向量的全体是一个非空集合， 对于向量的加法以及数乘两种运算封闭， 八条运算律， 称为数域 上的n 元向量空间（vector space ）. 定义1且满足 设W 是向量空间 的子集，如果集合W 非空， n 且集合W 对于向量的加法及数乘两种运算封闭， 则称W 为 的子空间（subspace ），n.<nW 记为 定义21,.∀∈+∈∀∈∀∈∈W W W k W k W 非空，且满足条件：（），，有；（2) ，有αβαβααW 为 的子空间n{}0nn及是的平凡子空间；{}T31=[,,0],∈<W x y x y ,例2例1 {}T32=[,,1],∈W x y x y ；而不是的子空间12∈ns 向量组，，，的线性组合的全体ααα例312,,,n s 是的子空间，称之为由生向量组空，成的子间ααα{}()1122s1211,2,,1,2,,,,,==+++∈=⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑s s i i i i s i W k k k k i s k k i s L ，，ααααααα12,,,s 称为该子空间的一个生成元.ααα根据子空间的定义，验证非空及线性运算的封闭性；根据例3 的结论，验证具有线性生成结构，从而为生成子空间.证明子空间的常用方法{}T 31=[,,0],∈<W x y x y ,例如， 1001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x y x y 12,=+∈x y x y ，εε3112.=<W L （，）εε子空间的基和维数 12,,,向量组线性无关r ①；ααα12,,,则称向量组为子空间的一个r W ααα基（basis ）， 12,,,中任一个向量都可由 线性表示r W ②，ααα定义3向量组的极大无关组设W 是 的一个子空间， n若W 中的有序向量组满足： 12,,,r ααα正整数r 为子空间W 的维数（dimension ），记作dim W =r , 并称W 为r 维子空间.{}dim{}0.=00零子空间没有基规定；注子空间的基不唯一，但维数是确定的.12,,,, n n n n 元基本向量组就是 元向量空间 的一个基称为εεε例如， ,n nn n 从而的维数是因此也将称作维向量空间.P n 的标准基，注 .中任意个线性无关的向量都是它的一个基nn例4dim 2=且W .T{[,,3],}=-+∀∈W a b a b b a b 证明集合 是 的子空间，并求 3W 的基和维数.证明显然W 非空， 并且W 中的每一个向量1111303--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b a b a b b 12=+∈， ，，a b ab αα[][]TT121,1,0,1,1,3.==-其中αα312,.=这说明因此是的子空间W L （），αα[][]TT121,1,0,1,1,3==-又线性无关从而为的一个基W ，，αα§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是 的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是 的解则 也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当 有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由 线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组 的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组 的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中 为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则 的通解为为齐次线性方程组 的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解 对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
第四章 n 维向量空间
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T
线性代数第四章向量空间
xi
R
是 不是
S Rn V1 Rn
4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S.
是
第四章 向量空间 §1向量空间及其基、维数、坐标(续2)
定义2 设V1,V2是两个向量空间,且V1 V2,
则称V1为V2子空间. 例2 设L=L(α1, α2,..., αs)=
定理1 | (, ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
, arccos (, ) || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.
零向量与任何向量正交.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5)
1) α1, α2,..., αr线性无关； 2) V中任意向量α均可由向量α1, α2,..., αr线性表 示:
α =k1α1 +k2α2+...+krαr,
则称α1, α2,..., αr为V的一组基，
称V为r维向量空间 (V的维数为r),记作:dimV=r.
称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标
定义：若对Rn中的任意向量Ｘ，按照某一确定规则T， Rn中总有唯一确定的向量Ｙ与之对应.记为:Y=T(X). 且满足： 1）T(X1+X2)=T(X1)+T(X2);
2）T(kX)=kT(X). (k∈R;X1,X2∈Rn) 则称T为Rn上的线性变换.称Y为X在T下的像.
例 设A=[aij]n×n,对任意X∈Rn,Y=T(X)=AX,则T为Rn上 的一个线性变换（从X到Y的线性变换）.
4. L=L(α1, α2,..., αs)= { k1 α1+k2 α2+...+ks αs |ki∈R, αi∈Rn} α1, α2,..., αs的最大无关组为L的一组基. dimL=R[α1 α2 ... αs]
线性代数--第四章
V 称为由向量a, b生成的向量空间。
8
2020/6/14
一般地
由向量组 a1,a2 ,L ,am 所生成的向量空间为
V 1a1 2a2 mam 1,2 , ,m R
9
2020/6/14
定义：设 V 为向量空间, W 是V 的非空子集， 若 W 对于加法及数乘两种运算封闭， 则称 W是 V 的子空间。
称 为 n 维向量 的长度（或范数）.
向量的长度具有下述性质：
1. 非负性 当 0 时, 0;当 0 时, 0;
2. 齐次性 ;
3. 柯西 - 布捏科夫斯基不等式
.
18
单位向量以及向量的单位化
当 1 时,称 为 单位向量
2020/6/14
任意非零向量除以它的长度，就成了单位向量， 即 是单位向量，称为把单位化
6
2020/6/14
解：(1) (0,a2,L ,an )T, (0,b2,L ,bn )T V1 有 (0,a2 b2 ,L ,an bn )T V1 R, 有 (0,a2,L ,an )T V1.
所以，V1 是向量空间。
(2)若 1, a2 ,L , an T V2 ,
定义4.2.1 设有n 维向量
a1
b1
aan2 ,
bbn2 ,
令
， a1b1 a2b2 anbn
称为向量 与 的 内积
说明
15
2020/6/14
向量 与 的 内积
， a1b1 a2b2 anbn
内积是向量的一种运算
如果 , 都是列向量,内积可用矩阵记号表示为 :
第四章 向量空间
2
2020/6/14
4.1 向量空间（了解，不讲） 4.2 向量的内积 4.3 正交矩阵
4-1 n维向量空间
例6 设向量组1 , 2 , 3 线性无关. 证明:
(3)向量组的一个部分组线性相关,则整体线性相关. 例7 设A是 n阶矩阵, 是n维列向量,若存在正 Am1 , Am , 则 整数m,使得 m1 , A ,, A 线性无关. (证明见黑板)
定义2 在向量组(I) 1 , 2 ,, m 中， 如果存在r个向量 i1 , i 2 ,, ir ，满足： （无关性） (1) i1 , i 2 ,, ir 线性无关；
性质： (1)每个向量组与其极大无关组等价。
(2) 一个向量组的极大无关组可以不唯一，但都是 等价的，且所含向量个数相等。
推论2 若线性无关的向量组 1 , 2 ,, t 与线 性无关的向量组 1 , 2 ,, s 等价,则 t s
(2) (I)中每个向量都可由i1 , i 2 ,, ir线性表示。 （极大性） 则称i1 , i 2 ,, ir是向量组(I) 的一个极大线性 无关向量组(简称极大无关组)。
由此可得,教材中的定理4.3-4.5(见page127).
推论1 n个n维向量的向量组线性无关
向量组的行列式 0.
R n中向量个数超过n的向量组必线性相关 推论2
R n中的n个向量1 , 2 ,, n 线性无 推论3 如果 R n中任何一个向量都可以由1 , 2 ,, n 线 关，则 性表示，且表示法唯一。
定义4 实数域R上的全体n维向量，当定义 了上述向量的加法和数乘运算后，就称其为 实数域R上的n维向量空间，记作 R n。
定义5 设 V 是 R 的一个非空子集,如果
n
(1) V 对向量的加法是封闭的,即
线性代数之第4章.向量空间与线性变换
内积空间定义及性质
定义
设 $V$ 是实数域或复数域 $F$ 上的线性空间，若在 $V$ 上定义了一个二元实函数 $(a, b)$，满足以下性 质
对称性
$(a, b) = overline{(b, a)}$
线性性
$(k_1a_1 + k_2a_2, b) = k_1(a_1, b) + k_2(a_2, b)$
变换矩阵的性质
线性变换的矩阵表示是可逆的当 且仅当T是一个可逆线性变换。
标准矩阵表示法：对于线性变换 T:V→W，可以选取V和W的一组 基，将T在这组基下的矩阵表示为 标准矩阵。标准矩阵是一个m×n 矩阵，其中m和n分别是W和V的 维数。
若T1和T2是两个线性变换，则它 们的复合T1∘T2也是一个线性变换， 且其矩阵表示为两个变换矩阵的乘 积。
性质
03
04
05
线性变换保持原点不动， 线性变换保持向量间的
即T(0)=0。
线性关系，即若向量u和
v线性相关，则T(u)和
T(v)也线性相关。
线性变换的矩阵表示是 唯一的，且与所选的基 无关。
线性变换矩阵表示法
线性变换的矩阵表示是线性的，即 对于任意两个向量x和y以及任意 标量k，有T(kx+y)=kT(x)+T(y)。
02
负定二次型判断方法
03
所有特征值均为负数。
正定二次型和负定二次型判断方法
奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。
存在可逆矩阵C使得$C^TAC=-I$，其中I是单位矩阵。
二次型在优化问题中应用举例
最小二乘法
约束优化问题
在回归分析中，最小二乘法是一种常用的优 化方法，其目标是最小化残差平方和。该问 题可以转化为求解一个二次型的最小值问题。
线性代数第四章-向量空间
第四章 向量的线性相关性§1n 维向量一个含有0，1的数集P ，如果对于P 中任意两个数的四则运算结果仍在这个数集中（除数不为0），则称该数集P 为一数域。
容易验证整数集不是数域；有理数集Q 、实数集R 、复数集C 均为数域，以后分别称之为有理数域、实数域和复数域。
对于任一数域P ，有Q P C ⊂⊂。
定义1：数域P 中n 个数构成的有序数组12(,,,)n a a a L 称为数域P 上的n 维向量，向量常用希腊字母,,αβγ等表示。
其中i a 称为向量的第i 个分量。
若n 维向量12(,,,)n a a a α=L 和12(,,,)n b b b β=L 的对应分量相等，即i ia b =（1,2,i n =L ），称向量α与β相等，记为αβ=。
向量12(,,,)n a a a α=L 也称为n 维行向量。
n 维行向量可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
矩阵中关于加法与数乘的性质也适合向量的加法与数乘。
向量有时为了方便也写成列的形式()1212,,,nn a a a a a a ⎛⎫ ⎪' ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L M 。
称为n 维列向量。
作为列向量时可视为1n ⨯矩阵来定义加法与数乘。
数域P 上全体n 维向量的集合对于线性运算称为数域P 上的n 维向量空间，记为n P 。
§2 线性相关性一、线性表示定义2：设12,,,s αααL 是一组n 维向量，12,,,s k k k L 是一组数，称向量1122s s k k k ααα+++L 为向量组12,,,s αααL 的一个线性组合。
如果某一向量α可表示成1122s s k k k αααα=+++L ，则称向量α可由12,,,s αααL 线性表示。
例如向量组()11,2,1α=-，()22,3,1α=-，()30,1,1α=-，有3122ααα=-，称3α可由12,αα线性表示。
注意：线性方程组AX B =的增广矩阵可写成分块矩阵形式12(,,,|)s αααβL 。
微积分：4-1 n维向量空间
0,a2 b2,,an bn T V1, 0,a2,,an T V1,
所以，V1 是向量空间。 (2) V2不是向量空间。
因 为若 1, a2 ,, an V2 ,
则2 2,2a2 ,,2an V2
18
(1)若当 V , V时,就有 V ,
则称V对加法封闭
(2)当 V , R时,就有 V ,
则称V对数乘封闭
定义 设V Rn，V ，若V对加法和数乘封闭
则称V是Rn的子空间 例 {0}和Rn是 两 个 特 殊 的 向 量 空 间。
17
例 判别下列集合是否为向量空间.
(1)V1 x 0, x2,, xn x2,, xn R (2)V2 x 1, x2,, xn x2,, xn R
V xa b ,R 是否为向量空间？
解 x1 1a 1b, x2 2a 2b V
x1 x2 (1a 1b) (2a 2b)
(1 1)a (2 2 )b V
k R, kx1 k(1a 1b) (k1)a (k1)b V
所以V是一个向量空间。
（这个向量空间称为由向量 a, b 生成的向量空间）
§4. 1 n维向量空间的概念 §4. 2 向量组的线性相关性 §4. 3 向量组的秩与最大无关组 §4. 4 线性方程组解的结构
1
§4.1 n维向量空间 一、n维向量空间的概念
二、Rn 的子空间
2
一、n 维向量空间的概念
几何空间中的向量：a : OP (a1, a2 , a3 )
向量的线性运算
点P的坐标
(a1 b1 , a2 b2 , , a3 b3 )
k (ka1 , ka2 , ka3 )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
一． n 维向量空间的概念 一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成 的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序 数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数 组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结 构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为 数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．
,n 线 性表出.
结论： 线性方程组有没有解 常数项列 向量能否由系数矩阵的列向量组线性表出。
18
判断线性表出的方法： 对于给定的向量 及向量组 1 ,2 ,
能否由1 ,2 , ,n 线 性表出
方程组1 x1 2 x2 ＊若方程组1 x1 2 x2 无解，则 不能由1 ,2 ,
9
二．向量与矩阵的关系 定义： 若干个同维数的列向量（或行向量）所 组成的集合叫做向量组．
例2 设矩阵 A (aij )mn，将A按列分块 2
1
j
a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n ( , , , ) A 1 2 n a a mj a mn m1 a m 2
(a1 , a2 , , an )
a1 (1,0, ,0) a2 (0,1, ,0) an (0,0, ,1)
a1 1 a2 2
an n .
14
☆零向量可由任意一组向量线性表出
0 01 02 (其中0, 1 , 2 , 0m , m 都是n维 向量)
☆ 向量 组1 ,2 ,
( j 1, 2,
,m 中的任意一 个向量 j
0 j 1 j 0 j 1 0m
, m)都可由向量 组本身线性表出
j 01 02
15
观察 3维向量
1 2 3
能否由3维向量组
0 0 1 1 2 0 1 2 线性表出？ 不能！
如
R 为实数域，则Rn 为n 维实向量空间．
R3 为3维实向量空间或3维几何空间。
8
5 例 1. 设α1 (2, 4,1, 1), α2 (3, 1, 2, ), 如 2 果向量满足 312(+2)=o, 求.
解: 由题设条件, 有
1 3 β (3α1 2α2 ) α1 α2 2 2 3 5 (2, 4,1, 1) (3, 1, 2, ) 2 2 1 (6, 5, ,1) 2
可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表法不唯一.
20
由方程组有解的判别定理，我们很容 易得出 判断线性表出的方法：
1 ,2 , ,n 对于给定的列向量 及列向量组 令 A (1 ,2 , ,n ); A (1 ,2 , ,n , ). 则判断 能否由 1 ,2 , ,n 线性表出就是判断R( A)是否
我们称 31 22 是1 , 2 的一个线性组合； 可以由 1 ,2 线性表出。
12
1.定义: 向量组 1 ,2 , ,m P , 任给 k1，k2， , km P , 称向量
n
k11 k22
kmm
n
是向量组 1 ,2 ,
,m的 一个线性组合,
⑴
令 1
2
n
⑵
17
则有 1 x1 2 x2
n xn
式⑵是线性方程组⑴的向量表示式．
于是，线性方程组
1 x1 2 x2
n xn 有解
使得下式成立 存在一组数 k1，k2， , kn，
1k1 2k2
nkn
可以由1 ,2 ,
k1，k2， , km 称为组合系数; 对于 P ,
若存在 k1，k2， , km P , 使得
k11 k22
kmm
则称 可由1 ,2 , ,m 线性表出（示）, k1，k2， , km 为表出系数．
13
2.几个特例 ☆ 任意一个n 维向量 (a1 , a2 , , an ) 都可由n 维基本向量组 1 (1,0, ,0) 2 (0,1, ,0) n (0,0, ,1) 线性表出,且 的分量就是表出系数。
问题：对于给定的向量组和向量如何判别线 性表出？
16
3.线性表出的判别 分析: 设数域P上的n元线性方程组
, a x a x a x b 11 1 12 2 1 n n 1 a11 a12 a1n b1 , a a a x b 21 x1 22 x 2 2 n n 2 a a a b2 21 22 2 n x1 x2 xn am amn m 11 m2 m. x1 a a x 2 a xn bb a m 2 mn m
, an ) (ka1 , ka2 , , kan )
6
k 为数 数量乘法 为向量，
k k(a1 , a2 ,
向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算．
向量的线性运算的运算律
(1) , (2) , (3) 0 , (4) ( ) 0 ,
第四章 n 维向量空间
我们在第二章给出了直接从线性方程 组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断方程组 有没有解及有多少解的判别定理。为了研 究方程组有无穷多解时解的解构，我们需 要探讨和建立线性方程组的进一步理论， 为此，引入了向量空间的概念。
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念 二．向量与矩阵的关系 三．向量的线性组合与线性表出
等于R( A).
⑴ R( A) R( A)
不能由1 ,2 , ,n 线 性表出
21
⑵ R( A) R( A) 可以由1 ,2 , ,n 线 性表出 ① 若 R( A) R( A) n, 则表示方法唯一． ② 若R( A) R( A) n, 则表示方法不唯一， 即无穷多种表示方法． 具体作法是： 将 A 用初等行变换化成阶梯形， 求出R( A)和R( A)， 判断是否有 R( A) R( A)。
不唯一?并写出一种表出方式。
解： 将矩阵A (1T ,2T ,3T , T ) ( A, T ) 初等行变换：
1 4 A 0 2 3 1 2 7 1 10 0 1 1 1 b 0 1 3 a 4 0 1 2 0 3 1 2 1 b a 2 0
n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
, an ), (b1 , b2 ,
(i 1, 2,
, bn ),
, n)
ai bi
的各分量的相反数所构成的向量称为 的负向量，记作 (a1 , a2 , , an ) .
5
, an )
2． n 维向量运算 向量的加法
显然,
(a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
24
0 3 0 3 1 2 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 0 0 0 a 1 0 b 2 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 0
向量组 1 ,2 , ,m 称为矩阵A 的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组 可以构成矩阵.
11
三．向量的线性组合与线性表出(示)
引例： 设在R3中
则
1 0 1 1 , 2 5 2 3 1 0 3 31 2 2 3 1 2 5 7 2 3 0
3
n 维向量可以写成一行
(a1 , a2 , , an )
称为行向量（行矩阵），也可以写成一列
a1 a2 a n
称为列向量（列矩阵），称 ai ( bi )
(i =1，2，…, n )是第i 个分量. 显然 .
T
4
向量的相等
设 (a1 , a2 , 零向量 所有分量都是零的向量称为零向量，记作 0=(0,0, · · · ,0)． 负向量: n 维向量 (a1 , a2 ,
22
例3 判断 (5,4,-4)T 能否由1 (1,0,1)T , 2 (3,4, 2)T , 3 (1,4,1)T 线性表出，并 求出表出方式。 解： 将矩阵 A (1 ,2 ,3 , ) 初等行变换：
1 3 1 5 1 3 1 5 A 0 4 4 4 0 1 1 1 1 2 1 4 0 0 1 0 1 0 0 2 能由1 ,2 ,3 线性表出且 0 1 0 1 21 2 03 0 0 1 0
, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线 性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2