一章复变函数和解析函数
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《复变函数》第1章
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
(完整版)复变函数知识点梳理解读
第一章:复数与复变函数这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。
一、复数及其表示法介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。
二、复数的运算高中知识,加减乘除,乘方开方等。
主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。
三、复数形式的代数方程和平面几何图形就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。
四、复数域的几何模型——复球面将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。
五、复变函数不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。
六、复变函数的极限和连续性与实变函数的极限、连续性相同。
第二章:解析函数这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。
一、解析函数的概念介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。
所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。
而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。
二、解析函数和调和函数的关系出现了新的概念:调和函数。
就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。
而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。
而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。
三、初等函数和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。
第三章:复变函数的积分这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。
但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。
可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。
第一章 复变函数和解析函数解析
f (z) u(x, y) iv(x, y) u(,) iv(,) 在z点可导 C-R条件
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
2020/10/24
第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
u x u
v y
v
或
u
1
u
1
v
v
y x
是可导的必要条件.
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第一章 复变函数和解析函数
16
据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即
z x, lim f lim u(x x, y) iv(x x, y) u(x, y) iv(x, y)
z0的邻域： z z0 （是任意小的正数）
内点z0：z0及邻域 E 点集 E外点z0：z0及邻域 E
边界点z0：z0的邻域中z有0 E也有 E的点
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第一章 复变函数和解析函数
10
(开)区域Bba))具全有由连内通点性组成— B内任两点都可由内点组 成的折线连起来
闭区域B ：区域B连同其境界线构成的点集
单连通：境线只有一线 区域的连通阶数 多连通：境界线在两条 及以上
境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧
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第一章 复变函数和解析函数
11
2)复变函数： 存在一个点集E，zE有一个或多个w对应，
则称w为z的函数
w=f(z) (zE)，z称为宗量.
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第一章 复变函数和解析函数
❖ z的共轭复数z*或
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第一章 复变函数和解析函数
4
❖ 1.2复平面与复矢量 ❖ 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面
一个复数复平面上的一个点→复矢量
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第一章 复变函数和解析函数
5
1.3三角及指数式
复变函数第一章
内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
复变函数第1章
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域D(z0, δ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点.
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
k 0e
,
k = 0,1,2,…,n-1
n次方根
0 n re n ,
i
0
k 0e
i
2 kπ n
,
k = 0,1,2,…,n-1
例1.5 计算下列各值
i
100
(e )
(1+i)100
i sin )100 cos 50 i sin 50 1. 2 2 i 100 4 100 ( 2e ) [ 2(cos i sin )] 4 4 250 ei 25 2 50 (cos 25 i sin 25 ) 2 50.
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
加法 减法 乘法 除法
3. 复数的表示 ① 代数表示：z =a+ib 点表示：z(a, b) 复平面：用直角坐标系表示复数的平面
复变函数 与 数理方法
● 复变函数
• 复数和复平面 • 解析函数 • 复变函数的积分 • 解析函数的级数表示 • 留数理论及其应用 • 傅里叶变换 •拉普拉斯变换
● 数理方法
z0的去心邻域： D(z0, δ)\{z0}={z: 0<|z-z0|<δ}
z0为点集E的内点：存在z0的邻域D(z0, δ) E E为开集：如果点集E中的点全为内点.
§1.2 复平面点集
1. 平面点集的几个概念 z0的邻域： D(z0, δ)={z: |z-z0|<δ}
k 0e
,
k = 0,1,2,…,n-1
n次方根
0 n re n ,
i
0
k 0e
i
2 kπ n
,
k = 0,1,2,…,n-1
例1.5 计算下列各值
i
100
(e )
(1+i)100
i sin )100 cos 50 i sin 50 1. 2 2 i 100 4 100 ( 2e ) [ 2(cos i sin )] 4 4 250 ei 25 2 50 (cos 25 i sin 25 ) 2 50.
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
加法 减法 乘法 除法
3. 复数的表示 ① 代数表示：z =a+ib 点表示：z(a, b) 复平面：用直角坐标系表示复数的平面
复变函数 与 数理方法
● 复变函数
• 复数和复平面 • 解析函数 • 复变函数的积分 • 解析函数的级数表示 • 留数理论及其应用 • 傅里叶变换 •拉普拉斯变换
● 数理方法
数学物理方法第一章-复变函数导论
24
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
复变函数-解析函数
7
定理1 函数的解析点一定是它的可导 点．反之不真；点 z0为函数 的解析点的 充分必要条件是点 为z0其可导点所构成 的集合的内点。
推论2 复变函数不会只在有限个点或者一 条曲线上解析，它的全体解析点的集合 一定是开集。
如果f(z)再z0不解析，那么称z0为的奇点
定 理 3 在区域D内解析的两个函数的和，差，积，商(除 分母为零的点)在D内解析；解析函数的复合函数仍然是解 析函数。
则称 f (z) 在 z0 处解析. 如果函数 f (z)在 区域 D内每一点解析，则称
f (z) 在 区域 D内解析
如果G 是一个区域，若闭区域D G, 且函 数 f (z) 在 区域 G 内解析，则称f (z) 在闭区域 D 上 的 解 析 函 数.
由定义可得：复变函数在一点处的解析与可导
不等价，但在区域内解析与在该区域内可导是等
解 (1) w =| z |,
此时 u = x2 + y2 , v = 0,
u x , u y , v 0, v 0.
x x2 + y2 y x2 + y2 x
y
不满足Cauchy-Riemann方程,
故 w =|z|在复平面内处处不可导, 处处不解析.
15
(2) f (z) ex (cos y i sin y)
27
从而，可知 (1) 所有多项式在复平面内是处处解析的. (2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为
f'(z) = u'x + iv'x = x / ( x2 + y2 ) - iy / ( x2 + y2 )
x - yi 1
= x2 + y2
复变函数的可导与解析,高数
为复数） （k = 0,±1,±2,L) ( z ≠ 0,α为复数）
性质：（ • 当α 为整数时， α = eαlnz − − − 单值 性质：（ 1 ） 为整数时， z 特别， α为正整数时， z 特别，当 为正整数时，即为的α次幂 p • 当为有理数 （p, q互质, q > 0 时， ） q zα = e
一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。 一般用验证偏导数连续来代替验证函数可微。
证明： 例 3 证明：f ( z ) =
Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
例4
可导？ 解析？ 判断下列函数何处 可导？何处 解析？ 1 （） f ( z ) = e x (cos y + i sin y )
z → z0 ( x , y )→( x0 , y0 )
f ( z ) 在 z0 连续
z → z0
⇔
u( x, y)，v( x, y)在 ( x0 , y0）连续
( x , y )→( x0 , y0 )
（lim f ( z ) = f ( z0 )） （
lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x , y ) = v ( x 0 , y 0 )
(z )
n
′
= nz n−1
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
可导必连续,连续不一定可导 可导必连续 连续不一定可导
求导法则: 求导法则
(1) (C ) = 0, 其中 为复常数 其中C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
第一章 复变函数解析
lim lim f (z)
f (z z) f (z)
z0 z
z0
z
df 或f ' (z)
dz
由于复变函数中导数定义与实变函数的导数定
义相同,故实变函数中导数公式可应用到复变函数
情况.例如: d z n nz n1 , d e z e z ,
dz
dz
d sin z cos z, d cos z sin z
dz
dz
复合函数 d F () dF d
dz
d dz
1.复变函数可导的充要条件：
当f(z)满足(ⅰ).函数f(z)的实部u(x,y)和虚部v(x,y)的
偏导数
u , u , v , v x y x y
存在且连续.
(ⅱ)满足C-R 条件
u v x y u v (1) y x
(1)式为直角坐标形式. 极坐标形式：
由上式可看出加法满足交换律与结合律.
当定义了 –z 时,减法也自然有了.
(b)乘法 :z1z2=(x1x2-y1y2)+i( x1y2+x2y1) (4)
(c)除法:
z1 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
z2
x22
y
2 2
对乘除法用指数形式运算方便.
z1z2=ρ1ρ
2e
n z n e n
其中k=0,1,2…..n-1
共有n个根,为z*=x-iy=ρe –iφ .. zz*= ρ2
(三)无限远点: 对复变数z=x+iy, 当ρ→∞时就是z趋于无 穷运点.引入复数球,使复数球的s极与复数平面的原点 相切,这时对于复数平面上的任意一点A,它与复数球的 N极以直线相联与复数球面交于面上一点A′ ,这样就建 立了复数平面上的点与复数球面上点之间的一一对应 关系.当A不管以什么方式趋于无穷大时,其对应的A′都 趋于N极,因此可把平面上无限远看成一点.
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2020/4/29
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课程讲授计划
• 第一章 复变函数和解析函数（5） • 第二章 复变函数积分 柯西定理和柯西公式（5） • 第六章 点源和瞬时源 函数（2） • 第七章 傅里叶变换和色散关系（6） • 第八章 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数（8） • 第九章 数学物理方程的定解问题（6） • 第十章 行波法和分离变量法 本征值问题（6） • 第十一章 积分变换法（4） • 第十二章 球坐标下的分离变量法（8） • 第十三章 柱坐标下的分离变量法 Bessel函数（8）
(3)复数的指数函数表示
复数的三角函数表示式
z(cosisin)
利用欧拉公式 eicosisin,
复数可以表示成
z ei 复数的指数表示式
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（4）复数的运算规则 (注:运用到实数特例时,能够与实数的运算规则相符)
设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数
加减 z1 ± z2 =(x1+iy1) ± (x2 +i y2 )
注意 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数z 的主值;
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例1.4 求 (3)5和 21i 的 值 .
e 解 (3) 5 e 5ln(3)
5(ln3i2ki)
3 5 [c o s5 (2 k 1 ) is in5 (2 k 1 )],
Euler把 1 作为特 殊的数 2020/4/29
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sin x 1 e 1x e 1x 2 1
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1.1 复数的基本概念
1 复数及其代数运算
(1). 复数的代数形式
考虑解方程： x2 1。 显然，此方程在实数集中是无解的。
为了求出方程的解,引入一个新数i,称为虚数单
位.
对虚数单位的规定:
如果 是其中一个幅角, 那么 z 的全部幅角为
arg z 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z 0时, z 0, 幅角不确定.
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幅角主值的定义:
在z(≠0)的幅角中，把位于０< <2π的 称 为arg z 的主值。而复数的辐角与幅角主值间有关系
arg z 2kπ (k为任意整数).
w P ( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a n z n ,
对复平面内的所有点 z 都是连续的;
有理分式函数 wRzP(z), Qz0
Q(z)
其中 P(z) 和 Q(z) 都是多项式,
2020/4/29在复平面内分母不为零的点是连续的.
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对数函数
对数函数定义为：
ln z ln e i ln i
实的正、 余弦函数
三角函数
定义 sin z eiz eiz ,称为正弦函数. 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数.
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tan z sin z 称为正切函数. cos z
余切函 cozt 数 cozs, sizn
正割函 sezc数 1 , cozs
余割函 cszc 数1 . sizn
复数的矢量表示法
y
y
P(x,y)
z
o
xx
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y
如图：
y
P(x,y)
xcos x2 y2
z
y sin
arctan
y x
o
那么复数（复矢量）可以表示为
xx
z= x iy= c o s isin . 复数的三角表示式
复矢量的长度称为复数的模或绝对值
z =ρ= x2 +y2 .
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共轭复数的性质:
(1 )z1 z2 z1 z2; z1z2z1z2;
z1 z2
z1 z2
;
(2)zz;
( 3 )z z R e ( z ) 2 I m ( z ) 2 x 2 y 2 ;
( 4 ) z z 2 R e ( z ) ,z z 2 i I m ( z ) .
以上各式证明略.
例1.3 解方程 sin z0
解
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sizn eiz 2ieize2 2iiz e iz10
e2iz1e2iz e2ni zn.
(n0,1,2,L) 23
双曲函数 定义 shz ez ez ,称为双曲正弦函数.
2 chz ez ez ,称为双曲余弦函数.
2 有理整函数(多项式)
• 欧拉是18世纪杰出的数学家， 同时也是有史以来最伟大的数学 家之一。他也是一位多产作者， 其文学著作约有60-80册。法国 数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯曾 这样评价欧拉对于数学的贡献： “读欧拉的著作吧，在任何意义 上，他都是我们的大师” 8
1.0问题的提出
负数有对数吗？
Bernoulli：负数的对数是实数 d(x)dx ln(x)lnx
所以zln(1 3i)
ln1 3ii 32k ln2i32k
(k0 , 1 ,2 , )
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（2）复变量函数
定义：当z=x+iy在复平面上变化时，如果对应于z 的每一个值，都有一个或几个复数值w与之对应。则 称w为z的复变函数,记作
w=f(z)=u(x,y)+iυ(x,y)
一个复变函数可以用两个二元实函数表示.
说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大 小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说:
复数不能比较大小!!!
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（2）复平面表示与复数三角式
复数z=x+iy可以用平面上的一个点（x,y）或 一个矢量表示，通常把横轴叫实轴，纵轴叫虚 轴，而把这种用来表示复数的平面叫复平面。
=(x1± x2) +i(y1± y2 )
乘法
z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2) (x1x2 y1y2)i(x1y2 x2y1)
12exp[i(1 2)]
两个复数相乘等于它们的
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模相乘，幅角相加
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除法 两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减
z1 x1iy1 x1x2y1y2 ix1y2x2y1
lni02ki (k0 , 1 ,2 , ).
ln z是一个无穷多值的复变函; 数
而 lni0002
称为对数函数lnz的主值。 对于每一个固定的 k, 可确定一个单值函数 , 称为 ln z 的一个分支.
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幂函数
定义 设α是任意复数，z的幂函数定义为
zelnz (z0).
当 是正实数时, 补充规定 z 0 时, z 0.
z的 共轭复数记为 z,
若 z x iy , 则 z x iy . 例1.1 计算共轭复数 z x yi 与 z x yi 的积.
解 (xiy)(xiy)x2 (iy)2 x2y2.
结论：两个共轭复数的积是实数
即 ： zzz2 x2y2.
注意: 2020/4/29
z2(x2y2)i2xy
当 y 0 时, z x 0i, 我们把它看作实数 x.
C {z | z x iy, x, y R}称为为复数集
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两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分 别相等.
设：z1=x1+i·y1 z2=x2+i·y2
z1= z2 x 1x2,y1y2
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时 等于0.
如果 z的一个值对w应 的着 值 ,那一 末个
我们称f函 (z)是 数单.值的
如果 z的一个值对应两 着个 两以 个上 或
w的值 ,那末我们称 f(z)函 是数 多值 . 的
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(3)复数的导数
定义 设 函 数 f(z)是 单 值 函 数 ,当 z在 z0的 邻 域 内 沿 任 意 方 向 ,按 任 意 方 式 趋 于 点 z0时 ,即 当 有 zz z0 0时 ,若 极 限
cos x 1 e ix e ix 2
i 1 i2=–1
sin x 1 eix e ix 2i
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定义
i-虚数单位 满足：i2=-1
对于" x, y R, 称 z x iy 为复数
.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=y
当 x 0, y 0 时, z iy 称为纯虚数;
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教材及指导书
一、教材： 胡嗣柱等 编著，《数学物理方法》，第二版， 北京
大学出版社，2019年7月
二、主要的参考书： 于涛等 编 《数学物理方法知识要点与习题解析》，
哈尔滨工程大学出版社，2019年6月
成绩测定：作业20%＋上课出席参与10% ＋考试70% 联系方式：
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复变函数论（theory of complex functions）的目的： 把微积分延伸到复域。使微分和积分获得新的深度和意
义。
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主要内容:
1 复变函数和解析函数 2 复变函数积分 柯西定理和柯西公式 3 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数等（自学） 4 解析函数（自学） 5 定积分的计算（自学） 6 δ函数 其余拉普拉斯变换的内容（自学） 7 傅立叶变换和色散 8 线性常微分方程的级数解法和某些特殊函数
limf(z0 z)f(z0)
z0
z
具 有 同 一 根 限 值 , 则 称 函 数 fz 在 z 0 点 可 导 的 ,
而 此 极 限 称 为 函 数 f(z ) 在 z 0 点 的 导 数 ( 或 微 商 ) ,