2017-2018学年江苏省泰州市高二上学期期末考试数学(文科)试题 解析版
2017-2018学年高二上期末数学文科试卷(1)含答案解析
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣37．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤08．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞09．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=111．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B2．（5分）已知直线l、m，平面α、β且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β．其中正确的命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m⊂β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，正确；故选：B．3．（5分）已知条件p：k=；条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则￢p 是￢q的（）A．充分必要条件B．必要不充分条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，可得：=1，解得k=．∴p是q的充分不必要条件．则￢p是￢q的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）设A为圆周上一点，在圆周上等可能取点，与A连结，则弦长不超过半径的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度不超过半径长度的对应的弧长为•2πR，则AB弦的长度不超过半径长度的概率P=．故选：C．5．（5分）在对两个变量x，y进行线性回归分析时，有下列步骤：①对所求出的回归直线方程作出解释；②收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可形性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）A．①②⑤③④B．③②④⑤①C．②④③①⑤D．②⑤④③①【解答】解：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据（x i，y i），i=1，2，…，n；根据所搜集的数据绘制散点图．观察散点图的形状，判断线性关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后对所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是②⑤④③①故选D．6．（5分）若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心为（﹣1，2），代入直线3x+y+a=0得：﹣3+2+a=0，∴a=1，故选B．7．（5分）设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0 有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2+x﹣m=0 有实根，则m＞0B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m＞0D．若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0【解答】解：命题的逆否命题为，若方程x2+x﹣m=0 没有实根，则m≤0，故选：D．8．（5分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是对任意的x∈R，2x＞0，故选：D．9．（5分）若直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点，则实数a取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）【解答】解：∵直线x﹣y+1=0与圆（x﹣a）2+y2=2有公共点∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为∴|a+1|≤2∴﹣3≤a≤1故选C．10．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭圆的标准方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【解答】解：设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为2a，则2a+2b=18又∵个焦点的坐标是（3，0），∴椭圆在x轴上，c=3∵c2=a2﹣b2∴a2=25 b2=16所以椭圆的标准方程为故选B．11．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．12．（5分）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次，第i次观测得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：本题在算法与统计的交汇处命题，考查了同学们的识图能力以及计算能力．本题计算的是这8个数的方差，因为所以故选B二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5分）程所表示的曲线是椭圆的一部分．（椭圆的一部分，圆的一部分，椭圆，直线的）【解答】解：方程，可得x≥0，方程化为：x2+4y2=1，（x≥0），方程表示焦点坐标在x轴，y轴右侧的一部分．故答案为：椭圆的一部分；14．（5分）直线x﹣2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=2．【解答】解：圆心为（0，0），半径为2，圆心到直线x﹣2y+5=0的距离为d=，故，得|AB|=2．故答案为：2．15．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2] ．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]16．（5分）已知P为椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积S=．【解答】解：由椭圆的标准方程可得：a=5，b=3，∴c=4，设|PF1|=t1，|PF2|=t2，所以根据椭圆的定义可得：t1+t2=10①，在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，所以根据余弦定理可得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2=（2c）2=64，整理可得：t12+t22﹣t1t2=64，②把①两边平方得t12+t22+2t1•t2=100，③所以③﹣②得t1t2=12，∴∠F1PF2=3．故答案为：3．三、解答题：17．（10分）给定两个命题，P：对任意的实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．【解答】解：当P为真时，a=0，或，解得：a∈[0，4）﹣﹣（3分）当Q为真时，△=1﹣4a≥0．解得：a∈（﹣∞，]﹣﹣（6分）如果p∨q为真，p∧q为假，即p和q有且仅有一个为真，﹣﹣（8分）当p真q假时，a∈（，4）当p假q真时，a∈（﹣∞，0）a的取值范围即为：（﹣∞，0）∪（，4）﹣﹣（12分）18．（12分）某校高二年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（1）请完成此统计表；（2）试估计高二年级学生“同意”的人数；（3）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．【解答】解：（1）根据题意，填写被调查人答卷情况统计表如下：男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查，设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．（2）由表格可以看出女生同意的概率是，男生同意的概率是；用男女生同意的概率乘以人数，得到同意的结果数为105×+126×=105，估计高二年级学生“同意”的人数为105人；（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），共8种满足题意；则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为P=．19．（12分）设锐角三角形的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围．【解答】解：（1）由a=2bsinA．根据正弦定理，得sinA=2sinBsinA，sinA≠0．故sinB=．因△ABC为锐角三角形，故B=．（2）cosA+sinC=cosA+sin=cosA+sin=cosA+cosA+sinA=sin．由△ABC为锐角三角形，知=﹣B＜A＜，∴＜A+＜，故＜sin＜，＜＜．故cosA+sinC的取值范围是．20．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．命题q：实数x满足．化为，解得，即2＜x≤3．（1）a=1时，p：1＜x＜3．p∧q为真，可得p与q都为真命题，则，解得2＜x＜3．实数x的取值范围是（2，3）．（2）∵p是q的必要不充分条件，∴，a＞0，解得1＜a≤2．∴实数a的取值范围是（1，2]．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，∴AB⊥PD，∵PA∩PD=P，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．解：（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连结PO，∵PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，平面PAB⊥平面PAD，∴PO⊥底面ABCD，且AD==，PO=，∵四棱锥P﹣ABCD的体积为，由AB⊥平面PAD，得AB⊥AD，=∴V P﹣ABCD====，解得a=2，∴PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2，PO=，∴PB=PC==2，∴该四棱锥的侧面积：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=+++==6+2．22．（12分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25．（Ⅰ）证明：直线l恒过一定点P；（Ⅱ）证明：直线l与圆C相交；（Ⅲ）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值．【解答】（本题满分12分）解：证明：（Ⅰ）直线l方程变形为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，由，得，∴直线l恒过定点P（3，1）．…（4分）（Ⅱ）∵P（3，1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，∴，∴P点在圆C内部，∴直线l与圆C相交．…（8分）解：（Ⅲ）当l⊥PC时，所截得的弦长最短，此时有k l•k PC=﹣1，而，k PC=﹣，∴=﹣1，解得m=﹣．…（12分）。
2017-2018学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．101（9）化为十进制数为（）A．9 B．11 C．82 D．101【解答】解：由题意，101（9）=1×92+0×91+1×90=82，故选：C．2．随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1【解答】解：∵随机事件是指在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件∴随机事件A发生的概率的范围0＜P（A）＜1当A是必然事件时，p（A）=1，当A是不可能事件时，P（A）=0故选C．3．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴的平均数为，的方差为3s2故选C4．“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程+=1表示椭圆，则，所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．5．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B6．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A．s≤B．s≤C．s≤D．s≤【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此S=++=（此时k=6），因此可填：S≤．故选：C．7．若直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2）（m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（）A．0≤α≤B．＜α＜πC．≤α＜D．＜α≤【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1），B（1，﹣m2），则直线l的斜率k==1+m2，又由m∈R，则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α＜π，则≤α＜；故选：C．8．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数有=5×4=20，这个数字大于40的有=8，∴这个数字大于40的概率是=，故选：A9．已知点P（x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为（）A．B．2C．5 D．2【解答】解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，由点到直线的距离公式易得d==．∴x2+y2的最小值为5，故选：C10．已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，则MN==，∵R+r=3，R﹣r=1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B11．一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为A（1，4），在入射光线上再取一点B（0，2），则点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上．根据A、C两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即x﹣2y+7=0．故选D．12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a，∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3），c2=9，∴，∴k=﹣1，故答案为：﹣1．14．椭圆+y2=1的弦被点（，）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+4y﹣3=0．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣，故这条弦所在的直线方程y﹣=﹣（x﹣），整理得2x+4y﹣3=0．故答案为：2x+4y﹣3=0．15．已知命题p：|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是（．【解答】解：∵p且q为真命题，∴命题p与命题q均为真命题．当命题p为真命题时：∵|x﹣1|+|x+1|≥3a恒成立，∴只须|x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可，而有绝对值的几何意义得|x﹣1|+|x+1|≥2，即|x﹣1|+|x+1|的最小值为2，∴应有：3a≤2，解得：a≤，①．当命题q为真命题时：∵y=（2a﹣1）x为减函数，∴应有：0＜2a﹣1＜1，解得：，②．综上①②得，a的取值范围为：即：（]．故答案为：（]．16．已知椭圆+=1，当椭圆上存在不同的两点关于直线y=4x+m对称时，则实数m的范围为：﹣＜m＜．【解答】解：∵+=1，故3x2+4y2﹣12=0，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12=0，①3x22+4y22﹣12=0，②①﹣②得：3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•（x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部，∴3m2+4•（﹣3m）2＜12，即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜三、解答题（本大题共6小题，70分）17．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3）通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是115，中位数是121.3．【解答】解：（1）∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150，∴第二小组的频率是=0.08．（2）∵次数在110以上为达标，∴在这组数据中达标的个体数一共有17+15+9+3，∴全体学生的达标率估计是=0.88 …6分（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即=115，…7分处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数121.3 …8分18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．已知直线l：y=kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2﹣（2﹣4k）x﹣7=0，∵△=（2﹣4k）2+28k2+28＞0，∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2）设直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1﹣x2|=2=2，令t=，则有tk2﹣4k+（t﹣3）=0，当t=0时，k=﹣；当t≠0时，由k∈R，得到△=16﹣4t（t﹣3）≥0，解得：﹣1≤t≤4，且t≠0，则t=的最大值为4，此时|AB|最小值为2，则直线l被圆C截得的最短弦长为2．20．已知回归直线方程是：=bx+a，其中=，a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分）和物理成绩y（总分100分）如下：X 122 131 126 111 125 136 118 113 115 112Y 87 94 92 87 90 96 83 84 79 84（1）试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0.001）（2）若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？【解答】解：（1）由题意，==120.9，==87.6，=146825，=102812，∴===0.538，a=﹣b≈22.521∴=0.538x﹣22.521，（2）由（1）=0.538x﹣22.521，当y=93时，93=0.538x﹣22.521，x≈131．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．22．已知H（﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点T（﹣1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E（x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值．【解答】解（1）设点M的坐标为（x，y），由．得，由，得，所以y2=4x由点Q在x轴的正半轴上，得x＞0，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线，除去原点．（2）设直线l：y=k（x+1），其中k≠0代入y2=4x，得k2x2+2（k2﹣2）x+k2=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得所以，线段AB的中点坐标为，线段AB的垂直平分线方程为，令，所以，点E的坐标为．因为△ABE为正三角形，所以，点E到直线AB的距离等于|AB|，而|AB|=．所以，解得，所以．。
江苏省泰州市高二上学期期末考试数学(文科)试题Word版含解析
2017～2018学年度第一学期期末考试高二数学(文科)试题(考试时间：120分钟；总分：160分)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1. 命题“若，则”的逆命题为______．【答案】若，则【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．【答案】【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.3. 抛物线的准线方程为______．【答案】【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填4. 函数在处的切线的斜率为______．【答案】【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.5. 双曲线的渐近线的方程为______．【答案】【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．【答案】【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．【答案】【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.9. 已知，若（），则______．【答案】【解析】由归纳，得，即，即.10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为______．【答案】【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．【答案】【解析】设，则，，即线段长度的最小值为.12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意，得，若时，令，得，令，得，即函数在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．【答案】【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量. 14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．【答案】【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，，在恒成立，即，即；当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知复数．⑴求；⑵若复数满足为实数，求．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.试题解析：⑴⑵∵∴∵为实数∴∴∴∴16. 已知：，；：方程表示双曲线．⑴若为真命题时，求实数的取值范围；⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.试题解析：⑴∵，∴，解得⑵∵方程表示双曲线∴，解得∵为假命题，且为真命题∴∴17. ⑴当时，求证：；⑵已知，．试证明至少有一个不小于．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：⑴由，当时，可得，即可证明结论；⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，进而，即可得到矛盾，即可作出证明．试题解析：⑴∵∴∴⑵假设都小于，即则有①而②①与②矛盾故至少有一个不小于．18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．⑴求的表达式；⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．【答案】(1)，；(2)宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.试题解析：⑴整理得，⑵由得所以在上单调递减，在上单调递增故当时，取得最小值答：⑴⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．⑴求椭圆的标准方程；⑵当直线的斜率为时，求的面积；⑶试比较与大小．【答案】(1);(2)；(3)答案见解析...................试题解析：⑴因为左顶点为，所以因为椭圆的离心率为，所以，解得又因为，所以故所求椭圆的标准方程为⑵因为直线过原点，且斜率为所以直线的方程为代入椭圆方程解得因为，所以直线的方程为从而有故的面积等于⑶方法一：设直线的方程为，代入椭圆方程得设，则有，解得从而由椭圆对称性可得所以于是故从而所以因为点在第二象限，所以，于是有方法二：设点，则点因为，所以直线的方程为所以从而从而有20. 已知函数的最小值为．⑴设，求证：在上单调递增；⑵求证：；⑶求函数的最小值．【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析；(3)0.试题解析：⑴∵∴在上单调递增⑵由⑴可知在上单调递增∵∴存在唯一的零点，设为，则且当时，；当时，从而在上单调递增，在上单调递减所以的最小值∵∴∴∴（当且仅当时取等号）∵∴（第二问也可证明，从而得到）⑶同⑴方法可证得在上单调递增∵∴∴存在唯一的零点，设为，则且精品所以的最小值为∵∴∴，即由⑵可知∴=∵在上单调递增∴所以的最小值为。
2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏省泰州中学高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为__________．【答案】存在0x R ∈，使得200x <【解析】全称命题的否定为其对应的特称命题，则：命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为存在0x R ∈，使得200x <.2．已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，则实数k 的值为__________． 【答案】e【解析】若x y e =，则'x y e =，设曲线x y e =上点的坐标为()00,x x e ，则切点处切线的斜率00'|xx x k y e ===， 此时切线方程为： ()00x x x y ee x e -=-，切线为y kx =，则切线过坐标原点，即： ()00000x x e e x -=-,解得： 01x =，则： 01'|x x k y e e ====. 3．已知函数()2log 1{1x x f x x c x ≥=+<，，，，则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的__________．【答案】充分不必要条件【解析】若函数()f x 是单调增函数，则应满足： 2log 11c ≥+，解得： 1c ≤-， 则“1c =-”是“函数()f x 在R 上递增”的充分不必要条件.点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．4．已知圆柱的底面半径为4，用与圆柱底面成30︒角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为__________． 【答案】12【解析】如图所示，∵圆柱的底面半径为4，∴椭圆的短轴2b=8，得b=4，又∵椭圆所在平面与圆柱底面所成角为30°，∴cos30°=82a,得a=.以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则椭圆方程为：221 64163x y+=.c2=a2−b2=64161633-=,∴∴椭圆的离心率为：12cea===.5．双曲线2214xy-=的顶点到其渐近线的距离等于____________.【解析】试题分析：不妨设顶点为(2,0) ,一条渐近线为12y x=即20x y-=,点直线的距离为d==.【考点】1、双曲线的性质；2、点到直线的距离.6．已知条件条件且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是______．【答案】【解析】∵，∴或，若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，则，∴，故答案为.7．函数ln xyx=的单调增区间是__________．【答案】()0e ，【解析】函数的定义域为0x >，且： 221ln 11ln 'x x x x y x x ⨯-⨯-==， 求解不等式'0y >可得： 0x e <<，则函数ln xy x=的单调增区间是()0e ，. 8．一圆形纸片的半径为10cm ，圆心为O ， F 为圆内一定点， 6OF cm =， M 为圆周上任意一点，把圆纸片折叠，使M 与F 重合，然后抹平纸片，这样就得到一条折痕CD ，设CD 与OM 交于P 点（如图），以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点P 的轨迹方程为__________．【答案】2212516x y += 【解析】以FO 所在直线为x 轴，线段FO 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系。
2018-2019学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．（5分）命题：“若a＝0，则ab＝0”的逆否命题是．2．（5分）已知复数z＝2﹣i（i是虚数单位），则|z|＝．3．（5分）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是．4．（5分）“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写）．5．（5分）函数f（x）＝sin x﹣x，x∈（0，）的单调递增区间是．6．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则的值为．7．（5分）直线l过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3），若f'（a）＝1，则实数a的值是．8．（5分）古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，按此规律，＝（n∈N*）．9．（5分）函数f（x）的定义域为R，若对任意的x∈R，f（x）+xf'（x）＞0，且，则不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为．10．（5分）在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用来证明．11．（5分）已知椭圆C：，过点P（0，6）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为．12．（5分）若定义在R上的函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范围是．13．（5分）已知椭圆C：的右焦点为F（2，0），F关于直线的对称点Q在椭圆C上，则b＝．14．（5分）若函数在（l，+∞）上的最大值为8，则实数a的值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知复数z＝，（m∈R，i是虚数单位）（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）设是z的共轭复数，在复平面上对应的点在第四象限，求m的取值范围．16．（14分）已知p：函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减（其中m∈R），q：∀x∈R，x2+2x+m≥0（其中m∈R）．（1）如果“p且q”为真，求实数m的取值范围．（2）如果“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．17．（14分）（1）已知f（x）＝，x∈[0，+∞），若x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，求证：[f（x1）+f（x2）]＜f（）；（2）用反证法证明：若f（x）为R上的增函数，且a+f（a）≤b+f（b），求证：a≤b．18．（16分）如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG和一风景区，其中OE＝1（单位：百米），∠OEF＝45°，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为y＝（≤x≤5），拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF上，且MN与曲线C相切于P点．（1）设P点的横坐标为t，写出△EMN面积的函数表达式S（t）；（2）当t为何值时，△EMN面积最小？并求出最小面积．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A（2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点．①如图1，若△OP A为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程；②如图2所示，点Q是线段NA的中点，若AM⊥AN且∠OPQ的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率．20．（16分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝e x，h（x）＝kx2+ex﹣（k∈R），其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）的单调区间；（2）求证：g（x）＞f（x）+1；（3）若f（x）+g（x）≥h（x）恒成立，求实数k的取值范围．2018-2019学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．【解答】解：∵：“若a＝0，则ab＝0”∴逆否命题：若ab≠0，则a≠0故答案为：若ab≠0，则a≠02．【解答】解：∵复数z＝2﹣i，∴|z|＝＝＝．故答案为：．3．【解答】解：∵椭圆，∴a2＝25，b2＝16∴c2＝a2﹣b2＝9∴c＝3∴椭圆的焦点坐标是（﹣3，0），（3，0）故答案为：（﹣3，0），（3，0）4．【解答】解：（x+2）（x﹣1）＜0，解得﹣2＜x＜1．∴“（x+2）（x﹣1）＜0”是“﹣3＜x＜1”成立的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．【解答】解：由f（x）＝sin x﹣x，x∈（0，），得f′（x）＝cos x﹣，由f′（x）＝cos x﹣＞0，得cos x＞，∵x∈（0，），∴x∈（0，），则f（x）的单调递增区间为（0，）．故答案为：（0，）．6．【解答】解：双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，可得e＝＝，可得a2+b2＝10a2，可得＝3．故答案为：3．7．【解答】解：直线l经过点（0，1），且与曲线y＝f（x）相切于点（a，3）．若f′（a）＝1，切线的斜率为1，切线方程为：y﹣1＝x，所以3﹣1＝a，解得a＝2．故答案为：2．8．【解答】解：由，，，，…，可归纳出：＝+，故答案为：+，9．【解答】解：令g（x）＝xf（x），则g′（x）＝f（x）+xf'（x）＞0，可得g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，由，得g（2）＝2f（2）＝1，∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1化为g（x2+1）＞g（2），又g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴x2+1＞2，得x＜﹣1或x＞1．∴不等式（x2+1）f（x2+1）＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．10．【解答】解：在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用a≤b且a≥b来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用A⊆B且B⊆A来证明．故答案为：A⊆B且B⊆A．11．【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线AB的方程y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A是线段PB的中点，∴2x1＝x2，①由，消y整理可得（3+4k2）x2+48kx+96＝0，∴x1+x2＝﹣，②，x1x2＝，③，由①②③可得＝，整理解得4k2＝9，∴x12＝＝4，∴x1＝±2，∴y1＝±3，∴A（2，3）或（﹣2，3）故答案为：（2，3）或（﹣2，3）12．【解答】解：令g（x）＝x3﹣3x2+m，由g′（x）＝3x2﹣6x＝0可得，x＝0或x＝2．g（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）递增，在（0，2）递减．要使函数f（x）＝|x3﹣3x2+m|有三个不同的单调递增区间，则g（x）的图象只能如下图所示，∴∴0＜m＜4．故答案为：（0，4）．13．【解答】解：设Q（m，n），由F关于直线的对称点Q在椭圆C上，∴•＝﹣1，＝•（），解得m＝，n＝，∵点Q在椭圆上，且a2＝4+b2，∴+＝1，整理可得b2（b2+4）2＝256，∴b（b2+4）＝16，解得b＝2，故答案为：214．【解答】解：函数在（l，+∞）上的最大值为8，∴函数≤8，在（l，+∞）上恒成立．化为：a≤（2x3﹣7x2+8x）min，x∈（l，+∞）．令f（x）＝2x3﹣7x2+8x，x∈（l，+∞）．则f′（x）＝6x2﹣14x+8＝2（3x﹣4）（x﹣1），可得x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，＝．∴实数a的值为．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．【解答】解：z＝＝．（1）若z是纯虚数，则，即m＝2；（2），由在复平面上对应的点在第四象限，得，即﹣2＜m＜2．16．【解答】解：（1）当p为真时，即函数f（x）＝x2﹣2mx+1在（﹣∞，1）上单调递减，则m≥1，当q为真时，即：∀x∈R，x2+2x+m≥0，则△＝（2）2﹣4m≤0，即m≥3，“p且q”为真，则p为真且q为真，即，即m≥3；（2）由“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一真一假，由（1）得：即，解得：1≤m＜3．17．【解答】解：（1）分析法：要证明[f（x1）+f（x2）]＜f（）；即证明+＜2，即证明（+）2＜（2）2，即x 1+x2+2＜4×＝2（x1+x2）即证明2＜x 1+x2，∵x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2，∴2＜x 1+x2，成立，即[f（x1）+f（x2）]＜f（）；（2）反证法：假设结论不成立，即a＞b，∵若f（x）为R上的增函数，∴g（x）＝x+f（x）在R上为增函数，则g（a）＞g（b），即a+f（a）＞b+f（b），与已知a+f（a）≤b+f（b）矛盾，即假设不成立，则原命题成立．18．【解答】解：（1）由已知可知P（t，），故直线MN的斜率为﹣，∴直线MN的方程为y＝﹣（x﹣t）+，令y＝0可得x＝2t，∴M（2t，0）．又E（1，0），∠OEF＝45°，∴直线EF的方程为y＝﹣x+1，联立方程组，解得x＝，y＝，∴y N＝，∴S（t）＝＝（2t﹣1）•＝（≤t≤5）．（2）S′（t）＝．∴当≤t＜2时，S′（t）＜0，当2＜t≤时，S′（t）＞0，∴当t＝2时，S（t）取得最小值S（2）＝．∴当t＝2时，△EMN面积最小，最小面积为．19．【解答】解：（1）∵椭圆C：的右准线方程为x＝4，右顶点为A （2，0）．∴，a＝2，∴c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆C的方程为．（2）①∵△OP A为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方．∴OP的方程为：y＝x，AP的方程为：y＝x﹣2．由可得P（1，1）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝2，y1+y2＝2∴，，两式相减可得＝0．∴k MN∵k OP＝1，∴＝﹣，即k．∴直线MN的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0．②设AM的斜率为k，∵点P是线段MN的中点，点Q是线段NA的中点，∴k PQ＝k．∵∠OPQ的角平分线与x轴垂直，∴k OP+k PQ＝0，∴k OP＝﹣k．由①可得k MN，∴．设AM的方程为y＝k（x﹣2）．由可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0．∴2，∴x，，以﹣换k，可得，y，∴＝，整理可得：10k4+7k2﹣3＝0，解得，k＝±．∴直线AM的斜率为．20．【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，由f′（x）＞0，可得x＞；由f′（x）＜0，可得0＜x＜；即f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（0，）；（2）证明：设F（x）＝﹣lnx﹣（x＞0），可得F′（x）＝﹣+＝，当x＞1时，e x＞1，F′（x）＞0，F（x）递增；当0＜x＜1时，e x＞1，F′（x）＜0，F（x）递减；可得F（x）的最小值为F（1）＝e﹣1＞0，即有﹣lnx﹣＞0，即为xlnx+1＜e x，可得g（x）＞f（x）+1；（3）f（x）+g（x）≥h（x）恒成立⇔k≤恒成立，令m（x）＝，m′（x）＝＝，令r（x）＝e x﹣﹣lnx+e+1﹣，r′（x）＝＝，设G（x）＝e x﹣x+1，可得G′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，G（x）递增，可得G（x）＞G（0）＝0，即有e x＞x+1，即有r′（x）＞0，r（x）在x＞0递增，r（1）＝0，而在（0，1）上，r（x）＜0；m（x）在（0，1）递减；在[1，+∞）上r（x）＞0，m（x）在[1，+∞）递增，可得m（x）的最小值为m（1）＝，即k ≤，综上可得k 的取值范围是（﹣∞，]．第11页（共11页）。
江苏省泰州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)
椭圆的焦点坐标是( ‒ 3,0)，(3,0)
2 2 2 根据椭圆的标准方程，利用������ = ������ ‒ ������ ，即可求得椭圆的焦点坐标． 2 2 2 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，运用������ = ������ ‒ ������ 是关键．
4.
“(������ + 2)(������ ‒ 1) < 0”是“ ‒ 3 < ������ < 1”成立的______条件(在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要” ，“既不充分又不必要”中选一个填写)．
2
1 ������ + 【答案】 1
+ (������ + 1)(2������ + 1)
2
1
， = 3 + 15 ，
1 1 2
【解析】解：由3
1
=2+6
1
1
1
2
，5
，7
= 4 + 28
1
1
2
，9
= 5 + 45
1
1
= + ，…，可归纳出：2������ + 1 ������ + 1 (������ + 1)(2������ + 1)，
=
96 3 + 4������2，③，
由①②③可得(3 + 4������2)2
2 整理解得4������ = 9，
=
48 3 + 4������2，
∴ ������2 1=
48 3 + 4������2
=4
，
∴ ������1 =± 2， ∴ ������1 =± 3， ∴ ������(2,3)或( ‒ 2,3) 故答案为：(2,3)或( ‒ 2,3)
江苏省泰州市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)
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本题考查曲线的切线方程的求法，切点在切线上也在曲线上，考查计算能力．
2
8.
古埃及发现如下有趣等式：3 (������ ∈ ������ ∗ ).
1
=2+6
1
1
2
，5
= 3 + 15
1
1
2
，7
= 4 + 28
1
1
2
，9
= 5 + 45
1
1
= ，…，按此规律，2������ + 1 ______
1
1
，
������ ∈ (0,2) ，
������
������'(������) = ������������������������ ‒ 2 ，得 ，
1
������'(������) = ������������������������ ‒ 2 > 0
������
，得
������������������������ > 2
������
2
‒
������2 ������2
= 1(������ > 0,������ > 0)
������
的离心率为 10，
2 2 2 =3 ，可得������ + ������ = 10������ ，可得������ ．
故答案为：3．
������
利用双曲线方程，通过离心率转化求解������的值即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
1
∵ ������ ∈ (0,2) ∴ ������ ∈ (0,3) ， ， 则������(������)的单调递增区间为 故答案为： (0,3).
江苏省泰州市第二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析
江苏省泰州市第二高级中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则( )A.0B.1C.2D.3参考答案：C略2. 用秦九韶算法求n 次多项式，当时，求需要算乘方、乘法、加法的次数分别为（）A． B．n,2n,n C． 0,2n,n D． 0,n,n参考答案：D3. 复数的共轭复数为A B． C. D.参考答案：C4. 对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关参考答案：C5. 在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A. 直接求出回归直线方程B. 直接求出回归方程C. 根据经验选定回归方程的类型D. 估计回归方程的参数参考答案：C【分析】利用散点图的定义逐一作出判断即可.【详解】散点图的作用在于选择合适的函数模型．故选：C【点睛】本题考查对散点图概念的理解，属于基础题6. 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于()A. B. C.或 D.或参考答案：D7. 方程的图象如图所示，那么函数的图象是（）参考答案：C略8. 直线=和直线的位置关系（）A. 垂直B. 平行C. 相交但不垂直D. 重合参考答案：B9. 设A（3,3,1），B（1,0,5），C（0,1,0）则AB中点M到点C距离为 ( )A、 B、 C、 D、参考答案：A略10. 设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，则a的值为（）A．±B．±2C．±2D．±4参考答案：B【考点】圆的切线方程．【分析】先求出过点（0，a），其斜率为1的直线方程，利用相切（圆心到直线的距离等于半径）求出a即可．【解答】解：设直线过点（0，a），其斜率为1，且与圆x2+y2=2相切，设直线方程为y=x+a，圆心（0，0）到直线的距离等于半径，∴，∴a的值为±2，故选B．【点评】本题考查圆的切线方程，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点、的直线的斜率为______________．参考答案：2略12. 如图，直线l是曲线y=f（x）在x=3处的切线，f'（x）表示函数f（x）的导函数，则f（3）+f'（3）的值为．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义，f'（3）是曲线在（3，3）处的切线斜率为：f'（3）==﹣，又f （3）=3，可得结论．【解答】解：由题意，f'（3）==﹣，f（3）=3，所以f（3）+f′（3）=﹣+3=，故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义．属于基础题．13. 若关于x 的方程x 2+2（a ﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a 的取值范围 ．参考答案：a ＜﹣3【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题．【分析】令f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2a+6，根据关于x 的方程x 2+2（a ﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则f （0）＜0，解之即可求出所求． 【解答】解：令f （x ）=x 2+2（a ﹣1）x+2a+6∵关于x 的方程x 2+2（a ﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根 ∴f（0）=2a+6＜0解得a ＜﹣3 故答案为：a ＜﹣3【点评】本题主要考查了方程根的分布，以及函数的零点的判定定理，同时考查了转化的能力，属于基础题．14. 用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）参考答案：300①三位数中没有一个偶数数字，即在种任选三个，有种情况，即有个沒有一个偶数数字三位数；②三位数中只有一个偶数数字，在种选出两个，在中选出一个，有种取法，将取出的三个数字全排列，有种顺序，则有个只有一个偶数数字的三位数，所以至多有一个数字是偶数的三位数有个，故答案为300.15. 不等式的解集是，则a ＋b 的值是参考答案：-1416. 命题“若 |x|>3 , 则 x>3或x<-3”的逆否命题是参考答案：若-3, 则|x| 3.略17. 在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线和所成角的余弦值为 ．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省泰州市数学高二上学期文数期末联考试卷
江苏省泰州市数学高二上学期文数期末联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知数列{ }，那么给出的数不是数列中的其中一项的是（）A . 0B . 21C . 2016D . 20182. （2分）下列大小关系正确的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2016·潮州模拟) 已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 即不充分也不必要条件4. （2分） (2018高二下·陆川月考) 在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2015高二上·福建期末) 双曲线 =1的焦距是（）A . 4B . 2C . 6D . 与m有关6. （2分） (2018高二下·吴忠期中) 给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题．则，使；③“ ”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“ ，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A . ﹣＜﹣B . ab＜b2C . ﹣ab＜﹣a2D . |a|＜|b|8. （2分） (2016高一下·内江期末) 下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A . p1 ， p2B . p3 ， p4C . p2 ， p3D . p1 ， p49. （2分）抛物线y=x2在点M处的切线的倾斜角是（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分） (2018高三上·黑龙江月考) 中的对边分别是其面积，则中的大小是（）A .B .C .D .11. （2分）已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为（）A .B . 1C . 2D . 412. （2分） (2020高二下·铜陵期中) 已知函数，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，则a的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·赤峰模拟) 已知实数x、y满足，其中a= （x2﹣1）dx，则目标函数z=2x﹣3y的最小值为________．14. （1分） (2018高三上·北京期中) 函数的单调递增区间是________．15. （1分） (2016高二上·东莞开学考) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则 =________．16. （1分） (2017高二下·济南期末) （m2+m+1）+（m2+m﹣4）i=3﹣2i，（m∈R）⇒m=1是z1=z2的________条件．三、解答题 (共6题；共37分)17. （5分）(2018·重庆模拟) 已知椭圆C：的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y＝kx+m(k＞0，m2≠4)与椭圆C相交于A ， B两点，若|AB|＝4，试用m表示k ．18. （2分） (2019高二上·北京月考) 已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19. （10分） (2016高二上·郑州期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 =（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．20. （10分）(2020高二上·江阴期中) 设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，的前项和为，求的值.21. （5分） (2019高三上·铁岭月考)（1）讨论函数的单调性，并证明当 >0时，（2）证明：当时，函数有最小值.设g（x）的最小值为，求函数的值域.22. （5分）(2019·揭阳模拟) 设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共37分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2017-2018学年江苏省泰州市高二(上)期末数学试卷(文科)
2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为．2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为．4．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=．9．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=．10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是．13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．2017-2018学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的逆命题为若x2＞0，则x＞0．【分析】根据逆命题的定义，交换条件和结论即可．【解答】解：由逆命题的定义得逆命题为：若x2＞0，则x＞0；故答案为：若x2＞0，则x＞0；【点评】本题主要考查四种命题关系的应用，根据逆命题的定义是解决本题的关键．比较基础．2．（5分）复数（1+i）2（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（0，2）．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵（1+i）2=1+2i+i2=2i，∴复数（1+i）2在复平面上对应的点的坐标为（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3．（5分）抛物线x2=8y的准线方程为y=﹣2．【分析】根据抛物线的方程，可得抛物线开口向上且2p=8，由此算出=2，即可得到该抛物线的准线方程．【解答】解：∵抛物线的方程为x2=8y，∴抛物线开口向上，2p=8，可得=2．因此抛物线的焦点为（0，2），准线方程为y=﹣2．故答案为：y=﹣2【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程及基本概念等知识，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为．【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率．【解答】解：函数f（x）=sinx的导数为f′（x）=cosx，可得函数f（x）=sinx在处的切线的斜率为cos=，故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是关键，属于基础题．5．（5分）双曲线的渐近线的方程为．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a、b的值以及焦点的位置，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中a=4，b=3，其焦点在x轴上，其双曲线的渐近线方程为：；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线渐近线方程的求法．6．（5分）椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．【分析】椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1，能够类比推断出过双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程．【解答】解：∵椭圆=1（a＞b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为=1．∴类比上述结论，双曲线=1（a＞0，b＞0）在其上一点P（x0，y0）处的切线方程为．故答案为：．【点评】本题考查椭圆过其上一点的切线方程和双曲线过其上一点的切线方程的类比，考查简单的类比推理等基础知识，考查归纳总结能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．7．（5分）若“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，则实数m的取值范围是[﹣1，1] ．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由|x﹣m|≤2得﹣2≤x﹣m≤2，得m﹣2≤x≤m+2，∵“﹣1≤x≤1”是“不等式|x﹣m|≤2”成立的充分条件，∴[﹣1，1]⊆[m﹣2，m+2]，即，即，即﹣1≤m≤1，故答案为：[﹣1，1]【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系进行转化是解决本题的关键．8．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则p=4．【分析】根据题意，由抛物线的标准方程计算可得抛物线的准线方程，分析可得P到准线的距离也为4，则有2﹣（﹣）=4，解可得p的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y2=2px的准线为x=﹣，若抛物线上一点P（2，m）到其焦点F的距离为4，则P到准线的距离也为4；则有2﹣（﹣）=4，解可得p=4，故答案为：4【点评】本题考查抛物线的几何性质，注意利用抛物线的定义进行转化．9．（5分）已知，若（a ∈N*），则a=63．【分析】根据题意，依次分析3个式子，可得有=n成立，进而由，可得a=82﹣1=63，即可得答案．【解答】解：根据题意，对于第一个式子=2，有=2，对于第二个式子=3，有=3，对于第三个式子=4，有=4，分析可得：有=n，若，则a=82﹣1=63；则a=63；故答案为：63；【点评】本题考查归纳推理的应用，关键是分析各个式子，得到变化的规律．10．（5分）已知双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则点P 到右准线的距离为10．【分析】根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；由双曲线的标准方程可得a、b的值，计算可得c的值，计算可得双曲线的离心率，由双曲线的定义可得d′的值，进而由双曲线的第二定义可得=，解可得d的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设双曲线左支上一点P到右焦点的距离为d′，点P到右准线的距离为d；双曲线的方程为，其中a=5，b=12，则c==13，则双曲线的离心率e==，若双曲线左支上一点P到左焦点的距离为16，则P到右焦点的距离d′=16+2a=26，又由双曲线的离心率e==，则有=，解可得：d=10，即点P到右准线的距离为10；故答案为：10．【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的第二定义，关键是理解双曲线的第二定义并运用其分析本题．11．（5分）P为椭圆上一点，Q（2，0），则线段PQ长度的最小值为．【分析】设P点坐标，利用两点之间的距离公式及二次函数的性质，即可求得线段PQ长度的最小值．【解答】解：设P（4cosθ，2sinθ），θ∈[0，2π]，则|PQ|2=（4cosθ﹣2）2+（2sinθ）2，=16cos2θ﹣16cosθ+4+4sin2θ，=4（3cos2θ﹣4cosθ+2），令cosθ=t，t∈[﹣1，1]，|PQ|2=4（3t2﹣4t+2）=12（x﹣）2+，∴当t=时，|PQ|取最小值，最小值为，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的参数方程，同角三角函数的基本关系，考查二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．12．（5分）若函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，则a的取值范围是（，+∞）．【分析】y′=+2ax﹣（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．依题意，解得；【解答】解：y′=+2ax﹣（2a+1）=，（a＞0），令y′=0，得x=1或．∵函数y=lnx+ax2﹣（2a+1）x（a＞0）在x=1处取得极小值，∴，解得；故答案为：（，+∞）【点评】本题考查了函数的极值，属于中档题．13．（5分）已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆Γ上，且，则当λ∈[2，3]时，椭圆的离心率的取值范围为．【分析】由AF1⊥F1F2，求得A，根据向量的共线定理即可求得B点坐标，将B 代入椭圆方程，根据λ的取值范围，即可求得离心率的取值范围．【解答】解：由，则AF1⊥F1F2，则A（﹣c，），设B（x，y），，则（2c，﹣）=λ（x﹣c，y），∴，解得：，则B（，﹣），将B代入椭圆方程：+=1，整理得：c2（λ2+4λ+3）=a2（λ2﹣1），由e=，则==1+4×，由λ∈[2，3]，则2≤≤4，则3≤≤5，e∈（0，1]，则≤e≤，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，椭圆的离心率的求法，向量的坐标运算，考查转化思想，属于中档题．14．（5分）已知函数在[1，2]上单调递增，则a的取值范围为．【分析】讨论a=0，a＞0，a＜0，运用导数，转化为不等式恒成立，求得二次函数的最值，即可得到所求范围．【解答】解：当a=0时，f（x）=x3﹣4在[1，2]递增，显然成立；当a＞0时，f（x）=x3﹣4﹣2ax，导数为f′（x）=x2﹣2a≥0，在[1，2]恒成立，可得2a≤1，即有0＜a≤；当a＜0时，y=|2ax+4|的对称轴为x=﹣，当2ax+4≥0时，即为x≤﹣，f′（x）=x2﹣2a≥0，可得2a≤x2，显然成立；当2ax+4＜0时，即为x＞﹣，f′（x）=x2+2a≥0，可得2a≥﹣x2，可得2a≥﹣，解得a≥﹣，综上可得﹣≤a≤．故答案为：．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查导数的运用，注意运用分类讨论思想方法，考查运算能力，属于难题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知复数z1=1﹣i，z2=4+6i．（1）求；（2）若复数z=1+bi（b∈R）满足z+z1为实数，求|z|．【分析】（1）把z1=1﹣i，z2=4+6i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；（2）利用复数代数形式的加法运算求得z+z1，再由虚部为0求得b值，然后利用复数模的计算公式求得|z|．【解答】解：（1）∵z1=1﹣i，z2=4+6i，∴；（2）∵z=1+bi（b∈R），∴z+z1=2+（b﹣1）i，又∵z+z1为实数，∴b﹣1=0，得b=1．∴z=1+i，则．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，训练了复数模的求法，是基础的计算题．16．（14分）已知p：∀x∈R，x2﹣ax+a＞0；q：方程﹣=1表示双曲线．（1）若p为真命题时，求实数a的取值范围；（2）当p为假命题，且q为真命题，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据p是真命题结合一元二次不等式恒成立的性质进行求解即可．（2）根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，x2﹣ax+a＞0∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4（2）∵方程﹣=1表示双曲线∴4﹣a2＞0，解得﹣2＜a＜2∵p为假命题，且q为真命题∴，∴﹣2＜a≤0．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．17．（14分）（1）当x＞1时，求证：；（2）已知x∈R，a=x2﹣x+1，b=4﹣x，c=x2﹣2x．试证明a，b，c至少有一个不小于1．【分析】（1）根据作差法即可证明（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c ＜3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立．【解答】证明：（1）∵x＞1，∴（x﹣1）2＞0，x2＞0，x2+x+1＞0∴（2）假设a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1则有a+b+c＜3①而a+b+c=2x2﹣4x+5=2（x﹣1）2+3≥3②①与②矛盾故a，b，c至少有一个不小于1．【点评】本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定．18．（16分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费万元．设f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．（1）求f（x）的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【分析】（1）根据题意，分析可得有，整理变形，指明函数的定义域即可得答案；（2）由（1）的结论，对f（x）求导，分析可得f（x）在[2，5]上单调递减，在[5，8]上单调递增，据此分析可得当x=5时，f（x）取得最小值，计算即可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和，则有，整理得，（2≤x≤8）（2）由f'（x）≥0得x≥5所以f（x）在[2，5]上单调递减，在[5，8]上单调递增故当x=5时，f（x）取得最小值150．答：（1）（2）宿舍应建在离工厂5km处，可使总费用f（x）最小，最小值为150万元．【点评】本题考查导数的应用，涉及函数的最值的求法，求出函数的解析式时要指明函数的定义域．19．（16分）已知椭圆的离心率为，左顶点为A（﹣2，0），过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于B，C两点，其中点B在第二象限，过点B作x轴的垂线交AC于点D．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线BC的斜率为时，求△ABD的面积；（3）试比较AB2与AD•AC大小．【分析】（1）由a=2，根据椭圆的离心率公式，即可求得c，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的标准方程；（2）求得BC的方程，代入椭圆方程，求得B和C点坐标，求得AC的方程，即可求得D点坐标，即可求得△ABD的面积；（3）方法一：设AB的方程，代入椭圆方程，求得B点坐标，即可求得|AB|，根据对称性，，求得|AD|，由点B在第二象限，所以，于是有AB2＜AD•AC；方法二：直线AC的方程为，则，分别求得|AD|及|AC|，作差法即可AB2＜AD•AC．【解答】解：（1）因为左顶点为A（﹣2，0），所以a=2，因为椭圆的离心率为e=，解得，又因为b2=a2﹣c2，所以b2=1，故所求椭圆的标准方程为（2）因为直线BC过原点，且斜率为所以直线BC的方程为，代入椭圆方程，解得，因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，从而有，故△ABD的面积等于；（3）方法一：设直线AB的方程为y=k（x+2），k＞0，整理得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，设B（x1，y1），则有，解得从而|AB|=|﹣（﹣2）|=，由椭圆对称性可得C（﹣x1，﹣y1），所以，于是，故，，从而所以因为点B在第二象限，所以，于是有AB2＜AD•AC；方法二：设点B（x0，y0），则点C（﹣x0，﹣y0），因为A（﹣2，0），所以直线AC的方程为，所以从而，，=，，，从而有AB2＜AD•AC．【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及两点之间的位置关系，考查计算能力，属于难题．20．（16分）已知函数f（x）=e x﹣lnx（x＞0）的最小值为m．（1）设g（x）=f'（x），求证：g（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）求证：m＞2；（3）求函数h（x）=e x﹣e m lnx的最小值．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可；（2）求出导函数的零点，得到f（x）的最小值，根据基本不等式的性质证明即可；（3）求出函数的导数，求出函数的最小值，得到最小值的取值即可．【解答】解：（1）∵∴g（x）在（0，+∞）上单调递增（2）由（1）可知f'（x）在（0，+∞）上单调递增∵∴f'（x）存在唯一的零点，设为x0，则x0且当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0从而f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减所以f（x）的最小值∵∴∴x0=﹣lnx0∴（当且仅当x0=1时取等号）∵x0∴m＞2（第二问也可证明e x≥x+1，lnx≤x﹣1，从而得到m＞2）（3）同（1）方法可证得h'（x）在（0，+∞）上单调递增∵m＞2∴∴h'（x）存在唯一的零点，设为x1，则x1∈（1，m）且所以h（x）的最小值为∵∴∴x1=m﹣lnx1，即m=x1+lnx1由（2）可知∴x1+lnx1=∵y=x+lnx在（0，+∞）上单调递增∴所以h（x）的最小值为．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查基本不等式的性质的应用以及转化思想，是一道综合题．。
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2017-2018学年江苏省泰州市高二上学期期末考试数学（文科）试题解析版
(考试时间：120分钟；总分：160分)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1. 命题“若，则”的逆命题为______．
【答案】若，则
【解析】命题“若，则”的逆命题为“若，则”.
2. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为______．
【答案】
【解析】复数在复平面上对应的点的坐标为.
3. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填
4. 函数在处的切线的斜率为______．
【答案】
【解析】因为，且，即函数在处的切线的斜率为.
5. 双曲线的渐近线的方程为______．
【答案】
【解析】令，即，即双曲线的渐近线的方程为.
6. 椭圆在其上一点处的切线方程为．类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由类比，得双曲线在其上一点处的切线方程为.
7. 若“”是“不等式” 成立的充分条件，则实数的取值范围是______．【答案】
【解析】因为，且“”是“不等式” 成立的充分条件，所以，则，解得，即实数的取值范围是.
点睛：本题考查充分条件和必要条件的判定；在处理涉及数集的充分条件或必要条件的判定时，往往将问题转化为集合间的包含关系处理，已知命题，若，则是的充分条件，是的必要条件.
8. 抛物线上一点到其焦点的距离为，则______．
【答案】
【解析】因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得.
点睛：本题考查抛物线的定义；在求抛物线上的点到焦点的距离时，往往利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，但要注意抛物线是哪一种标准方程，如抛物线上一点到其焦点的距离为,抛物线上一点到其焦点的距离为，等等.
9. 已知，若（），则______．【答案】
【解析】由归纳，得
，即，即.
10. 已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为
______．
【答案】
【解析】因为双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，所以该点到右焦点的距离为，且离心率为，设点到右准线的距离为，则由双曲线的第二定义，得，解得，即点到右准线的距离为10.
点睛：本题考查双曲线的第一定义和第二定义的应用；椭圆和双曲线均有两个定义，第一定义是到两个定点的和（或差的绝对值）为定值的动点的轨迹，但要注意定值和两个定点间的距离的大小关系，第二定义是圆锥曲线的统一定义，是到定点到定直线的距离的比值为常数的动点的轨迹，但要注意定点不在定直线上.
11. 为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为______．
【答案】
【解析】设，则，
，即线段长度的最小值为.
12. 若函数在处取得极小值，则的取值范围是
______．
【答案】
【解析】由题意，得，
若时，令，得，令，得，即函数
在处取得极大值（舍）；当时，恒成立，即函数不存在极值；若
时，令，得，令，得，即若函数在处取得极小值，此时.
点睛：本题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意可导函数
在时存在极值，则，且两侧的导函数异号，若时，，时，，则在时取得极小值，往往忽视验证两侧的导函数是否异号.
13. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上，
且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即
，即，即，即
在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.
点睛：本题考查椭圆的几何性质、平面向量的共线和垂直的判定；在研究椭圆中过焦点的弦时，要注意与对称轴垂直的情形，即椭圆和双曲线的通径，如过椭圆的左焦点与对称轴垂直的弦称为椭圆的通径，长度为，记住结论可减少运算量.
14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】当时，在上递增，显然成立；当时，
，在恒成立，即，即；
当时，的对称轴为，当，即时，，可得，显然成立；当，即时，，可得，即，解得，综上所述，，即的取值范围为.
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性；已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：
（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（2）将函数在某区间上单调递增转化为（但不恒为0）在该区间上恒成立.
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15. 已知复数．
⑴求；
⑵若复数满足为实数，求．
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则进行求解；（2）先利用复数的加法法则得到，再利用复数的概念确定值，再利用模长公式进行求解.
试题解析：⑴
⑵∵
∴
∵为实数
∴∴
∴∴
16. 已知：，；：方程表示双曲线．
⑴若为真命题时，求实数的取值范围；
⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式恒成立和判别式为负进行求解；（2）先利用双曲线的标准方程的特点求出的范围，再利用真值表判定两简单命题的真假，再利用集合的运算进行求解.
试题解析：⑴∵，
∴，解得
⑵∵方程表示双曲线
∴，解得
∵为假命题，且为真命题
∴
∴
17. ⑴当时，求证：；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：
⑴由，
当时，可得，即可证明结论；
⑵可用反证法：假设都小于，即，可得，
进而，即可得到矛盾，即可作出证明．
试题解析：
⑴
∵∴
∴
⑵假设都小于，即
则有①
而②
①与②矛盾
故至少有一个不小于．
18. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
⑴求的表达式；
⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
【答案】(1)，；(2)宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．
【解析】试题分析：（1）利用题意提取有关知识，利用函数模型建立表达式；（2）利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最小值.
试题解析：⑴
整理得，
⑵
由得
所以在上单调递减，在上单调递增
故当时，取得最小值
答：⑴
⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．
19. 已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵当直线的斜率为时，求的面积；
⑶试比较与大小．
【答案】(1);(2)；(3)答案见解析.
..................
试题解析：⑴因为左顶点为，所以
因为椭圆的离心率为，所以，解得
又因为，所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点，且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为，所以直线的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一：
设直线的方程为，
代入椭圆方程得
设，则有，解得从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限，所以，于是有
方法二：
设点，则点
因为，所以直线的方程为
所以
从而
从而有
20. 已知函数的最小值为．
⑴设，求证：在上单调递增；
⑵求证：；
⑶求函数的最小值．
【答案】(1)在上单调递增；(2)证明见解析；(3)0.
试题解析：⑴
∵
∴在上单调递增
⑵由⑴可知在上单调递增
∵
∴存在唯一的零点，设为，则且
当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减
所以的最小值
∵∴∴
∴（当且仅当时取等号）
∵∴
（第二问也可证明，从而得到）⑶
同⑴方法可证得在上单调递增
∵
∴
∴存在唯一的零点，设为，则且所以的最小值为
∵∴
∴，即
由⑵可知
∴=
∵在上单调递增
∴
所以的最小值为。