课时跟踪检测(四十四) 简单的三角恒等变换

课时跟踪检测（四十四） 简单的三角恒等变换
A 级——学考水平达标练
1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α
2＝( )
A ．1
2
B ．1
2或不存在
C ．2
D ．2或不存在
解析：选B 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α
2不存在，
当cos α2≠0时，tan α2＝1
2
.
2．若cos 2α＝－4
5，且α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则sin α＝( ) A ．310
10
B ．
1010 C ．35
D ．－
1010
解析：选A 因为α∈⎣⎡⎦⎤π
2，π，所以sin α≥0，由半角公式可得sin α＝ 1－cos 2α
2
＝310
10
. 3．设a ＝12cos 6°－3
2sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝
1－cos 50°
2
，则有( ) A ．c ＜b ＜a B ．a ＜b ＜c C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a
解析：选C 由已知可得a ＝sin 24°，b ＝sin 26°，c ＝sin 25°，所以a ＜c ＜b . 4．已知tan 2α＝－22，π4＜α＜π
2，则2cos 2α
2－sin α－1
2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )
A ．－3＋2 2
B ．3－2 2
C ．－ 2
D ． 2
解析：选A 因为tan 2α＝－22，π4＜α＜π
2，
所以tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
＝－22，解得tan α＝2，
所以2cos 2α
2
－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－2
1＋2＝－3＋2 2.
5．若sin θ＝35，5π
2＜θ＜3π，则tan θ2＋cos θ2＝( )
A ．3＋
1010
B ．3－
1010
C ．3＋310
10
D ．3－310
10
解析：选B 因为5π
2＜θ＜3π，所以cos θ＝－
1－sin 2θ＝－45.因为5π4＜θ2＜3π
2，所以sin
θ2
＜0，cos θ2＜0，所以sin θ
2
＝－
1－cos θ2＝－310
10，cos θ2
＝－ 1＋cos θ2＝－10
10
，所以tan θ2＝sin
θ
2cos θ2
＝3.所以tan θ2＋cos θ2＝3－10
10.
6．若3sin x －3cos x ＝23sin(x ＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________. 解析：因为3sin x －3cos x ＝23
⎝⎛⎭
⎫32sin x －12cos x
＝23sin ⎝⎛⎭
⎫x －π6， 又φ∈(－π，π)，所以φ＝－π
6.
答案：－π
6
7．若sin α1＋cos α＝1
2
，则sin α＋cos α的值为________．
解析：∵sin α1＋cos α＝tan α2＝1
2，∴sin α＋cos α＝2tan
α2
1＋tan 2α2＋1－tan 2α21＋tan 2
α2＝2×12＋1－
1
41＋
14＝75.
答案：7
5
8．已知等腰三角形的顶角的正弦值为5
13，则它的底角的余弦值为________．
解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为π－α2，由题意可知sin α＝5
13
，所以cos α＝
±
1－⎝⎛⎭⎫5132＝±12
13，所以cos π－α2＝sin α2＝ 1－cos α
2
＝ 1±12132，所以cos π－α2＝26
26
或526
26
.
答案：
2626或52626
9．化简：12sin 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan x
2－tan x 2＋3
2
cos 2x . 解：原式＝12sin 2x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos x 2sin x 2－sin x 2cos x 2
＋32cos 2x ＝12sin 2x ·cos 2x 2－sin 2
x 2sin x 2cos x 2＋3
2cos 2x
＝sin 2x ·cos x sin x ＋3
2
cos 2x
＝12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 10．已知tan α2＝1
2
，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值． 解：∵tan α2＝12，∴sin α＝2sin α2cos α
2＝2sin α2cos α2sin 2α2＋cos 2α2＝2tan α21＋tan 2
α2＝2×
1
21＋
14＝45， cos α＝cos 2α2－sin 2α
2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin 2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－
1
41＋
14＝35
. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6＝45×32＋35×12＝3＋4310
. B 级——高考水平高分练
1．化简2cos 2α－1
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( )
A ．1
B ．－1
C ．cos α
D ．－sin α
解析：选A 原式＝2cos 2α－1
2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭
⎫π
4－α·sin 2⎝⎛⎭⎫π
4＋α
＝2cos 2α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2α
cos 2α＝1.故选A.
2．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等，设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－sin α1
3·sin α2＋α33
＝________.
解析：设三段圆弧交于A ，B ，D 三点，连接PA ，PB ，PD ，则∠APB ＋∠APD ＋∠BPD ＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以cos α13cos α2＋α33－sin α13sin α2＋α33＝cos α1＋α2＋α33＝cos 4π
3＝
－1
2
. 答案：－1
2
3．已知θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，求sin θ. 解：因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π， 所以cos 2θ≤0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－
1－
⎝⎛⎭
⎫3782＝－18.
又cos 2θ＝1－2sin 2θ，
所以sin 2
θ＝1－cos 2θ2＝1－⎝⎛⎭⎫－182＝916
，
因为θ∈⎣⎡⎦⎤
π4，π2，所以sin θ＞0， 所以sin θ＝34
.
4．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213
，求sin 2α的值．
解：(1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期是π.
(2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－52
13， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5
13
. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，
所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－12
13， 所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π
4 ＝22
sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛
⎭⎫2α＋π4 ＝
22×⎝⎛⎭⎫－513－2
2×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226
.
5．已知点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过点P 作切线PT ，且PT ＝1，∠PAB ＝α，则当α为何值时，四边形ABTP 的面积最大？
解：如图所示，∵AB 为半圆的直径，∴∠APB ＝π
2，又AB ＝1，∴
PA ＝cos α，PB ＝sin α.
又PT 切半圆于P 点，∴∠TPB ＝∠PAB ＝α，
∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α＝12sin αcos α＋12sin 2α＝14sin 2α＋
1
4(1－cos 2α)＝
24
sin ⎝⎛
⎭⎫2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，∴－π4＜2α－π4＜3π4，∴当2α－π4＝π2，即α＝3π8时，S 四边形ABTP 取得最大值
2
4＋1
4
.。