晶体宏观对称
晶体的宏观对称性
2 n
表1 描述晶体宏观对称性与分子对称性时常用 对称元素及与其相应的对称操作对照表
除了对称元素和对称操作的符号和名称的不完全相同外，晶 体的宏观对称性与有限分子的对称性最本质的区别是：晶体的点 阵结构使晶体的宏观对称性受到了限制，这种限制主要表现在两 方面： 在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观对 称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组直 线点阵垂直。 晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不是 可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中，任何 对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、四 重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴次， 这一原理称为“晶体的对称性定律”。 所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际 存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表2：
点
群 对称元素
称元素
无
序 熊夫里 国际记号 号 斯记号 1 2 3 4 5
abc
90
abc
斜
90
abc
cs c2 h
D2
D 2v
c1 ci c2
1
m
1 2 m 2
2
i
m 2, m, i
32 2, 2
低
正 两个互相垂 直的m或三 交 个互相垂的
组合程序： 组合时先进行对称轴与对称轴的组合，再在此基础上进行 对称轴与对称面的组合，最后为对称轴、对称面与对称中心 的组合。 按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个点群：
第三章 晶体的宏观对称
第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
晶体的宏观对称性
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
晶体的宏观对称性
5
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推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
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立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
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点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
晶体的宏观对称性
某些晶体在几何外形上体现出明显旳对称， 如立方等构造，这种对称性不但表目前几何外形 上，而且反应在晶体旳宏观物理性质上，对于研 究晶体旳性质有极主要旳意义。
、对称性
(a)
(b)
(c)
(d)
1 图 对称性不同旳几种图形
以上分析所用旳措施，就是考察在一定几何 变换之下物体旳不变性。我们把旋转及反射统称 为正交变换。概括宏观对称性旳系统措施正是考 察物体在正交变换下旳不变性，在三维情况下， 正交变换能够写成：
（2）存在单位元素E，使得全部元素满足：AE=A
（3）对于任意元素A，存在逆元素A-1，有：AA-1=E
（4）元素间旳“乘法运算”满足结合律：A（BC)=A （ＢＣ）
一种物体全部对称操作旳集合，也满足上述群旳定义 ，这时运算法则就是“连续操作”，不动操作作为单 位元素，绕轴转θ角旳逆为绕该轴转－θ角；中心反演 旳逆还是中心反演。
、对称操作群：一种物体全部对称操作旳集合，构成 对称操作群。
最终，作为一种例子，我们应用对称操作旳概念，证 明具有立方对称旳晶体旳介电性能够归结为一种标量 介电常数。
按照一般表达(D为电位移矢量，E为电场强度， 为介
电常数）：
D E
, —— X，Y，Z轴分量
—— X，Y，Z轴为立方体旳三个立方轴方向
假设电场沿Y轴方向 Ey E, Ex Ez 0
x ' a11 a12 a13 x
y
'
a12
a22
a23
y
z ' a13 a13 a33 z
{aij}, i, j 1, 2, 3，为正交矩阵
绕z轴转角旳正交矩阵是：
cos sin 0
sin cos 0
晶体的宏观对称
Li63L23P
Li33L23P 定理4：Lin P// =Lin L2 Li42L22P Li63L23P
Li42L22P
附加：Ln与垂直对称面及包含对称面的组合
垂直P与包含的P，二者互相垂直，交线必为垂直Ln的L2， 即Ln P⊥ P∥=LnnL2(n + 1)PC (只考虑n为偶数)：
mm2, 6/mmm, 321, 4mm
mmm, 312, 4, 6,
-31m,
-1,
4/mmm, -42m,
-4
4． 高级晶族(立方晶系、等轴晶系) 的对称型及 国际符号
国际符号方位：c，a+b，a+b+c
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23
(16)
3
321 312
L3 L33L2 Li3 L33P
(17) 32
(18) -3
(19) 3m
-3m1
(20) -3m
-31m
Li33L23P
国际符号第一位为3或-3
6）六方晶系 a=b≠c; α=β=90° γ=120°
方位：c、a、2a+b
(21)
6
L6 L66L2 L3PC L36P
(22) 622
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 (32) 3L44L36L29PC 432
4/m -3 2/m m3m 或m-3m
四面体类
(28) 3L24L3 (29) 3L24L33PC (30) 3Li44L36P 23 m3 -43m
立方体和八面体类 (31) 3L44L36L2 432 (32) 3L44L36L29Pm3m， -43m， 432， m3， 23
晶体的宏观对称性
晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。
晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。
因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。
三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。
⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。
ssp-05-晶体的宏观对称性-2014
中心反演矩阵的行列式等于-1
—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
不动也是一个操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
——
0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
—— 六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
在三维情况下，正交变换可以写成
x x ' a11 y y ' a 12 z z ' a 13
{aij }, i, j 1, 2, 3
a12 a22 a13
a13 x a23 y a33 z
B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点 且有 B ' A ' nAB — n为整数
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
B ' A ' nAB
B ' A ' AB(1 2cos )
1 2cos n
第五讲： 晶体的宏观对称性
1. 2. 3. 4. 晶体中的基本宏观对称操作 晶体中的32个点群 晶体中的空间群（73点空间群，157复杂空间群） 晶体表面的几何结构
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6
第二步
Element
6
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– 变换矩阵
cosa sin a 0
sin a cosa 0
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
结晶学与矿物学
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
= the symbol for a twofold rotation
6
Element
6
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
– – – – – 对称中心(center of symmetry) 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis)
• 对称元素的符号
– 国际、习惯、图示符号：教材之表3-1、表7-1
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结晶学与矿物学
对称元素之对称操作
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换
(x, y, z)
X a11 x a12 y a13 z Y a 21 x a 22 y a 23 z Z a x a y a z 31 32 33
(X, Y, Z) or
X x Y y Z z
6
6
11
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
Operation
A Symmetrical Pattern Motif 二次(two-fold rotation)
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
3
结晶学与矿物学
对称的概念
物体(或图形)中相同部分 之间有规律重复
4
结晶学与矿物学
晶体的对称
• • • • • 晶体都是对称的 晶体外形上对称 晶体宏观性质上对称 是晶体的基本性质之一 是晶体科学分类的依据
5
结晶学与矿物学
对称操作(symmetry operation)
• 能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分 作有规律重复的动作(对称操作) • some acts that reproduce the motif to create the pattern
0 0 1
6
第二步
第一步
6
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) – 等效的例子
15
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) – 等效的例子
16
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
C Li °或 C
1 1
P m L2I 双线或粗线
8
结晶学与矿物学
晶体对称定律
• 只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次 的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴 轴次 n 的确定: n = 360/a • a + 2a cosa = ma • cosa = (m-1)/2 1 m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2
结晶学与矿物学
下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry
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结晶学与矿物学
晶体的宏观对称
• • • • • 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类
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结晶学与矿物学
对称的概念
Symmetry
• 是宇宙间的普遍现象 • 是自然科学最普遍和最 基本的概念 • 是建造大自然的密码 • 是永恒的审美要素
• 对称轴
二次(two-fo
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) – 等效的例子
18
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) – 等效的例子
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结晶学与矿物学
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结晶学与矿物学
对称元素符号
宏观晶体的对称要素
对称要素 辅助几何要素 对称变换 基转角 习惯符号 国际符号 等效对称要素 图示记号 对称轴 一次 二次 三次 四次 直线 围绕直线的旋转 360° L1 1 180° L2 2 120° L3 3 90° L4 4 对称中心 六次 点 对于点的倒反 60° L6 6 平面 对于平面的反映 对称面 倒转轴 三次 四次 六次 直线和直线上的定点 绕直线旋转及点的倒 反 120° 90° 60° L3I L4i L6i 3 4 6 L3+C L3+P
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) – 等效的例子
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结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴