安徽省安庆市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题

安庆一中2015-2016学年度高二第一学期期中数学（理）试题一、选择题（共10小题，每小题5分）
1．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某种指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，应采用的抽样方法为（）A．抽签法B．随机数表法C．系统抽样法D．分层抽样法
2．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）
A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
3．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2球，则对立的两个事件是（）A．至少有1个白球，至少有1个红球B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球D．至少有1个白球，都是白球
4．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）
（第4题）（第6题）
A．f（x）=x2B．f（x）= C．f（x）=e x D．f（x）=sinx
5．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）
A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0
C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0
6．如图，程序运行结果是（）
A．32 B．34 C．35 D．36
7．天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相同，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机
数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）
19079661919252719328124585691916 83431257393027556488730113537989．
A．B．C．D．无答案可选
8．某同学在一次综合性测试中语文、数学、英语、科学、社会5门学科的名次在其所在班级里都在前三名（记第一名为1，第二名为2，第三名为3，依此类推且没有并列名次情况），则称该同学为超级学霸，现根据不同班级的甲、乙、丙、丁四位同学对一次综合性测试名次数据的描述，一定可以推断是超级学霸的是（）
A．甲同学：平均数为2，中位数为2 B．乙同学：中位数为2，唯一的众数为2
C．丙同学：平均数为2，标准差为2 D．丁同学：平均数为2，唯一的众数为2
9．由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+y2﹣6x+8=0引切线，则切线长的最小值为（）
A．1 B．C．D．2
10．甲、乙两人约定上午7：20至8：00之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有3班公共汽车，它们开车的时刻分别是7：40、7：50和8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在7：20至8：00时的任何时刻到达车站都是等可能的）（）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每题5分）
11．将参加夏令营的100名学生编号为001，002，…，100．先采用
系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，
那么从048号到081号被抽中的人数是．
12．已知直线l：x﹣y+3=0被圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4截得的
弦长为2，则a的值为．
13．用秦九韶算法求多项式f（x）=x6﹣5x5+6x4+x2+3x+2的值，当
x=﹣2时，v3的值为
14．在可行域内任取一点（x，y），如果执行如图的程序框图，那么
输出数对（x，y）的概率是．
15．过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部
分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为．
（第14题）
安庆一中2015-2016学年度高二第一学期期中考试
数学（理）答题卷
一．选择题（共10小题，每小题5分）
二．填空题（共5小题，每题5分）
11、12、13、
14、15、
三、解答题（共75分）
16．（12分）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，
（1）由图中数据求的值
（2）若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少?
(3) 估计这所小学的小学生身高的众数，中位数（保留两位小数）及平均数.
17.（12分）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.
（1）求的轨迹方程；
（2）当时，求的方程及的面积。

18 （12分）(1)一个袋中装有6个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6，现从袋中随机取3个球，求取出的球的编号之和不大于10的概率；
(2)若实数a，b满足a2+b2≤1，求关于x的方程x2﹣2x+a+b=0有实数根的概率。

19．（13分）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款
（年底余额）,如下表：
(1) 求y关于x的回归方程＝＋；
(2) 用所求的回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款.
注：
11
2
22
11
()()
()
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y b
x x x nx a y bx
==
==
⎧
---
⎪
⎪==
⎪
⎨--
⎪
⎪
=-
⎪⎩
∑∑
∑∑
20. （13分）已知数列{}的各项均为正数，观察程序框图（1）若输入的，，时，求输出的S的值
(2) 若输入，时，分别有S＝5
11
和S＝
10
21
. 试求数列{}的通项；
21．（13分）已知圆的方程为，点是坐标原点，直线与圆交于两点． (1)求的取值范围； (2)设是线段上的点，且
222
211
||||||
OQ OM ON =+，请将表示为的函数，并求其定义域．
参考答案
1.D
2.A
3.B
4.D
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A 10. C
11. 7 12. 1或-3 13. -35 14. 15.x+y-2=0
16（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，
所以有10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.
（2）由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为18
60×10＝3人．
（3）分别为115cm，123.33cm，124.5cm
17
18
（1)0.5.
(2)∵实数a，b满足a2+b2≤1，
∴点（a ，b ）在单位圆内，圆面积S=π， ∵关于x 的方程x 2﹣2x+a+b=0有实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4（a+b ）≥0， 即a+b ≤1，表示图中阴影部分， 其面积S ′=π﹣（π﹣）=+ 故所求概率P==
19
20 由框图可知 S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1
a k a k ＋1
，
∵数列{a n } 是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1
a k ＋1)，
∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k －1a k ＋1)＝1d (1a 1－1
a k ＋1)．
（1）S=3/10
（2）k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021
.
∴⎩⎨⎧
1
d (
1a 1－1a 6)＝511，1
d
(1a 1－1a 11
)＝1021
，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－1，d ＝－2
(舍去)．
故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
21 解：(1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3. 所以，k 的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞)．
(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)， 则|OM |2＝(1＋k 2)x 12，|ON |2＝(1＋k 2)x 22， 又|OQ |2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2.
由
222
211||||||OQ OM ON =+，得22222212211
111k m k x k x =+
(+)(+)(+)， 即21212
22222
1212
2211x x x x m x x x x (+)-=+=. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝，x 1x 2＝， 所以. 因为点Q 在直线y ＝kx 上，
所以，代入中并化简，得5n 2－3m 2＝36.
由及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(，0)∪(0，)． 根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，
所以n ==
于是，n 与m 的函数关系为 (m ∈(，0)∪(0，))．。