课时跟踪检测(四十四) 简单的三角恒等变换

课时跟踪检测（四十四） 简单的三角恒等变换

A 级——学考水平达标练

1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α

2＝( )

A ．1

2

B ．1

2或不存在

C ．2

D ．2或不存在

解析：选B 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α

2不存在，

当cos α2≠0时，tan α2＝1

2

.

2．若cos 2α＝－4

5，且α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则sin α＝( ) A ．310

10

B ．

1010 C ．35

D ．－

1010

解析：选A 因为α∈⎣⎡⎦⎤π

2，π，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ 1－cos 2α

2

＝310

10

. 3．设a ＝12cos 6°－3

2sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝

1－cos 50°

2

，则有( ) A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b

D ．b ＜c ＜a

解析：选C 由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a ＜c ＜b . 4．已知tan 2α＝－22，π4＜α＜π

2，则2cos 2α

2－sin α－1

2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )

A ．－3＋2 2

B ．3－2 2

C ．－ 2

D ． 2

解析：选A 因为tan 2α＝－22，π4＜α＜π

2，

所以tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

＝－22，解得tan α＝2，

所以2cos 2α

2

－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－2

1＋2＝－3＋2 2.

5．若sin θ＝35，5π

2＜θ＜3π，则tan θ2＋cos θ2＝( )

A ．3＋

1010

B ．3－

1010

C ．3＋310

10

D ．3－310

10

解析：选B 因为5π

2＜θ＜3π，所以cos θ＝－

1－sin 2θ＝－45.因为5π4＜θ2＜3π

2，所以sin

θ2

＜0，cos θ2＜0，所以sin θ

2

＝－

1－cos θ2＝－310

10，cos θ2

＝－ 1＋cos θ2＝－10

10

，所以tan θ2＝sin

θ

2cos θ2

＝3.所以tan θ2＋cos θ2＝3－10

10.

6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：因为3sin x －3cos x ＝23

⎝⎛⎭

⎫32sin x －12cos x

＝23sin ⎝⎛⎭

⎫x －π6， 又φ∈(－π，π)，所以φ＝－π

6.

答案：－π

6

7．若sin α1＋cos α＝1

2

，则sin α＋cos α的值为________．

解析：∵sin α1＋cos α＝tan α2＝1

2，∴sin α＋cos α＝2tan

α2

1＋tan 2α2＋1－tan 2α21＋tan 2

α2＝2×12＋1－

1

41＋

14＝75.

答案：7

5

8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为5

13，则它的底角的余弦值为________．

解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为π－α2，由题意可知sin α＝5

13

，所以cos α＝

±

1－⎝⎛⎭⎫5132＝±12

13，所以cos π－α2＝sin α2＝ 1－cos α

2

＝ 1±12132，所以cos π－α2＝26

26

或526

26

.

答案：

2626或52626

9．化简：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x

2－tan x 2＋3

2

cos 2x . 解：原式＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2

＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2

x 2sin x 2cos x 2＋3

2cos 2x

＝sin 2x ·cos x sin x ＋3

2

cos 2x

＝12sin 2x ＋3

2cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 10．已知tan α2＝1

2

，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解：∵tan α2＝12，∴sin α＝2sin α2cos α

2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2

α2＝2×

1

21＋

14＝45， cos α＝cos 2α2－sin 2α

2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－

1

41＋

14＝35

. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝45×32＋35×12＝3＋4310

. B 级——高考水平高分练

1．化简2cos 2α－1

2tan ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( )

A ．1

B ．－1

C ．cos α

D ．－sin α