福建省宁德市2020年(春秋版)高考数学一模试卷(理科)D卷
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(福建卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷第3至6页。
第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题。
满分150分。
注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据x 1,x 2,…，x a 的标准差 锥体体积公式13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 V=Sh 2344,3S R V R ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. i 是虚数单位，若集合S=}{1.0.1-，则A.i S ∈B.2i S ∈ C. 3i S ∈ D.2S i∈ 2.若a ∈R ，则a=2是（a-1）（a-2）=0的A.充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C.充要条件 C.既不充分又不必要条件 3.若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A.2 B.3 C.4 D.64.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A.14B.13 C.12 D.235.10⎰（e 2+2x ）dx 等于A.1B.e-1C.eD.e+16.(1+2x)3的展开式中，x 2的系数等于A.80B.40C.20D.107.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A.1322或B.23或2C.12或2 D.2332或 8.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，上的一个动点，则OA u u u r ·的取值范围是A.[-1.0]B.[0.1]C.[0.2]D.[-1.2]9.对于函数f （x ）=asinx+bx+c(其中，a,b ∈R,c ∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f （1）和f （-1），所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和210.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是A.①③B.①④C. ②③D.②④2020年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学(理工农医类)注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写答案，在试题卷上作答，答案无效。
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5- 14．12 15．35- 16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17． 解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，……………………………… 2分又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分 ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分 所以12n a n = ．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+]………………………………10分 122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． （1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN 又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．…………………… 1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，……………… 2分 所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分 所以//AF MN ，……………… 4分 又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ， 所以//MN 平面AED ．………………………5分 （2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ， 矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分 设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量， 因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--， 所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分 则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．………………………………12分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ． 又矩形ABCD 中，M 为AB 中点， 所以//,AM DF AM DF =， 所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，…………… 1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ， 所以//MF 平面AED ．………………… 2分 因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ， 所以//FN 平面AED ．……………… 3分 又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分 又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ， 又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC = 所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH ∴⊥又EG GH G =，AH ∴⊥平面EGH ， EH AH ∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分 因为1AB GH ==,GE所以tan EHG ∠………………………………11分 由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -……………1分 又sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =0A π<<………………………………………4分 所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，，解得42C ππ<<. ……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c bC B=，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分 因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+………………………………9分所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++ 21(2)14b =++………………………………10分 因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分 整理得222b c a +-………………………………2分所以222cos 2a b c A bc +-==………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分 延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE . 则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==. 在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分 即2244+8AD b b =+，所以AD =………………………………10分 因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分 20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分． 解：（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分 ∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=，………………………………8分设1t =，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分 （注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分） 21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x eax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a ea a ++-+=，即1(1)(2)0a ea +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分 所以2a =-.………………………………6分 （2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e+=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年福建省宁德市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B.C. D.2.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 36B. 70C. 72D. 1443.干支是天干甲、乙、、癸和地支子、丑、、亥的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元429年，则该年所对应的干支为六十干支表部分567戊辰己巳庚午585960辛酉戌壬癸亥己巳B. 庚午C. 壬戌D. 癸亥4.的展开式中，的系数是A. B. C. 50 D. 305.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.已知，且，则A. 0B.C.D. 0或7.在复平面内O为坐标原点，复数，对应的点分别为，，则的大小为A. B. C. D.8.函数恒成立的一个充分不必要条件是A. B. C. D.9.已知O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，则的最小值为A. 2B. 3C. 8D. 1510.方程：的曲线有下列说法：该曲线关于对称；该曲线关于点对称；该曲线不经过第三象限；该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是A. B. C. D.11.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为A. B. C. D.12.双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点．P为曲线C右支上的点，点M在外角平分线上，且若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为______．14.记为正项数列的前n项和，若，，则______．15.宁德市中学生篮球比赛中，如图为某球队8场比赛得分的茎叶图，其中有两个数字不慎被墨迹污染分别用m，n标注目前得知这组数据的平均值为58，则方差最大时的值为______．16.已知函数，若关于x的不等式的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集合为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，，．求；求AD的长．18.如图，在棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，，，且在底面上的投影H恰为CD的中点．过作与BC垂直的平面，交棱BC于点N，试确定点N的位置，并说明理由；若点P满足，试求的值，使二面角为．19.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆C上的一动点，面积的最大值为2．求椭圆C的方程；直线与椭圆C的另一个交点为Q，点，证明：直线PA与直线QA关于x轴对称．20.已知函数．讨论函数的单调性；求证：．21.某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通年卡为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出单位：百元，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表．若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；现依次抽取n个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A表示“连续3人的旅游消费支出超出”若表示的概率，a，b为常数，且．求，及a，b；判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．参考数据：，，22.在直角坐标系xOy中，曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为．求点A的直角坐标和直线l的直角坐标方程；把曲线上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，B 为上动点，求AB中点P到直线l距离的最小值．23.已知函数，，若存在实数x使得成立．求m的值；若，，，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得，得，即，，则，故选：B．求出集合A，B的等价条件，结合补集和交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．2.答案：C解析：解：等差数列的前n项和为，，，．故选：C．可得：，由此能求出结果．本题考查等差数列的求和，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：，；，；，；，；，；，；，；，；对应表格可知为己巳，故选：A．根据程序框图一步一步进行运算，直到跳出循环．本题考查程序框图，注意一步一步运算，属于基础题．4.答案：D解析：解：原式．故展开式含的项为：．故所求系数为30．故选：D．将第一个括号打开，分别与后面的二项式相乘，将问题转化为求后一个括号二项式展开式的4次项、3次项的问题求解．本题考查二项式的通项及其应用．要注意转化思想在解题中的应用，强调计算的准确性．属于基础题．5.答案：A解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4．该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：A解析：解：已知，且，，即，或不合题意，故选：A．由题意利用二倍角的余弦公式，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．7.答案：B解析：解：，．，，则．的大小为．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出，的坐标，再由得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，依题意，在上恒成立，设，则，易知函数在上单调递增，在上单调递减，，，故使得函数恒成立的一个充分不必要条件是．故选：C．依题意，在上恒成立，设，利用导数可知，再根据选项及充分不必要的条件即可得出正确选项．本题考查利用导数研究函数的最值，考查充分不必要条件的判断，考查分离变量思想及转化思想，属于基础题．9.答案：C解析：解：因为O为坐标原点，AB是：的直径．若点Q满足，如图：Q在以为圆心，半径为2的圆上运动；故；当最小时，取最小值；而；的最小值为：．故选：C．先根据向量的三角形法则把所求问题转化，结合图象即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.答案：D解析：解：将方程整理可得，令将x换成时，即，所以，所以曲线关于对称，所以正确，不正确；当时，，所以该曲线不经过第三象限，故正确，曲线过的整数点，三个整数点，故不正确，故选：D．将方程整理可得，令，可得所以可得曲线关于对称，不关于点对称，且时，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.答案：B解析：解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以，设，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，面ABCD，平面平面，所以面EFBD，所以，由题意可得，所以；所以，矩形EFBD的对角线的交点O，连接，可得，而面EFBD，而平面平面EFBD，平面平面，所以面EFBD，可得都为外接球的半径R，所以，所以外接球的表面积为，所以外接球的表面积最小值为．故选：B．由题意可得面EFBD，可得，再由多面体ABCDEF的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．本题考查几何体的棱长与外接球的半径之间的关系，和均值不等式的应用，及球的表面积公式，属于中档题．12.答案：D解析：解：如图，延长与的延长线交于N，设，，由双曲线的定义可得，点M在外角平分线上，且，可得，M为的中点，则，若恰为顶角为的等腰三角形，可得，，即有，解得，，在三角形中，，可得，可化为，则，故选：D．延长与的延长线交于N，设，，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及中位线定理，求得m，n，再在三角形中，，运用余弦定理，化简整理，结合离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，考查等腰三角形的性质和中位线定理、三角形的余弦定理，考查数形结合思想和化简运算求解能力，属于中档题．13.答案：．解析：解：由抛物线过的点的坐标可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为：，将点代入可得，可得，及抛物线的方程为：，显然也在该抛物线上，故答案为：．由抛物线过的定点可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程，由点的坐标可得参数的值，进而求出抛物线的方程．本题考查抛物线的性质，属于基础题．14.答案：16解析：解：因为为正项数列的前n项和，且，，且；；负值舍；；法；；法且；故数列为等比数列，；；故答案为：16．先根据已知条件求出，再根据递推关系式一步步求出结论．法利用等比数列的定义求解．本题主要考查递推关系式的应用以及等比数列的定义，属于基础题目．15.答案：解析：解：由题可得：；；取最大值，即：取最大值；；；为小于等于9的自然数；故时，A最大，此时不成立；故时，A最大．此时；故；故答案为：．先根据平均数求得；再把方差最大转化为取最大值，结合二次函数的性质即可求解结论．本题主要考查茎叶图的应用以及二次函数的有关性质，属于中档题目．16.答案：解析：解：函数，当时，则，当时发，，当时，，可得，当时，，即，可得，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，当时，则，解得，当时，则，解得．则实数a的取值集合为．故答案为：．根据函数的图象性质可知，，令是方程的解集，且为有限集，可知或，从而可得实数a的取值集合．本题考查的知识点是分段函数的应用，导函数研究其最值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．17.答案：解：因为，，所以，在中，，所以．在中，由正弦定理得，即，解得．因为，，所以，在中，，根据余弦定理，解得．解析：在中，根据，，结合内角和定理、诱导公式可求得；结合的结果和，可求出在三角形BCD中求出BD，再有，在中利用余弦定理可得AD的长．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．18.答案：解：解法一当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明，分别连结NH，，在中，，所以，因此，即，因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：由题知可得，，，所以，分别以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，，0，，，，，，，所以，易得平面AHB的一个法向量为，，，设为平面PBH的一个法向量，则：，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解法二：当点N为棱BC的中点时，符合题目要求，下面给出证明．分别连结NH，，BH．因为在底面上的投影H恰为CD的中点，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，在中，，故为等边三角形，又点N为棱BC的中点，所以，又，，，平面，所以平面，因此，点N即为所求，平面即为；证明：连结HA，在平行四边形ABCD中，因为，所以，故，即，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，，0，，，2，，，，，易得平面AHB的一个法向量为，设为平面PBH的一个法向量，则：，即，令，得，因为二面角为，所以，所以，又因为二面角的大小为钝角，故．解析：先证，，进而得到平面，由此BC的中点点N即为所求，平面即为；解法一：以为x，y轴的正方向，以过D点垂直于平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可；解法二：以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用已知条件建立关于的方程，解出即可．本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．19.答案：解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，因为面积的最大值为2，所以，即，又因为，所以，，故椭圆C的方程为．由得，当直线l的斜率为0时，符合题意，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，代入消去x整理得：，易得，设，，则，记直线PA，QA的斜率分别为，，则所以，因此直线PA与直线QA关于x轴对称．解析：根据，结合，所以，再根据面积最大值为，即可求出a，b；根据条件可得当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，设，，则，则，得证．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于难题．20.答案：解：定义域为，，当时，，所以函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，令，得或，当时，恒成立，所以函数的单调递增区间为，无减区间；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无减区间；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；证明：设，，由可知，当时，，且的单调递增区间为，递减区间为，所以的单调递增区间为，递减区间为，故，所以在上单调递增，又，所以当时，，时，；又当时，，时，，所以．解析：求导，分，，，及五种情形得出单调性情况；设，求导可知当时，，时，，由此容易得证．本题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，属于中档题．21.答案：解：直方图可得，，，元，旅游费用支出不低于1820元的概率为，，估计2019年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元．，，由，即，解得；数列从第三项起单调递减．，故，又，，即从第三项起数列单调递减．由此，可知随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．解析：由直方图可得，即可得到，结合已知的，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为，求得概率后乘以500得答案．先由题意求得与的值，再列关于a，b的方程组求解a，b的值；由，利用作差法可得从第三项起数列单调递减．其实际意义为随着抽查人数n的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小．即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．22.答案：解法一：点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，由，得点A的直角坐标为，直线l的直角坐标方程为．设，则由条件知点在曲线上，所以，即，因为P为AB中点，所以，则点P到直线l距离为，当时，取得最小值5，故AB中点P到直线l距离的最小值为．解法二：同解法一设，则由条件知点在曲线上，，即，则点A到直线l的距离为，点B到直线l距离为，当时，取得最小值4，故点B到直线l距离的最小值为，又因为点P为AB中点，则点P到直线l距离的最小值为．解析：利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用伸缩变换的应用和点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：存在实数x使得成立即存在实数x使得成立，等价为，而，当且仅当即时等号成立，故存在实数x使得成立等价于，解得，又因为，所以．解法一、由得，故，所以，当且仅当时取最小值．解法二：由，即，即，由，可得，当且仅当时取最小值．解析：由题意可得，由绝对值不等式的性质可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求值；方法一、用的式子表示，再由基本不等式可得所求最小值；方法二、由条件可得，由乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值，注意等号成立的条件．本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．。
2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷理科数学答案
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2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷 数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．
1．B 2．C 3．A 4．D 5．A 6．A
7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．D
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．
13．22x y = 14．16 15．-8 16．{1,3}-
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换
等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、
函数与方程思想等．满分12分．
解：（1）因为1cos 7BDC ∠=-，22sin cos 1BDC BDC ∠∠+=， 所以43sin BDC =
∠.……………………………………2分 在BDC ∆中，,3C DBC C BDC π∠∠+∠+∠=π=， 所以sin sin()DBC BDC C ∠=∠+∠…………………………………………………………3分 sin cos cos sin BDC C BDC C =∠⋅+∠⋅……………………………………………………4分 431133327=
⋅-⋅=. …………………………………………………………5分 （2）在BDC ∆中，由正弦定理得sin sin CD BD DBC C =∠，…………………………………6分 即33
3=，解得7BD =.…………………………………………………………8分 因为2ABD DBC π∠+∠=，33sin DBC ∠=， 所以cos ABD ∠33=，……………9分。
福建省宁德市2020年(春秋版)中考数学试卷D卷
福建省宁德市2020年（春秋版）中考数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020九下·宁波月考) -3的倒数等于（）A . 9B . -3C .D .2. （2分）(2017·平谷模拟) 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，平谷区投放了大量公租自行车供市民使用．据统计，目前我区共有公租自行车3 500辆．将3 500用科学记数法表示应为（）A . 0.35×104B . 3.5×103C . 3.5×102D . 35×1023. （2分）(2016·徐州) 下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·平谷模拟) 某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位：）如下图所示：设两队队员身高的平均数依次为，方差依次为，下列关系中完全正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）下面四个几何体中，主视图是圆的几何体是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019七下·海州期中) 用下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）A . 2cm、4cm、3cmB . 6cm、12cm、5cmC . 4cm、5cm、3cmD . 4cm、5cm、8cm7. （2分） (2020七上·邯郸月考) 数轴上点A到原点的距离是5 ，点A表示的数是（）A . 5B . -5C . 5 和-5D . 不能确定8. （2分） (2019九上·无锡期中) 方程3x2+4x﹣2=0根的情况是（）A . 两个不相等的实数根B . 两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法确定9. （2分） (2019九上·兰山期中) 已知二次函数的与的部分对应值如表：-1023450-4-30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线：；③当时，；④若是抛物线上两点，则，其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 310. （2分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点（-1，0），对称轴为x=1，则下列结论中正确的是（）A . a＞0B . 当x＞1时，y随x的增大而增大C . c＜0D . x=3是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根11. （2分）(2018·河池模拟) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧弧AB上任意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°12. （2分）(2017·永嘉模拟) 如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC= ，P为AB上一点，以PB为边向外作菱形PMNB，连结DM，取DM中点E，连结AE，PE，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）(2019·泸西模拟) 如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C＝40°，则∠AED＝________.14. （1分）(2018·温州) 一组数据1，3，2，7，，2，3的平均数是3，则该组数据的众数为________．15. （1分）(2019·萧山模拟) 因式分解：x2y﹣7y＝________.16. （1分）(2019·河南模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________．17. （1分） (2020九下·江阴月考) 如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，DC=2BD=4，以点D 为顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕D点旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________18. （1分）(2019·自贡) 某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为 ________.三、解答题 (共8题；共69分)19. （5分）计算：（1）|﹣3|﹣（）﹣1+（2）先化简，再求值：（+）÷，其中a=， b=﹣．20. （5分）(2020·通辽) 解方程： .21. （5分） (2015八上·宜昌期中) 正方形四边条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．22. （11分）(2018·南宁) 某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识凳赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：成绩等级频数（人数）频率A40.04B m0.51C nD合计1001（1）求m=________，n=________；（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数；（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．23. （15分）(2017·武汉模拟) 直线y= x与双曲线y= 的交点A的横坐标为2（1）求k的值（2）如图，过点P（m，3）（m＞0）作x轴的垂线交双曲线y= （x＞0）于点M，交直线OA于点N①连接OM，当OA=OM时，直接写出PN﹣PM的值②试比较PM与PN的大小，并证明你的结论．24. （7分） (2019七上·新蔡期中) 仔细观察下列等式：第1个：22﹣1＝1×3第2个：32﹣1＝2×4第3个：42﹣1＝3×5第4个：52﹣1＝4×6第5个：62﹣1＝5×7…这些等式反映出自然数间的某种运算规律．按要求解答下列问题：（1）请你写出第6个等式：________；（2）设n（n≥1）表示自然数，则第n个等式可表示为________；（3）运用上述结论，计算： .25. （6分） (2019九上·无锡月考) 如图l，在中，点，分别在边和上，点，在对角线上，且， .（1）求证：四边形是平行四边形：（2）若，， .①当四边形是菱形时，的长为________；②当四边形是正方形时，的长为________；③当四边形是矩形且时，的长为________.26. （15分） (2016九上·苍南月考) 如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A和点B．若N点是AC所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点N作MN平行于轴，交AC于点M．（1）求直线AC的解析式；（2）当点N运动至抛物线的顶点时，求此时MN的长；（3）设点N的横坐标为t ， MN的长度为l；①求l与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；②l是否存在最值，有如有写出最值；（4）点D是点B关于轴的对称点．抛物线上是否有点N，使△ODM是等腰三角形？若存在，请求出此时△CAN的面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共69分)19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、26-1、26-2、26-3、。
2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查理科数学答案
2020年宁德市普通高中毕业班质量检查数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．13．5-14．1215．35-16三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．本小题主要考查数列及数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，满分12分．17．解：（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎪⎨+=≥⎪⎩两式相减，得：1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，………………………………2分又 0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥，………………………………3分当1n =时，22122S S a +=且112a =，故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去），∴2111122a a -=-=，………………………………4分∴数列{}n a 为等差数列，公差为12，………………………………5分所以12n a n =．………………………………6分（2）由（1）及题意可得1112(11(1)2n b n n n n ==-++⋅，………………………………8分所以123n nT b b b b =++++ 11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+ ]………………………………10分122(1)11n n n =-=++．………………………………12分18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =,．……………………1分因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =，………………2分所以四边形AMNF 为平行四边形，…………3分所以//AF MN ，………………4分又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．………………………5分（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形 ABCD 平面EBC BC =，AB BC⊥所以AB ⊥平面EBC ．………………………………6分如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D，1,0)E -，………7分因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)=n 为平面ABCD 的一个法向量，………………………………8分设2(,,)x y z =n 为平面AED 的法向量，因为(0,2,0) AD =，1,1) AE =--，所以2200AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，得200y y z =⎧⎪--=，故可取2=n ，………………………………11分则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ，由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π． (12)分解法二：(1)取CD 中点F ，分别连结FM ,FN ．又矩形ABCD 中，M 为AB 中点，所以//,AM DF AM DF =，所以四边形AMFD 为平行四边形，所以//MF AD ，……………1分又AD ⊂平面AED ,MF ⊄平面AED ，所以//MF 平面AED ．…………………2分因为F 、N 分别为CD 、CE 的中点．所以//FN DE ，又DE ⊂平面AED ,FN ⊄平面AED ，所以//FN 平面AED ．………………3分又因为MF FN F ⋂=，所以平面//FMN 平面AED ，………………4分又MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面AED ．………………………………5分(2)过点E 作EG CB ⊥交CB 的延长线于G ，过G 作GH DA ⊥交DA 的延长线于H ，连结EH ，又因为平面ABCD ⊥平面EBC ，矩形 ABCD 平面EBC BC=所以EG ⊥平面ABCD ．EG AH∴⊥又EG GH G = ，AH ∴⊥平面EGH ，EH AH∴⊥所以EHG ∠即为二面角E AD B --的平面角，………………………………10分因为1AB GH ==,GE =，所以tan EHG ∠=………………………………11分由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．……………………12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识．满分12分．解：（1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=……………1分又sin sin[()]sin()B AC A C π=-+=+cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=…………………………………2分sin sin 0A C C -=，…………………………………3分因为0C π<<，所以sin 0C ≠所以cos 2A =，又0A π<<………………………………………4分所以4A π=.……………………………………………………5分（2）由（1）知4A π=根据题意得4022C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得42C ππ<<.……………………………………………………6分在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =，所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Aπ++===+………………………………………7分因为()42C ππ∈，，所以tan (1)A ∈+∞，所以(24)b ∈，……………………………………………………………8分因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+ ………………………………9分所以221()4AD AC AB =+ 21(48)4b b =++21(2)14b =++………………………………10分因为(24)b ∈，所以AD的取值范围为………………………………12分解法二：(1)cos c C -=⋅2222a b c c ab+--=⋅……………………1分整理得222b c a +-=………………………………2分所以222cos 222a b c A bc bc +-===，………………………………4分又0A π<<，所以4A π=………………………………5分(2)由（1）知4A π=，又c =，故2284a b b =+-.…………………………6分因为ABC ∆为锐角三角形，所以222222222a b c b c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222222848884848b b b b b b b b ⎧+->⎪+>+-⎨⎪+-+>⎩………………………7分所以(24)b ∈，………………………………8分延长AD 到点E ，使得DE AD =，连结BE ，CE .则四边形ABEC 为平行四边形，所以344ABE πππ∠=-=，BE AC b ==.在ABE ∆中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，………………………………9分即2244+8AD b b =+，所以AD =，………………………………10分因为(24)b ∈，，所以AD的取值范围为.………………………………12分20．本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解：（1） 离心率为12c e a ==，∴2a c =，………………………………1分 2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，………………………………3分∴1c =，2223b a c =-=，………………………………4分因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=．………………………………5分（2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅，又 22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．………………………………6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=，易得0∆>，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+，………………………………7分所以212121||||2ABF S F F y y ∆=⋅-=23(1)1m ==++，………………………………8分设1t =≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++，………………………………9分设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增，……………10分所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3，………………………………11分此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π．………………………………12分（注：若讨论直线l 斜率存在或不存在，由此求得斜率不存在时面积最大值，酌情按步给分）21．本题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解：（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，………………………………1分由1(1)(2)2a f e a a +'=+-=，………………………………2分得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=，……………………………3分解得1a =-或2a =-.………………………………4分当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，……………………5分所以2a =-.………………………………6分（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，………………………………7分故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+.由11()1t g t t t-'=-=,可得()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，。
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理 数学【解析版】
福建省宁德市2020届高三第一学期第一次质量检查期末考试试题理数学【解析版】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数22i +1iz =+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ） A. 22 32 D. 2【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi 的形式，然后利用复数模的公式计算即可． 【详解】复数2z 2i 1i =++＝2i+()()()21i 1i 1i -+-＝2i+1﹣i ＝1+i, 则|z|221+1=2故选C ．【点睛】本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．2.设集合201x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，22{|log (23)}B x y x x ==--，则A B =( ) A. {}21x x -≤<- B. {}11x x -<≤ C. {}21x x -≤< D. {}11x x -≤< 【答案】A【解析】【分析】 对集合,A B 分别进行不等式求解，并进行化简，再求交集，即可得答案. 【详解】因为2{|0}{|21}1x A x x x x +=≤=-≤<-， 集合22{|log (23)}{|3B x y x x x x ==--=>或1}x <-， 所以{}21A B x x ⋂=-≤<-.故选：A.【点睛】本题考查不等式的求解及集合的交运算，考查基本运算求解能力.3.已知等比数列{}n a 满足118a =，243441a a a =-，则2a =( ) A. 14± B. 14 C. 116± D. 116【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的通项公式，将等式243441a a a =-化成关于1,a q 的方程，进而求得2a 的值.【详解】因为243441a a a =-，所以2424211114411162a q a q q q =-⇒=-， 解得：2q =±，所以2111(2)84a a q =⋅=⋅±=±. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式应用，考查基本运算求解能力.4.若,x y 满足111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（）A. 2B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】 画出x ，y 满足约束条件111y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，的平面区域，如图示：由11y y x =⎧⎨=-⎩，解得()2,1A ，由2z x y =+可知直线过()2,1A 时，z 最大，得2215z =⨯+=，故选B. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 53πB. 7πC. 323πD. 13π【答案】C【解析】【分析】根据三视图的数据，求出球的体积后再减去圆锥的体积，即可得答案.【详解】如图所示，连接AB 交CD 于D ，设球的半径为R ，因为2CD AD BD =⋅，所以23)31BD BD =⋅⇒=， 所以31222AD BDR ++===， 所以34123233333V πππ=⋅⋅-⋅⋅⋅=.故选：C.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、组合体体积计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图，解方程1003(100)3n n =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3n n =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环.故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.7.若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则a α⊥的一个充分条件是（ ）A. //a β且αβ⊥B. a β⊂且αβ⊥C. a b ⊥且//b αD. a β⊥且//αβ 【答案】D【解析】考点：平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．解答：解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D ．点评：本题考查平面的基本性质和推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8.若实数x ，y ，z 满足23log log 2z x y ，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A. x <y <zB. x <z <yC. z <x <yD. z <y <x 【答案】C【解析】【分析】令23log log 2(0)z x y k k ，再利用对数函数与指数函数的图象，可得答案.【详解】令23log log 2(0)zx y k k ，则2,3k k x y ==， 因为0k >，由2,3x x y y ==的图象可得：32k k >，所以y x >；因为2log y x =与2x y =互为反函数，图象关于y x =对称，因为2log 2(0)z x k k ，所以z x ，综上所述：z x y <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的图象研究数的大小，考查数形结合思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意借助函数的图象进行研究.9.已知点(2,1)A -和点B 关于直线:10l x y +-=对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C ，若ABC ∆的面积为2，则k 的值为( )A. 3或13B. 0C. 13D. 3【答案】B【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再利用ABC ∆的面积为2，得到关于k 的方程，从而求得答案.【详解】设点(,)B x y ，则11,22110,22y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+-=⎪⎩解得：0,3x y ==，则(0,3)B ，设直线m 的方程为：1(2)y k x -=+与方程:10l x y +-=联立， 解得：231,11k k x y k k +=-=++，则231(,)11k k C k k +-++， 因为直线AB 的方程为：3y x ，且||2AB = 点C 到直线AB 的距离231|3|1122|1|k k k k d k +--+++=+ 所以1222|1||1|022|1|k k k k ⋅=⇒-=+⇒=+. 故选：B.【点睛】本题考查点关于直线对称、点到直线距离、三角形面积公式，考查数形结合思想运用，考查运算求解能力.10.已知斜率为k (0)k >的直线l 过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F ，与抛物线C 交于A ，B 两点，又直线l 与圆222304x y py p +--=交于C ，D 两点．若||3||AB CD =，则k 的值为( ) 2 B. 22 C. 4 D. 8 【答案】A【解析】【分析】利用弦长公式分别计算||AB 、||CD 关于k 的表达式，再利用||3||AB CD =求得k 的值.【详解】设直线l 的方程为2p y kx =+代入抛物线2:2(0)C x py p =>消去x ， 整理得：222(2)04p y p pk y -++=，则2122y y p pk +=+， 所以2212||222AB y y p p pk p p pk =++=++=+， 圆22222230()42p x y py p x y p +--=⇒+-=， 圆心为(0,)2p ，半径为p ， 因为直线过圆心，所以||2CD p =，因为||3||AB CD =，所以22262p pk p k +=⇒=故选：A.【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦CD 的特殊性，即可简化运算.11.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π，(,0)M m ,(,0)N n 分别是函数()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，点3,()2P a m a n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在函数()f x 的图像上，且满足212MN PN π⋅=，则A 的值为( )A. 3B. 2 32【答案】C【解析】【分析】 根据题意，可令0ϕ=，点(,0)M m 为坐标原点，再利用212MN PN π⋅=得到点P 的坐标，代入函数解析式，并求得A 的值.【详解】因为函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的周期为π， 所以22ππωω=⇒=，令0ϕ=得()sin 2f x A x =，令0m =，则(0,0)M ，因为212MN PN π⋅=，所以PN 在MN 方向的投影为2126||2MN PN MN πππ⋅==， 所以263a πππ=-=，所以3,32P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以3sin(2)332A A π⋅=⇒=故选：C. 【点睛】本题考查平面向量数量积与三角函数图象的交会、三角函数的周期及对称性，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解过程利用特值法，令0ϕ=，0m =，能使运算过程更简便.12.已知函数2()ln cos ()2a f x x x x a R =+-∈，以下四个命题： ①当a e ≤-时，函数()f x 存在零点；②当0a <时，函数()f x 没有极值点；③当0a =时，函数()f x 在(0,)π上单调递增；④当2cos1a ≥时，()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立．其中的真命题为( )A. ②③B. ①④C. ①②D. ③④【答案】D【解析】【分析】对函数求导得导数大于0在(0,)π恒成立，可得③正确，从而排除B ，C ，再根据导数方程，可得当0a <时，方程有解，故排除A ，从而得到正确选项. 【详解】因为'1(n )si x f x xx a =++， 对③，当0a =时，'1(n )si x f x x =+，因为(0,)x π∈时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)π上单调递增，故③正确，故排除B ，C ；对②，因为'11sin s n (i )ax x ax x f x x x =++⇔+=-，令1y ax x =+，因为0a <，所以函数1y ax x =+在(0,)+∞单调递减，且0x →时，y →+∞；x →+∞时，y →-∞；又因为sin y x =在存在(0,)+∞是连续的函数，且[1,1]y ∈-，所以两个函数一定有交点，所以存在0(0,)x ∈+∞，使得0001sin ax x x +=-，即'0()0f x =有解，且在0x 的两侧导数值异号，所以0a <时，函数()f x 没有极值点是错误，故排除A. 故选：D【点睛】本题查利用导数研究函数的性质，考查数形结合思想、函数与方程思想，求解时要注意利用排除法进行求解，可使问题的求解更高效.第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知向量(1,2)=-a ，(,1)b m m =-，若//a b ，则a b ⋅=_______．【答案】5-【解析】【分析】利用向量平行的坐标运算求得m 的值，再利用向量的坐标求数量积.【详解】因为//a b ，所以1(1)21m m m ⋅-=-⋅⇒=-，所以(1,2)=-a ，(1,2)b =-，所以145a b ⋅=--=-.故答案为：5-.【点睛】本题考查向量平行与数量积的坐标运算，考查基本概念的理解，属于基础题.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)(4)f x f x +=-，且2,[0,2),()36,[2,4),2x a x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩则()()1115f f +=_______． 【答案】12【解析】【分析】利用()f x 定义在R 上的奇函数，得a 的值，再由(4)(4)f x f x +=-得到函数的周期，从而利用函数解析式求()11f ，()15f 的值，即可得到答案.【详解】因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)101f a a =+=⇒=-， 所以21,[0,2),()36,[2,4),2x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-+∈⎪⎩，因为(4)(4)f x f x +=-，所以()(8)f x f x =+，所以()3311(3)3622f f ==-⋅+=，(15)(1)(1)1f f f =-=-=-， 所以()()1115f f +12=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查奇函数的性质、函数的周期性及函数值的计算，考查函数与方程思想和运算求解能力，求解时注意(0)0f =的运用.15.若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=_______． 【答案】35【解析】【分析】 由两角和的正弦展开并对等式进行化简得tan α的值，再根据同角三角函数的基本关系，求得sin ,cos αα的值，进而利用倍角公式求得sin 2α的值. 【详解】因为sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+， 所以2222222αααα++，整理得：tan 3α=-， 所以sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos 10αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以3sin 22sin cos 5ααα=⋅=-. 故答案为：35【点睛】本题考查两角和正弦公式、同角三角函数基本关系、倍角公式，考查三角恒等变形能力和运算求解能力.16.在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2．设11C D 的中点为E ，则PE 的最小值为_______． 【答案】21 【解析】【分析】取CD 的中点M ，连接,EM PM ，建立平面直角坐标系，求出点P 在正方形ABCD 所在平面内的轨迹方程，再将问题转化成求PM 的最小值.【详解】因为正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线1AA ，1BB 的距离之差为2，则点P 在平面ABCD 内的轨迹为双曲线，其方程为2213y x -=，则03≤≤y ， 取CD 的中点M ，连接,EM PM ，则222216PE PM ME PM =+=+，当PM 最小时，则PE 最小.设(,)P x y ，(0,4)M ，则22224(4)8173PM x y y y =+-=-+，03≤≤y ， 对称轴3y =，所以函数在03≤≤y 单调递减，所以当3y =时，2min ()1224175PM =-+=， 所以PE 的最小值为21.21【点睛】本题以立体几何为问题背景与解析几何中的双曲线进行知识交会，考查距离的最值问题，二次函数的性质，求解时注意利用坐标法思想进行求解，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.已知各项均为正数的数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且2112n n n S S a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）12n a n =；（2）21n n + 【解析】【分析】 （1）利用临差法得到11(2)2n n a a n +-=≥，从而证明数列{}n a 为等差数列，进而求得通项公式； （2）将通项进行改写，再利用裂项相消法进行求和. 【详解】（1）由2112122(2)n n n nn n S S a S S a n ++-⎧+=⎨+=≥⎩两式相减，得： 1112()()(2)n n n n n n a a a a a a n ++++=+-≥，又0n a >，∴11(2)2n n a a n +-=≥， 当1n =时，22122S S a +=且112a =， 故222210a a --=，得21a =（2102a =-<舍去）， ∴2111122a a -=-=， ∴数列{}n a 为等差数列，公差为12， 所以12n a n = ． （2）由（1）及题意可得1112()11(1)2n b n n n n ==-++⋅， 所以123n n T b b b b =++++11111112[(1)()()()223341n n =-+-+-++-+] 122(1)11n n n =-=++． 【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式、裂项相消法求和，考查数列中的基本量法，考查运算求解18.如图，矩形ABCD ⊥平面EBC ，1AB =，2π3EBC ，且M ，N 分别为AB ，CE 的中点．（1）证明：//MN 平面AED ；（2）若2BC BE ==，求二面角E AD B --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）3π 【解析】【分析】（1）取DE 中点F ，分别连结AF ,FN ，证明//AF MN ，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；（2）以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，得则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -，求出1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，23)=n 为平面AED 的法向量，从而求得二面角E AD B --的大小．【详解】（1）证明：取DE 中点F ，分别连结AF ,FN又N 为BC 中点，所以1//,2FN CD FN CD =, 因为矩形ABCD 中，M 为AB 的中点，所以1//,2AM CD AM CD =所以//,AM FN AM FN =， 所以四边形AMNF 为平行四边形，所以//AF MN ，又因为AF ⊂平面AED ,MN ⊄平面AED ，所以//MN 平面AED ．（2）因为矩形ABCD ⊥平面EBC ，矩形ABCD 平面EBC BC =， AB BC ⊥所以AB ⊥平面EBC ．如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -，则(0,0,0)B ，(0,0,1)A ，(0,2,1)D ，(3,1,0)E -， 因为x 轴⊥平面ABCD ，所以1(1,0,0)n =为平面ABCD 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面AED 的法向量，因为(0,2,0)AD =，(3,1,1)AE =--，所以2200AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2030y x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩， 故可取2(1,0,3)=n ，则1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角E AD B --的大小为3π．【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意找到三条两两互相垂直的直线，才能建立空间直角坐标系.19.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos b c a C -=⋅，22c =（1）求A ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，D 为BC 中点，求AD 的取值范围．【答案】（1）4A π=；（2）(5,10) 【解析】【分析】（122cos b c a C -⋅中的边化成角得到2cos 2A =A 的值； （2）由（1）知4A π=，可得C 的范围，再将b 表示成关于tan C 的函数，从而求得b 的取值范围.【详解】（122cos b c a C -⋅2sin 2cos B C A C -=， 又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+， 2(sin cos cos sin )sin 2cos A C A C C A C +-=， 2sin sin 0A C C -=，因为0C π<<，所以sin 0C ≠， 所以2cos 2A =0A π<<， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=， 根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，， 解得42C ππ<<. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c b C B =， 所以22)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b C C Cπ++===+， 因为()42C ππ∈，，所以tan (1,)C ∈+∞， 所以(24)b ∈，.因为D 为BC 中点，所以1()2AD AC AB =+， 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++， 因为(24)b ∈，，所以AD 的取值范围为(5,10). 【点睛】本题考查正弦定理的应用、利用向量解三角形及二次函数知识应用，考查数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想的综合运用，求解时要有变量思想，即将b 表示成关于角C 的函数.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过1F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，2ABF ∆的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）问：2ABF ∆的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）916π 【解析】【分析】（1）由离心率得2a c =，再利用2ABF ∆的周长为8得2a =，从而得到,,a b c 的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF ∆的内切圆面积的最大值转化为求2ABF S ∆的值最大，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-，从而将面积表示成关于m 的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12c e a ==，∴2a c =，2ABF ∆的周长为8，∴48a =，得2a =，∴1c =，2223b a c =-=，因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）设2ABF ∆的内切圆半径为r ，∴2221(||||||)2ABF S AF AB BF r ∆=++⋅， 又22||||||8AF AB BF ++=，∴24ABF S r ∆=，要使2ABF ∆的内切圆面积最大，只需2ABF S ∆的值最大．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线:1l x my =-， 联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去x 得：22(34)690m y my +--=， 易得>0∆，且122634m y y m +=+，122934y y m -⋅=+， 所以22121212121||||()42ABF S F F y y y y y y ∆=⋅-=+-⋅ 222223636121(34)34m m m m +=+++， 设211t m =+≥，则2212121313ABF t S t t t∆==++， 设13(1)y t t t =+≥，2130y t '=->，所以13y t t=+在[1,)+∞上单调递增， 所以当1t =，即0m =时，2ABF S ∆的最大值为3， 此时34r =，所以2ABF ∆的内切圆面积最大为916π． 【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.21.已知函数21()e ln (,)ax f x x b x ax a b R +=⋅--∈．（1）若0b =，曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与直线2y x =平行，求a 的值；（2）若2b =，且函数()f x 的值域为[)2,+∞，求a 的最小值．【答案】（1）2a =-；（2）e 【解析】【分析】（1）对函数进行求导得1()(2)ax f x xeax a +'=+-，再利用导数的几何意义得(1)2f '=，从而得到关于a 的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b =时，21()2ln ax f x x ex ax +=--，将函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+，则(1)2g =，从而将问题转化为12ln x a x +=-有解，再构造函数12ln ()x h x x+=-，利用导数研究函数的值域，从而得到a 的取值范围.【详解】（1）当0b =时，21()ax f x x e ax +=-，1()(2)ax f x xe ax a +'=+-，由1(1)(2)2a f ea a +'=+-=， 得1(2)(2)0a e a a ++-+=，即1(1)(2)0a e a +-+=， 解得1a =-或2a =-，当1a =-时，0(1)12f e =+=，此时直线2y x =恰为切线，故舍去，所以2a =-.（2）当2b =时，21()2ln ax f x x e x ax +=--，设21ax t x e +=，设21ax t x e +=，则ln 2ln 1t x ax =++，故函数()f x 可化为()ln 1g t t t =-+. 由11()1t g t t t-'=-=,可得 ()g t 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，所以()g t 的最小值为(1)1ln112g =-+=，此时1t =，函数的()f x 的值域为[2,)+∞问题转化为当1t =时，ln 2ln 1t x ax =++有解，即ln12ln 10x ax =++=，得12ln x a x+=-. 设12ln ()x h x x +=-，则22ln 1()x h x x -'=， 故()h x 的单调递减区间为)e ，单调递增区间为,)e +∞，所以()h x 的最小值为e)eh = 故a 的最小值为e- 【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:(1)(1)1C x y -+-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，直线l 的极坐标方程为(0)2πθαα=<<，直线l 交圆C 于,A B 两点，P 为,A B 中点. （1）求点P 轨迹的极坐标方程；（2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.【答案】(1) sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．(2) 12πα=或512πα=． 【解析】【分析】(1)联立极坐标方程,利用P 为,A B 中点与韦达定理分析求解即可.(2)根据极经的几何意义分别表示||,||AB OP ,再利用韦达定理求关于α的方程求解即可.【详解】解法一：（1）圆C 的极坐标方程为22(sin cos )10ρρθθ-++=将θα=代入22(sin cos )10ρρθθ-++=得： 22(sin cos )10ρραα-++=(0)2πα<<， 24(sin cos )40αα∆=+->成立，设点,,A B P 对应的极径分别为120,,ρρρ，所以12122(sin cos ),1,ρρααρρ+=+⎧⎨⋅=⎩， 所以120sin cos 2ρρραα+==+，所以点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=所以4sin 2(1sin 2)3αα+=，(2sin 21)(2sin 23)0αα-+=，又(0,)2πα∈，所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=解法二：（1）因为P 为AB 中点，所以CP AB ⊥于P ，故P 的轨迹是以OC 为直径的圆（在C 的内部）， 其所在圆方程为：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即220x y x y +--=.从而点P 轨迹的极坐标方程为sin cos ρθθ=+，(0,)2πθ∈．（2）由（1）得，212012120||||||||()4|AB OP ρρρρρρρρ⋅=-⋅+-24(sin cos )4|sin cos |αααα+-⋅+2sin 2|sin cos |3ααα=⋅+=令sin cos t αα=+，因为(0,)2πα∈，所以2]t ∈，则21sin 2t α-=， 所以2213t t -=224(1)3t t -⋅=，即424430t t --=，解得232t =（212t =-舍去）， 所以21sin 212t α=-=， 又(0,)2πα∈，2(0,)απ∈， 所以26πα=或526πα=， 即12πα=或512πα=． 【点睛】本题主要考查了极坐标中极经的几何意义,同时根据联立方程的韦达定理方法表达出题中所给的长度,再化简求解.属于中等题型.23.已知11212x x m在R 上恒成立. （1）求m 的最大值M ；（2）若,a b 均为正数，且11a M b ,求2a b -的取值范围. 【答案】(1)2(2) (,22]2,)-∞-⋃+∞． 【解析】【分析】(1)分1x ≤-,112x -<<和12x ≥三种情况去绝对值,将绝对值函数写成分段函数.再求最小值即可求m 的最大值M .(2)由(1)得2M =,再利用11a M b 将a 转换为关于b 的表达式,再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：（1）构造()|1||21|f x x x =++-，1()|1||21|2f x x x m =+++≥-在R 上恒成立， ∴min 1()2f x m ≥-， 又3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， ∴min 3()2f x =，∴2m ≤，∴m 的最大值2M =．（2）由（1）得2M =，故121a b ． 0,0a b >>，1232011b a b b -∴=-=>--， 32b ∴>或01b <<． 故112222(1)11a b b b b b ．当01b <<时，011b <-<， 1222(1)221a b b b ，当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”； 当32b >时，112b ->， 1122(1)22(1)2211a b b b b b ， 当且仅当12(1)1b b ，即212b 时取“=”． 所以2a b -的取值范围是(,22][22,)-∞-⋃+∞．【点睛】本题主要考查了绝对值函数的求解以及基本不等式的用法,属于中等题型.。
2020年福建省宁德市高中毕业班高三理数第一次模拟试卷(带解析)
2020年福建省宁德市高中毕业班高三理数第一次模拟试卷（带解析）一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数对应复平面上的点，复数满足，则（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（）A. B. C. D.5.设满足约束条件若目标函数的最小值大于，则的取值范围为（）A. B. C. D.6.福建省第十六届运动会将于2018年在宁德召开．组委会预备在会议期间将这六名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求必须在同一组，且每组至少2人，则不同的分配方法有（）A. 15种B. 18种C. 20种D. 22种7.一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.8.已知，则（）A. B. C. D.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A,B两点，若以为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（）A. B. C. D.10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（）A. B. C. D.11.函数 ( )，满足，且对任意，都有，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.12.设函数存在零点，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13.已知向量，的夹角为，，，则________．14.若双曲线的右焦点关于其中一条渐近线的对称点落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率=________．15.若正三棱台的上、下底面边长分别为和，高为1，则该正三棱台的外接球的表面积为________．三、解答题16.设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为________．17.已知数列的前和为，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和．18.如图，矩形中，，，点是上的动点．现将矩形沿着对角线折成二面角，使得．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）试求的长，使得二面角的大小为．19.如图，岛、相距海里．上午9点整有一客轮在岛的北偏西且距岛海里的处，沿直线方向匀速开往岛，在岛停留分钟后前往市．上午测得客轮位于岛的北偏西且距岛海里的处，此时小张从岛乘坐速度为海里/小时的小艇沿直线方向前往岛换乘客轮去市．（Ⅰ）若，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得，．已知速度为海里/小时( )的小艇每小时的总费用为( )元，若小张由岛直接乘小艇去市，则至少需要多少费用？20.已知椭圆的左、右焦点分别为, ．过且斜率为的直线与椭圆相交于点, ．当时，四边形恰在以为直径，面积为的圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求直线的方程．21.已知函数有最大值，，且是的导数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：当，时，．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）已知, 是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．23.选修4—5：不等式选讲已知，（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若时，的解集为空集，求的取值范围．答案解析部分一、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >单选题</b></p> </td> </tr> </table>1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】D二、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >填空题</b></p> </td> </tr> </table>13.【答案】214.【答案】215.【答案】三、<table border=0 cellspacing=0 cellpadding=0 > <tr > <td > <p><b >解答题</b></p> </td> </tr> </table>16.【答案】解：依题意可知：，整理得，，方程表示如图一段弧AB，可表示弧上一点到直线的距离的平方，的最小值是817.【答案】解：（Ⅰ），．当时，，得．当时，，，，即，．数列是等差数列，且首项为，公差为2，．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，——①，——②①–②得，化简得．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，解得，∴18.【答案】解：（Ⅰ）连结，．在矩形中，,, ．在中，∵,，∵，，即．又在中，，∴在中，,,又,∴平面．∴．（Ⅱ）解：在矩形中，过作于，并延长交于. 沿着对角线翻折后，由（Ⅰ）可知，两两垂直，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则,平面,为平面的一个法向量．设平面的法向量为，,由得取则 , ．即,．当时，二面角的大小是19.【答案】解：（Ⅰ）根据题意得：，，，．在中，由余弦定理得，,所以客轮的航行速度（海里/小时）．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得，，整理得：，解得或（不合舍去）．所以客轮从处到岛所用的时间小时，小张到岛所用的时间至少为小时．由于，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在中，，,所以为锐角，，．所以.由正弦定理得，,所以,所以小张由岛直接乘小艇去城市的总费用为( )，当且仅当，即时，（元）.所以若小张由岛直接乘小艇去市，其费用至少需元20.【答案】解：（Ⅰ）当时，直线轴，又四边形恰在以为直径，面积为的圆上，∴四边形为矩形，且．∴点的坐标为．又，∴．设，则．在中，，，∴，∴．∴，∴椭圆的方程为．（Ⅱ）将与椭圆方程联立得，设，，得，．故．又，∴，即，解得，∴直线的方程为21.【答案】解：（Ⅰ）的定义域为，．当时，，在上为单调递增函数，无最大值，不合题意，舍去；当时，令，得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，,,．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，,．，,在上单调递增．又，且,．,当时，，单调递增,要证，即，只要证，即．，,所以只要证————（*）, 设（其中）,,在（0，1）上为增函数,，故（*）式成立，从而。
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福建省宁德市2020年（春秋版）高考数学一模试卷（理科）D卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若集合,则集合（）
A . （-2，+∞）
B . （-2，3）
C . [1,3)
D . R
2. （2分）复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则||等于（）
A . 5
B .
C .
D .
3. （2分）(2017·海淀模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入a=﹣7，d=3，则输出的S为（）
A . S=﹣12
B . S=﹣11
C . S=﹣10
D . S=﹣6
4. （2分）(2019·恩施模拟) 在区间上随机选取一个实数，则事件“ ”发生的概率是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知函数满足，，且
（），则的值（）
A . 小于1
B . 等于1
C . 大于1
D . 由的符号确定
6. （2分）(2017·长沙模拟) 已知数列{an}满足：对于∀m，n∈N* ，都有an•am=an+m ，且，那么a5=（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2017·山南模拟) 已知向量，满足| |=2| |≠0，且关于x的函数f（x）= x3+ | |x2+ • x在R上有极值，则与的夹角的取值范围为（）
A . （，π]
B . [ ，π]
C . （0， ]
D . （， ]
8. （2分） (2019高二下·温州期中) 如图，函数（其中）与坐标轴的三个交点满足为的中点，，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）(2018高二下·温州期中) 已知函数和均为上的奇函数,
的最大值为 ,那么的最小值为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）点A到图形C上每一个点的距离的最小值称为点A到图形C的距离．已知点A（0，3），曲线C：x2+6y+y2=0，那么平面内到曲线C的距离与到点A的距离之差的绝对值为3的点的轨迹是（）
A . 一条直线，一条射线，一条线段
B . 二条射线
C . 一条直线，一条线段
D . 一条直线，一条射线
11. （2分）双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝（）
A .
B . 2
C . 3
D . 6
12. （2分）对于下列四个命题
,；
,；
,．
其中的真命题是（）
A . p1 ， p3
B . p1 ， p4
C . p2 ， p3
D . p2 ， p4
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为________．
14. （1分）若关于的三次方程的个实根为
，那么 ________.
15. （1分）(2017·巢湖模拟) 已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2 ，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是________．
16. （1分） (2016高二上·菏泽期中) 一个三角形的三条边长分别为7，5，3，它的外接圆半径是________．
三、解答题 (共7题；共65分)
17. （5分）(2020·淄博模拟) 下面给出有关的四个论断：① ；② ；
③ 或；④ .以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：若▲，则▲（用序号表示）并给出证明过程：
18. （10分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的
折线图．
注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据： =9.32， =40.17， =0.55，≈2.646．
参考公式：，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
19. （10分） (2019高三上·牡丹江月考) 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，AB//CD，
，AB=AD=2CD=2，△ADP为等边三角形．
（1）当PB长为多少时，平面平面ABCD?并说明理由；
（2）若二面角大小为150°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
20. （10分） (2019高二下·上饶期中) 已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，求直线的方程.
21. （10分）(2019·怀化模拟) 设函数 .
（1）若是的极大值点，求的取值范围；
（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.
22. （10分）(2017·广州模拟) 在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（m 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=3cosθ；直线l与曲线C的交点为A，B．
（1）求直线l和曲线C的普通方程；
（2）求 + 的值．
23. （10分）(2017·来宾模拟) 已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）＞1．
（2）当x＞0时，函数g（x）= （a＞0）的最小值总大于函数f（x），试求实数a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共65分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、22-1、
22-2、23-1、
23-2、。