第三讲单自由度系统的振动(阻尼) ppt课件
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机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
第三十一页，共32页。
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
第十一页，共32页。
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
内容总结
第四课 单自由度系统： 阻尼自由振动。库仑阻尼与结构阻尼。库仑阻尼与结构阻尼。比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工 作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运 动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性 阻尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。例 题
(2.3-2)
第十一页，共32页。
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
第十二页，共32页。
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
fd jx
式中 为结构阻尼系数，它与刚度 k 成正比，
gk
式中 g 为结构阻尼损耗因子，或称结构阻尼比。结构阻尼系统运动
方程为
mx kx jx f
第三十页，共32页。
Homework
▪ Write the differential equation of motion for the system in the following figure and determine the natural frequency of damped oscillation and critical damping coefficient.
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
17-3 单自由度系统的有阻尼自由振动
振动微分方程
下面建立具有粘性阻尼系统的自由振动微分方程。
以平衡位置O为坐标原点,建立系统振动微分方程可不计重力
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力Fk，方向指向平衡位置O
大小： Fk = −kx
（2）粘性阻尼力Fc，方向与速度方向相反
大小：
Fc
=
−cvx
=
−c
dx dt
物块振动微分方程：
m
设振动质点的速度为v，则粘性阻尼的阻力FC 可表示为：
F
=
−cv
负号表示方向
比例常数c 称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c 表示。
一般的机械振动系统都可以简化为： 由惯性元件（m） 弹性元件（k） 阻尼元件（c）组成的系统。
kc m
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经过一个周期Td,系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai+1 = Aen(ti +Td )
两相邻振幅之比为:
Ai Ai+1
=
Aenti Aen(ti +Td )
= enTd
这个比值称振幅减缩率。任意两相邻振幅之比为一常数，故
衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
分析表明:小阻尼情况下，阻尼对自由振动的频率影响较小,但 对自由振动的振幅影响较大，使振幅呈几何级数下降。
ωd =ωn 1−ζ 2
fd = f 1−ζ 2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率减小。
空气中的振动系统阻尼比较小，可认为：
ωd =ωn ， Td =T
由衰减振动运动规律：
《阻尼和振动公式》课件
线性阻尼的数学模型通常表示为： y''(t) + 2*zeta*omega*y'(t) +
omega^2*y(t) = 0，其中 y(t) 是振动 位移，zeta 是阻尼比，omega 是无阻
尼自然频率。
该模型描述了阻尼振动的基本特征，即 线性阻尼适用于描述大多数物理系统的
振幅随时间衰减的现象。
阻尼行为。
故障诊断与预测
通过监测机械设备的振动数据，结合振动公式，可以对设备故障进 行诊断和预测，及时发现潜在问题，提高设备维护效率。
在航空航天中的应用
1 2 3
飞行器稳定性分析
航空航天领域的飞行器在飞行过程中会受到各种 气动力的作用，振动公式的应用可以帮助分析飞 行器的稳定性。
结构强度与疲劳寿命评估
航空航天器的结构和零部件在长期使用过程中会 受到疲劳损伤，振动公式的应用可以评估结构的 强度和疲劳寿命。
受迫振动
当物体受到周期性外力作用时， 会产生受迫振动。受迫振动公式 的推导基于牛顿第二定律和周期
性外力模型。
多自由度系统的振动公式推导
多自由度系统
当一个物体有多个自由度时，其运动可以用多个振动公式 的组合来表示。多自由度系统的振动公式推导基于牛顿第 二定律和多自由度系统模型。
耦合振动
当多个自由度之间存在耦合作用时，其振动规律更为复杂 。耦合振动公式的推导需要考虑各自由度之间的相互作用 。
实验步骤与操作
步骤一
准备实验器材，包括振动平台、 阻尼器、测量仪器等。
步骤三
启动振动平台，记录物体在不同 阻尼条件下的振动情况。
步骤二
将待测物体放置在振动平台上， 调整阻尼器以模拟不同阻尼情况 。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
振动单自由度系统的振动 PPT课件
1
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
例3 品質彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
A21=0.16cm。 求阻尼係數μ 。
解：n
g
st
9.8 31.3rad / s 0.01
A21 A2 A3 A21 (e ) nT1 20
A1 A1 A2
A20
0.16 (enT1 )20 0.8
ln( 0.16) 0.8
由 dHI
dt
mI (F )
，
有
(
3 2
M
m)Rx
4k xR
振動微分方程：
x
8k 3M
2m
x
0
固有頻率：
n
8k 3M 2m
1
解2 ： 用機械能守恆定律 以x為廣義座標（取靜平衡位置為 原點）
T 1 Mx2 1 MR2 ( x )2 1 mx2
2
22 R 2
1 ( 3 M m)x2 22
1
§12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動
自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振 動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動）， 這是因為有阻尼。 一、阻尼的概念：
阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。
粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起 的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。
mg F mx
F k(x st ) st — 振体静止平衡时弹簧的 变形：mg k st
1
mx mg F mg k(x st ) kx
令
2 n
k m
则：x
2 n
x
0
這就是品質——彈簧系統無阻尼自由振動的
微分方程。
對於其他類型，同理可得。如
《单自由度系的振动》课件
应用领域
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
主动控制技术广泛应用于航空航天、机械制造、土木工程等领域， 以减小或消除结构的振动。
优势与局限性
主动控制技术的优点在于能够快速响应并有效抑制振动，但需要外部 能源和复杂的控制系统，增加了系统的复杂性和成本。
被动控制技术
被动控制技术定义
被动控制技术是利用阻尼材料或结构来吸收或耗散振动能量的方 法。
弹性力学模型
描述弹性体的振动特性，适用于弹性体的振动。
振动分析的数值方法
有限元法
将系统离散化为有限个单元，求解每个单元的振动响应。
时域法
在时间域内直接求解系统的振动响应。
频域法
将系统振动问题转化为频率域内的问题，求解系统的振动特性。
04
单自由度系统的振动控 制
主动控制技术
主动控制技术定义
主动控制技术是一种通过向系统提供反向振动来抵消原始振动的方 法。
03
单自由度系统的振动分 析
振动分析的基本方法
解析法
通过数学公式推导，求解系统的振动特性。
实验法
通过实验测量系统的振动响应，分析其特性 。
数值法
利用数值计算方法，求解系统的振动响应。
振动分析的数学模型
线性模型
描述线性系统的振动特性，适用于小振幅振动。
非线性模型
描述非线性系统的振动特性，适用于大振幅振动 。
总结词
在机械系统中，振动控制是提高设备稳定性和延长使用寿命 的关键。
详细描述
机械系统中的许多设备，如发动机、压缩机、机床等，都容 易受到振动的影响。通过采用适当的控制策略，如主动或被 动隔振、阻尼减振等，可以有效减小振动对设备性能的影响 ，提高设备的稳定性和可靠性。
建筑结构中的振动控制
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
第三讲(单自由度系统受迫振动)
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法 五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
三、简谐激励下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的基本原理
汽车振动学
第三讲
2009年3月2日
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动 （8学时）
2009年1月
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解 二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动 三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
其中
X β = = X0
1 (1 − λ 2 ) 2 + (2ζλ ) 2
称为放大因子
代表稳态响应振幅与最大静位移之比，它不仅随频率比而变，而且随阻尼比而变。 如果系统无阻尼，则系统的振动响应为 自由振动响应 受迫振动响应
F0 λ F0 x = x0 cos ωnt + sin ωn t − sin ωnt + sin ωt 2 2 k (1 − λ ) k (1 − λ ) ωn & x0
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)
ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
1 2ml 2 4kmb 2l 2 c 2 a 4
k b
l m
阻尼固有频率： 1 2 d 0
1
2bl cc 2 a
mk
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98
k
c
O
Fk
Fc
阻尼比为:
0.003215 2
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n
Td
T 1
2
d 0 1
2
fd f 1
2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正 比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此 研究。
1 2ml 2 4kmb 2l 2 c 2 a 4
k b
l m
阻尼固有频率： 1 2 d 0
1
2bl cc 2 a
mk
k=2000 N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为： Ai / Ai 1 100/ 98 ,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？
解：
求出对数减缩率:
Ai ln Ai 1
100 ln 0.0202 98
k
c
O
Fk
Fc
阻尼比为:
0.003215 2
sin(d t )
0;可求得有阻尼自 当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x
由振动中的振幅和相位：
A
2 ( x nx ) 2 x0 0 2 02 0 n
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两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示， 试确定此振动系统的阻尼比。
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd r
xR
2π N ln r 1 2
当 2<<1时
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n 2 2 2 0 1 2 1 2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
特性的一个参数。
PPT课件
12
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰
减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的
动 f (t) f (t nT) 的定
义，所以不是周期振动。
Td
d
A3
t
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特 点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所 需的时间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
PPT课件
9
阻尼对周期的影响
Td
2 d
2
x0 nx0
这种振动的
Aent 衰减曲线的包络线
振 幅 是 随 时 间 A x0 A1 不断衰减的，
A2
A3
称为衰减振动。
衰减振动的运
动图线如图所 示。
d
Td
PPT课件
t
8
x
由衰减振动的表达式：
Aent
x Aent sin(d t ) A x0 A1
A2
这种振动不符合周期振
有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程
PPT课件
5
x 2nx 02 x 0
（1）
其解可设为：
x ert
代入（1）式，得到特征方程：r 2 2nr 02 0
两个特征根为： r1,2 n n2 02
该方程通解为：
x C1er1t C2er2t
d 0 1 2 fd f 1 2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
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10
阻尼对振幅的影响 由衰减振动运动规律： x Aent sin( 02 n2 t ) Ae-nt相当于振幅
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振
动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
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11
由
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
两端取自然对数得 ln ln enT nTd δ称为对数减缩系数
其中
2
Td
0
1 2
n c 0 2 mk
2
2
02 - n2
0
1 ( n )2
0
0 1 2
其中： n c 0 2 mk
ζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。
在小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率
ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
T
Td 1 2
（2）粘性阻尼力
Fc
c
dx dt
cx
；方向与速度方向相反。
根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： mx cx kx 0
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4
- mx kx cx 0
两端除以m，并令：
02
k m
2n c m
n称为衰 减系数
kx cx
o
x
m
x
mx
整理得： x 2nx 02 x 0
d 02 n2 称有阻尼自由振动 Aent sin(d t )
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x0;可求得有阻尼自
由振动中的振幅和相位：
A
x02
(x0 nx0 )2
02 n2
x
arctan
x0 n2 n2
c
k 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻
尼元件（c）组成的系统。
m
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3
2.振动微分方程
当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时 可以不再计入重力作用。
c
k
m
xs k
c
o
m xx
kx cx
x
m
mx
o
x
f (t)
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正
比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此
研究。
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2
设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：
F
cv
负号表示方向
比例常数c称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。
一般的机械振动系统都可以简化为：
特征根 r1,2 n n2 02 为实数或复数时，运动规律有很大 不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和PPTn课=件ω0三种不同情形分别进行讨论6 。
3.小阻尼情形
当 n<ω0 时 ， ；其中
n c 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
特征根 r1,2 n n2 02 为共轭复数，即：
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: Ai Ae nti
经 过 一 个 周 期 Td ， 系 统 到 达 另 一 个
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1 Aen(ti Td )
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
机械振动学
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1
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随 时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
r1 n i 02 n2 r2 n i 02 n2
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
x Aent sin( 02 n2 t ) 或 x Aent sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定
解：振动衰减曲线的包络线方程为
x Aent
设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有
xP e nNTd r
xR
2π N ln r 1 2
当 2<<1时
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n 2 2 2 0 1 2 1 2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
特性的一个参数。
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12
例 在欠阻尼（ <1）的系统中，在振幅衰
减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的
动 f (t) f (t nT) 的定
义，所以不是周期振动。
Td
d
A3
t
但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特 点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所 需的时间称为衰减振动的周期，记为Td ，如上图所示。
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9
阻尼对周期的影响
Td
2 d
2
x0 nx0
这种振动的
Aent 衰减曲线的包络线
振 幅 是 随 时 间 A x0 A1 不断衰减的，
A2
A3
称为衰减振动。
衰减振动的运
动图线如图所 示。
d
Td
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t
8
x
由衰减振动的表达式：
Aent
x Aent sin(d t ) A x0 A1
A2
这种振动不符合周期振
有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二 阶齐次常系数线性微分方程
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5
x 2nx 02 x 0
（1）
其解可设为：
x ert
代入（1）式，得到特征方程：r 2 2nr 02 0
两个特征根为： r1,2 n n2 02
该方程通解为：
x C1er1t C2er2t
d 0 1 2 fd f 1 2
表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频 率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：
ωd =ω0 ， Td =T
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阻尼对振幅的影响 由衰减振动运动规律： x Aent sin( 02 n2 t ) Ae-nt相当于振幅
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振
动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
PPT课件
11
由
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
两端取自然对数得 ln ln enT nTd δ称为对数减缩系数
其中
2
Td
0
1 2
n c 0 2 mk
2
2
02 - n2
0
1 ( n )2
0
0 1 2
其中： n c 0 2 mk
ζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。
在小阻尼情形下，ζ<1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率
ωd与相应的无阻尼自由振动的T 、f和ω0的关系：
T
Td 1 2
（2）粘性阻尼力
Fc
c
dx dt
cx
；方向与速度方向相反。
根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为： mx cx kx 0
PPT课件
4
- mx kx cx 0
两端除以m，并令：
02
k m
2n c m
n称为衰 减系数
kx cx
o
x
m
x
mx
整理得： x 2nx 02 x 0
d 02 n2 称有阻尼自由振动 Aent sin(d t )
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x0;可求得有阻尼自
由振动中的振幅和相位：
A
x02
(x0 nx0 )2
02 n2
x
arctan
x0 n2 n2
c
k 由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻
尼元件（c）组成的系统。
m
PPT课件
3
2.振动微分方程
当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时 可以不再计入重力作用。
c
k
m
xs k
c
o
m xx
kx cx
x
m
mx
o
x
f (t)
振动过程中作用在物块上的力有：
（1） 恢复力 Fk kx ；方向指向平衡位置O；
当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正
比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此
研究。
PPT课件
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设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：
F
cv
负号表示方向
比例常数c称为粘性阻尼系数
振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。
一般的机械振动系统都可以简化为：
特征根 r1,2 n n2 02 为实数或复数时，运动规律有很大 不同，因此下面按n<ω0，n>ω0和PPTn课=件ω0三种不同情形分别进行讨论6 。
3.小阻尼情形
当 n<ω0 时 ， ；其中
n c 2m
阻尼较小，称为小阻尼情形。
特征根 r1,2 n n2 02 为共轭复数，即：
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: Ai Ae nti
经 过 一 个 周 期 Td ， 系 统 到 达 另 一 个
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1 Aen(ti Td )
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aenti Aen(ti Td )
enTd
机械振动学
PPT课件
1
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随 时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
r1 n i 02 n2 r2 n i 02 n2
微分方程的解 x C1er1t C2er2t 可以表示为：
x Aent sin( 02 n2 t ) 或 x Aent sin(d t )
其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定