(优选)第四章刚体转动习题课选讲例题
刚体转动习题课
dθ 角速度 ω = dt dω 角加速度 α = dt
与线量的关系
v = rω ατ = rα 2 αn = rω
2、刚体定轴转动定律
v dω v dv v M = Jα = J ( F = ma = m ) dt dt
v v v 力矩 M = r × F v M = rF sinθ
方向：右手法则 转动惯量： 2 3、刚体转动的功能原理
t 0
m (dm1g)x = ∫0 µ 1 gxdx M = ∫ dM = ∫ µ 0 l 1 dx(dm ) M = m glµ o 1 2 x
l l
1
x
− ∫ M = Jω − Jω0 dt
m2v t=
m gµ 1
方法Ⅱ
l 1 2 mg ⋅ = Jω 2 2
方法Ⅲ
求出 ω
l 1 2 mg ⋅ = mvc 2 2 l 又 Qvc = ω 2
求出 vc 求出 ω
分别判断三种方法的正误
2、判断角动量是否守恒 （1）圆锥摆（对oo′ 轴） o′ 小球质量为 m √ （2）对定滑轮轴 o v v 的角动量 重物、人质量均为 m ，定滑轮质 量不计，人向上爬行 √
解：处理这类碰撞问题与过 去质点运动相似但又有区别， 将分阶段进行讨论 （1）杆自由下落到将和 m 碰撞 2 l 1 2 由机械能 m g = Jω 1 守恒得 2 2
m ,l 1
（2）杆和物体 m 碰撞过程 2 由角动量守恒（为什么？动量守恒吗？） 为什么？动量守恒吗？）
3g ω= l
m 2
′ + m2l 2ω′ Jω = Jω 1 2 3g 1 2 ml = ml ω′ + m2l 2ω′ 1 1 3 l 3
(完整版)刚体的转动习题
17-4图18-4 图F F ρ-O 04 第四章 刚体力学一、选择题：1、如图4-18所示，一圆盘绕通过盘心且与盘面垂直的轴o 以角速度ω针转动。
今将两大小相等、方向相反、但不在同一条直线上的力F 和F -盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度：[ ] （A ）必然减少 （B ）必然增大（C ）不会变化 （D ）如何变化，不能确定 2、如图4-17所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B端置于粗糙的水平地面上而静止，杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为：[ ]（A ）θcos 41mg （B ）θmgtg 21 （C ）θsin mg （D ）不能唯一确定 3、某转轮直径m d 4.0=,以角量表示的转动方程为t t t 4323+-=θ（SI ）,则：[ ]（A ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.6-s rad ；（B ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.12-s rad ；（C ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.42.3-s m ；（D ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.84.6-s m 。
4、如图4-2所示，一倔强系数为k 轮（转动惯量为J ），下端连接一质量为m 的物体，问物体在运动过程中，下列哪个方程能成立？[ ] （A ）ky mg = （B ）02=-T mg（C ）my T mg =-1 （D ）y R J J βR T T ''⋅==-)(21 5、 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．［ ］6、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．在上述说法中，(A) 只有(1)是正确的．(B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误．(C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误．(D) (1) 、(2) 、(3) 、(4)都正确． ［ ］7、有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．1-4 图5-4图19-4 图 (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大． ［ ］8、一力N j i F )53(ϖϖϖ+=，其作用点的矢径为m j i r )34(ϖϖϖ-=，则该力对坐标原点的力矩为：[ ] （A ）m N k ⋅-ϖ3 （B ）m N k ⋅ϖ29 （C ）m N k ⋅ϖ19 （D ）m N k ⋅ϖ39、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定． ［ ］10、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小．(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大．(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小．(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． ［ ］11、如图4-19所示P 、Q 、R 、S l RS QR PQ ===，则系统对o o '轴的转动惯量为：[ ]（A ）250ml （B ）214ml（C ）210ml （D ）29ml12、如图4-1所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =。
大学物理第四章 刚体的转动部分的习题及答案
第四章 刚体的转动一、简答题：1、简述刚体定轴转动的角动量守恒定律并给出其数学表达式?答案：刚体定轴转动时，若所受合外力矩为零或不受外力矩，则刚体的角动量保持不变。
2、写出刚体绕定轴转动的转动定律文字表达与数学表达式?答案：刚体绕定轴转动的转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
表达式为：αJ M =。
3、写出刚体转动惯量的公式，并说明它由哪些因素确定?答案：dm r J V⎰=2①刚体的质量及其分布；②转轴的位置；③刚体的形状。
二、选择题1、在定轴转动中，如果合外力矩的方向与角速度的方向一致，则以下说法正确的是 ( A )A.合力矩增大时，物体角速度一定增大；B.合力矩减小时，物体角速度一定减小；C.合力矩减小时，物体角加速度不一定变小；D.合力矩增大时，物体角加速度不一定增大2、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 ( C ) A.只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关； B.取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关； C.取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置；D.只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关；3、有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度0ω转动，此时有一质量为m 的人站住转台中心，随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 ( A ) A.()2mR J J +ω B.()2Rm J J +ω C.20mR J ω D.0ω4、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的? ( A )A.角速度从小到大，角加速度从大到小．B.角速度从小到大，角加速度从小到大．C.角速度从大到小，角加速度从大到小．D.角速度从大到小，角加速度从小到大．5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度( C )A.增大B.不变C.减小 (D) 、不能确定6、在地球绕太阳中心作椭圆运动时，则地球对太阳中心的 ( B ) A.角动量守恒，动能守恒 B.角动量守恒，机械能守恒 C.角动量不守恒，机械能守恒 D.角动量守恒，动量守恒7、有两个半径相同,质量相等的细圆环A 和B ，A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀，它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为A J 和B J ，则 ( C )A.B A J J >；B.B A J J <；C.B A J J =；D.不能确定A J 、B J 哪个大。
第四章刚体运动习题详解
解：棒下摆为加速过程， 外力矩为重力对O 的力矩。
棒上取质元dm,当棒处在 下摆角时,重力矩为：
x
O
X
C
dm
dM xgdm
合力矩
mg
gdm
解：
因摩擦力产生的力矩是恒定的，故角速度均匀 减小。
0
0
t
0
0 t
dt t
0
f dS
r
σ
m πR2
R
dθ o
r
M J 1 mR2
2
dr
t 0mR2 / (2M ) (1) M ?
考虑面元dS对轴的摩擦力矩dM ：
dM r0gdm r0g dS
26
t0mR2/(2M ) (1) dM r0g dS
mg 由(3)(4)(5)得
mgR sin
1 2
J02
1 2
J2
(5)
gh 2R2
cos2
g R
sin
1 2R
.
g 2
(h
4
3R)
M J
mgR 2mR2
g 2R
( 60 )
44
dt
O
X
C
即 d d
3g cos d d
mg
2L
θ
0
3gcos
2L
d
0
d
3g 2L
sin
1 2
2
3g sin
L
22
m 例2.质量为 、长为L的匀质细杆水平放置,一端
09-2 刚体选讲例题
v
1 S r r sin 2
单位时间扫过的面积
ms m F G 3 r r
L C
S 1 r sin t 2 t S 1 1 lim rv sin L t 0 t 2 2m
r
由质点动能定理
FN
FT FT
1 1 2 2 mgh R FT d mv mv0 0 2 2
物体由静止开始下落
o P '
FT
m
FT
v0 0, 0 0
P
1 并考虑到圆盘的转动惯量 J mR 2 2
解得
v R
mgh v2 m 2m
刚体的转动习题课选讲例题 例 一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂 直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 . 解 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
l m
c
l
m
v0
h
1） 单摆自由下 摆（机械能守恒）， 与杆碰前速度
h
v0 2gh0
刚体的转动习题课选讲例题
v0
c
角动量守恒
2gh0
mlv0 J mlv
2）摆与杆弹性碰撞（摆，杆）
l
m
h
1 2 1 2 1 2 机械能守恒 mv0 mv J 2 2 2 1 3v0 h v v0 2 2l
mB g FT2 mB a
RFT2 RFT1 M f J
刚体的转动习题课解读
L J 常量
合外力矩为零的两种常见情况： 力通过转轴; 力平行于转轴。
第四章 习题课
4
物理学
第五版
4、刚体转动的动能原理
1 2 1 2 W M d J2 J1 2 2
力矩的功
W M d
刚体定轴转动动能
1 2 J 2
第四章 习题课
J1 J 2 m1R 2 m1Rr FT2 m2 g 2 2 J1 J 2 m1R m2 r
第四章 习题课
13
物理学
第五版
例4 A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连 接,A轮的转动惯量J1=10.0kg.m2,开始时B轮静止,A 轮以n1=600r.min-1的转速转动,然后使A与B连接,因 而B轮得到加速而A轮减速,直到两轮的转速都等于 n=200r.min-1为止.求(1)B轮的转动惯量;(2)在啮合过 程中损失的机械能.
l l0 m
v
v0
m′
第四章 习题课
23
物理学
第五版
解：子弹射入滑块瞬间,属完全非弹性碰撞,由 动量守恒得 v l
mv0 m mv1
l0 m
滑块、子弹、弹簧组成的 系统机械能守恒
m′ v0
1 1 1 2 2 2 m m v1 m m v k l l0 2 2 2
以环和小球组成的系统ab过程中对轴的角动量守以环小球和地球组成的系统ab过程中机械能守恒mgrmvmr第四章习题课物理学第五版18由于总的转动惯量不变用同样的方法可得环的角速度和小球相对于环的速度分别为gr第四章习题课物理学第五版19为使运行中飞船停止绕中心轴转动一种可能方案是将质量均为m的两质点ab用长为的两根轻线系于圆盘状飞船的直径两端开始时轻线拉紧两质点靠在圆盘的边缘圆盘与质点一起以角速度转动割断质点与飞船的连线为使此时的飞船正好停止转动连线应取何长度
4--刚体的转动习题课
EP mgh
力矩的功 转动动能 重力势能
W 2 Md 1
Ek
1 2
J2
EP mghC
动能定理
W
1 2
mv22
1 2
mv12
转 能
动 定
动 理
W
1 2
J2 2
1 2
J 1 2
机 械 能 W外 W非保内 0，机 械 能 W外 W非保内 0，
守恒定律 Ek EP C
守恒定律 Ek EP C
解:(1),角动量守恒: L L0 m
第四章 刚体的定轴转动
0
r0
L0 J00 mr020
L
J
1 4
mr02
40
(2),转动动能定理:
W Ek
F
Ek
1 2
J2
W
1 2
J2
1 2
J
2
00
3 2
mr0202
习题课
21/38
物理学
第五版
第四章补充例题
1,一飞轮半径为0.2 m、转速为150 r·min-1,因受制
o x dx
x
dM x(dmg)
M
xdmg
mg
l
L
0
xdx
1 2
mgL
习题课
第四章 刚体的转动
28/38
物理学
第五版
第四章补充例题
4,一转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动，起初
角速度为0,设它所受阻力矩为M=-k (k为常数),求圆 盘的角速度从0变为0/2 所需的时间．
解: M k J
J d k，
dt
d k dt J
120 d t k dt，
大学物理 第四章 刚体转动习题课教案
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
O
R
x
2、图示系统，弹簧劲度系数K，质量m1的物体置于光 滑水平面上，定滑轮半径为r，转动惯量为J，开始 时系统静止，弹簧无伸长，求物体m2由静止开始到下 降距离为h时的速度大小。
解 方法一 用牛顿定律和刚体转动定律求解
由牛顿定律
FT1 ky m1 a
（A） 增大 √ （B） 减小 （C） 不变 （D） 不能确定。
4、一匀质细棒长为L ，质量为m1可绕通过端点与棒垂 直的轴在水平面上转动，如图所示棒与桌面之间的摩 擦因数为μ，转轴摩擦不计，今有一子弹质量为m2， 以速率v沿水平路径垂直射穿棒的一端，子弹穿出棒 时的速率为v/2，求在棒和桌面之间的摩擦力作用下， 棒经多长时间停止转动？这段时间内棒的角位移是多 少？
思考题
2 如图所示一匀质细杆质量为m 、长为l，绕通 过杆一端并与杆成θ 角的轴的转动惯量为（ ）
（A）
1 2 ml 3
1 2 （B） ml 12
（D）
1 2 （C） ml sin 2 √ 3
1 2 ml cos2 2
3 一个绕固定水平轴O作匀速转动的转盘，如图所示，在同 一水平直线上，从相反方向射入两颗质量相同、速率相同的 子弹。 且子弹留在圆盘中，则子弹入射后，转盘的角速度 为（ ）
m2 v t m1 gFra bibliotek21 J 2 2
③
Mdt J J
2 3m 2 v 2
4m12 gl
作业
预习 第五章
讨论
（1）系统动量不守恒 （2）系统对定轴O的角动量守恒
三条守恒定律小结： 1）动量守恒： 条件： F 0 结果： P1 P2 2）机械能守恒：条件：A A 0 结果： E1 E2
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例 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2，然后将
手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的转
动角速度.
注意：刚体定轴转动内力矩的功之
和为零，非刚体不一定.
解 外力矩为零，角动量守恒
J 00
1 3
J
0
30
内力做功，转动动能变化
Ek0
1 2
J 002
Ek
1 2
J0 3
902
3 2
J 002
星对太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积 .
L mS
r(tr)(t
证明 t
r
dt) v
时间内矢径扫过的面积为
S 1 r r sin
2
单位时间扫过的面积
m
S 1 r r sin
t 2 t
F
G
mSm r3
r
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
LC
所以相等的时间内扫过相等的面积 .
(C)（2）、（3）是正确的
(D)（1）、（2）、（3）都是正确的
例 如图所示, A、B
为两个相同的定滑轮, A 滑
轮挂一质量为m 的物体, B A
B
滑轮受力F = mg, 设 A、B
两滑轮的角加速度分别为
m
A和 B ,不计滑轮的摩擦,
这两个滑轮的角加速度的 大小关系为
F =mg
FT
（A） A＝ B
上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的
摩擦因数为 , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．
O x dx
x
dFf
解 取一小段如图所示
dm m dx l
dFf dmg
dM x(dmg)
M
xdmg
mg L xdx 1 mgL
l0
2
例 电风扇在开启电源后，经 t1时间达到了额
定转速，此时相应的角速度为0 ，当关闭电源后，
h=2.0 m，t1=16 s，m2=4.0 kg,
t2=25 s, Mf = C，求：J
Mf
FT
FT
mg
y
m1g FT1 m1a1
FT1R M f
h
1 2
a1t12
J
a1 R
a1
2h t12
0.015
6
m s-2
m2 g FT2 m2a2
FT2 R M f
J
a2 R
h
1 2
a2t
2
n 1.6
2π
求（3）t = 1 s 时轮缘上一点的加速度.
r 0.5 m at a 0.4 m s2
a at
t 0.8 rad s1
an r 2 0.32 m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51 m s2
arctan(an at ) 38.7
例 一长为l，重为P 的均匀梯子，靠墙放置，墙光
例 一飞轮在时间t 内转过角度 at bt 3 ct 4 ， 式中 a、b、c 都是常量，求它的角加速度.
解 d (at bt3 ct4 ) a 3bt2 4ct3
dt
d (a 3bt2 4ct3) 6bt 12ct2
dt
例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r = 0.5 m , 如果升降机从静止开始以 a = 0.4 m·s-2 加速度 上升, 求： （1）滑轮角加速度；（2）t = 5 s 时角速度 及转过的圈数；（3） t = 1 s 时轮缘上一点的加速度.
2 2
a2
2h t22
0.006
4
m s-2
已知： R=56 s，m2=4.0 kg, t2=25 s, Mf = C，求：J
Mf
FT
mg
y
a1 0.015 6 m/s 2 a2 0.006 4 m/s 2
m1g FT1 m1a1 m2 g FT2 m2a2
FT1R M f
J
a1 R
FT2R M f
J
a2 R
(a1 a2 )J (FT1 FT2 )R2
FT1 m1(g a1) 78.3 N FT2 m2 (g a2 ) 39.2 N
J (FT1 FT2 )R2 a1 a2
1.06 103 kg m2
例 证明关于行星运动的开普勒第二定律，行
滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯子与
地面的摩擦力.
解 刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff FN2 0 P FN1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
FN 2
l
P
FN1
Ff O
P
l 2
cos
FN2l
s in
0
Ff
FN2
P cot
2
例 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面
m1=8.0 kg, 让其从 h=2.0 m 处静止下落, 测得下落时间 t1=16 s ；若用质量 m2=4.0 kg 的重物时, t2=25 s , 假 定摩擦力矩 Mf 是一个常量 , 求飞轮的转动惯量.
解 受力分析, 建立
坐标如图所示
R
R
FT
Mf
FT
mg
y
m1
m2
h
h
已知： R=50 m，m1=8.0 kg,
（优选）第四章刚体 转动习题课选讲例题
例 关于力矩有以下几种说法: （1）内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; （2）作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; （3）质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 它们的角加速度一定相等;
在上述说法中
(A) 只有（2）是正确的
(B)（1）、（2）是正确的
A
（B） A > B
Tr JA J
aA r
mg T maA
（C） A< B
（D）无法确定 mg
B
Fr
mgr
JB
J
aB r
例 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的：
(A) 动量不守恒, 动能守恒 (B) 动量守恒, 动能不守恒 (C) 角动量守恒, 动能不守恒 (D) 角动量不守恒, 动能守恒
经过 t2 时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为 J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量， 求电机的电磁力矩．
解
M M f J1 Mf J2 ω0 1t1 2t2
M
Jω0
(
1 t1
1 )
t2
例 求一半径 R=50 m的飞轮对过其中心轴的转动
惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其质量
r a
已知： r = 0.5 m, a = 0.4 m·s-2
解（1） at a 0.4 m s2
at a
rr
0.4 0.8 (rad s2 )
0.5
求:（2） t = 5 s 时角速度及转过的圈数；
0.8rad s2 t 4 rad s1
1 t 2 10 rad