7格与布尔代数

e

d
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*9. a≤b a∨b=b a∧b=a 证明：⑴教材 P239 已证 a≤b a∧b=a 这里从略。 ⑵下面证明 a≤b a∨b=b 先证a≤b a∨b=b 设 a≤b，又b≤b ∴ a∨b≤ b 又∵ b≤a∨b 由≤反对称得 a∨b=b 再证 a∨b=b a≤b 已知 a∨b=b ∵ a≤ a∨b ∴ a≤b。 最后得 a≤b a∨b=b
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
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2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得c≤b∨d, 这说明b∨d是{a,c}的上界，而a∨c是{a,c}的最小上界， 所以a∨c≤b∨d。 类似可证 a∧c≤b∧d。 推论：在一个格中，任何 a,b,c∈A，如果b≤c，则 a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。 此性质称为格的保序性。 3. ∨和∧都满足交换律。即 a∨b=b∨a，a∧b=b∧a。 此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
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4. ∨和∧都满足幂等律。即 a∨a=a a∧a=a 证明：由性质1 得 a≤a∨a (再证a∨a≤a) 又≤自反得a≤a, 这说明a是{a}的上界，而a∨a是{a}的 最小 上界，所以 a∨a≤ a。最后由反对称得 a∨a=a 。 由对偶原理得 a∧a=a 5. ∨和∧都满足结合律。即 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) ， (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。 证明：⑴先证明(a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ∵ a≤ a∨(b∨c) b≤b∨c ≤ a∨(b∨c) ∴ (a∨b) ≤a∨(b∨c) ∵ c≤b∨c ≤ a∨(b∨c) ∴ (a∨b)∨c ≤a∨(b∨c) ⑵同理可证 a∨(b∨c)≤(a∨b)∨c 最后由反对称得 (a∨b)∨c =a∨(b∨c) 类似可证 (a∧b)∧c =a∧(b∧c) 。
这是个很重要的定理，在以后经常用到此结论。
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四.格的同态与同构
1.定义：设<A1,≤1> 和<A2, ≤2>是两个格，由它们诱导 的代数系统分别是<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>，如果存 在映射f:A1A2 使得对任何a,b∈A1, f(a∨1b)=f(a)∨2f(b) f(a∧1b)=f(a)∧2f(b) 则称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>的同态映射。 也称<f(A1),≤2>是<A1,≤1> 的同态像。 如果 f 是双射的，就称f是<A1,∨1,∧1>到 <A2,∨2,∧2>， 的格同构，也称格<A1,≤1> 和<A2, ≤2>同构。
第七章 格与布尔代数
布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的， 格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。 <A,≤>是偏序集:≤是A上自反,反对称和传递关系(偏序). 偏序集中的元素间的次序可以通过它的Hasse图反映出来. 例如A={1,2,3,6,12,24,36}, ≤是A上整除关系 24。 36。 其Hasse图如图所示，BA B≠Φ 12。 1. B的极小元与极大元 ６。 y是B的极小元y∈B∧x(x∈B∧x≤y) y是B的极大元y∈B∧x(x∈B∧y≤x) ２。 ３。 １。 例如{2,3,6}的极小元:2,3 极大元:6
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例如<A,≤>, A={1,2,3,6}, ≤是A上整除关系。 <P(E),>, E={a,b} 它们诱导的代数系统分别是<A,∨,∧>和<P(E),∪,∩> 其中∨和∧分别是求两个数的最小公倍数和最大公约数. f P(E) A {a,b} 6 6 {a,b} 2 3 {a} {b} 3 {b} 2 {a} 1 Φ 1 Φ









f(2∨3)=f(6)={a,b} f(2)∪f(3)={a}∪{b}={a,b} f(2∧3)=f(1)=Φ f(2)∩f(3)={a}∩{b}=Φ f(2∨6)=f(6)={a,b} f(2)∪f(6)={a}∪{a,b}={a,b} f(2∧6)=f(2)={a} f(2) ∩ f(6)={a}∩{a,b}={a} 可见它们同构。格同构，它们的图的形状一定相同。
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7-1 格 (Lattice)
一 . 基本概念 1. 格的定义 <A,≤>是偏序集，如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大 下界和最小上界，则称<A,≤>是格。 右图的三个偏序 24。 36。 30。 2 集,哪个是格？ 12。
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<A,≤>不是格， 因为{24,36} 无最小上界。 １。 １。 <A,≤> <B,≤>和<C,≤> <B,≤> 是格。再看下面三个偏序集，哪个是格？
g <A,≤>

g <B,≤>
d
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二. 格的对偶原理
设<A,≤>是格，≤的逆关系记作≥，≥也是偏序关系。 所以<A, ≥>也是格，<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的 Hasse图颠倒180º 即可。 格的对偶原理：设P是对任何格都为真的命题，如果将 P中的≤换成≥，∧换成∨，∨换成∧，就得到命题P’ , 称P’为P的对偶命题，则P’对任何格也是为真的命题。 例如：P: a∧b≤a P’: a∨b≥a {a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
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3. 由格诱导的代数系统 设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:a,b∈A a∨b=LUB {a,b}, {a,b}的最小上界.Least Upper Bound a∧b=GLB {a,b}, {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound 称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交) a 例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e
8. ∨和∧不满足分配律。但有分配不等式： a a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) ， b (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。 我们先看右图的例子： c d∨(b∧e)=d∨c=d (d∨b)∧(d∨e) =a∧e=e d≤e 即 d∨(b∧e) ≤ (d∨b)∧(d∨e) 证明：⑴ ∵ a≤a∨b a≤a∨c ∴a ≤(a∨b)∧(a∨c) ∵ b∧c≤b≤ a∨b b∧c≤c≤ a∨c ∴ b∧c ≤(a∨b)∧(a∨c) 于是有 a∨(b∧c) ≤(a∨b)∧(a∨c) 由对偶原理得 a∧(b∨c)≥ (a∧b)∨(a∧c) 。 即 (a∧b)∨(a∧c)≤ a∧(b∨c) 。
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2. B的最小元与最大元 24。 36。 y是B的最小元y∈B∧x(x∈By≤x) 12。 y是B的最大元y∈B∧x(x∈Bx≤y) ６。 {2,3,6}的最小元:无 最大元: 6 ２。 ３。 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。 １。 3. B的下界与上界 y是B的下界y∈A∧x(x∈By≤x) y是B的上界y∈A∧x(x∈Bx≤y) {2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,36 4. B的最大下界(下确界)与最小上界(上确界) y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。 y是B的最小上界(上确界)：B的所有上界x,有y≤x。 {2,3,6}下确界:1 上确界:6 (B若有下(上)确界，则唯一)
2).必要性：已知 f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同构映射， （证出：任取a,b∈A1, 若a≤1b f (a)≤2f(b) ） a) 先证 a≤1b f (a)≤2f(b) 任取a,b∈A1,设a≤1b ，由格同态保序性得 f(a)≤2 f(b) b)再证f (a)≤2f(b) a≤1b 设 f (a)≤2f(b)， ∴ f(a)=f(a)∧2f(b)=f(a∧1b) ∵f 是入射，∴ a=a∧1b 所以 a≤1b 由a),b)最后得 a≤1b f (a)≤2f(b) 。 定理证毕。 由格的同构得： 具有一、二、三个元素的格分别同构于含有一、二、 a a 三个元素的链。 b a b c

4. 子格：设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是由 <A,≤>诱导的代数系统。B是A的非空子 a 集，如果∧和∨在B c b 上封闭，则称<B, ≤> b d e f e 是<A, ≤>的子格。

b



c

d

a

e

c f
a

b

c

<C,≤>是<A,≤>的 <C,≤> 子格。而<B,≤>不是. 因b∧c=dB, (判定子格：看去掉的元素是否影响封闭)
。 6。 。 1。 10。 ６。 4。 3。 2。 5。 ２。 ３。 3。
<C,≤>
3
a
b


1





d
c

2 4



3 5
b


c
e


6
d


e
这三个偏序集，都不是格，第一个与第三个是同构的。 因为 d和e无下界，也无最小上界；b,c虽有下界，但无 最大下界。 第二个图：2,3无最大下界，4,5无最小上界。 2. 平凡格：所有全序都是格，称之为平凡格。 因为全序中任何两个元素x,y，要么x≤y, 要么y≤x。 如果x≤y，则{x,y}的最大下界为x，最小上界为y。 如果y≤x，则{x,y}的最大下界为y，最小上界为 x 。 即这{x,y}的最大下界为较小元素，最小上界为较大元素.