【人教版】数列的概念ppt完美课件
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数列数列的概念ppt课件
当n＝1时，a1＝4符合上式，所以an＝2n(n＋1)(n∈N*)． (3)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)． 令bn＝an＋1，所以{bn}是以2为公比的等比数列． 所以bn＝b1·2n－1＝(a1＋1)·2n－1＝2n＋1， 所以an＝bn－1＝2n＋1－1(n∈N*)．
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
人教《数列的概念》PPT完美版
an1
解：由题意可知 a1 1
a2
1
1 a1
2
a3
1
1 a2
3 2
15 a4 1 a3 3
递推关系
a5
1
1 a4
8 5
an=?
练习：数列{an}中, a1=2, nan=(n+1)an-1 ,(n>1) (1)求{an}的前4项; (2)猜想{an}的通项公式。
例2已知数列{an}中，a1=1, a2=2, an=an－1+an－2
4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖 湿气流 沿河谷 深入， 导致此 地气温 较东西 两侧高 。 5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆 辐射强 ，气温 较高， 未出现 霜冻。 6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。 8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。 9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
an的前一项是 an-；1 红色部分转化为符号语言是 an =2a.n-1+1
（n∈N，n>1），（※）
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。
递推公式也是数列的一种表示方法。
例写出1设这数个列数列an的满前足5项。aa1n
1 1
初始条件
1 n 1
解：由题意可知 a1 1
a2
1
1 a1
2
a3
1
1 a2
3 2
15 a4 1 a3 3
递推关系
a5
1
1 a4
8 5
an=?
练习：数列{an}中, a1=2, nan=(n+1)an-1 ,(n>1) (1)求{an}的前4项; (2)猜想{an}的通项公式。
例2已知数列{an}中，a1=1, a2=2, an=an－1+an－2
4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖 湿气流 沿河谷 深入， 导致此 地气温 较东西 两侧高 。 5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆 辐射强 ，气温 较高， 未出现 霜冻。 6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。 8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。 9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
an的前一项是 an-；1 红色部分转化为符号语言是 an =2a.n-1+1
（n∈N，n>1），（※）
像上述问题中给出数列的方法叫做递推法， 其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。
递推公式也是数列的一种表示方法。
例写出1设这数个列数列an的满前足5项。aa1n
1 1
初始条件
1 n 1
第一讲数列的概念PPT教学课件
（4）利用换元思想 （5）先猜后证：根据递推式求前几项，猜出通项，
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
7
由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
2020/12/10
6
题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
然后用数学归纳法证明 （6）已知式中含有Sn与an的方程，则采用n退一
或进一得到一个新方程，再两方程相减。
2020/12/10
8
题型三 由Sn与an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足
an+2SnSn-1=0 (n≥2,n N*),a1= 1 ,
数列的概念
2020/12/10
1
知识归纳
一、数列的概念
1．数列的定义
数列是按一定次序排成的一列数，从函数观点
看，数列是定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数f(n)，当自变量n从1开始依次取正整数 时所对应的一列函数值f(1)，f(2)，…f(n)，….
2．数列的通项公式
一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关 系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们 把这个公式叫做这个数列的通项公式．
（3）a1=2，an+1=an+ ln（1 1） n
2020/12/10
7
由递推公式求数列通项 （1）由等差，等比定义，写出通项公式 （2）利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代
（3） 一a n 阶1 递A 推 an p 1a n p A na 看q,我成们{bn通}的常等将比其数化列为
3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项， 同时注意分子、分母的关系
4）对于比较复杂的数列，要借助于等差、等比 数列的通项和其它方法解决
2020/12/10
6
题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列{an}的通项 公式.
（1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an；
数列ppt课件
数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
人教版数学第二章《数列的概念与简单表示法》教学(共21张PPT)教育课件
（ 5 ） 1 , 1 , 5 , 13 , 29 ; 2 4 8 16 32
（ 6 ） 1 ,0 , 1 ,0 ,1 ;
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
③ {an}表示以 an为通项的数列{， an}即 表示 数列a1，a2，a3， ，an；而an表示这个 数列{an}中的第 n项，其n中表示项的位置 序号。
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
❖无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
2
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 35
那么
a22a11，
a32a21，
象 这 样 给 出 数 列 叫的 做方 递法 推 法 ， 其 中
an 2an1 （ 1 n1） 称为递推公式。
如果已知 {an}的 数1第 列 项（或 n项前 ），且an任 与一 它 的前一 an （ 1 项或n项 前）间的关系 个可 公以 式用 来一 表 那么这个公式 个就 数叫 列做 的这 递推公式。
例2 ：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象。
如果一{个 an}的 数首 列 a1 项 1，从 2项 第起每一项
的前一 2倍 项再 的1加 ，上 即 an2an1（ 1n1）
an 通项 n
公式
序号（正整数 或它的有限 子集）
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
4.2.1等差数列的概念PPT课件(人教版)
an a1 (n 1)d
结论：等差数列的通项公式的一般情势：an＝am＋(n－m)d
练习
求下列等差数列的通项公式
（1）9,18,27,36,45,54,63,72...
(1)an=9+(n－1)×9=9n
（2）38,40,42,44,46,48...
(2)an=38+(n－1)×2=2n+36
ab
叫做a与b的等差中项。即 A
2
这个式子叫做这个数列的递推公式.
引入
请看下面几个问题中的数列.
1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，
环绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依
次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81.①
2.S,M,L,XL,XXL,L型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48.②
求an 的公差和首项；(2)求等差数列 8,5, 2, 的第20项.
解: (1)当n 2时,由an 5 2n, 得
an1 5 2(n 1) 7 2n.
于是, d an an1 (5 2n) (7 2n) 2.
当n 1时, a1 5 2 3.
练习
判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
(1) 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
×
(2) 3，3，3，3，3，3
a1=3,公差 d=0 常数列
(3) 3x，6x，9x，12x，15x
a1=3x 公差 d= 3x
(4)95，82，69，56，43，30
a1=95 公差 d=－3
数列的概念-动画讲解PPT课件
是这个数列的第n项.
知识点二 数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来
表示,那么这个公式就称为数 列 的 通 项 公 式 , 即 a n = f (n ) .
因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次
用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代 替 公式中的n 就可以求出这个数列的各项 。
知识点三 数列的分类
数列
特点
按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列
有穷数列、无穷数 和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的
列
项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。
单调数列
常数列
按前后项之间的大小关系来分。
若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这
技巧
点拨
由数列的前n项和表达式求通项公式时
但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.
典例解析
例3
已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3
(1)试写出该数列的前3项
(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几
项?
解析
技巧
点拨
(1)将n=1,2,3代入通项公式,
得a1=5,a2=11,a3=21.
(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数
列的第6项.
本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项
公式即可求解；
第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解
关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.
谢谢
n+2
知识点二 数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来
表示,那么这个公式就称为数 列 的 通 项 公 式 , 即 a n = f (n ) .
因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次
用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代 替 公式中的n 就可以求出这个数列的各项 。
知识点三 数列的分类
数列
特点
按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列
有穷数列、无穷数 和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的
列
项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。
单调数列
常数列
按前后项之间的大小关系来分。
若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这
技巧
点拨
由数列的前n项和表达式求通项公式时
但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.
典例解析
例3
已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3
(1)试写出该数列的前3项
(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几
项?
解析
技巧
点拨
(1)将n=1,2,3代入通项公式,
得a1=5,a2=11,a3=21.
(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数
列的第6项.
本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项
公式即可求解；
第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解
关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.
谢谢
n+2
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数列概念
一、数列的概念
1.定义
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2.数列是特殊的函数
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限 个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列 的问题.
Sn=a1(32n-1)(对于所有n≥1),
4.在数列 {an} 中,
公式.
an=
4n-3 4n-2
a1=
1 2
,
an+1-an=
1 4n2-1
,
求数列 {an} 的通项
【人教版】数列的概念ppt完美课件
5.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: log2(1+Sn)=n+1, 求数列
{an} 的通项公式.
9 11
)n+1-(n+1)(
191)n
=(
9 11
)n
8-n 10
.
∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增；
当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减. 而 a8=a9, 即 a1<a2<…<a8=a9>a10>a11>…,
∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项.
a2 a1
a3 a2
…
aann-1.
典型例题
1.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an= .
an=
n! 2
2.定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后
一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个
1 n+3
+…+
1 3n+1
,
考察 f(n) 的单调性.
∵
f(n+1)-f(n)=
1 3n+2
+
1 3n+3
+
1 3n+4
-
1 n+1
=
1 3n+2
+
1 3n+4
-
2 3n+3
=
2 (3n+2)(3n+3)(3n+4)
>0,
∴ f(n+1)>f(n),
∴当 n=1 时,
f(n)
有最小值
f(1)=
1 2
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
三、数列的分类
1.按项数：有穷数列和无穷数列；
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列； 3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.
四、数列的前 n 项和
n
Sn=a1+a2+…+an=
k=1
ak;
an=
S1
(n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
【人教版】数列的概念ppt完美课件
2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2.
an=
3, n=1, 2n, n≥2.
6.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,…); 数列 {bn} 满
足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3,…). 求数列 {an}、{bn} 的通项公
式.
an=2n-1 bn=2n-1+2
7.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n2-65n, 求数列 {|an|} 的前 n 项
课后练习
1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:
(1) -1,
3 2
,
-
1 3
,
43,
-
1 5
,
3 6
,…;
an=(-1)n
2ꨣ, ….
n个
an=555…5=
5 9
n个
(999…9)=
5 9
(10n-1)
(3) -1, 7, -13, 19,…;
二、数列的表示
1.列举法 2.图象法 3.通项公式法
若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
4.递推公式法
如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做 数列的递推公式.
和 Tn.
Tn=
-3n2+65n, n≤11, 3n2-65n+704, n≥12.
【人教版】数列的概念ppt完美课件
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8.已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)(
使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ?
9 10
)n,
问是否存在正整数
M,
解:
∵
an+1-an=(n+2)(
+
1 3
+
1 4
=
13 12
.
要使题中不等式对 n∈N*
恒成立,
只须
2a-5<
13 12
.
解得 a< 2743. ∴正整数 a 的最大值是3.
[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决
其它许多数列问题的重要途径, 因此要熟练掌握求数列单调性 的程序.
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an=(-1)n(6n-5)
(4) 7, 77, 777, 7777,…;
(5)
2 3
,
4 15
,
6 35
,
8 63
,
10 99
,…;
(6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,….
an=
7 9
(10n-1)
an=
2n (2n-1)(2n+1)
an=5sin n2
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常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列, 且 a1=2,
公和为 5, 那么 a18 的值为3 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算
公式为
.n 为奇数时,
Sn=
25n-
1 2
;
n
为偶数时,
Sn=
5 2
n.
3.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 a4=54, 则 a1 的数值为 2 .
五、数列的单调性
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减).
方法：作差、作商、函数求导.
六、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);
an=a1
故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.
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9.求使得不等式
n1+1 +
1 n+2
+
1 n+3
+…+
1 3n+1
>2a-5 对
n∈N*
恒成立的正整数 a 的最大值.
解: 记 f(n)=
1 n+1
+
1 n+2
+
一、数列的概念
1.定义
按一定次序排列的一列数叫做数列.
2.数列是特殊的函数
从函数的观点看数列, 对于定义域为正整数集N*(或它的 有限子集{1, 2, 3, …, n})的函数来说, 数列就是这个函数当自 变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值, 其图象是无限 个或有限个孤立的点.
注: 依据此观点可以用函数的思想方法来解决有关数列 的问题.
Sn=a1(32n-1)(对于所有n≥1),
4.在数列 {an} 中,
公式.
an=
4n-3 4n-2
a1=
1 2
,
an+1-an=
1 4n2-1
,
求数列 {an} 的通项
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5.已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn 满足: log2(1+Sn)=n+1, 求数列
{an} 的通项公式.
9 11
)n+1-(n+1)(
191)n
=(
9 11
)n
8-n 10
.
∴当 n<8 时, an+1>an, {an} 单调递增；
当 n>8 时, an+1<an, {an} 单调递减. 而 a8=a9, 即 a1<a2<…<a8=a9>a10>a11>…,
∴ a8 与 a9 是数列 {an} 的最大项.
a2 a1
a3 a2
…
aann-1.
典型例题
1.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an= .
an=
n! 2
2.定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后
一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个
1 n+3
+…+
1 3n+1
,
考察 f(n) 的单调性.
∵
f(n+1)-f(n)=
1 3n+2
+
1 3n+3
+
1 3n+4
-
1 n+1
=
1 3n+2
+
1 3n+4
-
2 3n+3
=
2 (3n+2)(3n+3)(3n+4)
>0,
∴ f(n+1)>f(n),
∴当 n=1 时,
f(n)
有最小值
f(1)=
1 2
注: 递推公式有两要素: 递推关系与初始条件.
三、数列的分类
1.按项数：有穷数列和无穷数列；
2.按 an 的增减性：递增、递减、常数、摆动数列； 3.按 |an| 是否有界：有界数列和无界数列.
四、数列的前 n 项和
n
Sn=a1+a2+…+an=
k=1
ak;
an=
S1
(n=1),
Sn-Sn-1 (n≥2).
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2.已知下面各数列 {an} 的前 n 项和 Sn 的公式, 求 {an} 的通项 公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n2+n+1; (3)Sn=3n-2.
an=
3, n=1, 2n, n≥2.
6.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=2an-1(n=1, 2, 3,…); 数列 {bn} 满
足: b1=3, bk+1=ak+bk(k=1, 2, 3,…). 求数列 {an}、{bn} 的通项公
式.
an=2n-1 bn=2n-1+2
7.设数列 {an} 的前 n 项和 Sn=3n2-65n, 求数列 {|an|} 的前 n 项
课后练习
1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:
(1) -1,
3 2
,
-
1 3
,
43,
-
1 5
,
3 6
,…;
an=(-1)n
2ꨣ, ….
n个
an=555…5=
5 9
n个
(999…9)=
5 9
(10n-1)
(3) -1, 7, -13, 19,…;
二、数列的表示
1.列举法 2.图象法 3.通项公式法
若数列的每一项 an 与项数 n 之间的函数关系可以用一个 公式来表达, 即 an=f(n), 则 an=f(n) 叫做数列的通项公式.
4.递推公式法
如果已知数列的第一项(或前几项), 且任一项与它的前一 项(或前几项)的关系可以用一个公式来表示, 这个公式就叫做 数列的递推公式.
和 Tn.
Tn=
-3n2+65n, n≤11, 3n2-65n+704, n≥12.
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8.已知数列 {an} 的通项 an=(n+1)(
使得对任意正整数 n 都有 an≤aM ?
9 10
)n,
问是否存在正整数
M,
解:
∵
an+1-an=(n+2)(
+
1 3
+
1 4
=
13 12
.
要使题中不等式对 n∈N*
恒成立,
只须
2a-5<
13 12
.
解得 a< 2743. ∴正整数 a 的最大值是3.
[评析]数列的单调性是探索数列的最大项、最小项及解决
其它许多数列问题的重要途径, 因此要熟练掌握求数列单调性 的程序.
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an=(-1)n(6n-5)
(4) 7, 77, 777, 7777,…;
(5)
2 3
,
4 15
,
6 35
,
8 63
,
10 99
,…;
(6) 5, 0, -5, 0, 5, 0, -5, 0,….
an=
7 9
(10n-1)
an=
2n (2n-1)(2n+1)
an=5sin n2
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常数叫做该数列的公和. 已知数列 {an} 是等和数列, 且 a1=2,
公和为 5, 那么 a18 的值为3 , 这个数列的前 n 项和 Sn 的计算
公式为
.n 为奇数时,
Sn=
25n-
1 2
;
n
为偶数时,
Sn=
5 2
n.
3.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 且 a4=54, 则 a1 的数值为 2 .
五、数列的单调性
设 D 是由连续的正整数构成的集合, 若对于 D 中的每一个 n 都有 an+1>an(或 an+1<an), 则称数列 {an} 在 D 内单调递增(或 单调递减).
方法：作差、作商、函数求导.
六、重要变换
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1);
an=a1
故存在 M=8 或 9, 使得 an≤aM 对 n∈N+ 恒成立.
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9.求使得不等式
n1+1 +
1 n+2
+
1 n+3
+…+
1 3n+1
>2a-5 对
n∈N*
恒成立的正整数 a 的最大值.
解: 记 f(n)=
1 n+1
+
1 n+2
+