福建泉州市2017高二数学下学期期末文.

2016-2017学年福建省泉州市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤2}2．如果函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则ω=（）A．3 B．6 C．12 D．243．已知抛物线y2=ax（a≠0）的准线经过点（1，﹣1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）4．已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．25．若，α是第三象限的角，则等于（）A．B．C．D．6．下列命题正确的个数为（）①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”②“x≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．37．若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．8．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．9．已知α，β为锐角，且，cos（α+β）=，则cos2β=（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f（）﹣f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[+， +]，k∈Z B．[﹣， +]，k∈ZC．[kπ+，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z11．如果函数f（x）对任意的实数x，都有f（x）=f（1﹣x），且当时，f（x）=log2（3x﹣1），那么函数f（x）在[﹣2，0]的最大值与最小值之差为（）A．4 B．3 C．2 D．112．设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC 是锐角三角形，则（）A．f（sinA）•sin2B＞f（sinB）•sin2A B．f（sinA）•sin2B＜f（sinB）•sin2AC．f（cosA）•sin2B＞f（sinB）•cos2A D．f（cosA）•s in2B＜f（sinB）•cos2A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则|a+bi|= ．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为．15．设α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tan2α= ．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．18．甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训．在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（Ⅰ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（Ⅱ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2．（Ⅰ）若，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）的零点有且只有一个，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t 为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市泉港一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2} B．{x|1＜x≤2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|x≤2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．如果函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，则ω=（）A．3 B．6 C．12 D．24【考点】H7：余弦函数的图象．【分析】利用余弦函数的图象的对称性、余弦函数的周期性，求得ω的值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的相邻两个对称中心之间的距离为，∴==，∴ω=6故选：B．3．已知抛物线y2=ax（a≠0）的准线经过点（1，﹣1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可以求出其准线方程，则有﹣=1，解可得a的值，即可得抛物线的方程，结合抛物线的焦点坐标计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=ax，其焦点在x轴上，则其准线方程为：x=﹣，若其准线经过点（1，﹣1），则其准线方程为x=1，即有﹣=1则a=﹣4，抛物线的方程为y2=﹣4x，则该抛物线焦点坐标为（﹣1，0）；故选：A．4．已知函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：求导函数，可得y′=3x2﹣1，当x=0时，y′=﹣1，∴函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=﹣x，即x+y﹣1=0，令x=0，可得y=1，令y=0，可得x=1，∴函数f（x）=x3﹣x+1，则曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是×1×1=．故选：C．5．若，α是第三象限的角，则等于（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得cosα、sinα的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：若=﹣cosα，即cosα=﹣，结合α是第三象限的角，可得sinα=﹣=﹣，则=sinαcos+cosαsin=﹣+（﹣）=﹣，故选：A．6．下列命题正确的个数为（）①“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02≤0”②“x≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”的逆否命题．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可判断①；由充分必要条件的定义，即可判断②；由由m=0，2x+1=0有实根；若m≠0，则△=4﹣4m≥4﹣2=2＞0，即可判断原命题成立，再由命题的等价性，即可判断③．【解答】解：①由全称命题的否定为特称命题，可得“∀x∈R都有x2≥0”的否定是“∃x0∈R使得x02＜0”，故①错；②“x≠3”比如x=﹣3，可得|x|=3；反之，|x|≠3，可得x≠3，“x≠3”是“|x|≠3”必要不充分条件，故②对；③命题“若m≤，则方程mx2+2x+1=0有实数根”，由m=0，2x+1=0有实根；若m≠0，则△=4﹣4m≥4﹣2=2＞0，即方程mx2+2x+1=0有实数根，则原命题成立，由等价性可得其逆否命题也为真命题，故③对．故选：C．7．若，则执行如图所示的程序框图，输出的是（）A．c B．b C．a D．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值，并输出，根据指数函数，对数函数的单调性得出a，b，c 的范围进而可得答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算a，b，c中的最大值．∵y=log2x是增函数，∴a=log20.3＜log21=0，∵y=2x是增函数，∴b=20.3＞20=1，又c=0.32=0.09，∴0＜c＜1，∴b＞c＞a，故选：B．8．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得变换后所得函数的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得得图象的一条对称轴方程．【解答】解：把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（2x+）的图象，再将图象向右平移个单位，可得得y=sin（2x﹣+）=﹣cos2x 的图象．令2x=kπ，可得x=，k∈Z，令k=﹣1，可得所得图象的一条对称轴方程为x=﹣，故选：A．9．已知α，β为锐角，且，cos（α+β）=，则cos2β=（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[（α+β）﹣α]的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2β的值．【解答】解：∵α，β为锐角，且，∴sinα==，∵cos（α+β）=＞0，∴α+β还是锐角，∴sin（α+β）==，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sincos（α+β）sinα=•+=，∴cos2β=2cos2β﹣1=，故选：B．10．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f（）﹣f（）=2，则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[+， +]，k∈Z B．[﹣， +]，k∈ZC．[kπ+，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【分析】根据正弦函数的值域可得ω•+φ=2k π+，ω•+φ=2k π+，k ∈Z ，两式相减可得ω 和 φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用正弦函数的最值以及单调性，求得函数f （x ）的单调递增区间．【解答】解：已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（0＜ω＜4，|φ|＜），若f （）﹣f （）=2，则 f （）=1，f （）=﹣1，即 sin （ω•+φ）=1，sin （ω•+φ）=﹣1，∴ω•+φ=2k π+，ω•+φ=2k π+，k ∈Z ，两式相减可得ω=2，∴φ=，函数f （x ）=sin （2x+），令2k π﹣≤2x+≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．11．如果函数f （x ）对任意的实数x ，都有f （x ）=f （1﹣x ），且当时，f （x ）=log 2（3x ﹣1），那么函数f （x ）在[﹣2，0]的最大值与最小值之差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【考点】3T ：函数的值．【分析】求出函数的对称轴，根据函数的对称性，求出f （x ）在[﹣2，0]的单调性，求出函数值即可．【解答】解：∵f （x ）=f （1﹣x ），∴f （x ）的对称轴是x=，时，f （x ）=log 2（3x ﹣1），函数在[，+∞）递增，故x ≤时，函数在[﹣2，0]递减，f （x ）max =f （﹣2）=f （+）=f （3）=3， f （x ）min =f （0）=f （1）=1， 故3﹣1=2， 故选：C ．12．设f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导数，且满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，若△ABC 是锐角三角形，则（）A．f（sinA）•sin2B＞f（sinB）•sin2A B．f（sinA）•sin2B＜f（sinB）•sin2AC．f（cosA）•sin2B＞f（sinB）•cos2A D．f（cosA）•sin2B＜f（sinB）•cos2A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设h（x）=，（x＞0），对h（x）求导分析可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，又由△ABC是锐角三角形，分析可得＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB 或cosA＜sinB，结合h（x）的单调性以及sinA＞cosB和cosA＜sinB分析答案．【解答】解：设h（x）=，（x＞0）则其导数h′（x）==，又由f（x）满足xf′（x）﹣2f（x）＞0，则有h′（x）＞0，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，若△ABC是锐角三角形，则有A+B＞，即＞A＞﹣B＞0，即有sinA＞cosB或cosA ＜sinB，对于sinA＞cosB，h（sinA）=，h（cosB）=，又由sinA＞cosB，则有＞，即f（sinA）•cos2B＞f（cosA）•sin2B，可以排除A、B，对于cosA＜sinB，h（cosA）=，h（sinB）=，又由cosA＜sinB，则有＜，即f（cosA）•sin2B＜f（sinB）•cos2A，可得D正确，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置．13．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则|a+bi|= ．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数相等可得a，b，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，a+i=2﹣bi，∴a=2，1=﹣b，即a=2，b=﹣1．则|a+bi|=|2﹣i|==．故答案为：．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴．若|F1F2|=12，|PF2|=5则该双曲线的离心率为．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得P在右支上，∴|PF1|===13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==．故答案为：．15．设α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，且，则tan2α= ．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．【解答】解：∵α为第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，∴x＜0，再根据=，∴x=﹣3，∴tanα==﹣，则tan2α===，故答案为：．16．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=alnx﹣ax+1，当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，则a= 2 ．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数f（x）的图象关于原点对称，由题意可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1，求得当x∈（0，2）时，f（x）的导数和单调区间，确定a＞0，f（1）为最大值﹣1，解方程可得a的值．【解答】解：y=f（x）是奇函数，可得f（x）的图象关于原点对称，由当x∈（﹣2，0）时，函数f（x）的最小值为1，可得当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为﹣1．由f（x）=alnx﹣ax+1的导数为f′（x）=﹣a=，由函数在（ 0，2）上取得最大值，可得a＞0，f（x）在（1，2）递减，在（0，1）递增．最大值为f（1）=1﹣a=﹣1，解得a=2，故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出sinα﹣cosα的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α=﹣，cos2α=﹣，即可求的值．【解答】解：（Ⅰ）因为sinα+cosα=，所以2sinαcosα=﹣，…所以α∈（，π），（sinα﹣cosα）2=，所以sinα﹣cosα=．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知sin2α=﹣，cos2α=﹣…所以cos（2α+）=﹣×+×=…18．甲、乙两位学生参加全国数学联赛培训．在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲：82 82 79 95 87乙：95 75 80 90 85（Ⅰ）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（Ⅱ）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率，首先要计算“要从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个”的事件个数，再计算“甲的成绩比乙高”的事件个数，代入古典概型公式即可求解．（Ⅱ）选派学生参加大型比赛，是要寻找成绩发挥比较稳定的优秀学生，所以要先分析两名学生的平均成绩，若平均成绩相等，再由茎叶图分析出成绩相比稳定的学生参加．【解答】解：（Ⅰ）记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到成绩为y，用数对（x，y）表示基本事件：（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（82，95），（82，75），（82，80），（82，90），（82，85），（79，95），（79，75），（79，80），（79，90），（79，85），（95，95），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，95），（87，75），（87，80），（87，90），（87，85），基本事件总数n=25记“甲的成绩比乙高”为事件A，事件A包含的基本事件：（82，75），（82，80），（82，75），（82，80），（79，75），（95，75），（95，80），（95，90），（95，85），（87，75），（87，80），（87，85），事件A包含的基本事件数m=12所以P（A）==；（Ⅱ）派甲参赛比较合适，理由如下：甲=（70×1+80×3+90×1+9+2+2+7+5）=85，=（70×1+80×2+90×2+5+0+5+0+5）=85，乙= [（79﹣85）2+（82﹣85）2+（82﹣85）2+（87﹣85）2+（95﹣85）2]=31.6，= [（75﹣85）2+（80﹣85）2+（80﹣85）2+（90﹣85）2+（95﹣85）2]=50∵甲=乙，S甲2＜S乙2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．19．已知函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+，g（x）=mcos（x+）﹣m+2．（Ⅰ）若，求函数y=f（x）的值域；（Ⅱ）若对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用降次公式和二倍角公式将f（x）化简，上，求出内层函数的范围，结合三角函数的性质可得f（x）的值域；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的值域；值域求解x2∈[0，π]，g（x2）的最大值即可，求解即可，需要对m进行讨论哦．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2x﹣sinxcosx+=cos2x﹣sin2x=1﹣sin（2x+）∵上，∴2x+∈[，]∴sin（2x+）≤1．故得时函数f（x）的值域为[0，]；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）的最小值为0，对任意的，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2）只需要0≥g（x）max即可．∵g（x）=mcos（x+）﹣m+2．x∈[0，π]，∴x+∈[，]∴﹣1≤cos（x+）≤．当m≥0时，g（x）max=，∴≤0，解得：m≥4．当m＜0时，g（x）max=﹣m﹣m+2，∴﹣2m+2≤0，解得：m≥1．∴无解．综合上述，可得m的取值范围[4，+∞）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由△MNF1的周长为8，得4a=8，由e=，求出c，可求得b；即可求解椭圆方程．（Ⅱ）分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k TA+k TB=0，即可证明直线TA与TB的斜率之和为定值．【解答】解：（I）由题意知，4a=8，所以a=2．因为e=，所以c=1，则b=．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12=0，△=64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）=k2+1＞0恒成立，x1+x2=，x1x2=，由k TA+k TB=+==，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y=k（x﹣1），故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8==0，∴k TA+k TB=0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）的零点有且只有一个，求实数a的值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．对t分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min．【解答】解：（I）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，解得x=．①当时，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，∴x=时，函数f（x）取得极小值即最小值， =﹣．②当t时，函数f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴x=t时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（t）=tlnt．（II）F（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2，函数F（x）的零点有且只有一个，即a=lnx+x+在（0，+∞）上有且仅有一个实数根．令h（x）=lnx+x+，则h′（x）=+1﹣=．可得：函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（1）=3．由题意可得：若使函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有一个公共点，则a=h（x）min=3．因此：函数F（x）的零点有且只有一个，则实数a=3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t 为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；（2）若弦长|PQ|=4，所以=3，即可求直线l的斜率．【解答】解：（1）由ρ=4cosθ﹣6sinθ，得圆C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+6y=0，配方，得（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以圆心为（2，﹣3），半径为…（2）由直线l的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），因为弦长|PQ|=4，所以=3，解得k=0或k=﹣…[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）当a=1时，由不等式．分别求得解集，再取并集，即得所求．（2）由题意可得，1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，从而求得a的取值范围．【解答】解：（1）∵a=1，f（x）＞1⇔|x﹣1|﹣2|x+1|＞1，，∴解集为…（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立⇔|x﹣1|﹣2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立⇔1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，∴a的范围为…。