2018-2019数学北师大版选修1-1 第二章1.2 椭圆的简单性质(二) 作业2

[A.基础达标]1．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的线段的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－112 解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，代入消元整理得3x 2＋4x －2＝0，Δ＝42＋4×6>0，x 1＋x 2＝－43，所以x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13.2．已知直线l 过点(3，－1)，椭圆C 的方程为x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0解析：选C.把点(3，－1)代入x 225＋y 236＝1得3225＋（－1）236<1，所以点(3，－1)在椭圆内部，故直线l 与椭圆有两个公共点．3．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆C ：x 22＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，则m 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－3，－1]∪[1，3]C ．[－1，1]D ．(－3，－1]∪[1，3)解析：选D.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2＋2y 2＝2得：3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0得m ∈(－3，3)，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23，y 1＋y 2＝x 1＋m ＋x 2＋m ＝2m 3，故AB 中点坐标为(－2m 3，m3)，因为AB 中点不在圆x 2＋y 2＝59内，所以(－2m 3)2＋(m 3)2≥59，即m 2≥1，故m ∈(－3，－1]∪[1，3)．4．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－1C.3－12D ．4－2 3解析：选B.设A 在y 轴左侧，其坐标设为A (x 0，－3x 0)，则B (－x 0，3x 0)，设F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，O 为坐标原点，则c ＝12|AB |＝12（x 0＋x 0）2＋（－3x 0－3x 0）2＝2|x 0|，所以F 2(－2x 0，0)，F 1(2x 0，0)，|AF 2|＝23|x 0|，|AF 1|＝2|x 0|，因为|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，所以a ＝(3＋1)|x 0|，所以e ＝c a ＝2|x 0|（3＋1）|x 0|＝3－1.5．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离为( )A ．3 B.11 C.10 D ．2 2解析：选C.易判断直线x ＋2y －2＝0与椭圆x 216＋y 24＝1相交，令与直线x ＋2y －2＝0平行的直线方程为x ＋2y ＋C ＝0代入x 216＋y24＝1，化简整理得8y 2＋4Cy ＋C 2－16＝0，则Δ＝16C 2－32(C 2－16)＝0，C ＝±4 2.由图(图略)可知C ＝4 2.切线x ＋2y ＋42＝0与直线x ＋2y －2＝0间的距离为42＋25＝10.6．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是________．解析：设M 的纵坐标为y 0，F 1为其左焦点，则F 1(－3，0)，可得P (3，2y 0)，故3212＋（2y 0）23＝1，解得y 0＝±34.答案：±347．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与其一个交点的横坐标为b ，则k 的值为________．解析：由题意知，交点坐标为(b ，kb )，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)得b 2a 2＋k 2b 2b2＝1，所以k 2＝1－b 2a 2＝c 2a2， 所以k ＝±e ＝±22.答案：±228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2＝________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2，所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－139．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．解：法一：设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差得， a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2·|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，所以b ＝23，所以所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（k 2＋1）（x 1－x 2）2 ＝2·4b 2－4（a ＋b ）（b －1）（a ＋b ）2.因为|AB |＝22，所以a ＋b －ab a ＋b＝1. ①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b，因为OC 的斜率为22，所以a b ＝22.代入①，得a ＝13，b ＝23.所以所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1. 10．已知离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点M (6，1)．(1)求椭圆的方程；(2)已知与圆x 2＋y 2＝83相切的直线l 与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，O 为坐标原点，求OA →·OB →的值．解：(1)因为e ＝22， 又椭圆C 过点M (6，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a 2＝12，6a 2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝±236，则x 1＝x 2＝±236，y 1＝－y 2，所以OA →·OB →＝x 21－y 21＝0. 当直线l 的斜率存在时， 设l ：y ＝kx ＋m ， 由于l 与圆相切得：|m |k 2＋1＝223，所以3m 2－8k 2－8＝0. 将l 的方程代入椭圆方程得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－8k 2－81＋2k 2＝0，综上，OA →·OB →＝0.[B.能力提升]1．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( ) A ．[4－23，4＋23] B ．[4－3，4＋3] C ．[4－22，4＋22] D ．[4－2，4＋2]解析：选A.该椭圆的标准方程为x 23＋y 28＝1，故x ∈[－3，3]，故m ∈[－3，3]，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．2．以F 1(－1，0)、F 2(1，0)为焦点且与直线x －y ＋3＝0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是( )A.x 220＋y 219＝1B.x 29＋y 28＝1C.x 25＋y 24＝1D.x 23＋y 22＝1解析：选C.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，x －y ＋3＝0，得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋(10a 2－a 4)＝0， 由Δ≥0，得a ≥5，e ＝c a ＝1a ≤55，此时a ＝5， 故椭圆方程为x 25＋y 24＝1.3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0<x 202＋y 20<1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：因为0<x 202＋y 20<1，所以P (x 0，y 0)在椭圆内部． 所以|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|<2a ， 即2≤|PF 1|＋|PF 2|<2 2. 答案：[2，22)4.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．解析：设F (c ，0)，则c 2＝a 2－b 2.由题意，得直线A 1B 2的方程为x－a＋y b ＝1，直线B 1F 的方程为x c ＋y －b ＝1.将两个方程联立，解得T (2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c )，则M (ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)．又点M 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，所以c 2（a －c ）2＋（a ＋c ）24（a －c ）2＝1，整理，得c 2＋10ac －3a 2＝0，即e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5或e ＝－27－5(舍去)．答案：27－55．已知△ABC 的周长为12，顶点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，C 为动点． (1)求动点C 的轨迹E 的方程；(2)过原点作两条关于y 轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E 交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值．解：(1)由题意知|CA |＋|CB |＝12－4＝8>|AB |，所以动点C 的轨迹是椭圆的一部分．因为a ＝4，c ＝2，所以b 2＝12，所以曲线E 的方程为x 216＋y 212＝1(x ≠±4)．(2)设两直线的方程为y ＝kx 与y ＝－kx (k >0)， 记y ＝kx 与曲线E 在第一象限的交点为(x 0，y 0)，y ＝kx 与x 216＋y 212＝1联立得x 20＝483＋4k 2， 所以S ＝4kx 20＝192k 3＋4k 2，因为k >0，所以S ＝1923k ＋4k ≤163，当且仅当3k ＝4k ，即k ＝32时，等号成立．所以k ＝32时四边形面积的最大值为16 3. 6．(选做题)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．解：(1)由于C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1(a >b >0)．设直线l ：x ＝t (|t |<a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得 A (t ，a b a 2－t 2)，B (t ，b a a 2－t 2)．当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A 、B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)当t ＝0时的l 不符合题意，当t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当OB 的斜率k OB 与AN 的斜率k AN 相等，即 b a a 2－t 2t ＝aba 2－t 2t －a， 解得t ＝－ab 2a 2－b2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |<a ，0<e <1，所以1－e 2e 2<1，解得22<e <1.所以当0<e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22<e <1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .。