高数6模拟试题4 (1)
高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案
x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
1
3
解 ∫ ( x +1)( x3 −1)dx = ∫ (x 2 − x + x3 −1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟六数学理试题Word版含答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学(理科)(六)第丨卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合A = {xI(x-2)(x +1) <0},5 = {x G ZI-1 <^< 1},则=A. {—1,0}B. {0,1}C. {—1,0,1}D. {—1,2} 2•方程〃 + 6x +13 = 0的一个根是A. —3 + 2i B・ 3 + 2/ C. —2 + 3/ D・ 2 + 3z3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-co,0)上单调递增，若实数"满足/(2M)>/(-V2),实数"的取值范围是A. B.4.如图，设区域Z) = {(^.y)IO<A：<l,O<y<l},向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到由曲线y = ^与y =X2所围成阴影区域内的概率是A. -B. -C.丄D.-6 3 2 35.执行如图所示的程序框图，若输出的5 = 86,则判断框内的正整数的值为A.7B. 6,7C. 6,7,8D. &95=1*=■0.6.向量讥满足p +片=2辰，且(方―可门=0,则方』的夹角的余弦值为j=r+2*A. 0B. -C. -D.—3 2 2G古束)第II 卷 (非选择题共90分)二.填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.10.在体积为*的三棱锥S 一 ABC 中.AB = BC = 2.ZABC = 120 ,SA = SC 9且平面 SAC 丄平面ABC 9若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为2 211.已知点人迅是双曲线C$-计=1(“>0小>0)的左、右焦点，0为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足再鸟= 引13|啓则双曲线C 的离心率的取值范围为A. (1,+co)B.1 — 11 — xL X G (—2 ),则函数 g(X)= f(X)-COS7TX 在区间[0,8] 3/(x-2),xe[2,+oo) 内所有零点的和为 A. 16 B. 30 C. 327. 已知等差数列｛©｝中，S “为其前"项和，若= an 2+4“+a—4(d w R),记数列、孑、n “的前项和为人，则心=&已知aj^c 均为正数，且(d+c)(Z? + c) = 2,则a + 2b+3c 的最小值是A. y/2B. 2>/2C. 4D. 89•某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积为 芈则正视图和的值为A” B. 2 亦C. £2D.- 320逅兀A. -----------3B.芈C. 20龙 D&12•已知函数/(兀)=彳D. 40C.D.\+y-2<013.已知满足约束条件x-2y-2<0,若2x+y + A:>0恒成立，则实数斤的取值范2x-y+2>0围为________________ .14.若(1 — 2x) = a()+ ciyX + • • • +(x € R) 9则q + 2d? + …+ 201 厶勺仍= _______ •2 215.已知点A,F分别是椭圆C:-^- + p- = l(«>/7>0)的上顶点和左焦点，若AF与圆O:x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点，则椭圆C的标准方程为________________ .16.若数列｛①｝满足a2一% > a3 -①> 5 -佝> …〉冷+1 -则称数列｛。
高考数学模拟6(附答案) (1)
2020年高考数学模拟6（附答案）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1.已知A={x∈N∗|x≤3}，B={x|x2−4x≤0}，则A∩B=()A. {1,2，3}B. {1,2}C. (0,3]D. (3,4]【答案】A【解析】解：由题意得：A={x∈N∗|x≤3}={1,2，3}，B={x|x2−4x≤0}={x|0≤x≤4}，∴所以A∩B={1,2，3}，故选：A．先求出集合A，解一元二次不等式x2−4x≤0解出集合B，从而求出A∩B．本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．2.已知实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的()A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”⇒2√2x⋅2y≤4，化为：2x+y≤4，∴x+y≤2.∴2√xy≤2，化为xy≤1．反之不成立，例如x=4，y=1．6∴实数x>0，y>0，则“2x+2y≤4”是“xy≤1”的充分不必要条件．故选：C．3.函数y=−x4+x2+2的图象大致为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函数的单调性是解决本题的关键．属于基础题．根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可． 【解答】解：函数过定点(0,2)，排除A ，B ．函数的导数f′(x)=−4x 3+2x =−2x(2x 2−1)， 由f′(x)>0得2x(2x 2−1)<0，得x <−√22或0<x <√22，此时函数单调递增，由f′(x)<0得2x(2x 2−1)>0，得x >√22或−√22<x <0，此时函数单调递减，排除C ， 也可以利用f(1)=−1+1+2=2>0，排除A ，B ，故选D ．4. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且△ABC 为等边三角形，AP =AB =2，则三棱锥P −ABC 的外接球的表面积( )A.272π B.283π C.263π D.252π【答案】B【解析】解：如图所示：三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且△ABC 为等边三角形，AP =AB =2， 所以AD =23√22−12=2√33，所以外接球的半径r 2=12+(2√33)2=219，所以S =4π×219=28π3．故选：B ．首先求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥体和外接球的关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5. 如图是某学校的教研处根据调查结果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图：根据频率分布直方图，求出自学时间的中位数和众数的估计值(精确到0.01)分别是( )A. 2.20，2.25B. 2.29，2.20C. 2.29，2.25D. 2.25，2.25【答案】C【解析】【分析】本题考查中位数、众数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由频率分布直方图求出自学时间在[0.5,2)的频率为0.35，自学时间在[2,2.5)的频率为0.26，由此能求出自学时间的中位数；由频率分布直方图能求出众数． 【解答】解：由频率分布直方图得：自学时间在[0.5,2)的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35， 自学时间在[2,2.5)的频率为0.52×0.5=0.26， ∴自学时间的中位数为：2+0.5−0.350.52≈2.29，众数为：2+2.52=2.25．故选：C ．6. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)，且在区间[1.2]上是减函数，令a =ln2，b =(14)−12，c =log 122，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( ) A. f(b)<f(c)<f(a) B. f(a)<f(c)<f(b) C. f(c)<f(b)<f(a) D. f(c)<f(a)<f(b)【答案】C 【解析】解：根据题意，定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +2)=−f(x)，则有f(x +2)=f(−x)，即函数f(x)的图象关于直线x =1对称，又由f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)在区间[0,1]上为增函数， 则f(1)>0，又由a =ln2，则0<a <1，b =(14)−12=√4=2，f(2)=f(0)=0，c =log 122=−1，则f(c)=f(−1)=−f(1)<0，则有f(c)<f(b)<f(a)； 故选：C ．根据题意，分析可得f(x +2)=f(−x)，即函数f(x)的图象关于直线x =1对称，进而可得f(x)在区间[0,1]上为增函数，分析a 、b 、c 的值，据此分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．7. 已知双曲线M ：x 29−y 2b 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若双曲线M 的右支上存在点P ，使1sin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1，并且PF 2=2则双曲线M 的离心率为( )A. √2B. √62C. 32D. 43【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．利用正弦定理及双曲线的定义，可得a ，c 的关系式，即可求出双曲线的离心率． 【解答】 解：由双曲线M ：x 29−y 2b 2=1，a =3，1sin∠PF 1F 2=csin∠PF 2F 1，在△PF 1F 2中，由正弦定理可得PF 2sin∠PF 1F 2=PF1sin∠PF 2F1，可得c ⋅PF 2=PF 1， 且PF 1−PF 2=2a ，PF 2=2，2c −2=2a =6，c =4 ∴e =43．故选：D ．8. 关于函数f(x)=cosx +sin|x|有下述四个结论：①f(x)的周期为2π②f(x)在[0,5π4]上单调递增③函数y =f(x)−1在[−π,π]上有3个零点 ④函数f(x)的最小值为−√2 其中所有正确结论的编号为( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④【答案】C【解析】解：f(x)=cosx +sin|x|={cosx +sinx,x ≥0cosx −sinx,x <0={√2cos(x −π4),x ≥0√2cos(x +π4),x <0， ①显然f(x)的周期不是2π，即①错误；②令x −π4∈[−π+2kπ,2kπ],k ∈Z ，则x ∈[−34π+2kπ,π4+2kπ],k ∈Z ，所以f(x)在[0,π4]上单调递增，在(π4,5π4]上单调递减，即②错误；③因为f(−x)=cos(−x)+sin|−x|=cosx +sin|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，于是只需考虑x ∈[0,π]的情形．要求函数y =f(x)−1的零点，需求方程f(x)=1的根， 当x ∈[0,π]时，f(x)=√2cos(x −π4)，令x −π4=π4+2kπ或x −π4=−π4+2kπ,k ∈Z ，则x =π2+2kπ或x =2kπ,k ∈Z ， 所以f(0)=f(π2)=1，所以在[−π,π]上，有f(−π2)=f(0)=f(π2)=1， 故函数y =f(x)−1有3个零点，即③正确；④f(x)={√2cos(x −π4),x ≥0√2cos(x +π4),x <0，所以f(x)的最小值为−√2，即④正确； 故选：C ．先去掉绝对值，将函数写成分段函数的形式f(x)={√2cos(x −π4),x ≥0√2cos(x +π4),x <0，然后根据余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．本题考查三角函数的图象与性质、辅助角公式等，解题的关键点是去掉绝对值，将函数写成分段函数的形式，考查学生数形结合的能力和运算能力，属于中档题．9. 已知函数ℎ(x)={x 2−2x +1,x >01+x 1−x,x ≤0，函数g(x)=ℎ(1−x)−mx +m −12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )A. [0,2−√2)∪{−12} B. [0,2+√2)∪{92} C. (−2−√2,0]∪{92}D. (−2+√2,0]∪{−12}【答案】A【解析】解：∵函数ℎ(x)={x 2−2x +1,x >01+x 1−x ,x ≤0，∴ℎ(1−x)={x 2,(x <1)2x−1,(x ≥1)． 数g(x)=ℎ(1−x)−mx +m −12恰有三个不同的零点， 即为ℎ(1−x)=mx −m +12有三个不同的实根，作出y =ℎ(1−x)和y =mx −m +12的图象，直线y =mx −m +12与曲线y =x 2(x <1)相切时，设切点为(m,n)， x 2−mx +m −12=0，由△=0，可得m =2−√2．当y =mx −m +12过(0,1)时，两图象恰有三个交点，此时m =−12； 结合图象可得0≤m <2−√2或m =−12． 故选：A ．求得y =ℎ(1−x)的解析式，由题意可得ℎ(1−x)=mx −m +12有三个不同的实根，作出y =ℎ(1−x)和y =mx −m +12的图象，考虑直线与曲线相切的情况，结合图象即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用，函数零点个数解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，以及导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 若a1+i =1+bi ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a +bi|=______． 【答案】√5【解析】解：由a1+i =1+bi ，得a =(1+bi)(1+i)=1−b +(b +1)i ， 则{a =1−b b +1=0，即a =2，b =−1． ∴|a +bi|=|2−i|=√5． 故答案为：√5． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件求得a ，b 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．11. 若圆C 1：(x +a)2+y 2=8+a 2(a >0)与圆C 2：x 2+y 2=4的公共弦AB 的长为2√3，则圆C 2上位于AB 右方的点到AB 的最长距离为______． 【答案】3 【解析】解：圆C 1：(x +a)2+y 2=8+a 2(a >0)的圆心为C 1(−a,0)，半径为r 1=√8+a 2； 圆C 2：x 2+y 2=4的圆心为C 2(0,0)，半径为r 2=2；且公共弦AB 的长为2√3，如图所示；则圆C 2上位于AB 右方的点到AB 的最长距离为r 2+√r 22−(AB2)2=2+√22−(√3)2=3．故答案为：3．根据题意画出图形，结合图形得出圆C 2的右方到AB 距离最大的点位于圆C 2与x 轴交点，由此求得答案．本题考查了圆与圆的位置关系，也考查了数形结合应用问题，是基础题．12. 将(3+x)n 的展开式按照x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是90，则n 的值是______． 【答案】5【解析】解：将(3+x)n 的展开式按照x 的升幂排列，则倒数第三项的系数是 C n n−2⋅32=90，求得n =5， 故答案为：5．由题意利用二项展开式的通项公式，求出n 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13. 若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则E(ξ)=______． 【答案】1.2【解析】解：从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p =C 42C 62=25，随机变量ξ～B(3,p)，由二项分布的期望公式得E(ξ)=3p =3×0.4=1.2， 故答案为：1.2．从袋中随机抽取两个球都是白球的概率p =C 42C 62=25，随机变量ξ～B(3,p)，根据公式求出即可．考查随机变量求概率，二项分布求数学期望，基础题．14. 已知实数若x ，y 满足x >y >0，则4x+2y x+y+x+yx−y 的取值范围是______．【答案】(5,+∞)【解析】解：令yx =t ∈(0,1)， 则4x+2y x+y+x+y x−y =4+2t 1+t+1+t 1−t =1+21+t +21−t =1+41−t 2，因为t ∈(0,1)，所以1−t 2∈(0,1)， 所以41−t 2>4， 可得：1+41−t 2>5． 则4x+2y x+y+x+yx−y 的取值范围是：(5,+∞)．故答案为：(5,+∞)．利用已知条件化简表达式为yx 的形式，然后利用换元法，结合函数的性质求解函数的取值范围即可．本题考查函数的最值的求法，换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．15. 如图所示，在△ABC 中，AB =AC =3，∠BAC =90°，点D 是BC 的中点，且M 点在△ACD 的内部(不含边界)，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围______．【答案】(12,2)【解析】解：建立如图所示的坐标系，D(32,32)． 设M(x,y)，∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x,y)=13(3,0)+m(0,3)， ∴x =1，y =3m ．M 点在△ACD 的内部(不含边界)， ∴13<m <23． 则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,3m −32)⋅(−2,3m)=1+3m(3m −32)=9m 2−92m +1=9(m −14)2+716∈(12,2)， 故答案为：(12,2)． 【分析】建立如图所示的坐标系，D(32,32).设M(x,y)，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(x,y)=13(3,0)+m(0,3)，x =1，y =3m.M 点在△ACD 的内部(不含边界)，可得13<m <23.再利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量数量积运算性质、向量相等、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2．(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若b =2，c =3，求a 和sin(2B −A)的值． 【答案】解：(Ⅰ)由已知，得：b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2，由余弦定理，得：b 2+c 2−a 22bc=√33sinA ， cosA =√33sinA ， 即tanA =√3，又A ∈(0,π)， 所以A =π3．(Ⅱ)a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ，∴a 2=4+9−2×2×3×12=7， ∴a =√7， 又a sinA =bsinB ， ∴√7√32=2sinB ，∴sinB =√217， ∵b <a ， ∴B ∈(0,π3)， ∴cosB =√1−sin 2B =2√77， ∴sin2B =2sinBcosB =47√3，cos2B =17，∴sin(2B −A)=sin2BcosA −cos2BsinA =47√3×12−17×√32=3√314． 【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理，三角函数恒等变换的应用可得tanA =√3，结合范围A ∈(0,π)，可求A 的值．(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理可求sin B 的值，结合b <a ，利用三角函数恒等变换的应用可求cos B ，sin2B ，进而可求sin(2B −A)的值．本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17. 如图，已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠DAB =90°，AB =BC =2AD =4，四边形EDCF 为矩形，DE =2，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(Ⅰ)求证：DF//平面ABE ；(Ⅱ)求平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值； (Ⅲ)若点P 在线段EF 上，且直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为2√2163，求线段AP 的长．【答案】(Ⅰ)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ， 又平面EDCF ⊥平面ABCD ，平面EDCF ∩平面ABCD =CD ， ∴ED ⊥平面ABCD ．取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则A(2,0，0)，B(2,4，0)，C(−2,4，0)，E(0,0，2)，F(−2,4，2)，设平面ABE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， ∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,2)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，0)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x −4y +2z =0m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y =0，取z =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0，1)， 又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，2)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2+0+2=0，则DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF//平面ABE ． (Ⅱ)解：设平面BEF 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)，∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,2)，EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4，0) 由{n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a −4b +2c =0n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +4b =0，取b =1，可得n⃗ =(2,1，4)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2⋅√21=√427， ∴sin <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=√1−4249=√77， 即平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值为√77．(Ⅲ)解：∵平面BEF 的法向量n ⃗ =(2,1，4)，点P 在线段EF 上，设P(m,n ，t)，EP⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(m,n ，t −2)=(−2λ，4λ，0)， 解得P(−2λ,4λ,2)，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ−2,4λ,2)， ∵直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为2√2163， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√(−2λ−2)2+(4λ)2+22⋅√21=2√2163， 解得λ=1，∴线段AP 的长为|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2−2)2+42+22=6． 【解析】(Ⅰ)由四边形EDCF 为矩形，可得DE ⊥CD ，由面面垂直的性质可得ED ⊥平面ABCD.取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由线面平行的判定可得DF//平面ABE ；(Ⅱ)求出平面BEF 的法向量，利用向量法能求出平面ABE 与平面BEF 所成二面角的正弦值；(Ⅲ)平面BEF 的法向量n ⃗ =(2,1，4)，设P(m,n ，t)，EP⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(m,n ，t −2)=(−2λ，4λ，0)，求出P(−2λ,4λ,2)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ−2,4λ,2)，由直线AP 与平面BEF 所成角的正弦值为2√2163，解得λ=1，由此能求出线段AP 的长．本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1(−1,0)，椭圆经点(1,32)．(1)求椭圆的方程；(2)直线l 过椭圆右顶点B ，交椭圆于另一点A ，点G 在直线l 上，且∠GOB =∠GBO.若GF 1⊥AF 2，求直线l 的斜率．【答案】解：(1)由题意可得c =1，F 1(−1,0)，F 2(1,0)，又椭圆经点(1,32)， 由椭圆的定义可得2a =√(1+1)2+94+32=52+32=4，即a =2，又b =√a 2−c 2=√4−1=√3，则椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)B(2,0)，由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，方程设为y =k(x −2)， 联立椭圆方程x 24+y 23=1可得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12−0，判别式△=256k 4−4(3+4k 2)(16k 2−12)=144>0， 则2x A =16k 2−123+4k 2，即x A =8k 2−63+4k 2，y A =k(x A −2)=−123+4k ，由点G 在直线l 上，且∠GOB =∠GBO ，可得||OG|=|BG|， 即G 在OB 的垂直平分线上，可得G(1,−k)， 又F 1(−1,0)，F 2(1,0)，A(8k 2−63+4k 2,−123+4k 2)，GF 1⊥AF 2，可得k GF 1⋅k AF 2=−1，即k−2⋅−123+4k 2−9+4k 23+4k 2=−1，化为10k 2=9，即k =±3√1010．【解析】(1)求得c =1，运用椭圆的定义可得a ，进而得到b ，可得椭圆方程；(2)由题意可得直线l 的斜率存在，设为k ，方程设为y =k(x −2)，联立椭圆方程，运用韦达定理可得A 的坐标，再由等腰三角形的三线合一可得G 在OB 的垂直平分线上，即有G(1,−k)，运用垂直的条件，解方程可得所求直线l 的斜率．本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及等腰三角形的三线合一性质，考查两直线垂直的条件，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．19. {a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N ∗)，{b n }是等差数列．已知a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n =an(a n +1)⋅(a n+1+1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n 的值．(Ⅲ)设d n ={b n ,n ≠2k b n (log 2b n +1),n =2k ，其中k ∈N ∗，求∑d i 2ni=1(n ∈N ∗)． 【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由a 1=1，a 3=a 2+2，可得q 2=q +2，解得q =2(−1舍去)， 则a n =2n−1；设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6，可得2b 1+6d =8，即b 1+3d =4，3b 1+13d =16，解得b 1=d =1， 故b n =1+n −1=n ； (Ⅱ)c n =a n(an +1)⋅(a n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1， 所以T n =12−13+13−15+15−19+19−117+⋯+12n−1+1−12n +1=12−12n +1； (Ⅲ)由d n ={b n ,n ≠2k b n (log 2b n +1),n =2k ，其中k ∈N ∗， 可得d n ={n,n ≠2k n(log 2n +1),n =2k ，k ∈N ∗， ∑d i 2ni=1=∑i 2ni=1−∑2i n i=1+∑(n i=1i +1)⋅2i ，∑i 2ni=1=2n (1+2n )2=2n−1+22n−1， ∑2i n i=1=2(1−2n )1−2=2n+1−2，设M n =2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n ⋅2n−1+(n +1)⋅2n ， 2M n =2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+n ⋅2n +(n +1)⋅2n+1，两式相减可得−M n =4+22+23+⋯+2n −(n +1)⋅2n+1 =2+2(1−2n )1−2−(n +1)⋅2n+1，化为M n =n ⋅2n+1，所以∑(n i=1i +1)⋅2i =n ⋅2n+1， 则∑d i 2ni=1=22n−1+(4n −3)⋅2n−1+2． 【解析】(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由等比数列的通项公式解方程可得公比，进而得到通项公式；设等差数列{b n }的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；(Ⅱ)求得c n =2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和；(Ⅲ)求得d n ={n,n ≠2k n(log 2n +1),n =2k ，k ∈N ∗，∑d i 2n i=1=∑i 2n i=1−∑2i n i=1+∑(n i=1i +1)⋅2i ，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和、裂项相消求和和错位相减法求和，考查化简运算能力、推理能力，属于难题．20. 已知函数f(x)=lnx −mx ，m ∈R ．(Ⅰ)若f(x)在点A(1,f(1))处的切线与x +2y +1=0的直线垂直，求函数f(x)在A点处的切线方程；(Ⅱ)若对于∀x ∈[1,+∞)，xf(x)+m ≤0恒成立，求正实数m 的取值范围； (Ⅲ)设函数H(x)=12x 2+f(x)，且函数H(x)有极大值点x 1，求证：f(x 1)>−1x 1−m 2x 12．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=1x −m ，直线x +2y +1=0的斜率为−12，由题意可知f′(1)=1−m =2，解得m =−1， ∴f(x)=lnx +x ，∴f(1)=1，即A(1,1)，∴所求切线方程为2x −y −1=0； (Ⅱ)原问题等价于lnx −mx +m x≤0在[1,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx −mx +m x(x ≥1)，且g(1)=0，则g(x)≤g(1)在[1,+∞)上恒成立，且g′(x)=1x −m −m x2=−mx 2+x−mx 2，①当m ≤0时，对任意x ∈[1,+∞)，g′(x)>0，函数g(x)在[1,+∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)=0，不合题意；②当m >0时，则△=1−4m 2，(i)当△≤0，即m ≥12时，对任意x ∈[1,+∞)，g′(x)≤0，函数g(x)在[1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=0，符合题意；(ii)当△>0，即0<m <12时，令g′(x)=0，得x 1′=1−√1−4m 22m >0,x 2′=1+√1−4m 22m ， 由韦达定理有，x 1′x 2′=1，则必有0<x 1′<1<x 2′，当x ∈(1,x 2′)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x ∈(x 2′,+∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴g(x)max =g(x 2′)>g(1)=0，不合题意； 综上，实数m 的取值范围为[12,+∞)；(Ⅲ)依题意，H(x)=12x 2−mx +lnx,H′(x)=x −m +1x=x 2−mx+1x，由于函数H(x)有极大值点，则△′=m 2−4>0，即得m <−2或m >2， 设方程x 2−mx +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=m ，x 1x 2=1， 若m <−2，则x 1<0，x 2<0，不合题意； 若m >2，则x 1>0，x 2>0，满足题意，由于H(x)的极大值点为x 1，则0<x 1<1<x 2，当x ∈(0,x 1)时，H′(x)>0，当x ∈(x 1,x 2)时，H′(x)<0，当x ∈(x 2,+∞)时，H′(x)>0，且H′(x)=x 12−mx 1+1x 1=0，即mx 1=x 12+1，令ℎ(x 1)=f(x 1)+1x 1+mx 122=lnx 1−mx 1+1x 1+mx 122=lnx 1−(x 12+1)+1x 1+x 1(x 12+1)2=x 132−x 12+x 12+lnx 1+1x 1−1，则ℎ′(x 1)=(x 1−1)(3x 13−x 12+2)2x 12，又0<x 1<1，故ℎ′(x 1)<0，即ℎ(x 1)在(0,1)上单调递减，∴ℎ(x 1)>ℎ(1)=0，即f(x 1)>−1x 1−m 2x 12．【解析】(Ⅰ)求导，根据题意可得m =−1，进而求得函数解析式，进一步求得切点坐标，由此求得切线方程； (Ⅱ)问题等价于lnx −mx +m x≤0在[1,+∞)上恒成立，构造函数g(x)=lnx −mx +m x(x ≥1)，利用导数研究即可；(Ⅲ)分析可知，m >2时，H(x)的极大值点为x 1，且0<x 1<1<x 2，mx 1=x 12+1，再通过构造新函数，利用导数求其最值即可得证．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性、极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查推理论证能力及分类讨论思想，属于较难题目．。
黑龙江省哈尔滨市六中高三下册第二学期第四次模拟考试数学(理)试题含答案【精校】.doc
由
①
②
可
知
或 ∴
或
解
得
，
∴
， ∴
的
普
通
方
程
为
. ------------------------------10
分
23
．
（
1
）
∵
，
即
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
当
时
，
，
解得
，
∴
.
综
上
所
述
，
不
等
式
的
解
集
为
. --------------5
，
，
时
，
，
所
以
在
区
间
上单调递减，在区间
和
上单调递增；
⑥
当
，
即
时
，
，
所
以
在
定
义
域
上单调递增；
综上：①当
时，
在
区
间
上单调递增，在区间
上单调递减；
②
当
时
，
在
区
间
上单调递减，在区间
和
上单调递增；
③
当
时
，
在
定
义
域
上单调递增；
④
当
时
，
在
区
间
上单调递减，在区间 和
上单调递增；
⑤
当
时
，
2023年高考数学模拟试题（四）参考答案
2023年高考数学模拟试题(四)参考答案 一㊁选择题1.B 2.B 3.A4.D 提示:由题得c =(1+k ,2+k ),又b ʅc ,则b ㊃c =1+k +2+k =0,得k =-32㊂5.B 提示:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则πl =2πˑ2,解得l =22㊂6.A 提示:由频率之和为1,即(0.1+a +0.4+0.25+0.1)ˑ1=1,解得a =0.15,则学党史读书时间的平均数为9.5ˑ0.10+10.5ˑ0.15+11.5ˑ0.40+12.5ˑ0.25+13.5ˑ0.10=11.60(小时)㊂7.A 提示:因为X ~B (n ,p ),所以E (X )=n p =2,D (X )=n p (1-p )=1,解得n =4,p =12,则Y ~N (4,σ2),所以P (Y >8)=P (Y <0)=p 2=14,所以P (4<Y <8)=12P (0<Y <8)=121-14-14=14㊂8.D 提示:由a n +2=a n +1+a n ,得a 2+a 3+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 4+a 5+a 7+a 9+ +a 59=a 6+a 7+a 9+ +a 59= =a 58+a 59=a 60,所以k =60㊂9.A提示:由题意可知5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2ɪZ ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T =2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,φ=2k 1π+π12,因为φ<π,所以φ=π12㊂10.C 提示:不妨设0<x 1<x 2,则x 1-x 2<0,有x 2f (x 1)-x 1f (x 2)>0,又x 1x 2>0,所以f (x 1)x 1-f (x 2)x 2>0,即f (x 1)x 1>f (x 2)x 2㊂设g (x )=f (x )x ,则g (x 1)>g (x 2),所以g (x )在(0,+ɕ)上单调递减,故f (x )x>2等价于g (x )>g (2),所以x ɪ(0,2)㊂11.D 提示:设内切圆与P F 1,P F 2,F 1F 2的切点分别为M ,N ,T ,则由切线长定理可得P M=P N ,F 1M=F 1T ,F 2N =F 2T ,因为P F 1-P F 2=F 1M -F 2M =F 1N -F 2T =2a ,F 1F 2=F 1T+F 2T=2c ,所以F 2T =c -a ,则点T 的坐标为(a ,0),故点I 的横坐标为定值a ,所以A 正确㊂因为F 1F 2=2b 2a ,所以2c =2b 2a =2c 2-2a2a,化简得c 2-a c -a 2=0,即e 2-e -1=0,解得e =1ʃ52,因为e >1,所以e =1+52,所以B 正确㊂设әP F 1F 2的内切圆半径为r ,由双曲线的定义可得P F 1-P F 2=2a ,|F 1F 2|=2c ,因为S әI P F =12㊃P F 1㊃r ,S әI P F =12P F 2㊃r ,S әI F F =12㊃2c ㊃r ,又S әI P F =S әI P F +λS әI F F,所以12P F 1㊃r =12P F 2㊃r +λ㊃12㊃2c ㊃r ,所以λ=P F 1-P F 22c =a c =1e =5-12,所以C 正确㊂当P F 2ʅx 轴时,可得P F 2=b2a=c =12F 1F 2,此时t a n øP F 1F 2=12,所以øP F 1F 2ʂ30ʎ,所以D 错误㊂综上可得,答案为D ㊂12.C 提示:令f (x )=l n xx,则f '(x )=1-l n xx 2,易知f (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减㊂由π>e ,f (π)< 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月f (e ),即l n ππ<l n e e,即e l n π<πl n e ,即l n πe<l n e π,所以πe <e π㊂在同一坐标系中作出图1y =(2)x与y =x 的图像,如图1所示,可知在(2,4)内恒有x >(2)x,所以π>(2)π,所以πe >(2π)e=(2)e π㊂综上可知,c <b <a ㊂二㊁填空题13.-35 提示:3s i n α+2c o s α2s i n α-c o s α=3t a n α+22t a n α-1=-1+2-23-1=-35㊂14.4 提示:因为A B =23,且圆的半径为r =23,所以圆心0,0 到直线m x +y +3m -3=0的距离为r 2-A B 22=3㊂由3m -3m 2+1=3,解得m =-33,代入直线l 的方程,得y =33x +23,所以直线l 的倾斜角为30ʎ,在梯形A B D C 中,由平面几何知识可得C D =A Bc o s 30ʎ=4㊂15.168 提示:①对E ,F ,G ,H 涂4种颜色,对于剩下的A ,B ,C ,D 各剩2种颜色,且相邻的都含一种颜色是相同的,即当某个点取一种颜色时,其他点的颜色是确定的,那么A ,B ,C ,D 共有2种情况,共有A 44ˑ2=48(种);②对E ,F ,G ,H 涂3种颜色,对于E ,F ,G ,H 从4种颜色中取3种,即C 34,从这3种颜色中取1种来作重复的一种,即C 13=3,再对这4种颜色进行排列,重复的那种只能在对角,有2个对角,再对其他不重复的2种进行排列A 22=2,即2A 22=4,对于剩下的A ,B ,C ,D 同①一样,各剩2种颜色,当其中一点取1种颜色时,其他点颜色是确定的,共有2种,故共有C 34㊃C 13㊃2A 22㊃2=4ˑ3ˑ2ˑ2ˑ2=96(种);③E ,F ,G ,H 涂2种颜色,则选2种颜色涂在对角位置,有C 24ˑ2=12(种),A ,B ,C ,D 共2种颜色,故共有C 24ˑ2ˑ2=24(种)㊂综上,涂色方法共有48+96+24=168(种)㊂16.29π 提示:易知三棱锥P A C D 的三组对棱分别相等,则该三棱锥可以理解为由正方体六个面的面对角线构成,且其外接球即为正方体的外接球,设该正方体的长,宽,高分别为a ,b ,c ,且a 2+b 2=13,b 2+c 2=25,c 2+a 2=5,则外接球的半径R 满足2R =a 2+b 2+c 2,所以4R 2=a 2+b 2+c 2=12[(a 2+b 2)+(b 2+c 2)+(c 2+a 2)]=29,故外接球的表面积为4πR 2=29π㊂三㊁解答题17.(1)由等差数列的性质可得S 5=5a 3,则a 3=5a 3,所以a 3=0㊂设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 4=(a 3-d )(a 3+d )=-d 2,S 4=(a 3-2d )+(a 3-d )+a 3+(a 3+d )=-2d ,所以-d 2=-2d ,又d ʂ0,故d =2,所以a n =a 3+(n -3)d =2n -6㊂(2)由(1)可得a 1=-4,则S n =n ˑ-4 +n n -1 2ˑ2=n 2-5n ㊂由S n >a n ,得n 2-5n >2n -6,解得n <1,或n >6㊂又n ɪN *,故n 的最小值为7㊂18.(1)由题知B D =C D =2,则B D 2+C D 2=B C 2,所以B D ʅC D ㊂又P D 2+C D2=P C 2,所以P D ʅC D ㊂又P D ɘB D =D ,所以C D ʅ平面P B D ㊂又C D ⊂平面P D C ,所以平面P B D ʅ平面P D C ㊂图2(2)以D 为坐标原点,射线D B ,D C 分别为x 轴,y 轴的正半轴,建立如图2所示的空间直角坐标系D x yz ,则D (0,0,0),C (0,2,0),E 22,22,0,P 22,0,22,所以D E ң=22,22,0,D P ң=22,0,22,参考答案与提示高考数学 2023年7-8月P C ң=-22,2,-22㊂设平面P D E 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃D E ң=22x +22y =0,n ㊃D P ң=22x +22z =0,令x =1,得n =(1,-1,-1)㊂设直线P C 与平面P D E 所成角为θ,则s i n θ=c o s <P C ң,n >=P C ң㊃n |P C ң||n |=63,故直线P C 与平面P D E 所成角的正弦值为63㊂19.(1)设 获三等奖 为事件A ,由题意得P (A )ȡ59,又因为P (A )=A 3nn3=(n -1)(n -2)n 2,所以(n -1)(n -2)n2ȡ59,整理得4n 2-27n +18ȡ0,解得n ȡ6,或n ɤ34(舍),所以n 的最小值为6㊂(2)设顾客在一次抽奖中获奖金额为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为108,60,18,根据题意得P (ξ=108)=C 1663=136,P (ξ=60)=C 26C 12C 1363=1536=512,P (ξ=18)=C 36A 3363=2036=59㊂所以ξ的分布列为表1㊂表1ξ1086018P 13651259所以E (ξ)=108ˑ136+60ˑ512+18ˑ59=38㊂20.(1)设椭圆C 的标准方程为x2a2+y 2b2=1(a >b >0)㊂由题意得2a =4,1a 2+94b2=1,解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x24+y 23=1㊂(2)设直线l :x =m y -1,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂联立x =m y -1,3x 2+4y 2=12,消去y 整理得(3m 2+4)y 2-6m y -9=0,Δ=36m 2+36(3m 2+4)>0,y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4㊂设әP Q R 的面积为S ,则S =2S әP O Q=2ˑ12|O F 1||y 1-y 2|=|y 1-y 2|=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=6m3m 2+42-4㊃-93m 2+4=12m 2+13m 2+4㊂令m 2+1=t (t ȡ1),则S =12t 3t 2+1=123t +1t(t ȡ1)㊂令f (t )=3t +1t(t ȡ1),则f '(t )=3-1t2>0,所以f (t )在[1,+ɕ)上为增函数,所以f (t )m i n =f (1)=4,所以S 的最大值为124=3,此时m =0㊂故当m =0,即直线l 的方程为x =-1时,әP Q R 的面积有最大值,且最大值为3㊂21.(1)当a =e 时,f (x )=x -e l n x +(x -e )2,则f '(x )=(2x +1)(x -e)x㊂令f '(x )>0,得x >e ;令f '(x )<0,得x <e ㊂故函数f x 的单调递增区间为(e ,+ɕ),单调递减区间为(0,e)㊂(2)求导得f '(x )=l n a -ax+2(x -e)=2x 2+(l n a -2e )x -ax㊂令t (x )=2x 2+(l n a -2e )x -a =0,因 参考答案与提示 高考数学 2023年7-8月为Δ=(l n a -2e )2+8a >0,所以方程2x 2+(l n a -2e )x -a =0有两个不相等的实根x 1,x 2(x 1<x 2)㊂又x 1x 2=-a2<0,所以x 1<0<x 2㊂令x 0=x 2,得到表2:表2x (0,x 0)x 0(x 0,+ɕ)f '(x )-0+f (x )减极小值增所以f (x )存在极值点x 0,即存在x 0使得2x 20+(l n a -2e )x 0-a =0成立,所以存在x 0使得a -x 0l n a =2x 20-2e x x 0对任意的a >0有解,因此需要讨论等式左边的关于a 的函数㊂记u (t )=t -x 0l n t ,则u '(t )=1-x 0t㊂令u '(t )=0,得t =x 0,易知u (t )在(0,x 0)上单调递减,在(x 0,+ɕ)上单调递增,所以当t =x 0时,u (t )m i n =u (x 0)=x 0-x 0l n x 0,所以需要2x 20-2e x 0=a -x 0l n a ȡx 0-x 0l n x 0,即2x 20-(2e +1)x 0+x 0l n x 0ȡ0,即2x 0+l n x 0-(2e +1)ȡ0㊂令v (t )=2t +l n t -(2e +1),则u (t )在(0,+ɕ)上单调递增,且v x 0 ȡv (e )=0,所以需要x 0ȡe ,故x 0的最小值为e㊂22.(1)将x =ρc o s θ,y =ρs i n θ,代入x22+y 2=1,整理得ρ=21+s i n 2θ㊂(2)方法1:由题意知,直线l 经过点F (-1,0),设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,将x =-1+t ,y =t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-2t -1=0,则t 1+t 2=23,t 1t 2=-13㊂所以|MN |=2|t 1-t 2|=2ˑ(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂方法2:将直线l 的参数方程化为标准形式为x =-1+22t ,y =22t ,代入x 22+y 2=1,整理得3t 2-22t -2=0㊂设M ,N 两点对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=223,t 1t 2=-23㊂所以MN =t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=423㊂23.(1)方法1:因为|f (x )|=||x -1|-|x -2||ɤ|(x -1)-(x -2)|=1,所以-1ɤf (x )ɤ1,即f (x )的值域为[-1,1]㊂方法2:由题意得f x =x -1-x -2=-1,x ɤ1,2x -3,1<x <2,1,x ȡ2,则易知f x 的值域为-1,1 ㊂(2)方法1:由基本不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2=1+b 22a 2+a 22b2ȡ2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂因为f (x )+x -2+2x -3=|x-1|+|2x -3|,所以|x -1|+|2x -3|ɤ2,等价于x ȡ32,x -1+2x -3ɤ2,或1<x <32,x -1+3-2x ɤ2,或x ɤ1,1-x +3-2x ɤ2,解得32ɤx ɤ2,或1<x <32,或23ɤx ɤ1,则实数x 的取值范围为23,2㊂方法2:由柯西不等式得12a 2+12b2=12a 2+12b 2a 2+b 2ȡ22+222=2,当且仅当a =b =22时,等号成立,因此1a 2+1b2的最小值是2㊂余下同方法1㊂(责任编辑 王福华)参考答案与提示高考数学 2023年7-8月。
2023届湖南高三第六次模拟考试数学试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．25 2．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B ．32C ．12-D ．32- 3．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627 C ．2 D ．16481 4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或2B ．2C ．0D ．1或25．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B=A ．{}1B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 6．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．3D ．27．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．108．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（ ）A ．13B ．310C ．25D ．349．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >10．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．函数cos 2320,2y x x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．811B ．810C ．24D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考数学全真模拟试卷六(新高考、新结构)(全解全析)
2024年高考数学全真模拟试卷六（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知a b ∈R ，，i (3i )i a b -=-（i 为虚数单位），则（）A ．1a =，3b =-B ．1a =-，3b =C ．1a =-，3b =-D ．1a =，3b =【答案】A【解析】因为3i (i)i 1i a b b -=-=+，所以1,3a b ==-.故选A2．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去），故选B.3．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.15【答案】D【解析】由题意知7.5602515C λλ=⨯=⨯，所以410325607.515λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得10lg2lg 23λ=，所以2lg 220.301 1.151lg310.477λ⨯=≈≈--，故选D.4．已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】C【解析】由已知||2,2a b == ，所以()22224222cos ,44a ba b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()3,0,1,0,A B P -为圆22:(3)(3)1C x y -+-=上动点，则22PA PB +的最小值为（）A ．34B ．40C ．44D ．48【答案】B【解析】设(),P x y ，则()()222222223122410PA PB x y x y x y x +=+++-+=+++()22218x y ⎡⎤=+++⎣⎦，即22PA PB +等价于点P 到点()1,0Q -的距离的平方的两倍加8，又1PQ QC PC ≥-=514=-=，即22224840PA PB +≥⨯+=.故选B.6．如图，四棱锥A BCDE -是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，则下列结论错误的是（）A ．点,,,ABC F 共面B ．平面ABE 平面CDF C ．FG CD ⊥D ．FG ⊥平面ACD【答案】D【解析】选项A ：如图，取CD 中点H ，连接GH ，FH ，AG ，AH ，因为A BCDE -是正四棱锥，A CDF -是正四面体，G 为BE 的中点，所以CD GH ⊥，CD AH ⊥，CD FH ⊥，因为GH AH H = ，,GH AH ⊂平面AGH ，所以CD ⊥平面AGH ，因为AH FH H = ，,AH FH ⊂平面AFH ，所以CD ⊥平面AFH ，所以,,,A G H F 四点共面，由题意知3AG HF ==2GH AF ==，所以四边形AGHF是平行四边形，所以GH AF ∥，因为BC GH ∥，所以BC AF ∥，所以,,,A B C F 四点共面，故A 说法正确；选项B ：由选项A 知AG FH ∥，又AG ⊄平面CDF ，FH ⊂平面CDF ，所以AG 平面CDF ，因为CD BE ∥，且BE ⊄平面CDF ，CD ⊂平面CDF ，所以BE 平面CDF ，又AG ⊂平面ABE ，BE ⊂平面ABE ，且AG BE G = ，所以平面ABE 平面CDF ，故B 说法正确；C 选项：由选项A 可得CD ⊥平面AGHF ，又FG ⊂平面AGHF ，所以FG CD ⊥，故C 说法正确；D 选项：假设FG ⊥平面ACD ，因为AH ⊂平面ACD ，则FG AH ⊥，由选项A 知四边形AGHF 是平行四边形，所以四边形AGHF 是菱形，与3AG =2GH =矛盾，故D 说法错误;故选D7．甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分．一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得1-分；若平局，则双方各得0分．若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜．令i P 表示在甲的累计得分为i 时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则1P =（）A ．555535-B ．666535-C ．5662553⨯-D ．677553-【答案】C【解析】由题意可知：i 的取值集合为{}0,1,2,3,4,5,6，且060,1P P ==，在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为20.5P ，在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为10.2P ，在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为00.3P ，根据全概率公式可得12100.50.20.3P P P P =++，整理得2108355P P P =-，变形得()211035P P P P -=-，因为100P P ->，则211035P P P P -=-，同理可得324354652132435435P P P P P P P P P P P P P P P P ----====----，所以{}()10,1,2,,5i i P P i +-= 是公比为35的等比数列，所以()()11030,1,2,,55i i i P P P P i +⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭ ，各项求和得()()551101135i i i i i P P P P +==⎡⎤⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑，则()661103355315P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=-⋅-，即61133551315P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=⋅-，解得51662553P ⨯=-．故选C.8．已知0,2a b c <<>，且12212,e (1),2ln2bab c c a==+=，则（）A ．b a c <-<B ．a b c -<<C ．c a b <-<D ．b c a<<-【答案】B 【解析】令1t a=，则22t t =，令()22,0t f t t t =-<，则()2ln 220t f t t '=->在(),0t ∈-∞上恒成立，故()22t f t t =-在(),0t ∈-∞上单调递增，且()11102f -=-<，110224f ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，故112t -<<-，故()1,2a -∈，令()()2e 1x g x x =-+，0x >，则()()e 21x g x x '=-+，令()()e 21x q x x =-+，则()e 2x q x '=-，令()0q x '>得ln 2x >，令()0q x '<得0ln 2x <<，故()()e 21xq x x =-+在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，则()()ln 222ln 210q =-+<，()22e 60q =->，由零点存在性定理可得，存在()0ln 2,2x ∈，使得()00q x =，且()()2e 1x g x x =-+在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()00g =，故()()000g x g <=，又()22e 90g =-<，()33e 160g =->，故()2,3b ∈，令()2ln 2,2h x x x x =->，则()21h x x'=-，当2x >时，()0h x '>，故()2ln 2h x x x =-在()2,+∞上单调递增，又因为()446ln 20h =-<，()552ln100h =->，故()4,5c ∈，综上，a b c -<<.故选B二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知()()1,1,2,1AB AC =-= ,则下列结论正确的是（）A ．()3,0BC =B ．()25AB BC AC ⋅-=C．cos ,AB AC = D ．若()3,1AB AC λμμλ+=+,则2μλ-=【答案】ACD【解析】对于A ，()3,0BC AC AB =-= ,故A 正确;对于B ，因为()24,1BC AC -=-,所以()25AB BC AC ⋅-=- ,故B 错误;对于C，因为1,AB AC AB AC ⋅=-==所以cos ,10AB AC ==,故C 正确;对于D ，()()2,3,1AB AC λμμλμλμλ+=-+=+ ,所以231μλμμλλ-=⎧⎨+=+⎩,解得1,1λμ=-=,则2μλ-=,故D 正确.故选ACD.10．关于方程[]()22cos 10,πx y αα+=∈表示的曲线Γ，下列说法正确的是（）A ．Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2B ．若Γ为双曲线，则α为钝角C ．若α为锐角，则Γ为焦点在y 轴上的椭圆D ．若Γ为椭圆，P 为椭圆Γ上不与长轴顶点,A B 重合的点，则cos PA PB k k α⋅=-【答案】AD【解析】对于A 项，当cos 0α=，即π2α=时，方程为21y =，解得1y =±，因此Γ可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A 选项正确；对于B 项，若Γ为双曲线，则cos 0α<，即ππ2α<≤，故α为钝角或平角，故B 选项错误；对于C 项，若α为锐角，则0cos 1α<<，即11cos α>.将原方程化为标准方程为2211cos x y α+=⎛⎫⎪⎝⎭，因此Γ为焦点在x 轴上的椭圆，故C 选项错误；对于D 项，若Γ为椭圆，则α为锐角，设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，则221,1cos a b α==，不妨设()()()00,0,,0,,A a B a P x y -，将点P 的坐标代入椭圆方程得2200cos 1x y α+=，即22001cos y x α=-，故22000022200001cos cos 1cos PA PBy y y x k k x a x a x a x ααα-⋅=⋅===-+---，故D 选项正确.故选AD ．11．对于集合A 中的任意两个元素,x y ，若实数(),d x y 同时满足以下三个条件：①“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”；②()(),,d x y d y x =；③z A ∀∈，都有()()(),,,d x y d x z d y z ≤+．则称(),d x y 为集合A 上的距离，记为A d ．则下列说法正确的是（）A ．(),d x y x y =-为d RB ．(),sin sin d x y x y =-为d RC ．若()0,A =+∞，则(),ln ln d x y x y =-为Ad D ．若d 为R d ，则1e d -也为R d （e 为自然对数的底数）【答案】AC【解析】对于A ，(),d x y x y =-，即x y =，①，(),0d x y =，即(),0d x y x y =-=，即x y =，若x y =，则(),0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),,d x y x y y x d y x =-=-=，成立，③，,,R x y z ∀∈，()()x y x z z y x z z y -=-+-≤-+-，故A 正确；对于B ，(),sin sin d x y x y =-，①，(),0d x y =，即(),sin sin 0d x y x y =-=，即sin sin x y =，此时若0,πx y ==，则x y ≠，故B 错误；对于C ，(),ln ln d x y x y =-，①，(),0d x y =即ln ln ln0xx y y-==，即1x y =，得x y =，若x y =，则(),ln ln ln ln 0d x y x y x x =-=-=，所以“(),0d x y =”的充要条件为“x y =”.②，()(),ln ln ln ln ,d x y x y y x d y x =-=-=，成立；③，()()(),ln ln ln ln ln ln d x y x y x z z y =-=-+-()()ln ln ln ln ,,x z z y d x z d y z ≤-+-=+，故成立，故C 正确；对于D ，设,x y ∀∈R ，(),d x y x y =-，则()1,1e e x y d x y ---=，①,若(),0d x y =，则0x y -=，即x y =，111e e 0x y d e ----==≠，故D 错误.故选AC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．函数()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，则=a .【答案】38【解析】因为()()2312(2)log 22x f x x a +=+-+是偶函数，可得()()()31231228log 83022x x f x f x ax a x +-++--=-=-=+，所以38a =.13．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，且26EF AB ==．则这个几何体的外接球的体积为．【答案】36π【解析】连接BD ，分别取EF 、BD 、AD 中点G 、H 、I ，连接GH 、HI 、EI ，由底面ABCD 是正方形，//EF 平面ABCD ，ADE V 和BCF △均为等边三角形，故//EG IH ，GH ⊥底面ABCD ，又26EF AB ==，故3EG AD AB ===，则22EI AD ==，故2GH ==，由H 为底面正方形中心，HG IH ⊥，故羡除ABCDEF 外接球球心O 在直线GH 上，连接OI 、OE 、OA ，设半径为r ，OH a =，则==OA OE r ,由GH ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故GH AD ⊥，又AD IH ⊥，IH 、GH Ì平面IOH ，故AD ⊥平面IOH ，又IO ⊂平面IOH ，故AD IO ⊥，故2222232IO r AI r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又222223+2IO OH IH a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故有222233+22r a ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即229+2r a =，又2222227322EO r a a ⎛⎫==-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，故有22279+22a a -+=，解得2a =，故22999+9222r a ==+=，即3r =，则这个几何体的外接球的体积为34π36π3V r ==.14．已知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为．【答案】371115(3)(][7]2222,,, 【解析】由题意知函数π2cos (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，故函数的最小正周期πππ2ππ082444T ,,ωω≥-=∴≥∴<≤,又ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ44424x ωωω-<-<-，而πππ7π4444ω-<-≤，当ππππ4442ω-<-<时，即03ω<<时，需有πππ3π2242ω<-≤，即3722ω<≤，此时3(3)2,ω∈；当πππ442ω-=时，即3ω=时，ππ5π244ω-=，此时函数在π5π(,24)上无零点，不合题意；当πππ3π2442ω<-<时，即37ω<<时，需有3πππ5π2242ω<-≤，即71122ω<≤，此时711(]22,ω∈；当ππ3π442ω-=时，即7ω=时，ππ13π244ω-=，此时函数在3π13π(,)24上有一零点5π2，符合题意；当3πππ7π2444ω<-≤时，即78ω<≤时，需有5πππ7π2242ω<-≤，即111522ω<≤，此时15(7]2,ω∈；综合上述，得ω的取值范围为371115(3)(][7]2222,,, 三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15.（13分）近年来“天宫课堂”受到广大中小学生欢迎，激发了同学们对科学知识的探索欲望和对我国航天事业成就的自豪．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校组织了一次“寻梦天宫”航天知识竞赛（满分100分），各年级学生踊跃参加．校团委为了比较高一、高二学生这次竞赛的成绩，从两个年级的答卷中各随机选取了50份，将成绩进行统计得到以下频数分布表：成绩[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100高一学生人数1551515高二学生人数10102010试利用样本估计总体的思想，解决下列问题：(1)从平均数与方差的角度分析哪个年级学生这次竞赛成绩更好（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）？(2)校后勤部决定对参与这次竞赛的学生给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：记学生得分为x ，当70x <时，奖励该学生10元食堂代金券；当7090x ≤<时，奖励该学生25元食堂代金券；当90x ≥时，奖励该学生35元食堂代金券；方案二：得分低于样本中位数的每位学生奖励10元食堂代金券；得分不低于中位数的每位学生奖励30元食堂代金券．若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择哪种方案？解：（1）设高一年级学生竞赛成绩的平均数为x ，方差为21s .高二年级学生竞赛成绩的平均数为y ，方差为22s .则6515755851595158150x ⨯+⨯+⨯+⨯==，（1分）2222211[15(6581)5(7581)15(8581)15(9581)]144,50s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=（3分）1(6510751085209510)8150y =⨯+⨯+⨯+⨯=，（4分）2222221[10(6581)10(7581)20(8581)10(9581)]161.650s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，（6分）因x y =2212s s <，故高一年级学生这次竞赛成绩比较稳定集中，成绩更好；（7分）（2）按照方案一，高一年级学生获得奖励为：1510(515)2515351175⨯++⨯+⨯=元，而高二年级学生获得奖励为：1010(1020)2510351200⨯++⨯+⨯=元，即按照方案一，高一年级获得奖励少于高二；（9分）按照方案二，依题意，所抽取的100名参加竞赛学生的成绩中位数为90806801082357-+⨯=，则样本中，高一年级学生成绩低于中位数的人数约为682807155152410-++⨯≈人，则高一年级获得奖励为：241026301020⨯+⨯=元；高二年级学生成绩低于中位数的人数约为6828071010202610-++⨯≈人，则高二年级获得奖励为：26102430980⨯+⨯=元.（11分）因1020980>，即按照方案二，高一年级获得奖励多于高二.故若高一年级组长希望本年级学生获得多于高二年级的奖励，则他应该选择方案二.（13分）16．（15分）已知在四边形ABCD 中，ABD △为锐角三角形，对角线AC 与BD 相交于点O，π2,4,4AD AC BD ABD ∠====．(1)求AB ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）由余弦定理可得2222πcos 42AB BD AD AB BD +-=⋅，化简为220AB -+=，解得1AB =1，（4分）当1=AB时，因为2146cos 0BAD +-∠=<，与ABD △为锐角三角形不符合，故1AB =.（7分）（2）作,AE CF 垂直BD 于,E F ，设1AOB ∠=∠，（9分）则()1111sin 1sin 1sin 12222ABCD ABD CBD S S S BD AE BD CF BD AO CO BD AC =+=⋅+⋅=∠+∠=⋅∠ ，当sin 11190AC BD ∠=⇒∠=︒⇒⊥，四边形面积最大，最大面积为146262⨯=（15分）17．（15分）如图，在几何体111B C D ABCD -中，平面111//B C D 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，四边形11BB D D 为平行四边形，四边形11D DCC 为菱形，112,22,120,DC AC D DC E ︒==∠=为棱11C D 的中点，点F 在棱1CC 上，//AE 平面BDF .(1)证明DE ⊥平面ABCD ；(2)求平面1AB D 与平面BDF 夹角的余弦值.解：（1）如图，连接DC 1，因为四边形11D DCC 为菱形，1120︒∠=D DC ，所以160DCC ︒∠=，所以12DC =，因为12,22AD DC AC ===22211AD DC AC +=，所以1AD DC ⊥，又11,,,AD DC DC DC D DC DC ⊂⊥= 平面11CDD C ，所以AD ⊥平面11CDD C ，所以,AD DE AD DC ⊥⊥，（3分）因为四边形11D DCC 为菱形，且1120︒∠=D DC ，所以1111DD DC D C ==，因为E 为棱11C D 的中点，所以11DE C D ⊥，又11//C D CD ，所以DE CD ⊥，（5分）因为,,,DE AD AD DC D AD DC ⊥=⊂ 平面ABCD ，所以DE ⊥平面ABCD .（7分）（2）以D 为坐标原点，,,DA DC DE分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.易知3DE =所以()0,0,0,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),3)D A B C E ，113),(0,3)C D -，所以1(0,3),(0,2,0),(2,0,3),(2,2,0),(2,0,0)CC DC AE DB DA =-==-== ，1(0,3)DD -= ，设()10,3(01)CF tCC t t t ==-≤≤ ，则(0,2,3)DF DC CF t t =+=- ，（9分）因为//AE 平面BDF ，所以存在唯一的,R λμ∈，使得(2,2,0)(0,2,3)(2,22,3)AE DB DF t t t λμλμλλμμμ=+=+-=+- .所以22,220,33t t λλμμμ=-+-==23t =，所以111114230,,,(2,1,3)33DF DB DD D B DD DB ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，（11分）设平面BDF 的法向量为()111,,x n y z = ，则00DF n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以1111423033220y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，取13y =-，则113,23x z ==，故(3,3,23)n =- ，设平面1AB D 的法向量为()222,,m x y z = ，则100DA m DB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取23y =，则220,3x z ==-(0,3,3)m =- ，（13分）设平面1AB D 与平面BDF 的夹角为θ，则10cos cos ,43023m n m n m nθ⋅=〈〉===⨯ ，故平面1AB D 与平面BDF 104（15分）18．（17分）已知抛物线C ：()2205y px p =<<上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.(1)求抛物线C 的方程：(2)过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若3412S S S S λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，（2分）解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.（4分）（2）如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m ∈R ，0m ≠），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y=，（6分）∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.（8分）联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（10分）同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==.（13分）由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，（15分）∴2123422S S m S S +==，得2212m λ=<+，故λ的取值范围为()0,1.（17分）19．（17分）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville ）最早证明的．一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：11100n n n n a x a x a x a --++++= （0a ，1a ，…，n a ∈Z ，0n a ≠）．数学家证明了自然对数的底数e 与圆周率π是超越数．回答下列问题：已知函数()e x n n n f x b x =-（*n ∈N ）只有一个正零点．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)（ⅰ）构造整系数方程00n n a x a +=，证明：若N m ∈，则e m 为有理数当且仅当0m =．（ⅱ）数列{}n b 中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由．解：（1）若()e x n n n f x b x =-只有一个正零点，可得e ,e 1,x n n x n n b x b x -==（1分）令()e n x g x x -=，()11()e e e n x n x n x g x nx x x n x -----=-=-'，令()0g x '<，(,)x n ∈+∞，令()0g x '>，(0,)x n ∈，故()g x 在(0,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，可得()g x 在x n =处取得最大值，且最大值为()e n n g n x -=，（4分）而当0x →时，()0g x →，当x →+∞时，()0g x →，由题意得，当()g x 最大时，符合题意，故e 1n n n b n -=，即e n n n b n -=⋅.（6分）（2）（ⅰ）若0m =，则e 1m =为有理数；若m 正整数，假设e m 为有理数，则e ,,,0m p y p q q q==∈≠Z ，则方程0q y p ⋅-=的根中有有理数，又在方程0m q x p ⋅-=中，发现e x =是它的根，（8分）而已知e 是超越数，故e 不是方程的根，与0q y p ⋅-=矛盾，即e m 不为有理数；综上所述：m ∈N ，e m 为有理数当且仅当0m =；（10分）（ⅱ）若数列{}n b 中存在不同的三项构成等比数列，则()2e e e e m m n n l l m n ---⋅⋅⋅=⋅，可得22e m n l m n l m n l +--=⋅⋅，由方程右边是有理数知左边是有理数，由上问知当且仅当2m n l +=时成立，故2m n l m n m n l l l ⋅==⋅，则()()1m n m n l l ⋅=，设1m x l-=，则(1)m l x =-，(1)n l x =+，则()()111m n x x -⋅+=，将(1)m l x =-，(1)n l x =+代入进行化简，可得()()(1)111l x l x x x -+-⋅+=，故()()11111l x x x x -+⎡⎤-⋅+=⎣⎦，故()()11111x x x x -+-⋅+=，（14分）构造函数()()()()()1ln 11ln 1f x x x x x =--+++，而()()2ln 10f x x ='-<，知()f x 在其定义域内单调递减，又()00f =，故若()()11111x x x x -+-⋅+=，则有0x =，即2m n l m n l ⋅=成立，当且仅当m n l ==时成立.即数列{}n b 中不存在不同的三项构成等比数列.（17分）。
高三下学期数学六模(理科)
2012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷)（满分：150分，时间：120分钟）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合},3125|{R x x x A ∈≤-≤-=，},0)8(|{Z x x x x B ∈≤-=，则A B = ( ) A ．()0,2B ．[]0,2 C ．{}0,2 D ．{}0,1,22．如果复数miim -+12是实数，则实数=m ( )A.1-B. 1C. 2-D.23．焦点为（0，6）且与双曲线1222=-y x有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A.1241222=-y x B .1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,,若a =2b =，sin cos B B +A 的大小为( )A ． 060B ． 030C ． 0150D ．0455. 如图，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域。
在D 中随机取一点，则该点在E 中的概率为（ ） A ．15 B ．14 C ．13 D ．126. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点，则打印的 点落在坐标轴上的个数是（ ）A.0B. 1C. 2D. 37．在ABC ∆中, AM AC AB 2=+，点P 在AM 上且满足PM AP 2=,则()PA PB PC ⋅+等于( )A8. 函数)sin()(ϕω+=x x f （R x ∈）)20(πϕω<>,的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f （ ）AB．19. 如图，正方体1AC 的棱长为1，过点A 作平面BD A 1的垂线，垂足 为H ．则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是BD A 1∆的垂心 B ．AH 垂直平面11D CB C ．AH 的延长线经过点1C D ．直线AH 和1BB 所成角为04510.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）11．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称， ,x y 满足不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为 （ ）A ．[)+∞,12 B ．[]3,0C ．[]12,3 D ．[]12,012．已知函数()()21(0)()110x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n 项的和n S ,则10S ＝（ ） A ．15 B ．22 C ．45 D ． 502012—2013学年度下学期第六次模拟考试高三数学(理科试卷) 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高考数学模拟试题六答案.doc
高考数学模拟试题六NJGZ第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．在等差数列|,|,0,0,}{910109a a a a a n >><且中则在前n 项和S n 中最大的负数为（B ）A ．S 16B ．S 17C ．S 18D ．S 192．设),()(+∞-∞是定义在x f 上的奇函数，且在区间（0，∞+）上单调递增，若0)21(=f ，三角形的内角满足0)(cos <A f ，则A 的取值范围是 （C ）A ．)32,3(ππB ．)2,3(ππC ．),32()2,3(ππππ⋃ D ．),32(]2,3(ππππ⋃ 3．等差数列}{n x 的前n 项和为A n ，已知)6(144,324,3666>===-n A A A n n ，则n 为（A ）A ．18B ．17C ．16D ．154．已知数列}{},{),(,23,2}{},{n n n nn n n b a N n n b a b a +∈+==的通项分别为中相同项从小到大排成的新数列为{c n }，则{c n }的第5项是（D ）A ．128B ．512C ．1024D ．5．若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数 的是 （B ）A ．S 17B ．S 15C ．S 8D ．S 76．一质点在直线上从时刻t=0秒以速度34)(2+-=t t t v （米/秒）运动，则该质点在时刻 t=3秒时运动的路程为（D ）A ．4米B ．8米C ．米34 D ．米387．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于 （D ）A ．0B ．32 C ．1D ．28．设奇函数]1,1[)(-在x f 上是增函数，且,1)1(-=-f 若函数12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈x 都成立，当]1,1[-∈a 时，则t 的取值范围是（C ）A ．22≤≤-tB ．2121≤≤-tC ．022=-≤≥t t t 或或D ．02121=-≤≥t t t 或或9．函数x x y ln =的单调递减区间是（C ）A ．（1-e ，+∞）B ．（－∞，1-e ）C ．（0，1-e ）D ．（e ，+∞）10．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （B ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°11．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且t t ⋅≤≤=则),10(的最大值为 （C ）A ．3B ．6C ．9D ．1212．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ C ）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）P13．把1同的小球紧密地垒成一个正三棱锥，那么最低一层有36个小球.14．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为X=0，2或－4171+15．若=+=-+αααα2tan 2cos 1,2003tan 1tan 1则16．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为18.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）17．（本小题满分12分）△ABC 中，三个内角分别是A 、B 、C ，向量B A BA C tan tan ),2cos ,2cos 25(⋅-=当 91=时，求||a . 解2cos )2cos 25(||222B AC -+= ， .423||,89||.cos cos sin sin 9.91cos cos sin sin ,91tan tan ).cos cos sin sin 99(81)sin sin 5cos cos 5sin sin 4cos cos 49(81)]cos(5)cos(49[812)cos(12)cos(1452cos 2sin 452cos 2cos 45||222222==∴=∴==-+=+-++=+--+=-+++-⋅=-++=-+⋅=∴B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A C a 故即又 18．（本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的任一点. （1）求证：不论P 在侧棱CC 1上何位置，总有BD ⊥AP ；（2）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面角的余弦值；（3）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线. 解（1）由题意可知，不论P 点在棱CC 1上的任何位置，AP 在底面ABCD 内射影都是AC ， AC BD ⊥ ， .AP BD ⊥∴（2）延长B 1P 和BC ，设B 1P ∩BC=M ，连结AM ，则AM=平面AB 1P ∩平面ABCD. 过B 作BQ ⊥AM 于Q ，连结B 1Q ，由于BQ 是B 1；Q 在底面ABCD 内的射影，所以B 1Q ⊥AM ，故∠B 1QB 就是所求二面角的平面角，依题意，知CM=2B 1C 1，从而BM=3BC. 所以BC BC BC BM AB AM 1092222=+=+=. 在=⋅=∆AMBMAB BQ ABM Rt ,中BQ B Rt BC BCBC BC 1103103∆=⋅在中，31021032tan 11===∠BC BC BQ B B QB B ， .3102tan 1=∠∴QB B QBB QB B 1212cos 1tan 1∠=∠+∴得 .cos 1940112QB B ∠=+73c o s 1=∠∴QB B 为所求. （3）设CP=a ，BC=m ，则BB 1=2m ，C 1P=2m －a ，从而,)2(2221a m m P B -+=.2,5422221m AC m m m AB ==+=在121212112cos ,.cos ,AB AP P B AB AP PAB PAB AP AC APC ACP Rt ⋅-+=∆=∠∆中在中 依题意，得1PAB PAC ∠=∠. 1212122AB AP P B AB AP AP AC ⋅-+=∴. 1212122AB AC P B AB AP ⋅=-+∴.即.522])2([5222222m m a m m m m a ⋅=-+-++.411021101BB m a ⋅-=-=∴故P 距C 点的距离是侧棱的.4110- 别解：如图，建立空间直角坐标系.设).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(,6,11a P C B CC a CP --∴==).,3,3(),0,3,3(),6,3,0(1a AB -=-==∴ .)18(1818,cos ,)18(5233)3(6369,cos 22222221a a a a aAP AB +>=<++=++-⋅++>=<∴依题意，得,,cos ,cos 1><>=<AB 即.4110641102)110(3,103231CC a a -=⨯-=-==+亦即 故P 距C 点的距离是侧棱的.4110- 19．（本小题满分12分）为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射出10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求： （1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2）两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两个有效数字）. ：依题意，知甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7.0107=； 乙运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为.6.0106= （1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好击中目标2次的概率是.44.0)7.01(7.01223=-⨯⨯C（2）甲、乙两运动员各自向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是.19.0])6.01(6.0[])7.01(7.0[12231223=-⋅⋅⋅-⋅⋅C C本小题满分12分）设数列}{n a 是等比数列，123321-+⋅=m m m A C a ，公比q 是42)41(xx +的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）.（1）用n ，x 表示通项a n 与前n 项和S n ；（2）若n nn n n n S C S C S C A +++= 2211，用n ，x 表示A n .解（1）.3.3,3,12,332,123321=⎩⎨⎧≥≤⎩⎨⎧≥-≥+∴⋅=-+m m m m m m A C a m m m 即由.)41()41(21414242x xx C T x x =⋅⋅=--知 ⎪⎩⎪⎨⎧≠--===∴-).1(11),1(,1x xx x n S x a nn n n （2）当x =1时，S n =n ，,32321nn n n n n nC C C C A ++++=又,0)2()1(0121n n n n n n n n n C C C n C n nC A ⋅+++-+-+=--12102),(2-⋅=∴++++=∴n n nn n n n n n A C C C C n A当,11,1xx S x nn --=≠时 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-=⋅=∴+--=-++++---=++++-++++-=--++--+--+--=-).1(1)1(2),1(2].)1(2[11)]11(12[11)]()[(111111111112213322132133221x x x x n A x xC x C x xC x C x C x C x xC C C C C x C x x C x x C x x C x x A nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nnn n n n n 21．（本小题满分12分）已知点H （－6，0），点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足.21,0MQ PM PM HP ==⋅ （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ；（2）过点T （－2，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点)0,(0x E ，使得△AEB 是以点E 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的斜率k 的取值范围.解（1）设点M 的坐标为),0,3(),23,0(,21),,(x yP y x 得则= 由.8,0)2,()23,6(,02x y yx y ==-⋅=⋅所以得 由点Q 在x 轴的正半轴上，得0>x .所以，动点M 的轨迹C 是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点. （2）设直线)1(,0168,8,2:22=+-=-=my y x y my x l 得代入).(11,064642*-<>>-=∆m m m 或解之得设)1(,),,(),,(212211是方程则y y y x B y x A 的两个实数根，由韦达定理得16,82121==+y y m y y ，所以，线段AB 的中点坐标为),4,24(2m m F -而,1184)(1||22212212-⋅+=-+⋅+=m m y y y y m ABx 轴上存在一点E ，使△AEB 为以点E 为直角顶点的直角三角形，∴点F 到x 轴的距离不大于.||21AB所以 .11821|4|22-⋅+⋅≤m m m化简得0124≥--m m ，解之得2512+≥m ，结合（*）得.2512+≥m 又因为直线l 的斜率,1mk =所以2152-≤k ，显然.0≠k 故所求直线l 的斜率k 的取值范围为.0,215215≠-≤≤--k k 且 22．（本小题满分14分）已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a .（I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析式；（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；命题Q ：函数)(x g 是减函数.如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；（III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小.解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-++++=+∴.|2|lg )1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g ………2分 解得.|2|lg )(,)1()(2++=+=a x x h x a x g ………………4分（2）|2|lg 4)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数，,21)1(2+-≥+∴a a 解得.2231-≠-≤-≥a a a 且或…………6分 又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且…………8分 ∴命题P 为真的条件是：.2231-≠-≤-≥a a a 且或 命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且.又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.23->∴a ……………………10分 （2）由（1）得.6)2lg(2)2(,23.6|2|lg 2)2(+++=∴->+++=a a f a a a f 又 设函数010ln 212)(,6)2lg(2)(>++='+++=a a v a a a v . ∴函数)(a v 在区间),23[+∞-上为增函数.………………12分 又.2lg 3)2(),23()(,23,2lg 3)23(->->->∴-=-f v a v a v 即时当 ………14分。
2023年高考数学模拟试题（六）参考答案
2023年高考数学模拟试题(六)参考答案 一㊁选择题1.A 提示:z =(1+i)33-i=-2+2i3-i=(-2+2i )(3+i )(3-i )(3+i)=-1-32-1-32i,所以z =-1-322+1-322=2㊂2.C 提示:由x >0,l o g 2x +1ȡ0,得x ȡ12,故集合A =12,+ɕ,所以0<12xɤ22,即集合B =0,22,故A ɘB =12,22㊂3.B 提示:由题意得2c o s θ=-s i n θ,所以t a n θ=-2,而s i n 3θ+2c o s 3θs i n (π+θ)=s i n 3θ+2c o s 3θ-s i n θ=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n θ(s i n 2θ+c o s 2θ)=-s i n 3θ+2c o s 3θs i n 3θ+s i n θc o s 2θ=-t a n 3θ+2t a n 3θ+t a n θ=-35㊂4.D 提示:由题意知2a n =a n -1+a n +1(n ȡ2),所以数列{a n }是首项为1,公差为94-1=12的等差数列,故a 9=1+8ˑ12=5,所以a 9=25㊂5.C 提示:在区间-π,π2上满足c o s X ɤ12的X 只能在区间-π,-π3ɣπ3,π2内,所以P (X ɤ2)=59㊂6.D 提示:当i =1时,S =10;当S =9时,i =2;当S =7时,i =3;当S =4时,满足题意,所以n 的最小值为5㊂7.B 提示:设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r ,由S =π(r +3r )ˑ4=162π,可得r =2,所以圆台的高h =42-(22)2=22,所以圆台的体积为13ˑ22πˑ[(2)2+(32)2+2ˑ32]=522π3㊂8.A 提示:A 77A 22A 22A 33=210㊂9.D 提示:f (2x )=2x 2x =4x ㊃x =4f (x ),从而f (x 2-1)ȡ4f (-1-a x )⇔f (x 2-1)ȡf (-2-2a x )㊂当x >0时,f (x )=x x =x 2在[0,+ɕ)上单调递增,而f (x )为奇函数,所以f (x )在R 上单调递增㊂所以x 2-1ȡ-2-2ax 在R 上恒成立,即x 2+2a x +1ȡ0恒成立,所以Δ=4a 2-4ɤ0,解得-1ɤa ɤ1,故a 的取值范围为[-1,1]㊂图110.A 提示:将三视图还原得到三棱锥D A B C ,如图1所示,其中A B =B C =1,A D =C D =2,R =B D 2=32,所以V =43πR 3=3π2㊂11.C 提示:由双曲线m x 2-n y 2=1得渐近线方程为mnx ʃy =0,则圆心(1,0)到渐近线的距离为m n 1+m n =43-1,解得n =2m ,所以m +1n +1=m +12m +1=m+12+12m +12-12ȡ2m +12㊃12m +12-12=2-12,当且仅当2m +122=1,即m =2-12时,等号成立㊂12.B 提示:要使øA O B 最大,则A ,B两点必须在分段函数的不同部分上,不妨设A (x 1,x 1ex 1-1+1),B (x 2,y 2)(其中x 1>0,图2-1ɤx 2ɤ0),如图2,当øA O B最大时,直线O A 与y =x e x -1+1相切且A 为切点,此时有y '=(x +1)e x -1,从而k O A =x 1e x 1-1+1x 1=(x 1+1)ex 1-1,化简得x 21ex 1-1-1=0(x 1>0),令h (x )=x 2e x -1-1(x >0),易得h (x )在(0,+ɕ)上为增函数且h (1)=1,所以x 1=1,所以k O A =2;当-1ɤx ɤ0时,y =10-1-x 2,变形得x 2+(y -10)2=1(-1ɤx ɤ0,y ɤ10),则øA O B 最大时,直线O B 与圆相切,设此时直线O B 的方程为y =k x (k <0),则由0-101+k2=1得k O B =-3,所以t a n øA O B =k O B -k O A1+k O A k O B=1,故øA O B =π4㊂二㊁填空题13.3316提示:将A (1,2)代入y =a x 2,得a =4,所以抛物线C :x 2=14y ,焦点F 的坐标为0,116,准线方程为y =-116,由抛物线的定义得A F =2+116=3316㊂14.π4提示:10=2a -b =(2a -b )2=4a 2-4a ㊃b +b2=4-4㊃32c o s θ+18,解得c o s θ=22,因为θɪ[0,π],所以θ=π4㊂15.11π6 提示:由题意知π6--π3=T 4(2k +1)=π2ω(2k +1),解得ω=2k +1(k ɪZ ),由8π15ɤT 2=πω,得0<ωɤ158,所以ω=1,由f π6=0,得π6+φ=2k 1π,所以φ=2k 1π-π6(k 1ɪZ ),故φm i n =11π6㊂16.-23n -29(-2)n+29 提示:由a n +1-1=a 2n +a n -1-2a na n -1-1-1,得a n +1-1=(a n -1)2a n -1-1,所以(a n +1-1)(a n -1-1)=(a n -1)2,故{a n -1}是首项为2,公比为q 的等比数列,且a 6-1=-64=2q 5,则q =-2,所以a n -1=2(-2)n -1㊂令b n =n (a n -1),则b n =2n (-2)n -1㊂故T n =2(-2)0+4(-2)1+ +2(n -1)(-2)n -2+2n (-2)n -1;-2T n =2(-2)1+4(-2)2+ +2(n -1)(-2)n -1+2n (-2)n㊂两式相减得3T n =2(-2)0-2n (-2)n+2[(-2)1+ +(-2)n -1],化简得T n =-23n -29(-2)n+29㊂三㊁解答题17.由题得f (x )=(s i n 2ωx -c o s 2ωx )㊃(s i n 2ωx +c o s 2ωx )+23s i n ωx c o s ωx +1=s i n 2ωx -c o s 2ωx +23s i n ωx c o s ωx +1=3s i n 2ωx -c o s 2ωx +1=2s i n 2ωx -π6+1㊂所以T =2π2ω=π,所以ω=1,故f (x )=2s i n 2x -π6+1㊂由2x -π6=k π,得x =k π2+π12(k ɪZ ),故f (x )的对称中心为k π2+π12,1(k ɪZ )㊂(2)由f (A )=2s i n 2A -π6 +1=3,得s i n 2A -π6 =1,而0<A <π,故A =π3㊂由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A ,即1=b 2+c 2-b c ȡ2b c -b c =b c ,所以b c ɤ1,当且仅当b =c 时等号成立㊂S әA B C =12b c s i n A ɤ12㊃1㊃32=34,故әA B C 面积的最大值为34㊂18.(1)甲㊁乙两生产车间的茎叶图如图3所示㊂以下四个结论中选两个即可:图3①乙车间生产的药品的平均重量大于甲车间生产的药品的平均重量㊂②甲车间生产的药品的重量较乙车间生产的药品的重量更分散(或:乙车间生产的药品的重量较甲车间生产的药品的重量更集中(稳定))㊂③甲车间生产的药品的重量的中位数是134毫克;乙车间生产的药品的重量的中位数是140毫克㊂④甲车间生产的药品的重量的众数是119毫克;乙车间生产的药品的重量的众数是140毫克㊂(2)由题意知一件药品合格的概率为1050=15,故X ~B 3,15,X 的所有可能取值为0,1,2,3㊂P (X =0)=C 03㊃453=64125;P (X =1)=C 13㊃15㊃45 2=48125;P (X =2)=C 23㊃15 2㊃45=12125;P (X =3)=C 33㊃15 3=1125㊂故X 分布列为表1:表1X 0123P6412548125121251125所以E (X )=3ˑ15=35,D (X )=3ˑ15ˑ45=1225㊂19.(1)在面A B C D 内分别作B E ʅA D于E ,B F ʅC D 于F ㊂因为面D A A 1D 1ʅ面A B C D 且交于A D ,所以B E ʅ面D A A 1D 1,故B E ʅD D 1㊂同理得D D 1ʅB F ㊂而B E ɘB F =B ,所以D D 1ʅ面A BCD ㊂(2)由题意知A B 2=A D 2+B D 2,所以D A ʅD B ㊂由(1)知D D 1ʅ面A B C D ,所以D A ,D B ,D D 1两两垂直㊂以D 为坐标原点,图4D A ,D B ,D D 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图4所示的空间直角坐标系D -x yz ,设B D =1,则D (0,0,0),B (0,1,0),M 1,0,22,C 1(-1,1,2),所以B C 1ң=(-1,0,2),B D ң=(0,-1,0),B M ң=1,-1,22㊂设面B C 1M 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1),则m ㊃B C 1ң=-x 1+2z 1=0,m ㊃B M ң=x 1-y 1+22z 1=0,可取m =(2,3,2)㊂同理可得面B C 1D 的一个法向量为n =(2,0,1),所以c o s <m ,n >=m ㊃nm n=105,故二面角M -B C 1-D 的正弦值为155㊂20.设直线A B 的直线为y =x +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =x +m 代入x 2+3y 2=3,得4x 2+6m x +3(m 2-1)=0,Δ=12(4-m 2)>0,得0ɤm 2<4,由韦达定理得x 1+x 2=-32m ,x 1x 2=3(m 2-1)4㊂由弦长公式得A B =1+12㊃(x 1+x 2)2-4x 1x 2=62㊃4-m 2ɤ6,当m =0时,|A B |取得最大值6㊂(2)由题意知直线C D 的斜率必存在,设直线C D 的方程为y =k x +n ,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线P C 的斜率为k P C =y 3x 3+2,则直线P C 的方程为x =x 3+2y 3㊃y -2,将其代入x 2+3y 2=3,得x 3+2y 3㊃y -2 2+3y 2-3=0,即(4x 3+7)y 2-4y 3(x 3+2)y +y 23=0,所以y A y 3=y 234x 3+7,则y A =y 34x 3+7,x A =x 3+2y 3㊃y A -2=-7x 3-124x 3+7=-74+14(4x 3+7),故A-74+14(4x 3+7),y 34x 3+7㊂同理B -74+14(4x 4+7),y 44x 4+7㊂故k A B=y 34x 3+7-y 44x 4+714(4x 3+7)-14(4x 4+7)=4y 3(4x 4+7)-4y 4(4x 3+7)(4x 4+7)-(4x 3+7)=(k x 3+n )(4x 4+7)-(k x 4+n )(4x 3+7)x 4-x 3=(4n -7k )(x 4-x 3)x 4-x 3=4n -7k =1,所以n =74k +14,所以直线C D 的方程为y =k ㊃x +74+14,故直线C D 过定点-74,14 ㊂21.(1)当a =1时,f (0)=0,f'(x )=e x-1c o s 2x,所以f '(0)=0,故所求切线方程为y =0㊂(2)注意到f (0)=0,f '(x )=e x-a c o s 2x=e xc o s 2x -a c o s 2x,令h (x )=e x c o s 2x -a -π2<x <π2,当a ɤ0时,h (x )ȡ0,所以f (x )在-π2,π2上单调递增,而f (0)=0,所以f (x )在-π2,π2上只有一个零点,不符合题意(舍去)㊂当a >0时,h '(x )=e xc o s 2x -2e x㊃s i n x c o s x =e xc o s 2x (1-2t a n x ),由h '(x )>0得-π2<x <x 0;由h '(x )<0得x 0<x<π2,其中0<x 0<π2且t a n x 0=12㊂故h (x )在-π2,x 0上单调递增,在x 0,π2上单调递减㊂而h -π2 =hπ2 <0,所以h (x 0)一定大于0,即0<a <e x 0c o s 2x 0=45e x其中45e x>1㊂所以∃x 1ɪ-π2,x 0,∃x 2ɪx 0,π2 ,使得h (x 1)=h (x 2)=0,且f (x )在-π2,x 1上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,在x 2,π2 上单调递减㊂而当x ң-π2时,f (x )ң+ɕ;当x ңπ2时,f (x )ң-ɕ㊂又f (0)=0,所以0ɪ(x 1,x 2),故f '(0)=1-a >0,所以0<a <1㊂22.(1)直线l 的普通方程为y =3x ,故极坐标方程为θ=π3(ρɪR )㊂曲线C 的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=9,即x 2+y 2-4x -5=0,故曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0㊂(2)将θ=π3代入ρ2-4ρc o s θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0,ρA ㊁B =1ʃ6,所以A B =ρA -ρB =26㊂由题知点P 的直角坐标为(3,1),所以点P 到直线l 的距离d =3㊃3-12=1㊂故S әP A B =12A B ㊃d =12㊃26㊃1=6㊂23.(1)f (x )=x -1+x +5+x +5ȡ(x -1)-(x +5)+x +5=6+x +5ȡ6,当且仅当x =-5时取等号,所以f (x )的最小值为6,故m =6㊂(2)由(1)知a +3b +2c =6,即(a +2b +1)+(b +2c )=5,所以1a +2b +1+4b +2c =15[(a +2b +1)+(b +2c )]㊃1a +2b +1+4b +2c=15㊃5+4(a +2b +1)b +2c +b +2c a +2b +1 ȡ15㊃5+24(a +2b +1)b +2c ㊃b +2c a +2b +1=95㊂(责任编辑 王福华)。
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1.函数z yf ( x , xy ), f具有二阶连续偏导数 , 求z x , z xy 2 2 z x yf1 y f 2 z xy f1 yxf12 2 yf 2 y xf 22
n n1 1 2. n un1 un 1 收敛 n 3 3 n 1 3 n 1 1 ( x 1 ) 3. f ( x ) 1 ( 3 x ) 展开 f ( x ) (1)n n1 成x 1的幂级数 2 1 ( x 1) 2 n0 2
x n1 三.求幂级数 的和函数 n 1 n 1 n 四. 判断 ( 1) 是绝对收敛还是条件收 敛 n1 n 1 2 2 2 五. 计算 z dv , 其中是由z x y 与 z 2所围的闭区域 x x 六. 计算 (e sin y 2 x 2 y )dx (e cos y x )dy,
1
1 2 2
5 1 2 z(1 (1 z ) )dz 1 dxdy 0 6 6 x 2 y 2 1
不考的内容
二重极限 方程组隐函数的求导 三重积分的球坐标系计算 物理上的应用 正项级数收敛性的根值法 函数展开成幂级数的直接展开法 Fourier 级数
六. 计算 (e x sin y 2 x 2 y )dx (e x cos y x )dy, 其中L是由A( 2,0)沿x y 2 x到O(0,0)的上半圆周
2 2 L
补OA : y 0， d
L D
OA
Hale Waihona Puke 2 (0 2 x 0)dx 4 2 0 2
L
5. 求x y z 1位于x 2 y 2 2 x内的部分的面积 6.计算 ( x y z )dS , 其中 : z a 2 x 2 y 2
其中L是由A( 2,0)沿x 2 y 2 2 x到O(0,0)的上半圆周 2 2 七.计算 x sin xdydz y dzdx z dxdy
5.设a (5,2 ,3), b ( 2,2,1), 求与a , b 都垂直的单位 向量和a在b 上的投影 6. 求u sin x sin y sin z在x y z 2 ( x 0, y 0, z 0)条件下的极值 二 计算题 1.函数z yf ( x , xy ), f具有二阶连续偏导数 , 求z x , z xy 2.n1 n 3n 3. f ( x ) 1 (3 x ) 展开成x 1的幂级数 x4 y3 z 4.求过A(1,1,1)和直线 的平面
x2 y2 2 x
6.计算 ( x y z )dS , 其中 : z a x y a 2 2 2 ( x y a x y ) dxdy 2 2 2 2 a x y x 2 y 2 a x n1 0 0 a 三.求幂级数 的和函数 n 1 n n ( x ) x ( 1)n1 x ln( 1 x ) ( 1,1) n n 1
2 2 2
1 四. 判断 ( 1) 是绝对收敛还是条件收 敛 n1 n 1 1 1 n 0 ( 1) 收敛 n1 n1 n 1 1 1 1 1 ~ , 发散 n1 n n 1 n n1 n 1
n
五. 计算 z 2dv , 其中是由z x 2 y 2与 2 2 2 z 2所围的闭区域 I z dv 0 z zdz 4
七.计算 x sin xdydz y 2 dzdx z 2 dxdy
其中是z 1 1 x 2 y 2 的上侧
2 2
补面 1 : z 1之x y 1部分, 取下侧
(sin x x cos x 2 y 2 z )dv
x y
x y
4. z( x , y )由z xyz 2 x y 0 z yz 2 z xz 2 y 确定, 求z x , z y ,
xdx
0
1
x
2
0
1 1 y x x 2 e d x(e 1)dx ( x 1)e x 2 1 2 0 0 x 2 2
6.求u sin x sin y sin z在x y z 2 ( x 0, y 0, z 0)条件下的极值 L( x, y, z ) sin x sin y sin z ( x y z 2) cos x sin y sin z 0 得x y z 6 sin x cos y sin z 0 sin x sin y cos z 0 u sin 3 1 max x y z 2 6 8
一基本计算题 1.设函数z xye x y , 求dz
20
y
模拟试题
4. z( x, y )由z xyz 2 x y 0确定 , 求 z , z x y
2
2.函数z 1 x 2 y 2在点(1,2,4)处的切平面 1 1 3.求二次积分 dy e y x dx
y x
0
y
x 2 z xy y 2 z xy 5.设a (5,2 ,3), b ( 2,2,1), 求与a , b 都垂直的单位 (4,1,6) a b 17 向量和a在b 上的投影 c , Pr jb a 3 53 b
其中是z 1 1 x 2 y 2 的上侧
模拟试题
一基本计算题
1.设函数z xye , 求dz e [ y( x 1)dx x( y 1)dy] 2 2 2.函数 z 1 x y 在点 ( 1 , 2 , 4 ) 处的切平面 n (2 x,2 y,1) (2,4,1),2( x 1) 4( y 2) ( z 4) 0 1 1 3.求二次积分 dy e y x dx
x4 y3 z 4.求过A(1,1,1)和直线 的平面 3 2 1 AB s ( 3,2,1) ( 3,4,1) ( 2,6,18) 2( x 1) 6( y 1) 18( z 1) 0 2 2 5.求平面x y z 1位于x y 2 x内的部分 的面积 S 3d 3