南京外国语学校2011届高三3月份调研考试数学试题

江苏省南京外国语学校2011届高三3月份调研考试数 学 试 题（本试卷满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分） 1．复数z =i 2(1+i)的虚部为___ _ __． 2．已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-＝_________． 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线3x -y ＝0，则点P 的坐标为 ． 4．如图所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分 都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设 每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴 影部分的概率是__ ___．5．设⎩⎨⎧<+-≥--=0,620,12)(2x x x x x x f ，若2)(>t f ，则实数t 的取值范围是 ． 6．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ． 7．左面伪代码的输出结果为 ．8．公差为)0(≠d d 的等差数列{}n a 中,n S 是{}n a 的前n 项和则数列304020301020,,S S S S S S ---也成等差数列，且公差为d 100，类比上述结论，相应地在公比为)1(≠q q 的等比数列{}n b 中，若n T 是数列{}n b 的前n 项积，则有 ．9．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为c b ,，则方程02=++c bx x 有实根的概率为 ．10．将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表示ij a ),(**N j N i ∈∈，例如932=a ，若2009ij a =，则=+j i ．11．已知点O 为ABC ∆24==,则=∙ ． 12．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 ．13．对于函数)(x f ，在使)(x f ≥M 恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数22)1(1)(++=x x x f 的下确界为 ． 14．三位同学合作学习，对问题“已知不等式222xy ax y ≤+对于[][]1,2,2,3x y ∈∈恒成立,求a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析”. 乙说：“不等式两边同除以x 2，再作分析”.丙说：“把字母a 单独放在一边，再作分析”.参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数a 的取值范围是 ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本题满分14分，第1问7分，第2问7分）已知向量a =(sin(2π+xx )，b =(sin x ,cos x ), f (x )=a ·b ． ⑴求f (x )的最小正周期和单调增区间； ⑵如果三角形ABC 中，满足f (AA 的值．1 3 5 79 1113 15 17 19……16．（本小题满分14分）已知函数f (x )=x 2－x ＋a ln x(1)当1x ≥时，2()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围； (2)讨论()f x 在定义域上的单调性；17．（本小题满分14分）即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。

根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次。

每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数。

(注: 营运人数指火车运送的人数)18．（本题满分16分，第1问6分，第2问10分）已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a ．（1）设0m n ⋅>，证明：函数()f x 在[]m n ，上单调递增；（2）设0m n <<且()f x 的定义域和值域都是[]m n ，，求常数a 的取值范围．19．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）已知数列{}n a 中，,11=a 且点()()*+∈N n a a P n n 1,在直线01=+-y x 上. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数(),2,1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 求函数)(n f 的最小值； （3）设n nn S a b ,1=表示数列{}n b 的前项和。

试问：是否存在关于n 的整式()n g ，使得()()n g S S S S S n n ⋅-=++++-11321 对于一切不小于2的自然数n 恒成立？ 若存在，写出()n g 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）已知函数)0()(>+=x xtx x f ,过点P(1,0)作曲线)(x f y =的两条切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ．（1）当2=t 时，求函数)(x f 的单调递增区间； （2）设|MN |=)(t g ，试求函数)(t g 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[nn +内，总存在m ＋1个数,,,,,121+m m a a a a 使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．江苏省南京外国语学校2011届高三3月份调研考试数 学 试 题 答 案一、填空题： 1． -1 2．45- 3．（1，0） 4．41π- 5．),3(0,(+∞⋃-∞） 6．5527．26 8．100304020301020,,,qT T T T T T 且公比为也成等比数列 9．1936 10．60 11．6 12．)65,61( 13．0.5 14．),1[+∞- 二、解答题：15．解：⑴f (x )= sin x cos x +2+2cos2x = sin(2x+3π)+2T=π，2 k π-2π≤2x+3π≤2 k π+2π，k ∈Z, 最小正周期为π，单调增区间[k π-512π,k π+12π],k ∈Z. ⑵由sin(2A+3π)=0,3π<2A+3π<73π,∴2A+3π=π或2π，∴A =3π或56π16．(1)解：由 2()f x x ≤恒成立,得:ln a x x ≤在1x ≥时恒成立当1x =时a R ∈ -----------------------2分 当1x >时即ln x a x ≤，令()ln x g x x = , 2ln 1()ln x g x x-'= --------4分 x e ≥时()0g x '≥ ,()g x 在x e >时为增函数， ()g x 在x e <时为减函数 ∴ min ()g x e = ∴ a e ≤ -------------------------------6分(2)解：f (x )=x 2－x ＋a ln x ，f′(x )=2x －1＋a x=22x x ax -+，x ＞0（1）当△=1－8a ≤0，a ≥18时，f′(x )≥0恒成立，f (x )在（0，+∞）上为增函数． ----8分（2）当a ＜18时①当0＜a ＜18时，0>>，f (x )在上为减函数，f (x )在)+∞上为增函数． --------------------------11分 ②当a =0时，f (x )在（0，1]上为减函数，f (x )在[1，＋∞）上为增函数． ----------12分③当a ＜00<，故f (x )在（0上为减函数， f (x )在，＋∞）上为增函数． ------------------------14分18、（12分）设这列火车每天来回次数为t 次，每次拖挂车厢n 节 2分则设b kn t += 由⎩⎨⎧+=+=b k b k 710416 解得⎩⎨⎧=-=242b k242+-=∴n t 4分 设每次拖挂n 节车厢每天营运人数为y 人 1分 则)2640220(221102n n tn y +-=⨯⨯= 2分当64402640==n 时,总人数最多为15840人 2分 答:每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15840人. 117．解:（1）任取1x ，],[2n m x ∈，且12x x <，12122121()()x x f x f x ax x --=⋅，因为12x x <，1x ，],[2n m x ∈，所以120x x >，即12()()f x f x <，故)(x f 在],[n m 上单调递增．或求导方法．（2）因为)(x f 在],[n m 上单调递增，)(x f 的定义域、值域都是⇔],[n m (),()f m m f n n ==，即n m ,是方程2211a a a xx +=-的两个不等的正根01)2(222=++-⇔x a a x a 有两个不等的正根．所以04)2(222>-+=∆a a a ，222a aa+>⇒12a>19．解：（1）由点P),(1+nnaa在直线01=+-yx上，即11=-+nnaa，且11=a，数列{na}是以1为首项，1为公差的等差数列)2(1)1(1≥=⋅++=nnnan，11=a同样满足，所以nan=（2）nnnnf212111)(+++++=221121413121)1(+++++++++=+nnnnnnf1122122111221121)()1(=+-++>+-+++=-+nnnnnnnfnf所以)(nf是单调递增，故)(nf的最小值是127)2(=f（3）nbn1=，可得nSn131211++++= ，)2(11≥=--nnSSnn1)1(11+=----nnnSSnnS，1)2()1(221+=------nnnSSnSn1112+=-SSS113211-+++++=--nSSSSSnSnn)1(1321-=-=++++-nnnSnnnSSSSS ，n≥2 nng=)(故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立20．解：（1）当,2)(,2xxxft+==时0221)(222>-=-='xxxxf2,2-<>xx或解得.则函数)(xf有单调递增区间为),2(),2,(+∞--∞-（2）设M、N两点的横坐标分别为1x、2x，)1(.02).1)(1()(),0,1().)(1()(:,1)(12112111121112=-+--=+-∴--=+-∴-='ttxxxxtxtxPxxxtxtxyPMxtxf即有过点切线又的方程为切线同理，由切线PN也过点（1，0），得.02222=-+ttxx（2）由（1）、（2），可得02,221=-+t tx x x x 是方程的两根，(*).22121⎩⎨⎧-=⋅-=+∴t x x t x x])1(1[)()()(||22122122211221x x t x x x t x x t x x x MN -+-=--++-= ])1(1][4)[(22121221x x t x x x x -+-+ 把（*）式代入，得,2020||2t t MN +=因此，函数)0(2020)()(2>+=t t t t g t g 的表达式为（3）易知]64,2[)(nn t g +在区间上为增函数，12121(2)()(1,2,,1).(2)()()().()()()(),i m m m g g a i m m g g a g a g a g a g a g a g a n +∴≤=+⋅≤++++++< 则对一切正整数成立恒成立对一切的正整数不等式n nn g g m )64()2(+<⋅∴,)64(20)64(2022022022nn n n m +++<⨯+⨯.3136.3136]1616[61)]64()64[(61,1664)]64()64[(61222<∴=+≥+++∴≥++++<m n n n n n n n nn n n m 恒成立对一切的正整数即由于m 为正整数，6≤∴m .又当.,16,2,6121满足条件对所有的存在时n a a a a m m m ======+ 因此，m 的最大值为6.。