江苏省12市2015届高三数学 分类汇编 数列

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2015届高三）设等比数列{}n a 的公比为q （01q <<），前n 项和为n S ，若1344a a a =，且6a 与434a 的等差中项为5a ，则6S = ▲ 2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为 ▲3、（南京市、盐城市2015届高三）已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .4、（南通市2015届高三）在等差数列{}n a 中，已知首项10a >，公差0d >.若122360,100a a a a +≤+≤，则155a a +的最大值为5、（苏州市2015届高三上期末）已知等差数列{}n a 中，4610a a +=，若前5项的和55S =，则其公差为6、（泰州市2015届高三上期末）等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ▲7、（无锡市2015届高三上期末）已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且满足()*122n n a S n ++=?¥，则满足2100111100010n n S S <<的n 的最大值为 8、（扬州市2015届高三上期末）设数列{n a }的前n 项和为Sn ，且114()2n n a -=+-，若对任意*n N ∈，都有1(4)3n p S n ≤-≤，则实数p 的取值范围是＿＿＿＿二、解答题1、（常州市2015届高三）已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =，1,115,1,1630,1,3145,n n d n a a n n d+⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈学科网．（1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围；（2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈<<N ≤≤． ①若13a =，14d =，求证：2M ∈； ②是否存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由．2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）在数列{}n a 中，已知121a a ==，且满足212n n n a a a λ+++=+，*n N ∈，λ为常数．(1)证明：1a ，4a ，5a 成等差数列；(2)设22n n a a n c +-=，求数列{}n c 的前n 项和n S ；(3)当0λ≠时，数列{}1n a -中是否存在三项11s a +-，11t a +-，11p a +-成等比数列，且s ，t ，p 也成等比数列？若存在，求出s ，t ，p 的值；若不存在，说明理由．3、（南京市、盐城市2015届高三）设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.4、（南通市2015届高三）设数列{}n a 的前n 项和为n S .若()*1122n na n N a +≤≤∈，则称{}n a 是“紧密数列”. ()1若数列{}n a 的前n 项和为()()2*134n S n n n N =+∈，证明：{}n a 是“紧密数列”；()2设数列{}n a 是公比为q 的等比数列.若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求.q 的取值范围.5、（苏州市2015届高三上期末）已知数列{}n a 中1111,33n n n a n a a a n+⎧+⎪==⎨⎪-⎩((n n 为奇数）为偶数）. （1）是否存在实数λ，使数列2{-}n a λ是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由；（2）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .6、（泰州市2015届高三上期末）数列}{n a ，}{n b ，}{n c 满足：12n n n b a a +=-，1222n n n c a a ++=+-，*n N ∈．（1）若数列}{n a 是等差数列，求证：数列}{n b 是等差数列；（2）若数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，求证：数列}{n a 从第二项起为等差数列；（3）若数列}{n b 是等差数列，试判断当130b a +=时，数列}{n a 是否成等差数列？证明你的结论．7、（无锡市2015届高三上期末）在数列{}{}n n a b 、中，已知10a =，21a =，11b =，212b =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足21n n S S n ++=，2123n n n T T T ++=-，其中n 为正整数.(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式；(2)问是否存在正整数m ，n ，使121n m n T m b T m++->+-成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(),m n ，若不存在，请说明理由.8、（扬州市2015届高三上期末）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn 。

（1）若12k =，且20152015S a =，求a ；（2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 值，若不存在，请说明理由；（3）若1,2n k S =-求。

参考答案一、填空题1、6342、223、(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n n n n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数 4、200 5、2 6、214-7、9 8、[2,3]二、解答题1、解：（1）当1a =时， 16115a d =+，311615a d =+，4611615()a d d=++． ………………………2分 因为0d ≠，21d d +≥，或21d d-+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞ ． ………………………4分（2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，314i j k b ++-=+． ……………6分 令3124i j k ++-+=，得7i j k ++=． 因为,,i j k *∈N ，116i j k <<≤≤，所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分②不存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． ………………………9分 假设存在实数a ，d ，使18，1，5340同时属于M ． (1)n a a n d =+- ，∴3(3)b a i j k d =+++-，从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分 因为18，1，5340同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈），使得13,831,533,40a xd a yd a zd ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎩从而7(),86(),5y x d z x d ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 则 3548y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数，所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾．所以不存在实数a ，d ，使18，1，5340都属于M ． ………………………16分 2、（1）因为211221n n n a a a a a λ+++=+==，，所以32121a a a λλ==+-+，同理，432231a a a λλ==+-+，543261a a a λλ==+-+， ……………………2分 又因为413a a λ-=，543a a λ-=，…………………………………………………3分 所以4154a a a a -=-，故1a ，4a ，5a 成等差数列．………………………………4分（2） 由212n n n a a a λ+++=+，得211+n n n n a a a a λ+++-=-，…………………………5分令1n n n b a a +=-，则1n n b b λ+-=，1210b a a =-=，所以{}n b 是以0为首项公差为λ的等差数列，故1(1)(1)n b b n n λλ=+-=-，…6分 即1(1)n n a a n λ+-=-，所以212()(21)n n n n a a a a n λλ++-=-+=-， 所以2(21)22n n a a n n c λ+--==． ………………………………………………………8分 35(21)122222n n n S c c c λλλλ-=+++=++++L L ，当0n S n λ==时，， ……………………………………………………………9分 当235(21)22(12)0222212n n n S λλλλλλλλ--≠=++++=-L 时，．………………10分 所以数列{}n c 的前n 项和22, 0,2(12),0.12n n n S λλλλλ=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩-学科网 （3）由（2）知1(1)n n a a n λ+-=-，用累加法可求得()(1)(2)1+22n n n a n λ--=≥， 当1n =时也适合，所以()(1)(2)1+2n n n a n N λ*--=∈ ……………………12分 假设存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列，则2111(1)(1)(1)t s p a a a +++-=--，即22(1)(1)(1)44t t s s p p ---=， ………14分 因为,,s t p 成等比数列，所以2t sp =，所以2(1)(1)(1)t s p -=--， 化简得2s p t +=，联立 2t sp =，得s t p ==．这与题设矛盾． 故不存在三项1111,1,1s t p a a a +++---成等比数列，且,,s t p 也成等比数列．…16分3、解：（1） 数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又 5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ………… 4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则1022k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分 ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立，③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立.综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅-- ， 即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅-- ，（*） ∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅-- ，（**） 则（**）式两边同乘以2，得234123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅-- ，（***） ∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥， 又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =，71162λ∴<≤. ……………16分4、5、解：（1）设2n n b a λ=-， 因为()21122221213n n n n n n a n b a b a a λλλλ+++++--==-- ()()222211621133n n n n a n n a a a λλλλ-++-+-==--． …………………………………2分若数列{}2n a λ-是等比数列，则必须有22113n n a q a λλ+-=-（常数）， 即()211103n q a q λ-+-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()103110q q λ-=-+=⎧⎪⎨⎪⎩⇔1332q λ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， …………………5分 此时1213131102326b a a =-=+-=-≠，所以存在实数32λ=，使数列{}2n a λ-是等比数列………………………………………6分 （注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分）（2）由（1）得{}n b 是以16-为首项，13为公比的等比数列， 故123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232n n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，…………………8分 由()2211213n n a a n -=+-，得()1212111533216232n n n a a n n --⎛⎫=--=-⋅-+ ⎪⎝⎭，……10分 所以12121111692692333n n n n n a a n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-⋅+-+=-⋅-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L()211126129333n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L 11133(1)2691213n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=-⋅-⋅+-()221113631233n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………12分 显然当*n N ∈时，{}2n S 单调递减，又当1n =时，2703S =>，当2n =时，4809S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2212231536232n n n n S S a n n -⎛⎫=-=⋅--+ ⎪⎝⎭， 同理，当且仅当1n =时，210n S ->．综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 16分6、证明：（１）设数列}{n a 的公差为d ，∵12n n n b a a +=-，∴1121121(2)(2)()2()2n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++-=---=---=-=-， ∴数列}{n b 是公差为d -的等差数列． ………………４分（２）当2n ≥时，1122n n n c a a -+=+-，∵12n n n b a a +=-，∴112n n n b c a -+=+，∴1112n n n b c a +++=+， ∴111112222n n n n n n n n n n b c b c b b c c a a +-+-+++---=-=+， ∵数列}{n b ，}{n c 都是等差数列，∴1122n n n n b b c c +---+为常数， ∴数列}{n a 从第二项起为等差数列． ………………１０分 （３）数列}{n a 成等差数列．解法１ 设数列}{n b 的公差为d '，∵12n n n b a a +=-，∴11222n n n n n n b a a ++=-，∴1111222n n n n n n b a a ----=-，…，2112222b a a =-， ∴11111122222n n n n n n b b b a a -+-++++=- ，设211212222n n n n n T b b b b --=+++ ，∴21112222n n n n n T b b b +-=+++ ，两式相减得：21112(222)2n n n n n T b d b -+'-=++++- ，即11124(21)2n n n n T b d b -+'=---+，∴11111124(21)222n n n n n b d b a a -+++'---+=-， ∴1111111112224(21)22242()n n n n n n n a a b d b a b d b d +-+++'''=++--=+---， ∴1111224()2n n n a b d a b d ++'+-'=--， ………………１２分 令2n =，得111132133224224()22a b d a b d a b d b ''+-+-'=--=-，∵130b a +=，∴1113322402a b d b a '+-=+=，∴112240a b d '+-=， ∴1()n n a b d +'=--，∴211()()n n n n a a b d b d d +++'''-=--+-=-，∴数列}{n a （2n ≥）是公差为d '-的等差数列， ………………１４分 ∵12n n n b a a +=-，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=，∴数列}{n a 是公差为d '-的等差数列． ………………１６分解法2 ∵12n n n b a a +=-，130b a +=，令1n =，1232a a a -=-，即12320a a a -+=， ………………１２分 ∴1122n n n b a a +++=-，2232n n n b a a +++=-，∴12122132(2)2(2)n n n n n n n n n b b b a a a a a a +++++++--=-----，∵数列}{n b 是等差数列，∴1220n n n b b b ++--=，∴1221322(2)n n n n n n a a a a a a +++++--=--， ………………１４分 ∵12320a a a -+=，∴1220n n n a a a ++--=，∴数列}{n a 是等差数列． ………………１６分 7、8、⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， ……1分此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--， ……3分 故12015201520152014(1)2a a =+⨯⨯-，即112014(1)2a a =+⨯-，得1a =；……4分（没有过程，直接写1a =不给分）⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=， ……6分①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a aa -+=+，解得：1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-（舍1）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++；③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m a a a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……9分 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ……10分 ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， ……12分当n 是偶数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 12341()()()n n a a a a a a -=++++++ 12()(1)22n n a a a =+=+， 当n 是奇数时，12341n n n S a a a a a a -=++++++ 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++ 1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式， ……15分综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数． ……16分。